From b14e3e799d8d5e54f575127a8d759a934d08ed97 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "copilot-swe-agent[bot]" <198982749+Copilot@users.noreply.github.com> Date: Thu, 16 Apr 2026 07:54:24 +0000 Subject: [PATCH 1/4] standardize all callouts to 7 approved types across 76 note files Agent-Logs-Url: https://github.com/Fede-7/Notes/sessions/049385fb-5356-413d-8de1-e4da6162dedd Co-authored-by: Fede-7 <75255965+Fede-7@users.noreply.github.com> --- .../Lezioni/Lezione 1.md" | 18 +- .../Lezioni/Lezione 10.md" | 14 +- .../Lezioni/Lezione 11.md" | 18 +- .../Lezioni/Lezione 12.md" | 12 +- .../Lezioni/Lezione 13.md" | 18 +- .../Lezioni/Lezione 14.md" | 20 +- .../Lezioni/Lezione 15.md" | 16 +- .../Lezioni/Lezione 16.md" | 6 +- .../Lezioni/Lezione 17.md" | 10 +- .../Lezioni/Lezione 18 (Grafi).md" | 4 +- .../Lezioni/Lezione 19.md" | 8 +- .../Lezioni/Lezione 2.md" | 24 +- .../Lezioni/Lezione 20.md" | 4 +- .../Lezioni/Lezione 21.md" | 34 +- .../Lezioni/Lezione 22.md" | 38 +- .../Lezioni/Lezione 23 (Polinomi).md" | 56 +-- .../Lezioni/Lezione 3.md" | 14 +- .../Lezioni/Lezione 4.md" | 12 +- .../Lezioni/Lezione 5.md" | 6 +- .../Lezioni/Lezione 6.md" | 6 +- .../Lezioni/Lezione 7.md" | 4 +- .../Lezioni/Lezione 8 Alt.Vers..md" | 20 +- .../Lezioni/Lezione 8.md" | 10 +- .../Lezioni/Lezione 9.md" | 4 +- .../Lezioni/Teoremi.md" | 322 ++++++------- .../ALGEBRA/Elenco Definizioni Algebra.md" | 452 +++++++++--------- .../ALGEBRA/Elenco Dimostrazioni.md" | 20 +- .../1\302\260 - Anno/ALGEBRA/FlashCards.md" | 20 +- .../APA_Lezione9.md" | 4 +- .../Lezione 0.md" | 20 +- .../Lezione 1.md" | 22 +- .../Lezione 2.md" | 2 +- .../Lezione 3.md" | 2 +- .../Lezione 5.md" | 8 +- .../Lezione 6.md" | 6 +- .../Lezione 7.md" | 4 +- .../Lezione 8.md" | 6 +- .../Economia Aziendale/Lezione 0.md" | 2 +- .../Economia Aziendale/Lezione 1.md" | 6 +- .../Lezione_2_Relazioni_impresa_ambiente.md" | 2 +- .../Lezione_3_Strategie_aziendali.md" | 2 +- .../Lezione_4_Sviluppo_aziendale_Ansoff.md" | 2 +- .../Lezione_5_Vincoli_istituzionali.md" | 2 +- ...one_6_Imprenditore_Manager_Stakeholder.md" | 2 +- .../Lezione_7_Barriere_Forze_Porter.md" | 2 +- .../LP_Lezione8.md" | 4 +- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" | 4 +- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" | 18 +- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" | 4 +- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 4.md" | 6 +- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 5.md" | 6 +- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 6.md" | 4 +- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" | 8 +- .../Lezione 0.md" | 12 +- .../Lezione 1.md" | 8 +- .../Lezione 2.md" | 20 +- .../Lezione 3.md" | 12 +- .../Lezione 4.md" | 2 +- .../Lezione 5.md" | 10 +- .../Lezione 6.md" | 6 +- .../Lezione 7.md" | 8 +- .../Lezione 8.md" | 8 +- .../Lezione 9.md" | 4 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 0.md" | 10 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 1.md" | 6 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 2.md" | 4 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 3.md" | 2 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 4.md" | 2 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 5.md" | 8 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 7.md" | 4 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 8.md" | 4 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 9.md" | 4 +- .../Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" | 8 +- .../Sistemi Operativi/SO_Lezione11.md" | 4 +- .../SbobbinatoreAi/%.*/02-04-26.md | 4 +- .../SbobbinatoreAi/Test/04-04-26.md | 6 +- 76 files changed, 747 insertions(+), 747 deletions(-) diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 1.md" index e266927..7585164 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 1.md" @@ -52,7 +52,7 @@ I connettivi logici sono come la "colla" che unisce le proposizioni semplici per | F | V | V | | F | F | F | -> [!NOTE] Nota Bene: Questa è la "o" inclusiva, significa che va bene anche se entrambe sono vere. Nelle tue note c'era scritto "non disgiuntiva", ma in realtà $\lor$ *è* la disgiunzione standard (inclusiva). Forse intendevi la disgiunzione *esclusiva*? Ne parliamo tra poco! [[Lezione 1#1.5 Disgiunzione Esclusiva (XOR)]] +> [!info] Nota Bene: Questa è la "o" inclusiva, significa che va bene anche se entrambe sono vere. Nelle tue note c'era scritto "non disgiuntiva", ma in realtà $\lor$ *è* la disgiunzione standard (inclusiva). Forse intendevi la disgiunzione *esclusiva*? Ne parliamo tra poco! [[Lezione 1#1.5 Disgiunzione Esclusiva (XOR)]] * **Implicazione Materiale (SE... ALLORA):** È falsa solo se la prima proposizione (antecedente) è vera e la seconda (conseguente) è falsa. * Simbolo: $\implies$ (o $\rightarrow$, si legge "implica" o "se... allora") @@ -67,7 +67,7 @@ I connettivi logici sono come la "colla" che unisce le proposizioni semplici per | F | V | V | | F | F | V | -> [!TIP] Suggerimento: Pensa all'implicazione come a una promessa. $P \implies Q$ significa "Se P è vera, prometto che Q è vera". L'unico caso in cui la promessa è infranta è quando P è vera, ma Q è falsa. Se P è falsa, la promessa non è stata messa alla prova, quindi l'implicazione è considerata vera. +> [!tip] Suggerimento: Pensa all'implicazione come a una promessa. $P \implies Q$ significa "Se P è vera, prometto che Q è vera". L'unico caso in cui la promessa è infranta è quando P è vera, ma Q è falsa. Se P è falsa, la promessa non è stata messa alla prova, quindi l'implicazione è considerata vera. * **Bicondizionale (SE E SOLO SE):** È vera solo se le proposizioni hanno lo *stesso* valore di verità. * Simbolo: $\iff$ (o $\leftrightarrow$, si legge "se e solo se" o "è equivalente a") @@ -98,7 +98,7 @@ Alcune formule complesse sono equivalenti, cioè hanno sempre lo stesso valore d | F | V | V | V | V | V | | F | F | V | V | V | V | -> [!IMPORTANT] Questa equivalenza è super utile per trasformare le implicazioni! [[Equivalenza Implicazione-Disgiunzione]] +> [!info] Questa equivalenza è super utile per trasformare le implicazioni! [[Equivalenza Implicazione-Disgiunzione]] * **Doppia Negazione:** Negare due volte riporta alla proposizione originale. * Formula: $\neg (\neg P) \iff P$ @@ -125,7 +125,7 @@ Alcune formule complesse sono equivalenti, cioè hanno sempre lo stesso valore d * $P \lor \neg P$ (Principio del terzo escluso) * $P \implies P$ (Identità) * $((P \implies Q) \land P) \implies Q$ (Modus Ponens) - > [!NOTE] Le tautologie rappresentano le leggi fondamentali del pensiero logico. + > [!info] Le tautologie rappresentano le leggi fondamentali del pensiero logico. * #tag/tautologia [[Tautologia]] * **Contraddizione:** Una proposizione composta che è **sempre FALSA**. È la negazione di una tautologia. @@ -224,7 +224,7 @@ Questi sono interessanti perché *ciascuno* di essi può essere usato per costru * Definizione: $P \downarrow Q \iff \neg (P \lor Q)$ * #tag/nand #tag/nor [[Operatore NAND]] [[Operatore NOR]] [[Completezza Funzionale]] -> [!QUESTION] Domanda Rapida: Riesci a vedere perché $(P \land \neg P)$ è una contraddizione usando la tavola di verità? E perché $(P \lor \neg P)$ è una tautologia? +> [!question] Domanda Rapida: Riesci a vedere perché $(P \land \neg P)$ è una contraddizione usando la tavola di verità? E perché $(P \lor \neg P)$ è una tautologia? --- @@ -271,7 +271,7 @@ I quantificatori ci dicono *quanti* elementi nell'universo soddisfano un predica * **Formula Aperta:** Una formula che contiene almeno una variabile libera. Il suo valore di verità dipende dal valore assegnato alle variabili libere (es. $x > 10$). * **Formula Chiusa (o Enunciato):** Una formula che non contiene variabili libere. Ha un valore di verità definito (V o F) indipendentemente da assegnazioni esterne (es. $\forall x (x > 1)$, $\exists x (x > 10)$). -> [!NOTE] Esempio dalle tue note (Pagina 17): +> [!info] Esempio dalle tue note (Pagina 17): > * `a: x > 1` (Formula aperta, $x$ è libera) > * `b: ∀x(x > 1)` (Formula chiusa, $x$ è vincolata da $\forall$) > * `c: ∀x(x > 1) ∧ x = 7` (Questa è un po' ambigua come scritta. Probabilmente si intende `(∀y(y > 1)) ∧ (x = 7)`. Qui, la $y$ nel primo pezzo è vincolata (ho cambiato nome per chiarezza), ma la $x$ nel secondo pezzo è libera. Quindi è una formula aperta.) @@ -322,7 +322,7 @@ Una **funzione** $f$ da A a B è un tipo *speciale* di relazione in cui **ogni** * Combinando le due condizioni (dalle tue note!): $\forall a \in A, \exists ! b \in B \text{ tale che } (a, b) \in G$. * Notazione funzionale: Se $(a, b) \in G$, scriviamo $f(a) = b$. $b$ è detta **immagine** di $a$ tramite $f$. $a$ è una **controimmagine** di $b$. -> [!IMPORTANT] Differenza Chiave: In una relazione generica, un elemento di A può essere collegato a zero, uno o molti elementi di B. In una funzione, ogni elemento di A *deve* essere collegato a *esattamente un* elemento di B. +> [!info] Differenza Chiave: In una relazione generica, un elemento di A può essere collegato a zero, uno o molti elementi di B. In una funzione, ogni elemento di A *deve* essere collegato a *esattamente un* elemento di B. * **Esempi (dalle tue note - Pagine 24-27):** * Consideriamo relazioni $G \subseteq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$. Quali sono funzioni $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$? @@ -353,7 +353,7 @@ Una **funzione** $f$ da A a B è un tipo *speciale* di relazione in cui **ogni** --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce +> [!abstract] Riepilogo Veloce > * Abbiamo definito i **connettivi logici** ($\neg, \land, \lor, \implies, \iff$) e visto le loro **tavole di verità**. > * Abbiamo esplorato **equivalenze logiche** importanti come De Morgan, contrapposizione e l'equivalenza tra implicazione e disgiunzione. > * Abbiamo distinto **tautologie** (sempre vere) e **contraddizioni** (sempre false). @@ -361,7 +361,7 @@ Una **funzione** $f$ da A a B è un tipo *speciale* di relazione in cui **ogni** > * Abbiamo definito gli **insiemi**, il **prodotto cartesiano** ($A \times B$), le **relazioni** (sottoinsiemi di $A \times B$) e le **funzioni** (relazioni speciali dove ogni input ha un unico output). > * Abbiamo visto le operazioni fondamentali tra insiemi ($\cup, \cap, \setminus, \Delta, ^c$). -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Rileggi questi appunti con calma. Ci sono parti che non sono chiare? Usa i link `[[...]]` per creare nuove note o collegarti a note esistenti per approfondire! > * Prova a fare qualche esempio tu stesso/a. Crea piccole tavole di verità o elenca gli elementi di un prodotto cartesiano. > * Pensa a come questi concetti si collegano. Ad esempio, come useresti i quantificatori per definire l'unione di due insiemi? ($x \in A \cup B \iff (x \in A) \lor (x \in B)$). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 10.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 10.md" index 160aa6e..e92dd4c 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 10.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 10.md" @@ -43,7 +43,7 @@ Il Principio di Induzione è uno strumento potente per dimostrare proprietà $P( 2. **Passo Induttivo Forte:** Per ogni $n > \bar{n}$, **se** $P(i)$ è vera per **tutti** gli $i$ tali che $\bar{n} \le i < n$ (**ipotesi induttiva forte**), **allora** anche $P(n)$ è vera. ($\forall n > \bar{n}, (\forall i, \bar{n} \le i < n \implies P(i)) \implies P(n)$). **Allora:** $P(n)$ è vera per ogni $n \ge \bar{n}$. -> [!NOTE] Le due forme sono logicamente equivalenti. La Forma II sembra richiedere un'ipotesi più forte, ma permette di dimostrare il passo induttivo in casi in cui $P(n+1)$ dipende non solo da $P(n)$ ma anche da $P(k)$ per $k < n$. +> [!info] Le due forme sono logicamente equivalenti. La Forma II sembra richiedere un'ipotesi più forte, ma permette di dimostrare il passo induttivo in casi in cui $P(n+1)$ dipende non solo da $P(n)$ ma anche da $P(k)$ per $k < n$. [[Principio di Induzione]] @@ -208,32 +208,32 @@ Riprendiamo le proprietà delle relazioni binarie su un insieme $S$. Verificare se le seguenti sono relazioni di equivalenza sui rispettivi insiemi. Ricorda che per essere di equivalenza, una relazione deve essere **Riflessiva**, **Simmetrica** e **Transitiva**. -> [!EXERCISE] Esercizio 1: Relazione su P(S) +> [!example] Esercizio 1: Relazione su P(S) > Sia $S = \{a, b, c, d\}$ e sia $K = \{b, c\}$. > Si consideri la relazione $\mathcal{R}_1$ su $P(S)$ definita da: > $$ X \mathcal{R}_1 Y \iff X \cap K = Y \cap K $$ > Verificare se $\mathcal{R}_1$ è una relazione di equivalenza. -> [!EXERCISE] Esercizio 2: Relazione su P(S) +> [!example] Esercizio 2: Relazione su P(S) > Sia $S = \{a, b, c, d\}$ e sia $K = \{b, c\}$. > Si consideri la relazione $\mathcal{R}_2$ su $P(S)$ definita da: > $$ X \mathcal{R}_2 Y \iff X \cup K = Y \cup K $$ > Verificare se $\mathcal{R}_2$ è una relazione di equivalenza. -> [!EXERCISE] Esercizio 3: Relazione su P(S) +> [!example] Esercizio 3: Relazione su P(S) > Sia $S = \{a, b, c, d\}$ e sia $K = \{b, c\}$. > Si consideri la relazione $\mathcal{R}_3$ su $P(S)$ definita da: > $$ X \mathcal{R}_3 Y \iff X \setminus K = Y \setminus K $$ > Verificare se $\mathcal{R}_3$ è una relazione di equivalenza. -> [!EXERCISE] Esercizio 4: Relazione su $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ +> [!example] Esercizio 4: Relazione su $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ > Si consideri la relazione $\mathcal{R}_4$ su $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ definita da: > $$ (a, b) \mathcal{R}_4 (c, d) \iff a + c = b + d $$ > Verificare se $\mathcal{R}_4$ è una relazione di equivalenza. --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 10 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 10 > * Il **Principio del Buon Ordinamento** di $\mathbb{N}$ garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto ha minimo. > * Il **Principio di Induzione** (Forma I e II) è una tecnica di dimostrazione basata sul buon ordinamento. > * Il **Teorema della Divisione Euclidea** garantisce esistenza e unicità di quoziente e resto $r$ con $0 \le r < |n|$. @@ -242,7 +242,7 @@ Verificare se le seguenti sono relazioni di equivalenza sui rispettivi insiemi. > * Una **Relazione d'Ordine** è Riflessiva, Antisimmetrica, Transitiva. > * La relazione $ad=bc$ su $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^*$ è di equivalenza e definisce i razionali. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Prova a svolgere gli esercizi sulle relazioni di equivalenza. > * Il passo successivo naturale è studiare le **classi di equivalenza** e l'**insieme quoziente** associati a una relazione di equivalenza, e vedere come le partizioni sono collegate. > * Approfondire le **relazioni d'ordine** (parziale, totale, massimi, minimi, maggioranti, minoranti). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 11.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 11.md" index a78384b..0b05f86 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 11.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 11.md" @@ -15,7 +15,7 @@ Approfondiamo le proprietà dei numeri interi $\mathbb{Z}$. Questo teorema è la base per l'algoritmo di Euclide. -> [!THEOREM] Teorema della Divisione Euclidea +> [!info] Teorema della Divisione Euclidea > Dati due interi $a, b \in \mathbb{Z}$, con $b \neq 0$, esistono **unici** due interi $q$ (quoziente) e $r$ (resto) tali che: > $$ a = b \cdot q + r $$ > con la condizione che $0 \le r < |b|$ (il resto è non negativo e strettamente minore del valore assoluto del divisore). @@ -56,13 +56,13 @@ Applichiamo l'algoritmo di Euclide: $20 = 5 \cdot 4 + 0$ ($q_4=4, r_4=0$) 5. Il resto è 0. L'ultimo resto non nullo è $r_3 = 5$. -> [!RESULT] $\text{MCD}(375, 110) = 5$. +> [!example] $\text{MCD}(375, 110) = 5$. ### 1.4 Teorema di Bézout (Identità) Questo teorema fondamentale collega il MCD a una combinazione lineare degli interi originali. -> [!THEOREM] Teorema di Bézout +> [!info] Teorema di Bézout > Siano $a, b \in \mathbb{Z}$, non entrambi nulli. Allora esistono due interi $x, y \in \mathbb{Z}$ tali che: > $$ ax + by = \text{MCD}(a, b) $$ > Questi interi $x, y$ sono detti **coefficienti di Bézout**. @@ -171,7 +171,7 @@ $5 = 375 \cdot (5) + 110 \cdot (-17)$ Abbiamo trovato l'identità di Bézout: $ax + by = d$ con $a=375, b=110, d=5$. I coefficienti sono $x=5$ e $y=-17$. -> [!RESULT] $375 \cdot (5) + 110 \cdot (-17) = 5$. +> [!example] $375 \cdot (5) + 110 \cdot (-17) = 5$. ### 1.7 Esempio Alternativo: MCD(100, 54) e Bézout (da lavagna) @@ -197,7 +197,7 @@ $2 = 100 \cdot (-7) + 54 \cdot (13)$ I coefficienti sono $x=-7$ e $y=13$. -> [!RESULT] $100 \cdot (-7) + 54 \cdot (13) = 2$. +> [!example] $100 \cdot (-7) + 54 \cdot (13) = 2$. ### 1.8 Conseguenze e Proprietà (da note/lavagna) @@ -325,7 +325,7 @@ graph TD Questo teorema afferma che ogni intero (diverso da 0, 1, -1) si scompone in modo unico in fattori primi. -> [!THEOREM] Teorema Fondamentale dell'Aritmetica +> [!info] Teorema Fondamentale dell'Aritmetica > Ogni intero $a \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 1, -1\}$ si può scrivere come prodotto di numeri primi. Tale decomposizione è **unica** a meno dell'ordine dei fattori e della sostituzione di un fattore primo $p_i$ con il suo associato $-p_i$. > $$ a = (\pm 1) \cdot p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} $$ > dove $p_1, \dots, p_k$ sono primi positivi distinti e $e_i \ge 1$. @@ -372,7 +372,7 @@ Sia $\mathcal{R}$ una relazione di equivalenza su $S$. Valgono le seguenti propr 3. **Unione:** L'unione di tutte le classi di equivalenza distinte restituisce l'insieme originale $S$. $$ \bigcup_{a \in S} [a]_{\mathcal{R}} = S $$ -> [!IMPORTANT] Le classi di equivalenza formano una **partizione** dell'insieme $S$. Ogni elemento di $S$ appartiene a una e una sola classe di equivalenza. +> [!info] Le classi di equivalenza formano una **partizione** dell'insieme $S$. Ogni elemento di $S$ appartiene a una e una sola classe di equivalenza. ### 3.4 Insieme Quoziente @@ -408,7 +408,7 @@ Sia $S=\{a, b, c, d\}$. Consideriamo $P(S)$. Definiamo la relazione $\mathcal{R} --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 11 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 11 > * Abbiamo visto l'**Algoritmo di Euclide** per calcolare il MCD e l'**Algoritmo Esteso** per trovare i coefficienti dell'**Identità di Bézout** ($ax+by=d$). > * Abbiamo richiamato le **conseguenze** su coprimalità e il **Lemma di Euclide**. > * Abbiamo enunciato il **Teorema Fondamentale dell'Aritmetica** (fattorizzazione unica in primi). @@ -417,7 +417,7 @@ Sia $S=\{a, b, c, d\}$. Consideriamo $P(S)$. Definiamo la relazione $\mathcal{R} > * Abbiamo definito l'**Insieme Quoziente** $S/\mathcal{R}$ come l'insieme delle classi di equivalenza. > * Abbiamo enunciato la corrispondenza tra relazioni di equivalenza e partizioni. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Fai pratica con l'algoritmo esteso di Euclide per trovare i coefficienti di Bézout. > * Assicurati di aver compreso le proprietà R, S, T e come verificare se una relazione è di equivalenza. > * Cerca di capire bene cosa sono le classi di equivalenza e l'insieme quoziente, magari con esempi concreti (es. congruenza modulo n). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 12.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 12.md" index 17c2fa3..c2459a4 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 12.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 12.md" @@ -24,7 +24,7 @@ Questo teorema stabilisce un legame profondo e fondamentale tra due concetti app * **Osservazione Chiave (Pag 1):** Le proprietà 1, 2, 3 delle classi di equivalenza sono esattamente le proprietà che definiscono una **partizione**! L'insieme quoziente $S/\mathcal{R}$ è una partizione di $S$. -> [!THEOREM] Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza (Pag 2) +> [!info] Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza (Pag 2) > Sia $S$ un insieme non vuoto ($S \neq \emptyset$). Esiste una **corrispondenza biunivoca** tra l'insieme di tutte le relazioni di equivalenza su $S$ e l'insieme di tutte le partizioni di $S$. > > i) **Da Relazione a Partizione:** Se $\mathcal{R}$ è una relazione di equivalenza su $S$, allora l'insieme quoziente $S/\mathcal{R} = \{ [a]_{\mathcal{R}} \mid a \in S \}$ è una partizione di $S$. @@ -73,7 +73,7 @@ Questo teorema stabilisce un legame profondo e fondamentale tra due concetti app Ogni funzione definisce naturalmente una relazione di equivalenza sul suo dominio. -> [!THEOREM] Teorema (Pag 8): Relazione di Equivalenza Indotta da una Funzione +> [!info] Teorema (Pag 8): Relazione di Equivalenza Indotta da una Funzione > Siano $S, T$ insiemi non vuoti e $f: S \to T$ una funzione. > La relazione $\mathcal{R}_f$ su $S$ definita da: > $$ x \mathcal{R}_f y \iff f(x) = f(y) $$ @@ -230,7 +230,7 @@ e $$ 0 \le r < m $$ Il valore $r$ è denotato come $\text{rest}(a,m)$. -> [!THEOREM] Equivalenza tra Congruenza Modulo m e Uguaglianza dei Resti (Pag 26) +> [!info] Equivalenza tra Congruenza Modulo m e Uguaglianza dei Resti (Pag 26) > Siano $a, b \in \mathbb{Z}$ e $m \in \mathbb{Z}$ con $m \ge 2$. Allora: > $$ a \equiv b \pmod{m} \iff \text{rest}(a, m) = \text{rest}(b, m) $$ > In altre parole, due interi sono congrui modulo $m$ se e solo se hanno lo stesso resto nella divisione euclidea per $m$. @@ -294,7 +294,7 @@ Questo teorema implica che le classi di equivalenza modulo $m$ (per $m \ge 2$) s La relazione di congruenza modulo $m$ non è solo una relazione di equivalenza, ma è anche una **congruenza** rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione definite su $\mathbb{Z}$. Questo è un risultato cruciale. -> [!THEOREM] Compatibilità della Congruenza Modulo m con Addizione e Moltiplicazione +> [!info] Compatibilità della Congruenza Modulo m con Addizione e Moltiplicazione > Siano $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$ e $m \in \mathbb{Z}$ con $m \neq 0$. Se > * $a \equiv c \pmod{m}$ > * $b \equiv d \pmod{m}$ @@ -351,7 +351,7 @@ L'insieme $\mathbb{Z}_m$ con queste operazioni forma una nuova e fondamentale st --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 12 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 12 > * Il **Teorema Fondamentale** stabilisce una corrispondenza 1:1 tra **relazioni di equivalenza** su $S$ e **partizioni** di $S$. La partizione associata a $\mathcal{R}$ è l'insieme quoziente $S/\mathcal{R}$. La relazione associata a $\mathcal{F}$ è $x \mathcal{R}_{\mathcal{F}} y \iff x, y$ appartengono allo stesso blocco di $\mathcal{F}$. > * Ogni **funzione** $f: S \to T$ induce una relazione di equivalenza $\mathcal{R}_f$ su $S$ ($x \mathcal{R}_f y \iff f(x)=f(y)$). > * Esiste una **mappa quoziente iniettiva** $\bar{f}: S/\mathcal{R}_f \to T$ tale che $\bar{f}([a]) = f(a)$. @@ -359,7 +359,7 @@ L'insieme $\mathbb{Z}_m$ con queste operazioni forma una nuova e fondamentale st > * La **congruenza modulo m** ($a \equiv b \pmod{m} \iff m \mid (a-b)$) è una relazione di equivalenza su $\mathbb{Z}$. > * Per $m \ge 2$, $a \equiv b \pmod{m} \iff \text{rest}(a, m) = \text{rest}(b, m)$. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso il legame tra relazioni di equivalenza, classi di equivalenza e partizioni. > * Rifletti su come la relazione indotta da una funzione "raggruppa" gli elementi del dominio che hanno la stessa immagine. > * La congruenza modulo m è fondamentale. Il prossimo passo sarà studiare la struttura dell'insieme quoziente $\mathbb{Z}_m$ (l'anello delle classi di resto modulo m). diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 13.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 13.md" index 330f740..c412bee 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 13.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 13.md" @@ -58,7 +58,7 @@ La relazione di congruenza si "comporta bene" rispetto alla somma e al prodotto * Poiché $(ck + hd + mhk) \in \mathbb{Z}$, questo significa $m \mid (ab - cd)$. * Quindi, $ab \equiv cd \pmod{m}$. -> [!IMPORTANT] La compatibilità della congruenza con somma e prodotto è ciò che permette di definire le operazioni sull'insieme quoziente $\mathbb{Z}_m$. +> [!info] La compatibilità della congruenza con somma e prodotto è ciò che permette di definire le operazioni sull'insieme quoziente $\mathbb{Z}_m$. --- @@ -140,7 +140,7 @@ L'insieme delle classi di equivalenza della congruenza modulo $m$. ## 5. Campi $\mathbb{Z}_m$ e Caratteristica -> [!TEOREM] Teorema: $\mathbb{Z}_m$ è un Campo se e solo se $m$ è Primo +> [!info] Teorema: $\mathbb{Z}_m$ è un Campo se e solo se $m$ è Primo > * **Enunciato (Pag 11):** L'anello $(\mathbb{Z}_m, +, \cdot)$ è un **campo** se e solo se $m$ è un numero **primo**. > * **Idea Chiave:** Questo risultato collega la struttura algebrica di $\mathbb{Z}_m$ (essere un campo, dove la divisione per elementi non nulli è sempre possibile) a una proprietà fondamentale del modulo $m$ (essere primo). > * **Spiegazione (legata al Capitolo 6):** La dimostrazione completa si basa sulla caratterizzazione degli elementi invertibili in $\mathbb{Z}_m$. Un anello commutativo unitario è un campo se e solo se ogni suo elemento non nullo è invertibile. Come vedremo, un elemento $[a]_m$ (con $a \not\equiv 0 \pmod m$) è invertibile in $\mathbb{Z}_m$ se e solo se $\text{MCD}(a, m)=1$. @@ -152,7 +152,7 @@ L'insieme delle classi di equivalenza della congruenza modulo $m$. > * **Esempi:** $\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_5, \mathbb{Z}_7, \mathbb{Z}_{11}, \dots$ sono campi. $\mathbb{Z}_4, \mathbb{Z}_6, \mathbb{Z}_8, \mathbb{Z}_9, \mathbb{Z}_{10}, \dots$ non sono campi. -> [!INFO] Caratteristica di $\mathbb{Z}_m$ +> [!info] Caratteristica di $\mathbb{Z}_m$ > * **Definizione (Pag 11-12):** La **caratteristica** di un anello unitario $R$, indicata con $char(R)$, è il più piccolo intero positivo $k$ tale che la somma di $k$ copie dell'elemento neutro moltiplicativo $1_R$ sia uguale all'elemento neutro additivo $0_R$. Se un tale $k$ non esiste, la caratteristica è 0. > * **Proposizione:** Per ogni $m \ge 1$, la caratteristica dell'anello $\mathbb{Z}_m$ è $m$. > $$ char(\mathbb{Z}_m) = m $$ @@ -299,25 +299,25 @@ Risolvere equazioni della forma $\bar{a} \cdot X = \bar{b}$ in $\mathbb{Z}_m$. ## 9. Esercizi Assegnati (Pag 26 e Foto) -> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 26) +> [!example] Esercizio 1 (Pag 26) > Determinare gli elementi invertibili, i divisori dello zero e gli elementi nilpotenti di $\mathbb{Z}_{40}$. > *Suggerimento: $40 = 2^3 \cdot 5$. Usare le proposizioni basate su $\text{MCD}(a, 40)$ e sulla fattorizzazione.* -> [!EXERCISE] Esercizio 2 (Pag 26) +> [!example] Esercizio 2 (Pag 26) > Determinare l'inverso di $\bar{25}$ in $\mathbb{Z}_{192}$. > *Suggerimento: Calcolare $\text{MCD}(25, 192)$ con l'algoritmo di Euclide. Se è 1, usare l'algoritmo esteso a ritroso per trovare l'identità di Bézout $25h + 192k = 1$. L'inverso sarà $\bar{h}$.* -> [!EXERCISE] Esercizio 3 (dalla Foto 1) +> [!example] Esercizio 3 (dalla Foto 1) > Calcolare l'inverso di $\bar{16}$ in $\mathbb{Z}_{125}$. > *Suggerimento: Calcolare $\text{MCD}(16, 125)$ e usare l'algoritmo esteso.* -> [!EXERCISE] Esercizio 4 (dalla Foto 1) +> [!example] Esercizio 4 (dalla Foto 1) > Calcolare l'inverso di $\bar{17}$ in $\mathbb{Z}_{42}$. > *Suggerimento: Calcolare $\text{MCD}(17, 42)$ e usare l'algoritmo esteso.* --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 13 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 13 > * Abbiamo definito la **congruenza modulo m** e visto la sua compatibilità con somma e prodotto. > * Abbiamo costruito l'**anello quoziente** $(\mathbb{Z}_m, +, \cdot)$ delle classi di resto. > * Abbiamo visto che $\mathbb{Z}_m$ è un **campo** $\iff m$ è primo. @@ -326,7 +326,7 @@ Risolvere equazioni della forma $\bar{a} \cdot X = \bar{b}$ in $\mathbb{Z}_m$. > * Abbiamo introdotto gli elementi **nilpotenti** in $\mathbb{Z}_m$. > * Abbiamo studiato le **equazioni congruenziali** $ax \equiv b \pmod{m}$ e il teorema sulla loro risolubilità. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Fai pratica con l'algoritmo di Euclide esteso per trovare gli inversi in $\mathbb{Z}_m$. > * Risolvi gli esercizi assegnati su $\mathbb{Z}_{40}$ e $\mathbb{Z}_{192}$. > * Potremmo approfondire le proprietà degli omomorfismi di anelli o iniziare a studiare i sottogruppi e le loro proprietà. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 14.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 14.md" index 11afe77..80fec50 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 14.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 14.md" @@ -53,7 +53,7 @@ Lo zero è $\bar{0}$. ## 2. Esercizi su $\mathbb{Z}_m$ (Pag 2-3) -> [!EXERCISE] Esercizio (Pag 2) +> [!example] Esercizio (Pag 2) > Determinare (se possibile) un $m \in \mathbb{N}, m > 1$ tale che $\mathbb{Z}_m$ soddisfi le seguenti condizioni: > > * i) $\mathbb{Z}_m$ possiede esattamente 8 elementi invertibili e 6 divisori dello zero. @@ -205,7 +205,7 @@ Questo approccio formale mostra che il "trucco" della somma delle cifre per la d Si tratta di equazioni della forma $ax \equiv b \pmod{m}$. Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \mathbb{Z}_m$ tali che $[a]_m [x]_m = [b]_m$. -> [!TEOREM] Esistenza e Numero di Soluzioni per $ax \equiv b \pmod{m}$ +> [!info] Esistenza e Numero di Soluzioni per $ax \equiv b \pmod{m}$ > Sia data l'equazione congruenziale lineare: > $$ ax \equiv b \pmod{m} $$ > dove $a, b$ sono interi e $m$ è un intero positivo ($m > 1$). Sia $d = \text{MCD}(a, m)$. @@ -268,12 +268,12 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ ## 5. Esercizi Proposti (Pag 15-21) -> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 15) +> [!example] Esercizio 1 (Pag 15) > Risolvere $135x \equiv 10 \pmod{192}$. > * $d = \text{MCD}(135, 192)$. $192 = 135 \cdot 1 + 57$; $135 = 57 \cdot 2 + 21$; $57 = 21 \cdot 2 + 15$; $21 = 15 \cdot 1 + 6$; $15 = 6 \cdot 2 + 3$; $6 = 3 \cdot 2 + 0$. $d=3$. > * $b=10$. $d=3 \nmid b=10$. **Nessuna soluzione.** -> [!EXERCISE] Esercizio 2 (Pag 16-18) +> [!example] Esercizio 2 (Pag 16-18) > Risolvere $135x \equiv 12 \pmod{192}$ (*). > * $a=135, b=12, m=192$. $d = \text{MCD}(135, 192) = 3$. > * $d=3 \mid b=12$. Esistono $d=3$ soluzioni. @@ -298,7 +298,7 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ > * $x_2 = 20 + 2 \cdot 64 = 20 + 128 = 148$. > * Soluzioni: $[20]_{192}, [84]_{192}, [148]_{192}$. -> [!EXERCISE] Esercizio 3 (Pag 19-20) +> [!example] Esercizio 3 (Pag 19-20) > Risolvere $39x \equiv b \pmod{90}$ per $b \in \{10, 15, 17\}$. > * $a=39, m=90$. $d = \text{MCD}(39, 90)$. $90 = 39 \cdot 2 + 12$; $39 = 12 \cdot 3 + 3$; $12 = 3 \cdot 4 + 0$. $d=3$. > * Caso $b=10$: $d=3 \nmid b=10$. **Nessuna soluzione.** @@ -318,7 +318,7 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ > * $x_2 = 5 + 2 \cdot 30 = 65$. > * Soluzioni per $b=15$: $[5]_{90}, [35]_{90}, [65]_{90}$. -> [!EXERCISE] Esercizio 4 (Pag 21-23) +> [!example] Esercizio 4 (Pag 21-23) > In $\mathbb{Z}_{100}$, con operazione $a * b = \overline{7}ab + \overline{25}(a+b)$, determinare gli $a \in \mathbb{Z}_{100}$ tali che $a * \bar{4} = \bar{4}$. > * $a * \bar{4} = \overline{7}a\bar{4} + \overline{25}(a+\bar{4}) = \overline{28}a + \overline{25}a + \overline{100} = \overline{53}a + \bar{0} = \overline{53}a$. > * Vogliamo $\overline{53}a = \bar{4}$, cioè $53a \equiv 4 \pmod{100}$ (*). @@ -332,7 +332,7 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ > * Moltiplichiamo (*) per $c_1=17$: $a \equiv 17 \cdot 4 \pmod{100} \implies a \equiv 68 \pmod{100}$. > * Soluzione: $a = \overline{68}$. -> [!EXERCISE] Esercizio 5 (Pag 24-26) +> [!example] Esercizio 5 (Pag 24-26) > In $(\mathbb{Z}_{50}, *)$ con $a * b = \overline{3}ab$. > * Determinare l'elemento neutro $u$. > * Determinare $U(\mathbb{Z}_{50})$ rispetto a $*$. @@ -376,7 +376,7 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ > $221 = 4 \cdot 50 + 21$. $221 \equiv 21 \pmod{50}$. > * L'inverso di $\bar{9}$ è $\bar{c} = \overline{21}$. -> [!EXERCISE] Esercizio 6 (Pag 27-29) +> [!example] Esercizio 6 (Pag 27-29) > In $\mathbb{Z}_{10}$ con l'operazione $a \oplus b = a + \overline{6}b$. > * È associativa? È commutativa? > * Determinare elementi neutri a destra e a sinistra. @@ -423,14 +423,14 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 14 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 14 > * Abbiamo analizzato a fondo le proprietà dell'anello $\mathbb{Z}_m$: divisori dello zero ($\text{MCD}(a,m) \neq 1$), invertibili ($\text{MCD}(a,m) = 1$), nilpotenti ($rad(m) \mid a$), idempotenti ($m \mid a(a-1)$). > * Abbiamo visto che $\mathbb{Z}_p$ è un campo se $p$ è primo. > * Abbiamo derivato i **criteri di divisibilità** usando l'aritmetica modulare. > * Abbiamo studiato il teorema e il metodo risolutivo per le **equazioni congruenziali lineari** $ax \equiv b \pmod{m}$. > * Sono stati proposti diversi esercizi su $\mathbb{Z}_m$ e la risoluzione di congruenze. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso bene come determinare gli elementi speciali (div. zero, invertibili, etc.) in $\mathbb{Z}_m$. > * Fai pratica con la risoluzione delle equazioni congruenziali, specialmente con l'algoritmo di Euclide esteso. > * Il prossimo argomento, gli anelli dei polinomi, costruirà su queste fondamenta. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 15.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 15.md" index 1302038..585236e 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 15.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 15.md" @@ -96,7 +96,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. ## 3. Esercizi su Funzioni e Strutture -> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 7-10 - Funzione su $\mathbb{Z}_{15}$) +> [!example] Esercizio 1 (Pag 7-10 - Funzione su $\mathbb{Z}_{15}$) > Sia $f: \mathbb{Z}_{15} \to \mathbb{Z}_{15}$ definita da: > $$ f([a]_{15}) = \begin{cases} ([a]_{15})^{-1} & \text{se } [a]_{15} \in U(\mathbb{Z}_{15}) \\ [a]_{15} & \text{se } [a]_{15} \notin U(\mathbb{Z}_{15}) \end{cases} $$ > Determinare se $f$ è iniettiva e/o suriettiva (e quindi biettiva). @@ -123,7 +123,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. > * Per ogni $[y] \notin U(\mathbb{Z}_{15})$, vogliamo trovare $[x]$ t.c. $f([x])=[y]$. Se prendiamo $[x]=[y]$ (che non è in $U(\mathbb{Z}_{15})$), allora $f([x]) = [x] = [y]$. > * **Conclusione: $f$ è suriettiva.** -> [!EXERCISE] Esercizio 2 (Pag 11-13 - Struttura $(\mathbb{Z}_{15}, *)$) +> [!example] Esercizio 2 (Pag 11-13 - Struttura $(\mathbb{Z}_{15}, *)$) > Studiare la struttura $(\mathbb{Z}_{15}, *)$ dove $a * b = a + b + 2ab$. > * **Associatività e Commutatività:** Valgono perché le operazioni base ($+, \cdot$) in $\mathbb{Z}_{15}$ le hanno, e la forma è la stessa dell'Esercizio 4 della Lezione 8. > * **Elemento Neutro $u$:** @@ -143,7 +143,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. > * ... e così via. Bisogna testare tutti gli $a$. > * $U(\mathbb{Z}_{15}, *) = \{ a \in \mathbb{Z}_{15} \mid \text{MCD}(1+2a, 15)=1 \}$. -> [!EXERCISE] Esercizio 3 (Pag 14 - Funzione $f: \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_{15}$) +> [!example] Esercizio 3 (Pag 14 - Funzione $f: \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_{15}$) > È definita una funzione $f: (\bar{a}, \tilde{b}) \mapsto [a \cdot b]_{15}$? (dove $\bar{a} \in \mathbb{Z}_3, \tilde{b} \in \mathbb{Z}_5$). > * Una funzione deve essere ben definita. Se prendiamo rappresentanti diversi per la stessa classe, il risultato deve essere lo stesso. > * Sia $(\bar{a}, \tilde{b}) = (\bar{a'}, \tilde{b'})$. Questo significa $a \equiv a' \pmod 3$ e $b \equiv b' \pmod 5$. @@ -158,7 +158,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. ## 4. Anello Prodotto $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ (Esempio Pratico) -> [!EXERCISE] Esercizio 4 (Pag 17-22 - Studio $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$) +> [!example] Esercizio 4 (Pag 17-22 - Studio $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$) > Sia $R = \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$. Definiamo $+$ e $\cdot$ componente per componente: > $(\bar{a}, \tilde{b}) + (\bar{c}, \tilde{d}) = (\overline{a+c}, \widetilde{b+d})$ > $(\bar{a}, \tilde{b}) \cdot (\bar{c}, \tilde{d}) = (\overline{a \cdot c}, \widetilde{b \cdot d})$ @@ -219,7 +219,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. ## 5. Esercizio su Funzione e Invertibilità Modulare (Pag 23) -> [!EXERCISE] Esercizio 5 (Pag 23 - Funzione e Invertibilità Modulare) +> [!example] Esercizio 5 (Pag 23 - Funzione e Invertibilità Modulare) > Sia $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ data da $f(a, b) = 30a+b$. > 1. È iniettiva? È suriettiva? > 2. Sia $T = \{c \in \mathbb{Z} \mid 60 \le c \le 70\}$. Determinare gli elementi $(n,a) \in \mathbb{Z} \times T$ (con $n \ge 0$) tali che $f(n,a)$ sia invertibile modulo 45. @@ -259,7 +259,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. ## 6. Relazioni di Equivalenza (Cenno) -> [!EXERCISE] Esercizio 6 (Pag 15-16 - Relazione di Equivalenza) +> [!example] Esercizio 6 (Pag 15-16 - Relazione di Equivalenza) > Sia $A = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \le 7 \} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. > Sia $\rho$ una relazione di equivalenza su $A$. Sappiamo che: > * $0 \rho 7$ @@ -300,7 +300,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 10 (15) +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 10 (15) > * Abbiamo imparato a **risolvere congruenze lineari** $ax \equiv b \pmod n$. > * Abbiamo caratterizzato i **divisori dello zero** ($MCD(a,n) \neq 1$) e gli **elementi nilpotenti** (multipli di $\text{rad}(n)$) in $\mathbb{Z}_n$. > * Abbiamo svolto esercizi sulla **biettività di funzioni** definite su $\mathbb{Z}_n$. @@ -308,7 +308,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. > * Abbiamo introdotto il concetto di **relazione di equivalenza** e classi di equivalenza. > * Sono stati proposti numerosi **esercizi** per consolidare questi concetti. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Assicurati di padroneggiare la risoluzione delle congruenze lineari. > * Comprendi bene come identificare gli elementi speciali (invertibili, divisori dello zero, nilpotenti, idempotenti) negli anelli $\mathbb{Z}_n$ e negli anelli prodotto. > * Le relazioni di equivalenza sono fondamentali e portano al concetto di insiemi quoziente. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 16.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 16.md" index d85fc47..e2cfb8d 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 16.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 16.md" @@ -81,7 +81,7 @@ $a \operatorname{\delta} b \iff \forall p \in \mathbb{P}, (p \mid a \iff p \mid ## 2. Esercizi su Strutture Algebriche -> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 7) +> [!example] Esercizio 1 (Pag 7) > Sia $(\mathbb{Z}_{16}, *)$ con $a * b = \overline{3}ab$. > 1. Verificare che è un monoide commutativo. > 2. Determinare l'elemento neutro. @@ -280,7 +280,7 @@ Verificare per quali $n \in \mathbb{N}$ vale $n! \ge 2^n$. --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 16 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 16 > * Abbiamo definito le **Relazioni di Equivalenza** (riflessiva, simmetrica, transitiva) e visto come la congruenza modulo n ne sia un esempio. > * Abbiamo analizzato le **classi di equivalenza** e l'**insieme quoziente**. > * Abbiamo svolto un esercizio su una **struttura algebrica in $\mathbb{Z}_{16}$**. @@ -290,7 +290,7 @@ Verificare per quali $n \in \mathbb{N}$ vale $n! \ge 2^n$. > * Abbiamo esplorato il **Calcolo Combinatorio**: fattoriale, coefficiente binomiale, Identità di Pascal, numero di sottoinsiemi, numero di applicazioni iniettive, Binomio di Newton. > * Abbiamo dimostrato la disuguaglianza $n! \ge 2^n$ per $n=0$ e $n \ge 4$. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso bene come si dimostrano le proprietà di una relazione per verificarne l'equivalenza. > * Fai pratica con il calcolo di $\varphi(n)$ e l'applicazione del Teorema di Fermat-Eulero. > * Gli esercizi di calcolo combinatorio sono fondamentali per molte aree della matematica. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 17.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 17.md" index b97e23a..9d71c1d 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 17.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 17.md" @@ -23,7 +23,7 @@ Sia $S$ un insieme non vuoto e $\mathcal{R}$ una relazione binaria su $S$. 1. **Antiriflessiva (o Irriflessiva):** $\forall x \in S, \neg (x \mathcal{R}' x)$. 2. **Transitiva:** $\forall x, y, z \in S, (x \mathcal{R}' y \land y \mathcal{R}' z) \implies x \mathcal{R}' z$. * *Notazione comune:* Spesso si usa il simbolo $<$ (o $\prec$) per denotare una generica relazione d'ordine stretto. - > [!NOTE] Una relazione d'ordine stretto è automaticamente asimmetrica. Se fosse $x \mathcal{R}' y$ e $y \mathcal{R}' x$, per transitività avremmo $x \mathcal{R}' x$, il che contraddice l'antiriflessività. + > [!info] Una relazione d'ordine stretto è automaticamente asimmetrica. Se fosse $x \mathcal{R}' y$ e $y \mathcal{R}' x$, per transitività avremmo $x \mathcal{R}' x$, il che contraddice l'antiriflessività. [[Relazione d'ordine]] [[Relazione d'ordine stretto]] @@ -255,7 +255,7 @@ Sia $(S, \le)$ un insieme parzialmente ordinato. ## 7. Esercizi Proposti -> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 24 - Ordine tramite Funzione) +> [!example] Esercizio 1 (Pag 24 - Ordine tramite Funzione) > Siano $(S, \le_S)$ e $(T, \le_T)$ insiemi ordinati, e $f: S \to T$ una funzione. > Definiamo una relazione $\le_f$ su $S$ come: > $$ a \le_f b \iff (a=b) \lor (f(a) <_T f(b)) $$ @@ -279,14 +279,14 @@ Sia $(S, \le)$ un insieme parzialmente ordinato. > Determinare $\vec{f}(\mathbb{Z})$, $\min(\vec{f}(\mathbb{Z}))$. > Determinare $\overleftarrow{f}(\{1\})$. -> [!EXERCISE] Esercizio 2 (Pag 30 - DA FARE) +> [!example] Esercizio 2 (Pag 30 - DA FARE) > Sia $(P(S), \mathcal{R})$ con $S=\{a,b,c\}$ e $X \mathcal{R} Y \iff (X=Y) \lor (|X| < |Y|)$. > Trovare gli elementi minimali e massimali di $P(S) \setminus \{\{a,b\}, \{a,c\}\}$. > Disegnare il diagramma di Hasse di questo sottoinsieme ordinato. --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 17 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 17 > * Abbiamo definito le **relazioni d'ordine largo** (riflessiva, antisimmetrica, transitiva) e **stretto** (antiriflessiva, transitiva) e la loro corrispondenza. > * Un ordine è **totale** se tutti gli elementi sono confrontabili, altrimenti è **parziale**. > * I **Diagrammi di Hasse** visualizzano ordini finiti mostrando solo le relazioni di copertura. @@ -294,7 +294,7 @@ Sia $(S, \le)$ un insieme parzialmente ordinato. > * Un insieme è **ben ordinato** se ogni suo sottoinsieme non vuoto ha un minimo (implica ordine totale). > * Abbiamo definito **minoranti, maggioranti, infimum (MCD generalizzato) e supremum (mcm generalizzato)**. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Svolgi gli esercizi proposti per familiarizzare con i diversi tipi di ordine e gli elementi speciali. > * Le relazioni d'ordine sono fondamentali per strutture come i reticoli e le algebre di Boole. > * Le relazioni di equivalenza (che vedremo) sono l'altro tipo principale di relazione con proprietà strutturali importanti.} \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 18 (Grafi).md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 18 (Grafi).md" index b7665fc..db5919c 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 18 (Grafi).md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 18 (Grafi).md" @@ -186,7 +186,7 @@ Ricollegandoci al problema dei Ponti di Königsberg. --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione Bonus (Grafi) +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione Bonus (Grafi) > * Il problema dei **Ponti di Königsberg** ha dato origine alla teoria dei grafi. > * Abbiamo definito un **grafo semplice non orientato** $(V, L)$ e concetti come **grado**, **somma dei gradi** (pari al doppio dei lati), e il fatto che i **vertici di grado dispari sono in numero pari**. > * Abbiamo visto **grafi regolari** e **grafi completi** $K_n$. @@ -195,6 +195,6 @@ Ricollegandoci al problema dei Ponti di Königsberg. > * Un (multi)grafo ha un **circuito euleriano** $\iff$ è connesso e tutti i vertici hanno grado pari. > * Abbiamo accennato al **grafo complementare**. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * La teoria dei grafi è vasta! Si potrebbero esplorare grafi orientati, pesati, algoritmi su grafi (ricerca cammini minimi, alberi ricoprenti, flusso massimo), colorazione, isomorfismo tra grafi. > * Rifletti su come le proprietà delle relazioni binarie (riflessiva, simmetrica, transitiva) si collegano alla struttura dei grafi. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 19.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 19.md" index 49da3ca..e55723b 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 19.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 19.md" @@ -150,7 +150,7 @@ Per insiemi ordinati **finiti**. Si disegnano nodi per gli elementi e segmenti p AC --> SABC BC --> SABC ``` - > [!NOTE] Questo diagramma di Hasse illustra che ogni elemento di cardinalità $k$ è "minore" (secondo $\mathcal{R}$) di ogni elemento di cardinalità $k+1, k+2, \dots$. La relazione di copertura si ha tra livelli di cardinalità adiacenti. + > [!info] Questo diagramma di Hasse illustra che ogni elemento di cardinalità $k$ è "minore" (secondo $\mathcal{R}$) di ogni elemento di cardinalità $k+1, k+2, \dots$. La relazione di copertura si ha tra livelli di cardinalità adiacenti. * **Esempio $(\{2,3,4,5,6,8,10\}, \mathcal{R})$ con $a \mathcal{R} b \iff (a=b) \lor (\pi(a) \subset \pi(b))$, dove $\pi(n)$ è l'insieme dei divisori primi di $n$ (Pag 6):** * $\pi(2)=\{2\}$, $\pi(3)=\{3\}$, $\pi(4)=\{2\}$, $\pi(5)=\{5\}$, $\pi(6)=\{2,3\}$, $\pi(8)=\{2\}$, $\pi(10)=\{2,5\}$. @@ -178,7 +178,7 @@ Per insiemi ordinati **finiti**. Si disegnano nodi per gli elementi e segmenti p %% n4, n8 sono incomparabili (o uguali per pi) con gli altri in termini di copertura stretta %% e non coprono/sono coperti da altri in modo stretto basato su pi(x) subset pi(y) ``` - > [!NOTE] In questo diagramma, i nodi 4 e 8 sono isolati perché $\pi(4)=\pi(2)$ e $\pi(8)=\pi(2)$. La relazione $a \mathcal{R} b$ si verifica se $a=b$ (riflessività, non mostrata in Hasse) oppure se $\pi(a)$ è un *sottoinsieme proprio* di $\pi(b)$. Quindi $2 \mathcal{R} 4$ non vale in senso stretto, né $2 \mathcal{R} 8$. + > [!info] In questo diagramma, i nodi 4 e 8 sono isolati perché $\pi(4)=\pi(2)$ e $\pi(8)=\pi(2)$. La relazione $a \mathcal{R} b$ si verifica se $a=b$ (riflessività, non mostrata in Hasse) oppure se $\pi(a)$ è un *sottoinsieme proprio* di $\pi(b)$. Quindi $2 \mathcal{R} 4$ non vale in senso stretto, né $2 \mathcal{R} 8$. [[Diagramma di Hasse]] @@ -227,7 +227,7 @@ dove $<_T$ è l'ordine stretto associato a $\le_T$. Questa $\le_f$ è una relazi --- -> [!EXERCISE] Esercizio (Pag 29 - DA FARE) +> [!example] Esercizio (Pag 29 - DA FARE) > Sia $(P(S), \mathcal{R})$ con $S=\{a,b,c\}$ e $X \mathcal{R} Y \iff (X=Y) \lor (|X| < |Y|)$. > * Disegnare il diagramma di Hasse. > * Trovare gli elementi minimali e massimali. @@ -274,7 +274,7 @@ graph BT --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 19 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 19 > * Definite **relazioni d'ordine largo** e **stretto** e la loro corrispondenza. > * Distinzione tra ordine **totale** e **parziale**. > * I **Diagrammi di Hasse** visualizzano ordini finiti. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 2.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 2.md" index 8009ea3..57dbf21 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 2.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 2.md" @@ -12,7 +12,7 @@ Riprendiamo e approfondiamo alcune importanti leggi logiche. * **Non-Associatività dell'Implicazione:** - > [!WARNING] Attenzione! L'implicazione **NON** è associativa in generale. + > [!warning] Attenzione! L'implicazione **NON** è associativa in generale. > $(a \implies b) \implies c$ **NON** è logicamente equivalente a $a \implies (b \implies c)$. > [[Non-Associatività Implicazione]] @@ -73,12 +73,12 @@ Analizziamo le implicazioni numerate nelle tue note (Pag 4): 2. **(2) $(\neg p \land \neg q) \implies \neg r$** * Traduzione: "Se un numero NON è multiplo di 2 E NON è multiplo di 3, allora NON è multiplo di 6". * **Valore di Verità: VERO**. Se non è multiplo di 2, non può essere multiplo di 6. Se non è multiplo di 3, non può essere multiplo di 6. Quindi se non è né multiplo di 2 né di 3, a maggior ragione non è multiplo di 6. - * > [!NOTE] Attenzione: Questa **NON** è la contrapposta di (1)! La contrapposta di $(p \land q) \implies r$ è $\neg r \implies \neg (p \land q)$, che per De Morgan diventa $\neg r \implies (\neg p \lor \neg q)$. + * > [!info] Attenzione: Questa **NON** è la contrapposta di (1)! La contrapposta di $(p \land q) \implies r$ è $\neg r \implies \neg (p \land q)$, che per De Morgan diventa $\neg r \implies (\neg p \lor \neg q)$. 3. **(3) $(\neg p \lor \neg q) \implies \neg r$** * Traduzione: "Se un numero NON è multiplo di 2 OPPURE NON è multiplo di 3, allora NON è multiplo di 6". * **Valore di Verità: VERO**. Se non è multiplo di 2, non può essere multiplo di 6. Se non è multiplo di 3, non può essere multiplo di 6. Quindi, se vale almeno una delle due negazioni, non può essere multiplo di 6. - * > [!TIP] Questa è equivalente alla contrapposta di (1), cioè $\neg r \implies (\neg p \lor \neg q)$. Quindi, poiché (1) è vera, anche (3) deve essere vera. + * > [!tip] Questa è equivalente alla contrapposta di (1), cioè $\neg r \implies (\neg p \lor \neg q)$. Quindi, poiché (1) è vera, anche (3) deve essere vera. 4. **(4) $\neg r \implies (\neg p \land \neg q)$** * Traduzione: "Se un numero NON è multiplo di 6, allora NON è multiplo di 2 E NON è multiplo di 3". @@ -88,7 +88,7 @@ Analizziamo le implicazioni numerate nelle tue note (Pag 4): * Traduzione: "Se un numero NON è multiplo di 6, allora NON è multiplo di 2 OPPURE NON è multiplo di 3". * **Valore di Verità: VERO**. Questa è la contrapposta di (1) e anche equivalente a (3). Se un numero non è multiplo di 6, significa che gli manca almeno uno dei fattori primi 2 o 3. Quindi o non è multiplo di 2, o non è multiplo di 3 (o entrambi). -> [!SUMMARY] Analisi Argomento +> [!abstract] Analisi Argomento > * L'implicazione (1) è vera per definizione di multiplo di 6. > * L'implicazione (2) è vera, ma non è legata a (1) da regole semplici come la contrapposizione. > * L'implicazione (3) è vera ed è equivalente alla contrapposta di (1). @@ -140,7 +140,7 @@ Come si nega un'affermazione con $\forall$ o $\exists$? * Formula: $\neg (\exists x P(x)) \iff \forall x (\neg P(x))$ * Esempio: Negare "Esiste un numero reale il cui quadrato è negativo" ($\exists x (x^2 < 0)$) significa "Per tutti i numeri reali, il loro quadrato NON è negativo" ($\forall x \neg (x^2 < 0)$, cioè $\forall x (x^2 \ge 0)$). -> [!IMPORTANT] Queste regole sono fondamentali per fare dimostrazioni per assurdo o per capire cosa significa falsificare un'affermazione universale o esistenziale. +> [!info] Queste regole sono fondamentali per fare dimostrazioni per assurdo o per capire cosa significa falsificare un'affermazione universale o esistenziale. > [[Negazione dei Quantificatori]] ### 2.3 Ordine dei Quantificatori @@ -155,7 +155,7 @@ Consideriamo un predicato $\varphi(x, y)$ con due variabili. * **$\exists y \forall x \, \varphi(x, y)$**: "Esiste (almeno) un $y$ (fisso, lo stesso per tutti) tale che per ogni $x$, $\varphi(x, y)$ è vera." * Esempio (Universo $\mathbb{R}$): $\exists y \forall x (y > x)$. ("Esiste un numero reale y che è più grande di tutti i numeri reali x"). **FALSO**. Non esiste un numero reale massimo. -> [!WARNING] In generale: $\exists y \forall x \, \varphi(x, y) \implies \forall x \exists y \, \varphi(x, y)$ +> [!warning] In generale: $\exists y \forall x \, \varphi(x, y) \implies \forall x \exists y \, \varphi(x, y)$ > L'implicazione inversa **NON** vale! Se per ogni x trovo un y *diverso*, non è detto che esista un y *unico* che vada bene per tutti gli x. * Esempio dalle note (Pag 8): $\varphi(x,y)$ è $x \cdot y = x$. Universo $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$. @@ -180,7 +180,7 @@ Data una funzione $f: A \to B$. * Definizione Formale: $\vec{f}(X) = \{ f(x) \mid x \in X \}$ * Proprietà: $\vec{f}(X) \subseteq B$ -> [!NOTE] L'immagine $\vec{f}(X)$ contiene i *risultati* della funzione applicata agli elementi di $X$. +> [!info] L'immagine $\vec{f}(X)$ contiene i *risultati* della funzione applicata agli elementi di $X$. * Esempio (Pag 13): $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ definita da $f(x) = |x|$. Sia $X = \{-2, 5, -5\}$. * $\vec{f}(X) = \{ f(-2), f(5), f(-5) \} = \{ |-2|, |5|, |-5| \} = \{ 2, 5, 5 \} = \{2, 5\}$. (Ricorda: gli insiemi non hanno ripetizioni). @@ -200,7 +200,7 @@ Data una funzione $f: A \to B$. * Definizione Formale: $\overleftarrow{f}(Y) = \{ x \in A \mid f(x) \in Y \}$ * Proprietà: $\overleftarrow{f}(Y) \subseteq A$ -> [!NOTE] La controimmagine $\overleftarrow{f}(Y)$ contiene gli *input* della funzione che producono risultati appartenenti a $Y$. +> [!info] La controimmagine $\overleftarrow{f}(Y)$ contiene gli *input* della funzione che producono risultati appartenenti a $Y$. * Esempio (Pag 13): $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ definita da $f(x) = |x|$. Sia $Y = \{2, 5\}$. * $\overleftarrow{f}(Y) = \{ x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in \{2, 5\} \} = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x| = 2 \text{ oppure } |x| = 5 \}$ @@ -247,7 +247,7 @@ Una proprietà molto importante delle funzioni. $$ * **Spiegazione:** Se una funzione fosse non iniettiva, esisterebbero $x_1 \neq x_2$ con $f(x_1)=f(x_2)=b$. Ma allora la controimmagine di $b$, $\overleftarrow{f}(\{b\})$, conterrebbe sia $x_1$ che $x_2$, e quindi avrebbe cardinalità $\ge 2$. Viceversa, se la controimmagine di ogni $b$ ha al massimo un elemento, non possono esistere due $x$ distinti che mappano allo stesso $b$. -> [!TIP] Per dimostrare che $f$ è iniettiva, parti da $f(x_1)=f(x_2)$ e cerca di dedurre $x_1=x_2$. +> [!tip] Per dimostrare che $f$ è iniettiva, parti da $f(x_1)=f(x_2)$ e cerca di dedurre $x_1=x_2$. > Per dimostrare che $f$ NON è iniettiva, trova due $x_1 \neq x_2$ specifici tali che $f(x_1)=f(x_2)$. [[Funzione Iniettiva]] @@ -309,7 +309,7 @@ Un modo per "dividere" un insieme in pezzi disgiunti. 3. **I pezzi ricoprono tutto l'insieme:** L'unione di tutti i sottoinsiemi nella famiglia $\mathcal{F}$ deve dare l'insieme originale $S$. $$ \bigcup_{X \in \mathcal{F}} X = S $$ -> [!NOTE] Immagina di rompere un piatto $S$. I frammenti $X_i$ formano una partizione: nessun frammento è vuoto, due frammenti diversi non si sovrappongono (a parte i bordi, che qui ignoriamo), e rimettendo insieme tutti i frammenti ottieni il piatto originale. +> [!info] Immagina di rompere un piatto $S$. I frammenti $X_i$ formano una partizione: nessun frammento è vuoto, due frammenti diversi non si sovrappongono (a parte i bordi, che qui ignoriamo), e rimettendo insieme tutti i frammenti ottieni il piatto originale. * **Esempi (Pag 27):** Sia $S = \{a, b, c\}$. * **Partizioni Banali:** @@ -337,7 +337,7 @@ Un modo per "dividere" un insieme in pezzi disgiunti. --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 2 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 2 > * Abbiamo rivisto tautologie importanti come la **transitività** e la **contrapposizione** dell'implicazione, e l'equivalenza del **bicondizionale**. > * Abbiamo analizzato un'argomentazione logica concreta. > * Abbiamo imparato a **negare i quantificatori** ($\neg \forall \iff \exists \neg$, $\neg \exists \iff \forall \neg$). @@ -346,7 +346,7 @@ Un modo per "dividere" un insieme in pezzi disgiunti. > * Abbiamo definito la **funzione iniettiva** (diversi input $\implies$ diversi output) e visto diversi modi per caratterizzarla (definizione formale, contrapposta, negazione, tramite controimmagine di singleton). > * Abbiamo introdotto il concetto di **partizione** di un insieme (divisione in pezzi non vuoti e disgiunti che ricoprono tutto). -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso bene la differenza tra immagine e controimmagine. Prova a calcolarle per funzioni semplici. > * Fai pratica nel dimostrare se una funzione è iniettiva o meno. Trovare un controesempio è spesso il modo più rapido per dimostrare la non-iniettività. > * Rifletti sul legame tra partizioni e relazioni di equivalenza (lo vedremo presto!). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 20.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 20.md" index ff4238d..c10b3ff 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 20.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 20.md" @@ -277,7 +277,7 @@ Il diagramma di Hasse analizzato **non è un reticolo** perché la coppia $\{a, --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 20 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 20 > * Abbiamo rivisto le proprietà degli **insiemi ordinati** e analizzato esempi, inclusi i diagrammi di Hasse. > * Un **reticolo** $(L, \le)$ è un poset dove ogni coppia di elementi $\{a,b\}$ ammette $\inf\{a,b\}$ (denotato $a \land b$) e $\sup\{a,b\}$ (denotato $a \lor b$). > * Equivalentemente, un reticolo è una struttura algebrica $(L, \land, \lor)$ dove $\land, \lor$ sono binarie, associative, commutative e soddisfano le **leggi di assorbimento** (da cui deriva l'idempotenza). @@ -285,6 +285,6 @@ Il diagramma di Hasse analizzato **non è un reticolo** perché la coppia $\{a, > * $(P(S), \subseteq)$ è un reticolo con $A \land B = A \cap B$ e $A \lor B = A \cup B$. > * L'ordine basato sulla stretta inclusione delle cardinalità non è necessariamente un reticolo. z -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso l'equivalenza tra le due definizioni di reticolo. > * I reticoli possono avere ulteriori proprietà (distributivi, booleani, completi) che definiscono classi più specifiche di strutture. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 21.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 21.md" index 98d8660..3c284d3 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 21.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 21.md" @@ -11,7 +11,7 @@ Un reticolo può essere visto in due modi equivalenti, come due sentieri che por ### 1.1. Definizione tramite Insieme Parzialmente Ordinato (Poset) -> [!NOTE] Definizione (come Poset) +> [!info] Definizione (come Poset) > Un insieme parzialmente ordinato $(L, \le)$ è un **reticolo** se, per ogni coppia di elementi $a, b \in L$, esistono sempre: > 1. L'**estremo inferiore** (infimum) di $\{a, b\}$, denotato come $a \wedge b$ (letto "a meet b" o "a inf b"). > 2. L'**estremo superiore** (supremum) di $\{a, b\}$, denotato come $a \vee b$ (letto "a join b" o "a sup b"). @@ -24,7 +24,7 @@ Visualizza $a \wedge b$ come il punto d'incontro più "basso" raggiungibile da $ ### 1.2. Definizione tramite Struttura Algebrica -> [!NOTE] Definizione (come Struttura Algebrica) +> [!info] Definizione (come Struttura Algebrica) > Una struttura algebrica $(L, \wedge, \vee)$, dove $\wedge$ e $\vee$ sono operazioni binarie su $L$, è un **reticolo** se valgono le seguenti proprietà per tutti gli $a, b, c \in L$: > 1. **Leggi Associative**: > $$ (a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c) $$ @@ -46,7 +46,7 @@ La relazione d'ordine $\le$ e le operazioni $\wedge, \vee$ sono intimamente coll Per $a, b \in L$: $$ a \le b \iff a \wedge b = a \iff a \vee b = b $$ -> [!TIP] Suggerimento per la Memoria +> [!tip] Suggerimento per la Memoria > * $a \wedge b = a \implies a$ è "sotto" $b$ (o uguale), quindi $a \le b$. > * $a \vee b = b \implies b$ è "sopra" $a$ (o uguale), quindi $a \le b$. @@ -58,7 +58,7 @@ Vediamo alcuni esempi per rendere il concetto più concreto. ### 2.1. Insiemi Totalmente Ordinati -> [!EXAMPLE] Esempio: Insiemi Totalmente Ordinati +> [!example] Esempio: Insiemi Totalmente Ordinati > Se $(S, \le)$ è un **insieme totalmente ordinato** (cioè, per ogni $a, b \in S$, o $a \le b$ o $b \le a$), allora $S$ è un reticolo. > * **Perché?** Se $a \le b$: > * $a \wedge b = a$ (l'infimum è $a$) @@ -68,7 +68,7 @@ Vediamo alcuni esempi per rendere il concetto più concreto. ### 2.2. L'Insieme delle Parti $\mathcal{P}(S)$ -> [!EXAMPLE] Esempio: Insieme delle Parti +> [!example] Esempio: Insieme delle Parti > Sia $S$ un insieme. L'insieme delle sue parti, $\mathcal{P}(S)$, con la relazione di inclusione $\subseteq$, forma un reticolo. > Qui: > * $A \wedge B = A \cap B$ (l'intersezione è il più grande sottoinsieme comune) @@ -76,7 +76,7 @@ Vediamo alcuni esempi per rendere il concetto più concreto. > > Quindi, $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup)$ è la struttura algebrica del reticolo. -> [!IMPORTANT] Attenzione! +> [!info] Attenzione! > **Non tutti i reticoli sono totalmente ordinati!** > Pensa a $\mathcal{P}(\{1,2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$. > Qui, $\{1\}$ e $\{2\}$ non sono confrontabili (né $\{1\} \subseteq \{2\}$ né $\{2\} \subseteq \{1\}$). @@ -90,7 +90,7 @@ Vediamo alcuni esempi per rendere il concetto più concreto. Alcuni reticoli hanno degli elementi "speciali" che fungono da minimo e massimo assoluto. -> [!NOTE] Definizione: Reticolo Limitato +> [!info] Definizione: Reticolo Limitato > Un reticolo $L$ si dice **limitato** se possiede: > * Un **elemento minimo assoluto**, denotato con $0$ (o $0_L$), tale che $0 \le a$ per ogni $a \in L$. > * Un **elemento massimo assoluto**, denotato con $1$ (o $1_L$), tale che $a \le 1$ per ogni $a \in L$. @@ -113,11 +113,11 @@ Immagina $0$ come il "punto di partenza" o il "pavimento" del reticolo, e $1$ co * $0_{\mathbb{D}_n} = 1$ (1 divide tutti gli altri divisori) * $1_{\mathbb{D}_n} = n$ (n è divisibile per tutti gli altri divisori) -> [!TIP] Reticoli Finiti +> [!tip] Reticoli Finiti > **Ogni reticolo finito è limitato!** > Se hai un numero finito di elementi, puoi sempre trovare un minimo e un massimo (potrebbero non essere unici se non fosse un reticolo, ma in un reticolo l'esistenza di inf/sup per ogni coppia garantisce un minimo e massimo globale unici). -> [!CAUTION] Attenzione con $(\mathbb{N}^*, |)$ +> [!warning] Attenzione con $(\mathbb{N}^*, |)$ > L'insieme di **tutti** i numeri naturali positivi $(\mathbb{N}^*, |)$ con la divisibilità è un reticolo: > * $a \wedge b = \text{MCD}(a,b)$ > * $a \vee b = \text{mcm}(a,b)$ @@ -170,7 +170,7 @@ I diagrammi di Hasse sono un modo fantastico per visualizzare i reticoli finiti. ``` Il tuo "Reticolo Trizettangolo golo" (M3 o diamante) è corretto. -> [!QUESTION] Proviamo a Riflettere +> [!question] Proviamo a Riflettere > Guardando i diagrammi M3 e N5 (quello standard), riesci a trovare coppie di elementi e calcolare il loro $\wedge$ (meet) e $\vee$ (join)? > Ad esempio, in M3, cosa sono $a \wedge b$ e $a \vee b$? @@ -180,7 +180,7 @@ I diagrammi di Hasse sono un modo fantastico per visualizzare i reticoli finiti. Proprio come gli insiemi hanno sottoinsiemi e i gruppi hanno sottogruppi, i reticoli hanno i sottoreticoli! -> [!NOTE] Definizione: Sottoreticolo +> [!info] Definizione: Sottoreticolo > Sia $(L, \wedge_L, \vee_L)$ un reticolo e sia $A \subseteq L$ un sottoinsieme non vuoto di $L$. > $A$ è un **sottoreticolo** di $L$ se $A$ è chiuso rispetto alle operazioni $\wedge_L$ e $\vee_L$. > Cioè, per ogni $x, y \in A$: @@ -210,7 +210,7 @@ Come per altre strutture algebriche, possiamo parlare di "uguaglianza struttural ### 6.1. Isomorfismo di Insiemi Parzialmente Ordinati (Poset) -> [!NOTE] Definizione: Isomorfismo di Poset +> [!info] Definizione: Isomorfismo di Poset > Siano $(S, \le_S)$ e $(T, \le_T)$ due poset. Una funzione $f: S \to T$ è un **isomorfismo di poset** se: > 1. $f$ è **biettiva** (corrispondenza uno-a-uno e suriettiva). > 2. $f$ **preserva l'ordine**: per ogni $a, b \in S$, $a \le_S b \iff f(a) \le_T f(b)$. @@ -218,14 +218,14 @@ Come per altre strutture algebriche, possiamo parlare di "uguaglianza struttural ### 6.2. Isomorfismo di Reticoli -> [!NOTE] Definizione: Isomorfismo di Reticoli +> [!info] Definizione: Isomorfismo di Reticoli > Siano $(L, \wedge_L, \vee_L)$ e $(M, \wedge_M, \vee_M)$ due reticoli. Una funzione $f: L \to M$ è un **isomorfismo di reticoli** se: > 1. $f$ è **biettiva**. > 2. $f$ **preserva le operazioni** (è un omomorfismo): > * $f(a \wedge_L b) = f(a) \wedge_M f(b)$ > * $f(a \vee_L b) = f(a) \vee_M f(b)$ -> [!IMPORTANT] Isomorfismo di Poset vs. Isomorfismo di Reticoli +> [!info] Isomorfismo di Poset vs. Isomorfismo di Reticoli > Se $L$ e $M$ sono reticoli, un isomorfismo di poset $f: L \to M$ è **sempre** anche un isomorfismo di reticoli, e viceversa. > Cioè, se $f$ è biettiva e $a \le_L b \iff f(a) \le_M f(b)$, allora automaticamente $f$ preserverà le operazioni $\wedge$ e $\vee$. > @@ -246,7 +246,7 @@ Come per altre strutture algebriche, possiamo parlare di "uguaglianza struttural Questa è una proprietà molto importante, specialmente per le algebre di Boole! -> [!NOTE] Definizione: Reticolo Complementato +> [!info] Definizione: Reticolo Complementato > Un reticolo $(L, \wedge, \vee)$ si dice **complementato** se: > 1. $L$ è **limitato** (possiede $0$ e $1$). > 2. Per ogni elemento $a \in L$, esiste almeno un **complemento** $\bar{a} \in L$ tale che: @@ -285,7 +285,7 @@ Questa è una proprietà molto importante, specialmente per le algebre di Boole! * Se $\bar{a}=3$: $\text{mcm}(2,3)=6 \ne 12$. * Nessun elemento funziona. $2$ non ha complemento. -> [!CAUTION] $(\mathbb{N}^*, |)$ (pag. 21) +> [!warning] $(\mathbb{N}^*, |)$ (pag. 21) > Questo reticolo non è limitato superiormente, quindi per definizione non può essere complementato. Le tue note $(10,9)=1, (10,3)=1$ mostrano che puoi trovare elementi il cui MCD è $1$ (il $0_L$), ma questo è solo metà del lavoro. Devi anche avere $\text{mcm}(10, \bar{a}) = 1_L$, ma $1_L$ non esiste! --- @@ -352,7 +352,7 @@ $$ a \ \sigma \ b \iff (a=b) \text{ oppure } (a|b \text{ propriamente (cioè } a * La domanda se questo $L$ forma un reticolo sotto $\sigma$ è complessa. Richiederebbe di verificare l'esistenza di inf e sup per tutte le coppie usando l'ordine $\sigma$ all'interno di $L$. * I tuoi appunti a pag. 28 dicono che $M = \{5,10,9,16,81,256\}$ con $f(16)=f(2^4)=4, f(81)=f(3^4)=4, f(256)=f(2^8)=8$ **NON è un reticolo**. Questo suggerisce che tali strutture non sono facilmente reticoli. -> [!TIP] Affrontare Concetti Complessi +> [!tip] Affrontare Concetti Complessi > Luca, la parte sull'ordine $\sigma$ è un po' un rompicapo! È un ottimo esercizio per capire come si possono definire ordini non standard. Se ti senti bloccato, concentrati sulla definizione di $f$ e $\sigma$, prova con coppie piccole, e non preoccuparti se l'analisi completa di un insieme come $L$ o $M$ sembra difficile. È normale! --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 22.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 22.md" index fee7ad6..e2a7d84 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 22.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 22.md" @@ -3,7 +3,7 @@ **Docente:** Maria Rosaria Celentani **Argomenti Principali:** Sottoanelli, Reticoli (Dualità, Complementati, Distributivi, Booleani), Algebre di Boole, Anelli Booleani. -> [!TIP] Ricorda! +> [!tip] Ricorda! > * Usa il tuo **dizionario visuale** per i simboli che incontriamo. Se un simbolo è nuovo o ostico, disegnalo e associalo a un'immagine o a una parola chiave che ti aiuti a ricordarlo! > * Non esitare a **fare pause** quando ne senti il bisogno. Il cervello impara meglio quando è riposato. > * Se un concetto sembra un mostro, spezzettiamolo in parti più piccole. Insieme, possiamo domarlo! @@ -16,7 +16,7 @@ Ricordi cosa sia un **anello** $(A, +, \cdot)$? È una struttura algebrica con d Ora, immaginiamo di trovare un "piccolo mondo" all'interno di un anello più grande, che si comporta esso stesso come un anello. Quello è un **sottoanello**! -> [!NOTE] Definizione: Sottoanello +> [!info] Definizione: Sottoanello > Sia $(A, +, \cdot)$ un anello e sia $B$ un sottoinsieme **non vuoto** di $A$ ($B \subseteq A$, $B \neq \emptyset$). > Diciamo che $(B, +, \cdot)$ è un **sottoanello** di $A$ se soddisfa queste condizioni: > 1. **$B$ è stabile (o chiuso) rispetto a entrambe le operazioni $+$ e $\cdot$**: @@ -55,7 +55,7 @@ Questo insieme $B$ è un sottoanello di $A$? Vediamo! **Conclusione:** Sì, $B$ è un sottoanello di $M_{2,2}(\mathbb{R})$! -> [!NOTE] Un dettaglio menzionato negli appunti (pag. 1): +> [!info] Un dettaglio menzionato negli appunti (pag. 1): > $I_A \neq I_B$ in generale. $I_A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. > L'elemento $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ agisce come identità moltiplicativa *all'interno* di $B$ (se $B$ fosse un anello unitario a sé stante), ma non è l'identità di $A$. > In questo specifico esempio $B$, l'elemento $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ è l'unità di $B$. @@ -67,7 +67,7 @@ Questo insieme $B$ è un sottoanello di $A$? Vediamo! Passiamo ora ai **reticoli**. Immagina una struttura dove gli elementi sono "ordinati" in qualche modo, e per ogni coppia di elementi possiamo trovare un "punto d'incontro superiore" e un "punto d'incontro inferiore". -> [!NOTE] Definizione: Reticolo (con relazione d'ordine $\le$) +> [!info] Definizione: Reticolo (con relazione d'ordine $\le$) > Un insieme parzialmente ordinato $(L, \le)$ (cioè $\le$ è riflessiva, antisimmetrica, transitiva) si dice un **reticolo** se, per ogni coppia di elementi $a, b \in L$, esistono: > 1. L'**estremo inferiore** (o *meet* o *infimum*), indicato con $a \land b$ (leggi "a meet b" o "a inf b"). È il più grande elemento che è $\le a$ e $\le b$. > 2. L'**estremo superiore** (o *join* o *supremum*), indicato con $a \lor b$ (leggi "a join b" o "a sup b"). È il più piccolo elemento che è $\ge a$ e $\ge b$. @@ -78,7 +78,7 @@ Passiamo ora ai **reticoli**. Immagina una struttura dove gli elementi sono "ord Questo è un concetto super potente e elegante! È come guardare un'immagine allo specchio. -> [!IMPORTANT] Principio di Dualità per Reticoli +> [!info] Principio di Dualità per Reticoli > Se un enunciato (una proprietà, un teorema) è valido per **tutti** i reticoli, allora anche l'enunciato **duale** è valido per tutti i reticoli. > > Come si ottiene l'enunciato duale? @@ -100,7 +100,7 @@ Sia $(L, \le)$ un reticolo. * **Enunciato $a$**: Se esiste $0_L$ (elemento minimo), allora $0_L \le a, \forall a \in L$. * **Enunciato duale $a^*$**: Se esiste $1_L$ (elemento massimo), allora $1_L \ge a, \forall a \in L$. -> [!TIP] Pensa alla musica! Se hai una melodia che sale, la sua "duale" potrebbe essere una melodia che scende in modo speculare. Il principio di dualità ci dice che se certe armonie funzionano con la melodia originale, armonie "speculari" funzioneranno con la melodia duale. +> [!tip] Pensa alla musica! Se hai una melodia che sale, la sua "duale" potrebbe essere una melodia che scende in modo speculare. Il principio di dualità ci dice che se certe armonie funzionano con la melodia originale, armonie "speculari" funzioneranno con la melodia duale. ### 2.2. Esempio Pratico: Una Relazione d'Ordine su $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ (Pagine 4-6) @@ -161,7 +161,7 @@ Non tutti i reticoli sono uguali! Alcuni hanno proprietà speciali. ### 3.1. Reticoli Limitati (Pagina 8, 10) -> [!NOTE] Definizione: Reticolo Limitato +> [!info] Definizione: Reticolo Limitato > Un reticolo $(L, \le)$ (o $(L, \land, \lor)$) si dice **limitato** se possiede: > * Un elemento minimo, chiamato **zero** ($0_L$ o $0$), tale che $0_L \le x$ per ogni $x \in L$. > * Un elemento massimo, chiamato **uno** ($1_L$ o $1$), tale che $x \le 1_L$ per ogni $x \in L$. @@ -175,7 +175,7 @@ Non tutti i reticoli sono uguali! Alcuni hanno proprietà speciali. Questa è come trovare l' "opposto" o il "contrario" di un elemento, ma in senso reticolare. -> [!NOTE] Definizione: Reticolo Complementato +> [!info] Definizione: Reticolo Complementato > Un reticolo **limitato** $(L, \le, 0_L, 1_L)$ si dice **complementato** se per ogni elemento $a \in L$ esiste almeno un **complemento** $\bar{a} \in L$ tale che: > $$ > a \land \bar{a} = 0_L \quad \text{e} \quad a \lor \bar{a} = 1_L @@ -230,7 +230,7 @@ $0_L \land 1_L = 0_L$ e $0_L \lor 1_L = 1_L$. La distributività è una proprietà che conosciamo bene dall'aritmetica (la moltiplicazione distribuisce sulla somma). Nei reticoli è simile. -> [!NOTE] Definizione: Reticolo Distributivo +> [!info] Definizione: Reticolo Distributivo > Un reticolo $(L, \land, \lor)$ si dice **distributivo** se valgono le seguenti leggi distributive (basta che ne valga una, l'altra segue per dualità): > 1. $a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$ per ogni $a,b,c \in L$. (meet distribuisce su join) > 2. $a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$ per ogni $a,b,c \in L$. (join distribuisce su meet) @@ -249,7 +249,7 @@ I "cattivi ragazzi" che impediscono la distributività sono due reticoli specifi $(a \lor b) \land (a \lor c) = b \land 1 = b$. (Assumendo $a \lor b = b$ perché $a [!IMPORTANT] Teorema Fondamentale per i Reticoli Distributivi (Pagina 13) +> [!info] Teorema Fondamentale per i Reticoli Distributivi (Pagina 13) > Un reticolo $L$ è **distributivo** se e solo se **non contiene** alcun sottoreticolo isomorfo a $M_3$ o $N_5$. > (I disegni a pag. 13 mostrano $N_5$ e $M_3$). > Questo è un risultato molto potente per "diagnosticare" la distributività guardando la struttura del reticolo! @@ -271,7 +271,7 @@ Il diagramma a pagina 15 mostra una struttura che non è un reticolo. Probabilme **Unicità del Complemento (Pagina 16):** -> [!IMPORTANT] Proposizione +> [!info] Proposizione > Sia $(L, \land, \lor)$ un reticolo **distributivo** e **limitato**. Se un elemento $a \in L$ possiede un complemento, allora tale complemento è **unico**. > > **Dimostrazione (idea):** @@ -325,7 +325,7 @@ $x \lor (z \land y) = 2 \lor (3 \land 4) = 2 \lor \text{MCD}(3,4) = 2 \lor 1 = 2 $(x \lor z) \land (x \lor y) = (\text{mcm}(2,3)) \land (\text{mcm}(2,4)) = 6 \land 4 = \text{MCD}(6,4) = 2$. Questo esempio non mostra la non-distributività. -> [!CAUTION] L'esempio della non distributività di $(\mathbb{N}, |)$ va chiarito meglio. Il reticolo dei divisori di un numero $n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$ è distributivo se e solo se tutti gli $a_i \le 1$ oppure $k \le 2$. Quindi $D_{30}$ (divisori di $2 \cdot 3 \cdot 5$) è distributivo. $D_{12}$ (divisori di $2^2 \cdot 3$) è distributivo. $D_{p^2 q r}$ non lo è. Ad esempio $D_{60}$ (divisori di $2^2 \cdot 3 \cdot 5$) contiene un $M_3$ (ad es. $\{2, 6, 10\}$ non è un $M_3$, i tre elementi "intermedi" sono $2\cdot3=6$, $2\cdot5=10$, $2\cdot2=4$). Gli elementi $2, 6, 10$ non sono in $M_3$. +> [!warning] L'esempio della non distributività di $(\mathbb{N}, |)$ va chiarito meglio. Il reticolo dei divisori di un numero $n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$ è distributivo se e solo se tutti gli $a_i \le 1$ oppure $k \le 2$. Quindi $D_{30}$ (divisori di $2 \cdot 3 \cdot 5$) è distributivo. $D_{12}$ (divisori di $2^2 \cdot 3$) è distributivo. $D_{p^2 q r}$ non lo è. Ad esempio $D_{60}$ (divisori di $2^2 \cdot 3 \cdot 5$) contiene un $M_3$ (ad es. $\{2, 6, 10\}$ non è un $M_3$, i tre elementi "intermedi" sono $2\cdot3=6$, $2\cdot5=10$, $2\cdot2=4$). Gli elementi $2, 6, 10$ non sono in $M_3$. > Il reticolo $D_{pqr}$ (come $D_{30}$) è isomorfo a $\mathcal{P}(\{p,q,r\})$ ed è distributivo. > Il reticolo $D_{p^2q}$ (come $D_{12}$) è distributivo. > Un reticolo $L$ è non distributivo se contiene $M_3$ o $N_5$. @@ -335,7 +335,7 @@ Questo esempio non mostra la non-distributività. Questi sono i reticoli "perfetti": distributivi E complementati. -> [!NOTE] Definizione: Reticolo Booleano +> [!info] Definizione: Reticolo Booleano > Un reticolo $(L, \le)$ si dice **booleano** se: > 1. È **distributivo**. > 2. È **complementato**. @@ -350,7 +350,7 @@ $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ è un reticolo booleano! * $A \cup A^c = S = 1_L$. L'appunto dice: "non è 'un' esempio, è L'ESEMPIO". Questo sottolinea la sua importanza! -> [!IMPORTANT] Teorema di Rappresentazione per Reticoli Booleani Finiti (Pagina 19) +> [!info] Teorema di Rappresentazione per Reticoli Booleani Finiti (Pagina 19) > Sia $(L, \le)$ un reticolo booleano. > * $(L, \le)$ è isomorfo a un sottoreticolo di $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ per qualche insieme $S$. (Questo $S$ è l'insieme degli atomi di $L$ o degli ideali primi/massimali). > * Se $L$ è **finito**, allora esiste un insieme finito $S$ tale che $(L, \le)$ è isomorfo a $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$. @@ -372,7 +372,7 @@ La nota $|L|=2^n$ con un X sopra ($|L|=2^n \mathbb{X}$) forse significa che *non Strettamente collegate ai reticoli booleani, le algebre di Boole formalizzano le operazioni. -> [!NOTE] Definizione: Algebra di Boole +> [!info] Definizione: Algebra di Boole > Un'**algebra di Boole** è una struttura $(A, \land, \lor, ', 0, 1)$ dove: > * $A$ è un insieme non vuoto. > * $\land$ (meet) e $\lor$ (join) sono operazioni binarie su $A$. @@ -407,7 +407,7 @@ Viceversa, un'algebra di Boole $(A, \land, \lor, ', 0, 1)$ definisce un reticolo $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup, (\cdot)^c, \emptyset, S)$ è l'algebra di Boole per eccellenza. * Operazione unaria $'$: $A' = S \setminus A$ (complemento insiemistico). -> [!IMPORTANT] Teorema di Rappresentazione di Stone per Algebre di Boole Finite (Pagina 23) +> [!info] Teorema di Rappresentazione di Stone per Algebre di Boole Finite (Pagina 23) > Ogni algebra di Boole **finita** $(A, \land, \lor, ', 0, 1)$ è isomorfa all'algebra di Boole $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup, (\cdot)^c, \emptyset, S)$ per qualche insieme finito $S$. > (Questo è essenzialmente lo stesso teorema visto per i reticoli booleani finiti, ma formulato per le algebre). @@ -417,7 +417,7 @@ $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup, (\cdot)^c, \emptyset, S)$ è l'algebra di Boole pe Ora colleghiamo questi concetti con gli anelli! -> [!NOTE] Definizione: Anello Booleano +> [!info] Definizione: Anello Booleano > Un **anello** $(A, +, \cdot)$ (solitamente unitario, cioè con un'identità moltiplicativa $1_A$) si dice **booleano** se ogni suo elemento è **idempotente**, cioè: > $$ > a^2 = a \cdot a = a \quad \text{per ogni } a \in A @@ -448,7 +448,7 @@ forma un anello booleano $(\mathcal{P}(S), \Delta, \cap)$. * Verifichiamo l'idempotenza: $A^2 = A \cap A = A$. Sì! L'appunto dice: "CNO se considero $(\mathcal{P}(S), \Delta, \cup)$ non vale la distributività". Qui si riferisce alla distributività di $\cup$ rispetto a $\Delta$, che non è una delle leggi degli anelli. L'anello è $(\mathcal{P}(S), \Delta, \cap)$. La distributività richiesta è $\cap$ su $\Delta$: $A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C)$. Questa è vera. -> [!IMPORTANT] Teorema di Rappresentazione per Anelli Booleani Finiti (Pagina 26) +> [!info] Teorema di Rappresentazione per Anelli Booleani Finiti (Pagina 26) > Ogni anello booleano **finito** $(A, +, \cdot)$ è isomorfo a un anello $(\mathcal{P}(S), \Delta, \cap)$ per qualche insieme finito $S$. > (Se $A$ non è finito, è isomorfo a un sottoanello di $(\mathcal{P}(S), \Delta, \cap)$). @@ -508,7 +508,7 @@ Ricorda che $a \cdot b = a \land b$. Quindi $a \le b \iff a \land b = a$, che è ## Riepilogo della Lezione: Punti Chiave -> [!SUMMARY] Cosa abbiamo imparato oggi: +> [!abstract] Cosa abbiamo imparato oggi: > * Un **sottoanello** è un sottoinsieme di un anello che è esso stesso un anello con le stesse operazioni. > * Un **reticolo** è un insieme parzialmente ordinato dove ogni coppia di elementi ha un estremo superiore (join $\lor$) e un estremo inferiore (meet $\land$). > * Il **Principio di Dualità** ci permette di ottenere nuovi teoremi validi scambiando $\le/\ge$ e $\land/\lor$. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 23 (Polinomi).md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 23 (Polinomi).md" index bf335b5..d1c9879 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 23 (Polinomi).md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 23 (Polinomi).md" @@ -21,7 +21,7 @@ ## Definizioni di Base sui Polinomi -> [!NOTE] Definizione: Anello dei Polinomi +> [!info] Definizione: Anello dei Polinomi > Dato un anello commutativo unitario $(A, +, \cdot)$, l'insieme dei polinomi a coefficienti in $A$ nell'indeterminata $x$, indicato con $A[x]$, è l'insieme di tutte le espressioni formali del tipo: > $$ > f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n @@ -41,7 +41,7 @@ Possiamo sommare e moltiplicare i polinomi in modo molto intuitivo. ### Somma di Polinomi -> [!TIP] Come sommare due polinomi +> [!tip] Come sommare due polinomi > Per sommare due polinomi, $f(x)$ e $g(x)$, semplicemente **sommiamo i coefficienti dei termini con lo stesso grado**. Se $f(x) = a_0 + a_1x + \dots$ e $g(x) = b_0 + b_1x + \dots$, allora: @@ -49,7 +49,7 @@ $$ f(x) + g(x) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + (a_2 + b_2)x^2 + \dots $$ -> [!EXAMPLE] Esempio di Somma +> [!example] Esempio di Somma > * $f(x) = 3 - 5x^2 + 7x^4$ > * $g(x) = 1 + 3x + 4x^2 - 2x^3$ > @@ -59,7 +59,7 @@ $$ Il prodotto è un po' più elaborato, ma segue la regola "tutti per tutti". -> [!NOTE] Formula del Prodotto +> [!info] Formula del Prodotto > Se $f(x) \cdot g(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \dots$, il coefficiente $c_k$ si ottiene sommando tutti i prodotti $a_i \cdot b_j$ tali che $i+j=k$. > $$ > c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j @@ -75,7 +75,7 @@ Con queste operazioni, $(A[x], +, \cdot)$ diventa a sua volta un **anello commut #tag/definizione #tag/teorema -> [!IMPORTANT] Definizione: Grado di un Polinomio +> [!info] Definizione: Grado di un Polinomio > Il **grado** di un polinomio non nullo $f(x)$, indicato con $\text{gr}(f)$ o $\delta(f)$, è il **massimo esponente** della $x$ con un coefficiente diverso da zero. > * Il coefficiente di grado massimo è detto **coefficiente direttore**. > * Per convenzione, il grado del polinomio nullo è $-\infty$. @@ -92,7 +92,7 @@ Questa seconda proprietà diventa un'uguaglianza in un caso molto importante. ### Teorema: Additività dei Gradi (DIM) -> [!NOTE] Teorema dei Gradi +> [!info] Teorema dei Gradi > Siano $f(x), g(x) \in A[x]$. > 1. $\text{gr}(f \cdot g) \le \text{gr}(f) + \text{gr}(g)$ > 2. Se $A$ è un **dominio di integrità**, allora vale l'uguaglianza: @@ -118,7 +118,7 @@ Questa seconda proprietà diventa un'uguaglianza in un caso molto importante. $$ **Q.E.D.** (Quod Erat Demonstrandum - Come Volevasi Dimostrare) -> [!WARNING] Cosa succede se A non è un dominio di integrità? +> [!warning] Cosa succede se A non è un dominio di integrità? > Prendiamo l'anello $\mathbb{Z}_6[x]$. $\mathbb{Z}_6$ non è un dominio perché $\bar{2} \cdot \bar{3} = \bar{6} = \bar{0}$. > * $f(x) = \bar{5} + \bar{2}x$ (grado 1) > * $g(x) = \bar{1} + \bar{3}x$ (grado 1) @@ -133,7 +133,7 @@ Questa seconda proprietà diventa un'uguaglianza in un caso molto importante. ### Unità in A[x] -> [!IMPORTANT] Teorema sulle Unità +> [!info] Teorema sulle Unità > Se $A$ è un **dominio di integrità**, allora le unità dell'anello dei polinomi $A[x]$ sono esattamente le unità dell'anello dei coefficienti $A$. > $$ > \mathcal{U}(A[x]) = \mathcal{U}(A) @@ -143,7 +143,7 @@ Questa seconda proprietà diventa un'uguaglianza in un caso molto importante. ### Elementi Associati -> [!NOTE] Definizione: Elementi Associati +> [!info] Definizione: Elementi Associati > Due polinomi $f(x)$ e $g(x)$ si dicono **associati** (e si scrive $f \sim g$) se esiste un'unità $c \in \mathcal{U}(A[x])$ tale che: > $$ > f(x) = c \cdot g(x) @@ -153,16 +153,16 @@ Questa seconda proprietà diventa un'uguaglianza in un caso molto importante. ### Polinomi Monici -> [!TIP] Definizione: Polinomio Monico +> [!tip] Definizione: Polinomio Monico > Un polinomio si dice **monico** se il suo coefficiente direttore è **1**. -> [!EXAMPLE] Esempi di Polinomi Monici +> [!example] Esempi di Polinomi Monici > * $x^2 - 3x + 5$ è monico. > * $2x^3 + x - 1$ **non** è monico. **Il Superpotere dei Polinomi Monici:** Se il coefficiente direttore di un polinomio $f(x)$ è un'unità, allora $f(x)$ è associato a un **unico** polinomio monico. Basta moltiplicare $f(x)$ per l'inverso del suo coefficiente direttore! -> [!QUESTION] Esercizio Guidato +> [!question] Esercizio Guidato > Verificare se in $\mathbb{Z}_{42}[x]$ il polinomio $f(x) = \overline{25}x^3 + \overline{7}x - \overline{2}$ è associato a un polinomio monico. > 1. **Domanda:** Il coefficiente direttore, $\overline{25}$, è un'unità in $\mathbb{Z}_{42}$? > 2. **Controllo:** Un elemento $\bar{a}$ è invertibile in $\mathbb{Z}_n$ se e solo se $\text{MCD}(a, n) = 1$. @@ -192,7 +192,7 @@ Proprio come per i numeri interi, possiamo fare la divisione con resto anche per ### Teorema: Divisione Euclidea tra Polinomi (DIM) -> [!NOTE] Teorema della Divisione +> [!info] Teorema della Divisione > Siano $f(x), g(x) \in A[x]$, con $g(x) \neq 0$. Se il **coefficiente direttore di $g(x)$ è un'unità** in $A$, allora esistono e sono **unici** due polinomi $q(x)$ (quoziente) e $r(x)$ (resto) tali che: > $$ > f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x) @@ -230,7 +230,7 @@ La dimostrazione si fa per **induzione sul grado di $f(x)$**. $$ * Abbiamo trovato il nostro quoziente $q(x)$ e il nostro resto $r(x)$, e il resto ha il grado giusto. L'esistenza è provata. -> [!EXAMPLE] Esempio di Divisione +> [!example] Esempio di Divisione > Dividiamo $f(x) = 2x^3 + 7x^2 - 5x + 3$ per $g(x) = x-1$ in $\mathbb{Q}[x]$. > ``` > 2x^2 + 9x + 4 <-- q(x) @@ -261,12 +261,12 @@ $$ \tilde{f}(c) = a_0 + a_1c + a_2c^2 + \dots + a_nc^n $$ -> [!IMPORTANT] Definizione: Radice (o Zero) +> [!info] Definizione: Radice (o Zero) > Un elemento $c \in A$ è una **radice** (o **zero**) del polinomio $f(x)$ se $\tilde{f}(c) = 0$. ### Lemma del Resto (DIM) -> [!NOTE] Lemma del Resto +> [!info] Lemma del Resto > Il resto della divisione di un polinomio $f(x)$ per un binomio $(x-c)$ è uguale al valore che il polinomio assume in $c$, cioè $\tilde{f}(c)$. > $$ > \text{rest}(f(x), x-c) = \tilde{f}(c) @@ -296,7 +296,7 @@ $$ ### Teorema di Ruffini (DIM) -> [!NOTE] Teorema di Ruffini +> [!info] Teorema di Ruffini > Un elemento $c \in A$ è una radice di $f(x)$ se e solo se il polinomio $(x-c)$ divide $f(x)$. > $$ > \tilde{f}(c) = 0 \iff (x-c) \mid f(x) @@ -310,7 +310,7 @@ $$ ### Teorema di Ruffini Generalizzato -> [!NOTE] Teorema di Ruffini Generalizzato +> [!info] Teorema di Ruffini Generalizzato > Se $A$ è un **dominio di integrità** e $c_1, c_2, \dots, c_k$ sono $k$ radici **distinte** di $f(x)$, allora il prodotto $(x-c_1)(x-c_2)\dots(x-c_k)$ divide $f(x)$. --- @@ -319,13 +319,13 @@ $$ #tag/funzioni -> [!QUESTION] Se due polinomi generano la stessa funzione, sono per forza lo stesso polinomio? +> [!question] Se due polinomi generano la stessa funzione, sono per forza lo stesso polinomio? La risposta, sorprendentemente, è... **dipende dall'anello A!** ### Teorema: Identità dei Polinomi (DIM) -> [!NOTE] Teorema sull'Identità dei Polinomi +> [!info] Teorema sull'Identità dei Polinomi > Siano $f(x), g(x) \in A[x]$ dove $(A, +, \cdot)$ è un **campo**. > 1. Se $A$ è un **campo infinito** (come $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$), allora: > $$ @@ -339,7 +339,7 @@ La risposta, sorprendentemente, è... **dipende dall'anello A!** * **Caso Infinito:** Se $\tilde{f} = \tilde{g}$, allora il polinomio differenza $h(x) = f(x) - g(x)$ ha la proprietà che $\tilde{h}(c) = 0$ per ogni $c \in A$. Ma un polinomio non nullo può avere solo un numero finito di radici (al massimo il suo grado). Poiché $A$ è infinito, l'unico modo per avere infinite radici è che il polinomio $h(x)$ sia il polinomio nullo. Se $h(x)=0$, allora $f(x)=g(x)$. * **Caso Finito:** Se $\tilde{f} = \tilde{g}$, allora il polinomio differenza $h(x) = f(x) - g(x)$ ha come radici tutti gli $m$ elementi del campo $A$. Per il Teorema di Ruffini Generalizzato, il prodotto $(x-c_1)\dots(x-c_m)$ deve dividere $h(x)$. Si può dimostrare che questo prodotto è esattamente il "polinomio fondamentale" $x^m - x$. -> [!EXAMPLE] Esempio in un Campo Finito +> [!example] Esempio in un Campo Finito > In $\mathbb{Z}_3[x]$, consideriamo $f(x) = x^3+1$ e $g(x) = x+1$. > * $f \neq g$ come polinomi formali. > * Valutiamo le funzioni $\tilde{f}$ e $\tilde{g}$: @@ -360,23 +360,23 @@ La risposta, sorprendentemente, è... **dipende dall'anello A!** Questi concetti sono l'analogo dei numeri primi per i polinomi. -> [!IMPORTANT] Definizione: Polinomio Irriducibile +> [!info] Definizione: Polinomio Irriducibile > Un polinomio non costante $f(x) \in A[x]$ si dice **irriducibile** su $A$ se non può essere scritto come prodotto di due polinomi non costanti di grado inferiore. > Formalmente, se $f(x) = g(x) \cdot h(x)$, allora o $g(x)$ o $h(x)$ deve essere un'unità (cioè un polinomio costante invertibile). **Spiegazione Semplice:** Un polinomio è irriducibile se non puoi "spezzarlo" in polinomi più semplici. È un "atomo" polinomiale. Se è possibile spezzarlo, si dice **riducibile**. -> [!TIP] Irriducibilità e Radici +> [!tip] Irriducibilità e Radici > Se un polinomio $f(x)$ di grado 2 o 3 **ha una radice** in un campo $A$, allora è **riducibile** su $A$. > **Perché?** Se $c$ è una radice, per Ruffini $(x-c)$ divide $f(x)$. Quindi $f(x) = (x-c) \cdot q(x)$. Poiché $\text{gr}(f) > 1$, anche $q(x)$ non sarà costante. Abbiamo spezzato $f(x)$! > -> > [!WARNING] Attenzione! +> > [!warning] Attenzione! > > Il viceversa non è sempre vero! Un polinomio può essere riducibile anche senza avere radici. > > Esempio: $f(x) = (x^2+1)^2$ in $\mathbb{R}[x]$ non ha radici reali, ma è chiaramente riducibile. ### Proposizione: Irriducibilità per gradi 2 e 3 (DIM) -> [!NOTE] Proposizione +> [!info] Proposizione > Sia $A$ un **campo** e $f(x) \in A[x]$ un polinomio di grado 2 o 3. Allora: > $$ > f(x) \text{ è irriducibile} \iff f(x) \text{ non ha radici in } A @@ -409,7 +409,7 @@ Ogni intero $a \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 1, -1\}$ è un numero primo oppure ### Teorema di Fattorizzazione Unica per Polinomi (DIM) -> [!NOTE] Teorema di Fattorizzazione Unica +> [!info] Teorema di Fattorizzazione Unica > Sia $A$ un **campo**. Ogni polinomio non costante $f(x) \in A[x]$ è irriducibile oppure può essere scritto in modo **unico** (a meno dell'ordine e di fattori associati) come prodotto di polinomi irriducibili. #### Dimostrazione (Cenno) @@ -426,7 +426,7 @@ La dimostrazione è molto simile a quella per i numeri interi e si basa su due p ## Punti Chiave della Lezione -> [!TIP] Riepilogo Super-Sintetico +> [!tip] Riepilogo Super-Sintetico > * I **polinomi** formano un anello $A[x]$ con le operazioni di somma e prodotto. > * Il **grado** è l'esponente più alto. Se i coefficienti sono in un **dominio di integrità**, il grado del prodotto è la somma dei gradi. > * La **divisione con resto** è possibile se il coefficiente direttore del divisore è un'unità. @@ -438,7 +438,7 @@ La dimostrazione è molto simile a quella per i numeri interi e si basa su due p ## Domande per la Riflessione -> [!QUESTION] Mettiti alla Prova! +> [!question] Mettiti alla Prova! > 1. Perché è così importante che l'anello dei coefficienti $A$ sia un dominio di integrità per il teorema dei gradi? Cosa "si rompe" se non lo è? > 2. Prendi il polinomio $f(x) = x^2 + 1$. È irriducibile su $\mathbb{R}[x]$? E su $\mathbb{C}[x]$? (Suggerimento: cerca le radici!) > 3. Sai spiegare a parole tue la differenza tra un polinomio *formale* $f(x)$ e la sua *funzione* associata $\tilde{f}$? Perché questa distinzione è importante nei campi finiti? \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 3.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 3.md" index cb77c27..f152d93 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 3.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 3.md" @@ -15,7 +15,7 @@ Vediamo come negare formule più complesse e analizziamo qualche altra tautologi * Quindi, $\neg (p \implies q) \iff \neg (\neg p \lor q)$. * Applicando De Morgan: $\neg (\neg p \lor q) \iff (\neg (\neg p) \land \neg q)$. * Applicando la doppia negazione: $(\neg (\neg p) \land \neg q) \iff (p \land \neg q)$. - > [!IMPORTANT] Regola di Negazione dell'Implicazione: + > [!info] Regola di Negazione dell'Implicazione: > $$ \neg (p \implies q) \iff p \land \neg q $$ > **Spiegazione:** Negare "Se piove allora prendo l'ombrello" significa affermare che "Piove E non prendo l'ombrello". È l'unico caso che rende falsa l'implicazione originale. * [[Negazione Implicazione]] @@ -59,7 +59,7 @@ Vediamo come negare formule più complesse e analizziamo qualche altra tautologi * **Esercizio 8 (Pag 1):** L'equivalenza $((p \implies q) \implies (q \implies r \land s)) \iff ((\neg q) \lor (r \land s))$ è una tautologia? * Analizziamo il lato sinistro: $(p \implies q) \implies (q \implies (r \land s))$ * Questo **NON** sembra una tautologia standard o facilmente riconducibile. Potrebbe essere un errore di trascrizione o un'affermazione da verificare con una tavola di verità (che sarebbe molto lunga!). Sembra improbabile che sia una tautologia generale senza ulteriori condizioni su p, q, r, s. La nota "è tautologia?" suggerisce che sia una domanda, non un'affermazione. - > [!QUESTION] Verifica: Questa equivalenza è corretta o era una domanda da verificare? A prima vista non sembra una tautologia standard. + > [!question] Verifica: Questa equivalenza è corretta o era una domanda da verificare? A prima vista non sembra una tautologia standard. --- @@ -67,7 +67,7 @@ Vediamo come negare formule più complesse e analizziamo qualche altra tautologi ### 2.1 Errore Comune sull'Iniettività (Pag 2) -> [!WARNING] Attenzione a non confondere la definizione di funzione con quella di iniettività! +> [!warning] Attenzione a non confondere la definizione di funzione con quella di iniettività! > * Per **definizione di funzione**, se prendi lo stesso input $x$, otterrai sempre lo stesso output $f(x)$. Quindi, l'implicazione $x = y \implies f(x) = f(y)$ è **SEMPRE VERA** per qualsiasi funzione. > * La **definizione di iniettività** richiede l'implicazione inversa: $f(x) = f(y) \implies x = y$. Questo **NON** è vero per tutte le funzioni, ma solo per quelle iniettive. @@ -76,7 +76,7 @@ Vediamo come negare formule più complesse e analizziamo qualche altra tautologi Sia $f: A \to B$ una funzione e $X \subseteq A$. * $\vec{f}(\emptyset) = \emptyset$. (L'immagine del vuoto è vuota). * Se $X \neq \emptyset$, è possibile che $\vec{f}(X) \neq \emptyset$? **Sì, sempre!** Se $X$ contiene almeno un elemento $x$, allora $\vec{f}(X)$ contiene almeno $f(x)$, quindi non è vuoto. - > [!NOTE] La nota $\vec{f}(X) \neq \emptyset$ nella pagina 3 sembra ridondante se $X \neq \emptyset$. Forse si intendeva qualcos'altro? + > [!info] La nota $\vec{f}(X) \neq \emptyset$ nella pagina 3 sembra ridondante se $X \neq \emptyset$. Forse si intendeva qualcos'altro? * $\vec{f}(A)$ è l'**immagine dell'intera funzione**, spesso denotata $Im(f)$. * In generale, $\vec{f}(A) \subseteq B$. * $\vec{f}(A) = B$ se e solo se $f$ è **suriettiva**. (Lo vedremo meglio tra poco). @@ -113,7 +113,7 @@ Un'altra proprietà fondamentale delle funzioni. 2. Tramite Controimmagine di Singleton: $f$ è suriettiva $\iff \forall b \in B, \overleftarrow{f}(\{b\}) \neq \emptyset$. (La controimmagine di ogni singolo elemento del codominio non è mai vuota). 3. Tramite Controimmagine di Sottoinsiemi Non Vuoti: $f$ è suriettiva $\iff \forall C \subseteq B \text{ con } C \neq \emptyset, \text{ si ha } \overleftarrow{f}(C) \neq \emptyset$. (Se prendi un qualsiasi sottoinsieme non vuoto del codominio, ci deve essere almeno un elemento nel dominio la cui immagine cade in quel sottoinsieme). -> [!TIP] Per dimostrare che $f$ è suriettiva, prendi un generico $b \in B$ e dimostra che esiste un $a \in A$ (spesso trovando una formula per $a$ in termini di $b$) tale che $f(a)=b$. +> [!tip] Per dimostrare che $f$ è suriettiva, prendi un generico $b \in B$ e dimostra che esiste un $a \in A$ (spesso trovando una formula per $a$ in termini di $b$) tale che $f(a)=b$. > Per dimostrare che $f$ NON è suriettiva, trova uno specifico $b \in B$ per cui non esiste nessun $a \in A$ tale che $f(a)=b$. [[Funzione Suriettiva]] @@ -237,7 +237,7 @@ Due funzioni $f$ e $g$ sono **uguali** ($f=g$) se e solo se soddisfano **tutte e --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 3 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 3 > * Abbiamo praticato la **negazione** di formule logiche complesse (implicazioni, quantificatori). > * Abbiamo chiarito un **errore comune sull'iniettività**. > * Abbiamo esplorato le **proprietà dell'immagine e della controimmagine**, collegandole alla suriettività. @@ -248,7 +248,7 @@ Due funzioni $f$ e $g$ sono **uguali** ($f=g$) se e solo se soddisfano **tutte e > * Abbiamo definito la **restrizione** $f|_C$ e il **prolungamento** di funzioni, vedendo come si rapportano all'iniettività. > * Abbiamo definito la **funzione identità** $id_A$. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Assicurati di saper distinguere bene tra iniettività e suriettività e di conoscere le loro definizioni e caratterizzazioni. > * Prova a creare tu degli esempi di funzioni e a determinarne iniettività e suriettività. > * Rifletti: una funzione può essere sia iniettiva che suriettiva? (Sì, si chiama biettiva!). Può non essere nessuna delle due? (Sì!). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 4.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 4.md" index 425d4ff..7b23a81 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 4.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 4.md" @@ -25,7 +25,7 @@ * $\{\{a\}\} \in P(S)$ (l'insieme contenente l'elemento {a} è un sottoinsieme di S, quindi è un elemento di P(S)) * $\{\{a\}\} \subseteq P(S)$ (questo è vero perché l'unico elemento di $\{\{a\}\}$, cioè $\{a\}$, è anche un elemento di $P(S)$). -> [!WARNING] Fai molta attenzione alla differenza tra $x$ e $\{x\}$ e tra $\in$ e $\subseteq$, specialmente con $P(S)$! +> [!warning] Fai molta attenzione alla differenza tra $x$ e $\{x\}$ e tra $\in$ e $\subseteq$, specialmente con $P(S)$! [[Insieme delle Parti]] @@ -62,7 +62,7 @@ Ricordiamo la definizione: Una **partizione** di $S \neq \emptyset$ è una famig * $\mathcal{H} = \{A, E, F, G\}$ **NON è una partizione** perché $A \cap E = \emptyset$, $A \cap F = \emptyset$, $A \cap G = \emptyset$, $E \cap F = \emptyset$, ecc. MA $A \cup E \cup F \cup G = \mathbb{Z}$. Tutti gli elementi sono non vuoti. Tutti disgiunti? No, $A$ contiene $2, -2$, ecc. $E=\{1\}$, $F=\{-1\}$, $G=\{0\}$. Sembra che $A = \mathbb{Z} \setminus \{-1, 0, 1\}$. In questo caso, $A, E, F, G$ sono disgiunti, non vuoti e la loro unione è $\mathbb{Z}$. **SÌ, $\mathcal{H}$ è una partizione.** * La nota originale $\{A, C\}$ con $A=\{a | a^2>1\}$ e $C=\{a | a^2 \le 1\}$ **è una partizione** se interpretiamo $A = \mathbb{Z} \setminus \{-1, 0, 1\}$ e $C = \{-1, 0, 1\}$. I pezzi sono non vuoti, disgiunti e la loro unione è $\mathbb{Z}$. -> [!CAUTION] L'insieme vuoto $\emptyset$ e l'insieme totale $S$ **non** sono MAI partizioni di $S$ (se $|S|>1$). $\emptyset$ non è una famiglia di sottoinsiemi non vuoti. $\{S\}$ è una partizione (banale), ma $S$ da solo non è una famiglia di sottoinsiemi. +> [!warning] L'insieme vuoto $\emptyset$ e l'insieme totale $S$ **non** sono MAI partizioni di $S$ (se $|S|>1$). $\emptyset$ non è una famiglia di sottoinsiemi non vuoti. $\{S\}$ è una partizione (banale), ma $S$ da solo non è una famiglia di sottoinsiemi. [[Partizione di un insieme]] @@ -121,7 +121,7 @@ Come combinare due funzioni in sequenza. 2. Poiché $f(x)$ appartiene anche a $C$ (per l'ipotesi $\vec{f}(A) \subseteq C$), puoi applicare $g$ a $f(x)$. 3. Il risultato è $g(f(x)) \in D$. -> [!WARNING] L'ordine è importante! $g \circ f$ significa: prima applichi $f$, poi applichi $g$. Il dominio della composizione è il dominio della *prima* funzione applicata ($f$). Il codominio della composizione è il codominio della *seconda* funzione applicata ($g$). La condizione $\vec{f}(A) \subseteq C$ è essenziale perché l'output di $f$ deve essere un input valido per $g$. +> [!warning] L'ordine è importante! $g \circ f$ significa: prima applichi $f$, poi applichi $g$. Il dominio della composizione è il dominio della *prima* funzione applicata ($f$). Il codominio della composizione è il codominio della *seconda* funzione applicata ($g$). La condizione $\vec{f}(A) \subseteq C$ è essenziale perché l'output di $f$ deve essere un input valido per $g$. * **Esempio 1 (Pag 14):** * $S = \{x \subseteq{Z} \mid x ≠ \emptyset \text{ e finito}\}$? Sembra una definizione strana. Forse $S = P_{fin}(\mathbb{Z}) \setminus \{\emptyset\}$ (sottoinsiemi finiti non vuoti di $\mathbb{Z}$). @@ -177,7 +177,7 @@ Quando una funzione può essere "annullata" da un'altra. 1. $f^{-1} \circ f = id_A$ (Comporre $f$ e poi $f^{-1}$ riporta all'identità sul dominio originale A). 2. $f \circ f^{-1} = id_B$ (Comporre $f^{-1}$ e poi $f$ riporta all'identità sul codominio originale B). -> [!theorem] Teorema Fondamentale: Invertibilità e Biettività (Pag 19) +> [!info] Teorema Fondamentale: Invertibilità e Biettività (Pag 19) > Una funzione $f: A \to B$ è **completamente invertibile se e solo se è biettiva**. > > * **Costruzione dell'Inversa:** Se $f$ è biettiva, la sua inversa $f^{-1}: B \to A$ è definita associando a ogni $b \in B$ l'**unico** elemento $a \in A$ tale che $f(a)=b$. L'esistenza e unicità di tale $a$ è garantita dalla biettività di $f$ (poiché $|\overleftarrow{f}(\{b\})|=1$ per ogni $b \in B$). @@ -298,7 +298,7 @@ Introduciamo i concetti base dell'algebra. * $\overleftarrow{f}(\mathcal{P}(S) \times \mathcal{P}(S))$ --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 4 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 4 > * Abbiamo chiarito la distinzione tra $\in$ e $\subseteq$ in relazione a $P(S)$. > * Abbiamo rivisto la definizione di **partizione** con esempi. > * Abbiamo definito la **funzione biettiva** (iniettiva + suriettiva) e la sua caratterizzazione tramite controimmagine di singleton. @@ -309,6 +309,6 @@ Introduciamo i concetti base dell'algebra. > * Abbiamo definito le **strutture algebriche**. > * Abbiamo definito la **proprietà associativa**. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Prova a svolgere gli esercizi proposti. Sono ottimi per consolidare i concetti di iniettività, suriettività, immagine e controimmagine. > * Rifletti sulle diverse strutture algebriche menzionate. Quali proprietà (oltre all'associatività) potrebbero avere le loro operazioni (es. commutatività, elemento neutro, inverso)? Questo ci porterà ai gruppi! \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 5.md" index 701f954..4584453 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 5.md" @@ -108,7 +108,7 @@ Esistono concetti più deboli di invertibilità: * $g: B \to A$ è **inversa sinistra** di $f: A \to B$ se $g \circ f = id_A$. Si può dimostrare che $f$ ammette inversa sinistra $\iff$ $f$ è **iniettiva**. L'inversa sinistra, se esiste, non è necessariamente unica. * $h: B \to A$ è **inversa destra** di $f: A \to B$ se $f \circ h = id_B$. Si può dimostrare che $f$ ammette inversa destra $\iff$ $f$ è **suriettiva**. L'inversa destra, se esiste, non è necessariamente unica. -> [!IMPORTANT] Una funzione è invertibile (cioè ha un'inversa "bilatera") se e solo se è **biettiva**, e in tal caso l'inversa è unica. L'esistenza di solo una delle due (sinistra o destra) è legata solo all'iniettività o solo alla suriettività. +> [!info] Una funzione è invertibile (cioè ha un'inversa "bilatera") se e solo se è **biettiva**, e in tal caso l'inversa è unica. L'esistenza di solo una delle due (sinistra o destra) è legata solo all'iniettività o solo alla suriettività. * Esempio (Pag 11): $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ con $f(x)=2x+1$. * Iniettiva? $2x+1=2y+1 \implies 2x=2y \implies x=y$. **SÌ**. @@ -214,7 +214,7 @@ Sia $(S, *)$ un semigruppo (o anche solo una struttura con operazione binaria). --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 5 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 5 > * La composizione di funzioni **non è commutativa** ma **è associativa**. > * Una funzione è **invertibile se e solo se è biettiva**, e l'inversa è **unica**. > * L'esistenza di inverse sinistre/destre è legata all'iniettività/suriettività. @@ -223,6 +223,6 @@ Sia $(S, *)$ un semigruppo (o anche solo una struttura con operazione binaria). > * L'**elemento neutro**, se esiste in un semigruppo, è unico. > * Un **monoide** è un semigruppo con elemento neutro. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Prova a svolgere gli esercizi proposti sulla biettività/inversa e sull'associatività. Sono fondamentali per prendere confidenza. > * Il prossimo passo logico in algebra è introdurre l'ultimo ingrediente per i gruppi: l'**elemento inverso**. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 6.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 6.md" index faa1115..8096f10 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 6.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 6.md" @@ -50,7 +50,7 @@ * $d_{11} = (\text{riga 1 di B}) \cdot (\text{colonna 1 di A}) = (7 \cdot 1) + (8 \cdot 4) = 7 + 32 = 39$ * $d_{12} = (\text{riga 1 di B}) \cdot (\text{colonna 2 di A}) = (7 \cdot 2) + (8 \cdot 5) = 14 + 40 = 54$ * ... e così via. - > [!IMPORTANT] Si vede subito che $A \cdot B \neq B \cdot A$ (non sono nemmeno delle stesse dimensioni in questo caso!). Il prodotto tra matrici **non è commutativo**. + > [!info] Si vede subito che $A \cdot B \neq B \cdot A$ (non sono nemmeno delle stesse dimensioni in questo caso!). Il prodotto tra matrici **non è commutativo**. * **Matrici Quadrate e Monoide (Pag 6):** Consideriamo l'insieme delle matrici quadrate $n \times n$ a coefficienti reali, $M_{n,n}(\mathbb{R})$ o $M_n(\mathbb{R})$. * Il prodotto tra matrici è un'operazione binaria interna su $M_n(\mathbb{R})$. @@ -259,7 +259,7 @@ La struttura algebrica fondamentale. --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 6 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 6 > * Abbiamo visto che l'esponenziazione non è associativa. > * Abbiamo definito e praticato il **prodotto tra matrici**, notando che è associativo ma non commutativo, e che $(M_n(\mathbb{R}), \cdot, I_n)$ è un monoide. > * Abbiamo definito i **monoidi commutativi**. @@ -270,7 +270,7 @@ La struttura algebrica fondamentale. > * Abbiamo finalmente definito la struttura di **Gruppo** (associatività, neutro, inverso per tutti gli elementi) e di **Gruppo Abeliano** (gruppo con operazione commutativa). > * Abbiamo visto numerosi esempi di gruppi e monoidi. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Assicurati di aver ben compreso la definizione di Gruppo e le sue proprietà costitutive. > * Rivedi gli esempi di gruppi e monoidi, cercando di capire perché alcuni lo sono e altri no. > * Il prossimo passo sarà esplorare le proprietà fondamentali dei gruppi e introdurre i sottogruppi. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 7.md" index 385161d..1dd7e9a 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 7.md" @@ -240,7 +240,7 @@ Concetto specifico degli anelli $(A, +, \cdot)$. --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 7 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 7 > * Abbiamo rivisto la definizione di **Gruppo** e classificato esempi comuni. > * Abbiamo visto come calcolare l'**inversa di una matrice 2x2**. > * Abbiamo analizzato in dettaglio due **strutture algebriche** verificando associatività, commutatività, neutro e invertibili. @@ -251,7 +251,7 @@ Concetto specifico degli anelli $(A, +, \cdot)$. > * Abbiamo definito gli **elementi cancellabili** e visto che invertibile $\implies$ cancellabile. > * Abbiamo definito i **divisori dello zero** in un anello e visto che $a \neq 0$ è divisore dello zero $\iff$ $a$ non è cancellabile (rispetto a $\cdot$). -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso la definizione di Anello e le sue proprietà. > * Rifletti sulla differenza tra cancellabilità e invertibilità. > * Il prossimo passo potrebbe essere l'introduzione di Domini di Integrità e Campi, che sono anelli con proprietà aggiuntive legate ai divisori dello zero e agli inversi moltiplicativi. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8 Alt.Vers..md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8 Alt.Vers..md" index f6c49a5..5021aa7 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8 Alt.Vers..md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8 Alt.Vers..md" @@ -85,28 +85,28 @@ Sia $(S, *)$ una struttura con operazione binaria. Un elemento $a \in S$ è: ## 3. Esercizi Proposti (come da note e suggerimento) -> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 13 - Verifica Associatività) +> [!example] Esercizio 1 (Pag 13 - Verifica Associatività) > Verificare se vale o meno l'associatività per le seguenti operazioni su $\mathbb{Z}$: > 1. $a * b = a + |b|$ > 2. $a \perp b = |a| + |b|$ > 3. $a \circ b = |a + b|$ > 4. $a \star b = -|a \cdot b|$ -> [!EXERCISE] Esercizio 2 (Pag 14 - Divisori Zero in $\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}$) +> [!example] Esercizio 2 (Pag 14 - Divisori Zero in $\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}$) > Determinare gli eventuali divisori dello zero nell'anello $(\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}, +, \cdot)$, dove $+$ e $\cdot$ sono definiti puntualmente: $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$ e $(f \cdot g)(x) = f(x)g(x)$. L'elemento neutro additivo è la funzione costante $cost_0(x)=0$. > *Suggerimento: Una funzione $f \neq cost_0$ è divisore dello zero se esiste $g \neq cost_0$ tale che $f \cdot g = cost_0$. Cosa significa $f(x)g(x)=0$ per ogni $x$?* -> [!EXERCISE] Esercizio 3 (Pag 15 - Stabilità Funzioni Costanti) +> [!example] Esercizio 3 (Pag 15 - Stabilità Funzioni Costanti) > Sia $T = \{ f \in \mathbb{Z}^{\mathbb{Z}} \mid f \text{ è costante} \}$. Verificare che $T$ è stabile (chiuso) rispetto a $+$ e $\cdot$ in $\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}$. È un sottoanello? -> [!EXERCISE] Esercizio 4 (Pag 15 - Studio Struttura $\mathbb{Z}$) +> [!example] Esercizio 4 (Pag 15 - Studio Struttura $\mathbb{Z}$) > Studiare la struttura $(\mathbb{Z}, *)$ dove $a * b = a + b + 4ab$. > * Verificare associatività e commutatività. > * Cercare l'eventuale elemento neutro. > * Determinare gli eventuali elementi invertibili (simmetrici). > * È un monoide? È un gruppo? -> [!EXERCISE] Esercizio 5 (Pag 16-18 - Studio Struttura $\mathbb{Q}^2$) +> [!example] Esercizio 5 (Pag 16-18 - Studio Struttura $\mathbb{Q}^2$) > Studiare la struttura $(\mathbb{Q}^2, *)$ dove $(x_1, x_2) * (y_1, y_2) = (x_1y_1 + x_2y_2, 3x_2y_2)$. > * Verificare se vale la proprietà associativa. > * Verificare se è commutativa. @@ -115,7 +115,7 @@ Sia $(S, *)$ una struttura con operazione binaria. Un elemento $a \in S$ è: > * È un semigruppo? Monoide? Gruppo? > * Considerare la stabilità del sottoinsieme $T = \mathbb{Q} \times \{0\}$. -> [!EXERCISE] Esercizio 6 (Pag 19-20 - Studio Struttura $\mathbb{Q}^3$ e Anello) +> [!example] Esercizio 6 (Pag 19-20 - Studio Struttura $\mathbb{Q}^3$ e Anello) > Studiare la struttura $(\mathbb{Q}^3, *)$ dove $(x_1, x_2, x_3) * (y_1, y_2, y_3) = (x_1y_1, x_2y_1 + x_3y_2, x_3y_3)$. > * Verificare se è associativa. > * Verificare se è commutativa. @@ -131,14 +131,14 @@ Sia $(S, *)$ una struttura con operazione binaria. Un elemento $a \in S$ è: > * $(Y + Z) * X = (Y * X) + (Z * X)$ ? > (dove $X=(x_1,x_2,x_3)$, $Y=(y_1,y_2,y_3)$, $Z=(z_1,z_2,z_3)$). -> [!EXERCISE] Esercizio 7 (Pag 21 - Stabilità Sottoinsiemi $\mathbb{Z}$) +> [!example] Esercizio 7 (Pag 21 - Stabilità Sottoinsiemi $\mathbb{Z}$) > Nella struttura $(\mathbb{Z}, *)$ con $a * b = a|b|$, verificare quali dei seguenti sottoinsiemi sono stabili: > * $P = \{ 2n \mid n \in \mathbb{Z} \}$ (Pari) > * $D = \{ 2n+1 \mid n \in \mathbb{Z} \}$ (Dispari) > * $S = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n < 0 \}$ (Negativi) > * $L = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n > 0 \}$ (Positivi) -> [!EXERCISE] Esercizio 8 (Pag 22 - Studio Strutture $\mathbb{Z}$) +> [!example] Esercizio 8 (Pag 22 - Studio Strutture $\mathbb{Z}$) > Studiare le strutture $(\mathbb{Z}, \perp)$ con $a \perp b = 2ab - a - b$ e $(\mathbb{Z}, \circ)$ con $a \circ b = a + b + 2ab$. > * Verificare associatività, commutatività. > * Cercare elemento neutro. @@ -276,7 +276,7 @@ Un esempio importante di gruppo non abeliano. --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 8 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 8 > * Abbiamo rivisto la **cancellabilità** e la sua relazione (non equivalenza) con l'invertibilità. > * Abbiamo definito la notazione per **multipli additivi e potenze moltiplicative** in anelli. > * Abbiamo dimostrato che $a \cdot 0_A = 0_A$. @@ -288,7 +288,7 @@ Un esempio importante di gruppo non abeliano. > * Abbiamo introdotto il **Gruppo Simmetrico $S_n$** (permutazioni), la notazione ciclica, la decomposizione in cicli disgiunti e il calcolo dell'inversa. > * Sono stati proposti numerosi **esercizi** per praticare questi concetti. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Prova a svolgere gli esercizi proposti, in particolare quelli sullo studio delle strutture e sulla verifica delle proprietà (anello, associatività, commutatività, neutro, inversi, divisori dello zero). > * Familiarizza con la notazione ciclica delle permutazioni. > * Il prossimo passo potrebbe essere approfondire le proprietà dei gruppi (sottogruppi, teorema di Lagrange) o degli anelli (ideali, anelli quoziente). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8.md" index c05a5a4..7c6f604 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8.md" @@ -105,7 +105,7 @@ ## 4. Esercizi e Strutture Algebriche Varie -> [!EXERCISE] Esercizi per Casa (Associatività) +> [!example] Esercizi per Casa (Associatività) > Verificare se l'operazione binaria $\star$ è associativa nei seguenti casi (controllare se $(a \star b) \star c = a \star (b \star c)$ per ogni $a, b, c$): > > 1. $(\mathbb{Z}, *)$ con $a * b = a + |b|$ @@ -128,7 +128,7 @@ * $T$ è **chiuso** rispetto a $+$ e $\cdot$ (somma/prodotto di costanti è costante). * $(T, +, \cdot)$ è un sottoanello, isomorfo a $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$. -> [!EXERCISE] Esercizio per Casa (Struttura Algebrica) +> [!example] Esercizio per Casa (Struttura Algebrica) > Studia la struttura $(\mathbb{Z}, *)$ dove: > $$ a * b = a + b + 4ab $$ > Verifica: @@ -191,7 +191,7 @@ * $g((x_1, x_2) + (y_1, y_2)) = g(x_1+y_1, x_2+y_2) = \begin{pmatrix} x_1+y_1 & x_2+y_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. * $g(x_1, x_2) + g(y_1, y_2) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+y_1 & x_2+y_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. **SÌ, è omomorfismo.** -> [!EXERCISE] Esercizi per Casa (Operazioni e Omomorfismi) +> [!example] Esercizi per Casa (Operazioni e Omomorfismi) > Definisci le seguenti operazioni su $\mathbb{Z}$: > * $a \perp b = 2ab - a - b$ > * $a \circ b = a + b + 2ab$ @@ -266,7 +266,7 @@ --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 8 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 8 > * Definito **Semigruppo** e **Elemento Cancellabile**, con esempi. > * Definito **Monoide** e **Elemento Invertibile**, visto che Invertibile $\implies$ Cancellabile (ma non viceversa). > * Richiamato **Anello** e definito **Divisori dello Zero**, collegandoli alla non-cancellabilità. @@ -275,7 +275,7 @@ > * Definizioni rapide di **Dominio Integrità**, **Corpo**, **Campo**, **Spazio Vettoriale**. > * Introdotto il **Gruppo Simmetrico $S_n$** (permutazioni), la **notazione ciclica**, il teorema di **decomposizione in cicli disgiunti** e il calcolo dell'**inversa**. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Assicurati di saper distinguere Semigruppo, Monoide, Gruppo, Anello, Dominio, Campo. > * Esercitati con la cancellabilità e i divisori dello zero. > * Prendi confidenza con la notazione ciclica delle permutazioni e la loro composizione/inversione. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 9.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 9.md" index 7b7899b..7a5b139 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 9.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 9.md" @@ -217,7 +217,7 @@ Torniamo alle relazioni, ma ora definite su un singolo insieme $A$. --- -> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 9 +> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 9 > * Le **Tavole di Cayley** aiutano a visualizzare operazioni su insiemi finiti e a verificarne le proprietà (commutatività, neutro, inversi, cancellabilità). > * In strutture finite, **cancellabilità $\iff$ iniettività** della mappa di moltiplicazione. > * Un elemento **nilpotente** $a \neq 0$ ($a^n=0$) è sempre un **divisore dello zero**. @@ -225,6 +225,6 @@ Torniamo alle relazioni, ma ora definite su un singolo insieme $A$. > * In $\mathbb{Z}$, abbiamo definito **MCD**, **mcm** e **numeri primi**. > * Abbiamo introdotto le **relazioni binarie** su un insieme $A$ e le loro proprietà fondamentali: riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, asimmetrica, antisimmetrica, transitiva. -> [!TIP] Prossimi Passi +> [!tip] Prossimi Passi > * Rivedi le definizioni delle proprietà delle relazioni binarie. Prova a classificarne altre (es. "<", ">", "essere fratello di", "essere antenato di"). > * Le combinazioni di queste proprietà daranno origine a strutture importanti: relazioni di equivalenza (riflessiva, simmetrica, transitiva) e relazioni d'ordine (riflessiva, antisimmetrica, transitiva). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Teoremi.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Teoremi.md" index 4920e24..d20c047 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Teoremi.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Teoremi.md" @@ -33,28 +33,28 @@ ### Connettivi Logici -> [!note] Negazione +> [!info] Negazione > $\neg P$ è vera quando $P$ è falsa, e viceversa. -> [!note] Congiunzione +> [!info] Congiunzione > $P \wedge Q$ è vera solo quando **entrambe** $P$ e $Q$ sono vere. -> [!note] Disgiunzione Inclusiva +> [!info] Disgiunzione Inclusiva > $P \vee Q$ è falsa solo quando **entrambe** $P$ e $Q$ sono false. -> [!note] Implicazione +> [!info] Implicazione > $P \Rightarrow Q$ è falsa solo quando $P$ è vera e $Q$ è falsa. -> [!note] Bicondizionale +> [!info] Bicondizionale > $P \Leftrightarrow Q$ è vera quando $P$ e $Q$ hanno lo **stesso valore di verità**. ### Tautologia e Contraddizione -> [!note] Tautologia +> [!info] Tautologia > Proposizione composta **sempre vera**, qualunque siano i valori di verità delle componenti. > Esempio: $P \vee \neg P$. -> [!note] Contraddizione +> [!info] Contraddizione > Proposizione composta **sempre falsa**. > Esempio: $P \wedge \neg P$. @@ -70,43 +70,43 @@ ### XOR, NAND, NOR -> [!note] XOR (Disgiunzione Esclusiva) +> [!info] XOR (Disgiunzione Esclusiva) > $$a \oplus b \;\Longleftrightarrow\; (\neg a \wedge b) \vee (a \wedge \neg b)$$ -> [!note] NAND / NOR +> [!info] NAND / NOR > Sono **funzionalmente completi**: ogni connettivo logico può essere espresso usando solo NAND (o solo NOR). ### Predicati e Quantificatori -> [!note] Predicato +> [!info] Predicato > Proprietà o relazione con variabili; una **formula ben formata** (FBF) diventa proposizione quando le variabili vengono sostituite. -> [!note] Quantificatore Universale +> [!info] Quantificatore Universale > $\forall x\, P(x)$: «per ogni $x$, vale $P(x)$». -> [!note] Quantificatore Esistenziale +> [!info] Quantificatore Esistenziale > $\exists x\, P(x)$: «esiste almeno un $x$ tale che $P(x)$». -> [!note] Quantificatore Esistenziale Unico +> [!info] Quantificatore Esistenziale Unico > $$\exists!\, x\, P(x) \;\Longleftrightarrow\; \exists x\, P(x) \;\wedge\; \forall x\,\forall y\,\bigl(P(x) \wedge P(y) \Rightarrow x = y\bigr)$$ ### Variabili Libere e Vincolate -> [!note] Variabile Vincolata +> [!info] Variabile Vincolata > Una variabile che compare nel raggio d'azione di un quantificatore. Altrimenti è **libera**. Una formula senza variabili libere è detta **chiusa** (è una proposizione). ### Insiemi -> [!note] Insieme +> [!info] Insieme > Collezione di oggetti distinti, detti **elementi**. Si scrive $a \in A$ se $a$ appartiene ad $A$. -> [!note] Insieme Vuoto +> [!info] Insieme Vuoto > $\emptyset$ — l'insieme privo di elementi. -> [!note] Sottoinsieme +> [!info] Sottoinsieme > $A \subseteq B \;\Longleftrightarrow\; \forall x\,(x \in A \Rightarrow x \in B)$. -> [!note] Prodotto Cartesiano +> [!info] Prodotto Cartesiano > $$A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \wedge b \in B\}$$ ### Operazioni su Insiemi @@ -121,10 +121,10 @@ ### Relazione e Funzione -> [!note] Relazione +> [!info] Relazione > $\rho \subseteq A \times B$ — un sottoinsieme del prodotto cartesiano. -> [!note] Funzione +> [!info] Funzione > $f: A \to B$ è una relazione tale che $\forall a \in A,\; \exists!\, b \in B$ con $(a, b) \in G_f$. > $A$ è il **dominio**, $B$ il **codominio**. @@ -134,31 +134,31 @@ ### Proprietà dei Quantificatori -> [!note] Negazione dei Quantificatori (De Morgan Generalizzato) +> [!info] Negazione dei Quantificatori (De Morgan Generalizzato) > $$\neg(\forall x\, P(x)) \;\Longleftrightarrow\; \exists x\,(\neg P(x))$$ > $$\neg(\exists x\, P(x)) \;\Longleftrightarrow\; \forall x\,(\neg P(x))$$ -> [!note] Ordine dei Quantificatori +> [!info] Ordine dei Quantificatori > $$\exists y\,\forall x\, \varphi(x,y) \;\Longrightarrow\; \forall x\,\exists y\, \varphi(x,y)$$ > Il viceversa **non** vale in generale. ### Immagine e Controimmagine -> [!note] Immagine di un Sottoinsieme +> [!info] Immagine di un Sottoinsieme > $$\vec{f}(X) = \{f(x) \mid x \in X\} \subseteq B$$ -> [!note] Controimmagine +> [!info] Controimmagine > $$\overleftarrow{f}(Y) = \{x \in A \mid f(x) \in Y\} \subseteq A$$ ### Funzione Iniettiva -> [!note] Iniettività +> [!info] Iniettività > $f: A \to B$ è **iniettiva** se: > $$\forall x_1, x_2 \in A:\; f(x_1) = f(x_2) \;\Longrightarrow\; x_1 = x_2$$ ### Partizione -> [!note] Partizione +> [!info] Partizione > Una famiglia $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(S)$ è una **partizione** di $S$ se: > 1. $\forall X \in \mathcal{F},\; X \neq \emptyset$ > 2. $\forall X, Y \in \mathcal{F},\; X \neq Y \Rightarrow X \cap Y = \emptyset$ @@ -170,32 +170,32 @@ ### Funzione Suriettiva -> [!note] Suriettività +> [!info] Suriettività > $f: A \to B$ è **suriettiva** se: > $$\forall b \in B,\; \exists a \in A:\; f(a) = b$$ ### Funzione Caratteristica -> [!note] Funzione Caratteristica +> [!info] Funzione Caratteristica > Sia $A \subseteq S$. La funzione $\chi_A: S \to \{0, 1\}$ è definita da: > $$\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in A \\ 0 & \text{se } x \notin A \end{cases}$$ ### Uguaglianza di Funzioni -> [!note] Uguaglianza +> [!info] Uguaglianza > $f = g$ se e solo se hanno lo **stesso dominio**, lo **stesso codominio** e la **stessa legge**: $f(x) = g(x)$ per ogni $x$. ### Restrizione e Prolungamento -> [!note] Restrizione +> [!info] Restrizione > Sia $C \subseteq A$. La **restrizione** di $f: A \to B$ a $C$ è $f|_C: C \to B$ con $f|_C(x) = f(x)$. -> [!note] Prolungamento (Estensione) +> [!info] Prolungamento (Estensione) > $f: A \to B$ **estende** $g: C \to B$ se $C \subseteq A$ e $f(x) = g(x)$ per ogni $x \in C$. ### Funzione Identità -> [!note] Identità +> [!info] Identità > $\mathrm{id}_A: A \to A$ definita da $\mathrm{id}_A(a) = a$. È sempre **biettiva**. --- @@ -204,42 +204,42 @@ ### Insieme delle Parti -> [!note] Insieme delle Parti +> [!info] Insieme delle Parti > $$\mathcal{P}(S) = \{X \mid X \subseteq S\}$$ ### Funzione Biettiva -> [!note] Biettività +> [!info] Biettività > $f: A \to B$ è **biettiva** se è **iniettiva e suriettiva**: > $$\forall b \in B,\; |\overleftarrow{f}(\{b\})| = 1$$ ### Equipotenza e Cardinalità -> [!note] Equipotenza +> [!info] Equipotenza > $|A| = |B|$ se e solo se esiste una **biiezione** $f: A \to B$. ### Composizione di Funzioni -> [!note] Composizione +> [!info] Composizione > Date $f: A \to B$ e $g: B \to C$: > $$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$ > La composizione **non è commutativa**, ma è **associativa**. ### Funzione Invertibile -> [!note] Invertibilità +> [!info] Invertibilità > $f: A \to B$ è **invertibile** se esiste $f^{-1}: B \to A$ tale che $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A$ e $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B$. > $$f \text{ invertibile} \;\Longleftrightarrow\; f \text{ biettiva}$$ ### Operazione e Struttura Algebrica -> [!note] Operazione $n$-aria +> [!info] Operazione $n$-aria > $f: A^n \to A$. Per $n = 2$: **operazione binaria interna**. -> [!note] Struttura Algebrica +> [!info] Struttura Algebrica > $(S, \mathcal{O})$ dove $S$ è un insieme non vuoto e $\mathcal{O}$ è una famiglia di operazioni su $S$. -> [!note] Associatività +> [!info] Associatività > $$\forall a, b, c \in S:\; (a * b) * c = a * (b * c)$$ --- @@ -248,37 +248,37 @@ ### Teorema di Invertibilità -> [!important] Teorema +> [!info] Teorema > $f: A \to B$ è invertibile se e solo se $f$ è biettiva. L'inversa è unica. ### Inversa Sinistra e Destra -> [!note] Inversa Sinistra +> [!info] Inversa Sinistra > $g \circ f = \mathrm{id}_A$. Esiste $\Longleftrightarrow$ $f$ è **iniettiva**. -> [!note] Inversa Destra +> [!info] Inversa Destra > $f \circ h = \mathrm{id}_B$. Esiste $\Longleftrightarrow$ $f$ è **suriettiva**. ### Matrici -> [!note] Matrice $m \times n$ +> [!info] Matrice $m \times n$ > Tabella rettangolare di $m$ righe e $n$ colonne di elementi di un anello. > **Trasposta:** $(A^T)_{ij} = A_{ji}$. ### Semigruppo -> [!note] Semigruppo +> [!info] Semigruppo > $(S, *)$ dove $*$ è un'operazione binaria **associativa**. ### Elemento Neutro -> [!note] Elemento Neutro +> [!info] Elemento Neutro > $u \in S$ tale che $\forall a \in S:\; a * u = u * a = a$. > Se esiste, è **unico**. ### Monoide -> [!note] Monoide +> [!info] Monoide > **Semigruppo con elemento neutro**: $(S, *, u)$. > > Esempi: @@ -292,14 +292,14 @@ ### Prodotto di Matrici -> [!note] Prodotto Matriciale +> [!info] Prodotto Matriciale > Date $A \in M_{m \times p}$ e $B \in M_{p \times n}$: > $$c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}$$ > Non commutativo; associativo; la matrice identità $I_n$ è l'elemento neutro. ### Elemento Invertibile (Simmetrico) -> [!note] Elemento Invertibile +> [!info] Elemento Invertibile > In un monoide $(S, *, u)$, $a$ è **invertibile** se: > $$\exists\, a' \in S:\; a * a' = a' * a = u$$ > L'inverso è **unico**. Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile. @@ -311,26 +311,26 @@ ### Gruppo degli Invertibili -> [!note] $U(S)$ — Gruppo degli Invertibili +> [!info] $U(S)$ — Gruppo degli Invertibili > L'insieme degli elementi invertibili di un monoide $(S, *, u)$ è **chiuso** per $*$ e forma un **gruppo** $(U(S), *)$. > > Esempi: $U(\mathbb{N},+) = \{0\}$, $\;U(\mathbb{Z}, \cdot) = \{1,-1\}$, $\;U(\mathbb{Q}, \cdot) = \mathbb{Q}^*$, $\;U(A^A, \circ) = S_A$. ### Parte Stabile (Chiusa) -> [!note] Parte Stabile +> [!info] Parte Stabile > $H \subseteq S$ è **stabile** (o chiusa) per $*$ se: > $$\forall h, k \in H:\; h * k \in H$$ ### Gruppo -> [!note] Gruppo +> [!info] Gruppo > $(G, *)$ è un **gruppo** se: > 1. $*$ è **associativa** > 2. Esiste un **elemento neutro** $u$ > 3. Ogni elemento ha un **inverso**: $\forall a \in G,\; \exists\, a^{-1} \in G$ -> [!note] Gruppo Abeliano +> [!info] Gruppo Abeliano > Gruppo in cui $*$ è **commutativa**: $a * b = b * a$. --- @@ -339,31 +339,31 @@ ### Inversa di una Matrice $2 \times 2$ -> [!note] Inversa $2 \times 2$ +> [!info] Inversa $2 \times 2$ > Sia $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ con $\det(A) = ad - bc \neq 0$: > $$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ ### Anello -> [!note] Anello +> [!info] Anello > $(A, +, \cdot)$ è un **anello** se: > 1. $(A, +)$ è un **gruppo abeliano** > 2. $(A, \cdot)$ è un **semigruppo** > 3. Valgono le **proprietà distributive** (sinistra e destra): > $$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \qquad (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$$ -> [!note] Anello Commutativo +> [!info] Anello Commutativo > $a \cdot b = b \cdot a$ per ogni $a, b$. -> [!note] Anello Unitario +> [!info] Anello Unitario > Esiste un'unità $1_A$ tale che $a \cdot 1_A = 1_A \cdot a = a$. -> [!note] Anello Booleano +> [!info] Anello Booleano > Anello con $a \cdot a = a$ per ogni $a$. Esempio: $(\mathcal{P}(S), \triangle, \cap)$. ### Caratteristica di un Anello -> [!note] Caratteristica +> [!info] Caratteristica > $$\mathrm{char}(A) = \min\{m > 0 \mid \underbrace{1_A + \cdots + 1_A}_{m} = 0_A\}$$ > Se tale $m$ non esiste, $\mathrm{char}(A) = 0$. > @@ -371,7 +371,7 @@ ### Elemento Cancellabile -> [!note] Cancellabilità +> [!info] Cancellabilità > $a$ è **cancellabile a sinistra** se $a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b = c$. > $a$ è **cancellabile a destra** se $b \cdot a = c \cdot a \Rightarrow b = c$. > **Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile** (il viceversa non vale in generale). @@ -383,7 +383,7 @@ ### Divisore dello Zero -> [!note] Divisore dello Zero +> [!info] Divisore dello Zero > $a \neq 0_A$ è **divisore dello zero** se $\exists\, b \neq 0_A:\; a \cdot b = 0_A$. > $$a \neq 0 \text{ è divisore dello zero} \;\Longleftrightarrow\; a \text{ non è cancellabile}$$ @@ -400,31 +400,31 @@ ### Omomorfismo -> [!note] Omomorfismo +> [!info] Omomorfismo > $f: (S, *) \to (T, \perp)$ è un **omomorfismo** se: > $$f(a * b) = f(a) \perp f(b) \quad \forall a, b \in S$$ ### Dominio d'Integrità -> [!note] Dominio d'Integrità +> [!info] Dominio d'Integrità > Anello **commutativo**, **unitario** (con $1_A \neq 0_A$), **privo di divisori dello zero**. > Esempi: $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$. ### Corpo e Campo -> [!note] Corpo +> [!info] Corpo > Anello unitario $(K, +, \cdot)$ con $1_K \neq 0_K$ e $U(K) = K \setminus \{0_K\}$ > (ogni elemento non nullo è invertibile). -> [!note] Campo +> [!info] Campo > **Corpo commutativo**. Campo $\Longrightarrow$ Dominio d'integrità. -> [!important] Teorema di Wedderburn +> [!info] Teorema di Wedderburn > Ogni **corpo finito** è un **campo**. ### Spazio Vettoriale -> [!note] Spazio Vettoriale +> [!info] Spazio Vettoriale > $(V, +)$ gruppo abeliano su un campo $(K, +, \cdot)$ con operazione esterna $\cdot: K \times V \to V$ che soddisfa: > 1. $\lambda(\mu v) = (\lambda\mu)v$ > 2. $(\lambda + \mu)v = \lambda v + \mu v$ @@ -433,12 +433,12 @@ ### Gruppo Simmetrico -> [!note] Gruppo Simmetrico $S_n$ +> [!info] Gruppo Simmetrico $S_n$ > L'insieme di tutte le permutazioni di $\{1, 2, \ldots, n\}$ con l'operazione di composizione. > $$|S_n| = n!$$ > Non abeliano per $n \geq 3$. -> [!note] Notazione Ciclica +> [!info] Notazione Ciclica > Ogni permutazione si decompone in **cicli disgiunti** in modo unico (a meno dell'ordine). --- @@ -447,56 +447,56 @@ ### Tavole di Cayley -> [!note] Proprietà visibili dalle Tavole +> [!info] Proprietà visibili dalle Tavole > - **Commutatività** $\Longleftrightarrow$ tabella simmetrica rispetto alla diagonale > - **Cancellabilità** $\Longleftrightarrow$ nessuna ripetizione nelle righe e colonne -> [!important] Cancellabilità in Strutture Finite +> [!info] Cancellabilità in Strutture Finite > In un magma **finito** $(S, *)$, un elemento $a$ è **cancellabile** se e solo se la funzione $x \mapsto a * x$ è **iniettiva** (e quindi biettiva, essendo $S$ finito). ### Elemento Nilpotente -> [!note] Nilpotente +> [!info] Nilpotente > $a \in A$ è **nilpotente** se $\exists\, n \geq 1:\; a^n = 0_A$. > **Nilpotente non nullo $\Longrightarrow$ Divisore dello zero.** ### Divisibilità -> [!note] Divisibilità +> [!info] Divisibilità > $$b \mid a \;\Longleftrightarrow\; \exists c:\; a = b \cdot c$$ > $\mathrm{div}(a)$: insieme dei divisori di $a$. $\;\mathrm{mult}(b)$: insieme dei multipli di $b$. ### Elementi Associati -> [!note] Associati +> [!info] Associati > $x \sim y \;\Longleftrightarrow\; \exists\, u \in U(A):\; x = u \cdot y$. > È una **relazione di equivalenza**. ### Divisori Banali e Propri -> [!note] Divisori Banali e Propri +> [!info] Divisori Banali e Propri > Sia $a \in A$ un anello unitario. > - I **divisori banali** di $a$ sono gli elementi **associati** a $1$ (cioè gli invertibili $U(A)$) e gli associati ad $a$ stesso. > - Un **divisore proprio** è un divisore di $a$ che non è né banale né invertibile. ### MCD e mcm -> [!note] Massimo Comun Divisore +> [!info] Massimo Comun Divisore > $e = \mathrm{MCD}(a, b)$ se: > 1. $e \mid a$ e $e \mid b$ > 2. $\forall x:\; (x \mid a \;\wedge\; x \mid b) \Rightarrow x \mid e$ -> [!note] Minimo Comune Multiplo +> [!info] Minimo Comune Multiplo > $m = \mathrm{mcm}(a, b)$ se: > 1. $a \mid m$ e $b \mid m$ > 2. $\forall x:\; (a \mid x \;\wedge\; b \mid x) \Rightarrow m \mid x$ ### Numero Primo -> [!note] Primo +> [!info] Primo > $p$ è **primo** se $p \notin U(\mathbb{Z})$ e $\mathrm{div}(p) = \{1, -1, p, -p\}$. -> [!important] Lemma di Euclide +> [!info] Lemma di Euclide > Se $p$ è primo e $p \mid ab$, allora $p \mid a$ oppure $p \mid b$. > [!tip] Dimostrazione — Lemma di Euclide @@ -510,7 +510,7 @@ ### Relazioni Binarie — Proprietà -> [!note] Proprietà di una Relazione $R \subseteq A \times A$ +> [!info] Proprietà di una Relazione $R \subseteq A \times A$ > | Proprietà | Definizione | > |:----------|:-----------| > | **Riflessiva** | $\forall x \in A,\; xRx$ | @@ -526,22 +526,22 @@ ### Insieme Ben Ordinato -> [!note] Ben Ordinato +> [!info] Ben Ordinato > $(S, \leq)$ è **ben ordinato** se ogni sottoinsieme non vuoto ammette un **minimo**. > Ben ordinato $\Longrightarrow$ totalmente ordinato. > Esempio: $(\mathbb{N}, \leq)$. ### Principio di Induzione -> [!note] Forma I (Standard) +> [!info] Forma I (Standard) > Se $P(\bar{n})$ è vera e $\forall n \geq \bar{n}:\; P(n) \Rightarrow P(n+1)$, allora $P(n)$ è vera $\forall n \geq \bar{n}$. -> [!note] Forma II (Forte) +> [!info] Forma II (Forte) > Se $P(\bar{n})$ è vera e $\forall n > \bar{n}:\; \bigl[\forall i\;(\bar{n} \leq i < n \Rightarrow P(i))\bigr] \Rightarrow P(n)$, allora $P(n)$ è vera $\forall n \geq \bar{n}$. ### Divisione Euclidea -> [!important] Teorema della Divisione Euclidea +> [!info] Teorema della Divisione Euclidea > $\forall\, m \in \mathbb{Z},\; n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\},\; \exists!\, q, r \in \mathbb{Z}:$ > $$m = n \cdot q + r, \qquad 0 \leq r < |n|$$ @@ -558,7 +558,7 @@ ### Identità di Bézout -> [!important] Identità di Bézout +> [!info] Identità di Bézout > $$\mathrm{MCD}(a, b) = a \cdot x + b \cdot y \quad \text{per opportuni } x, y \in \mathbb{Z}$$ > Corollario: $a, b$ coprimi $\Longleftrightarrow$ $\exists\, x, y:\; ax + by = 1$. @@ -574,7 +574,7 @@ ### Relazione d'Equivalenza -> [!note] Equivalenza +> [!info] Equivalenza > Una relazione $R$ su $A$ è di **equivalenza** se è: > 1. **Riflessiva** > 2. **Simmetrica** @@ -582,7 +582,7 @@ ### Relazione d'Ordine -> [!note] Ordine (Parziale) +> [!info] Ordine (Parziale) > Una relazione su $A$ è d'**ordine** se è riflessiva, **antisimmetrica** e transitiva. > È **totale** se $\forall x, y:\; xRy \vee yRx$. @@ -592,23 +592,23 @@ ### Algoritmo di Euclide -> [!note] Algoritmo di Euclide +> [!info] Algoritmo di Euclide > Calcola $\mathrm{MCD}(a, b)$ tramite divisioni successive: si divide ripetutamente il dividendo per il resto, finché il resto è $0$. L'ultimo resto non nullo è il MCD. ### Algoritmo Esteso di Euclide -> [!note] Algoritmo Esteso +> [!info] Algoritmo Esteso > Risalendo le divisioni dell'Algoritmo di Euclide, si trovano i **coefficienti di Bézout** $x, y$ tali che $ax + by = \mathrm{MCD}(a, b)$. ### Teorema Fondamentale dell'Aritmetica -> [!important] FTA +> [!info] FTA > Ogni intero $n \geq 2$ si scrive in modo **unico** (a meno dell'ordine) come prodotto di numeri primi: > $$n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$ ### Classi di Equivalenza -> [!note] Classe di Equivalenza +> [!info] Classe di Equivalenza > $$[a]_R = \{x \in S \mid x \mathrel{R} a\}$$ > Proprietà: > - Ogni classe è **non vuota** ($a \in [a]$) @@ -617,11 +617,11 @@ ### Insieme Quoziente -> [!note] Insieme Quoziente +> [!info] Insieme Quoziente > $$S / R = \{[a]_R \mid a \in S\}$$ > L'insieme di tutte le classi di equivalenza. -> [!important] Teorema +> [!info] Teorema > Esiste una corrispondenza biunivoca tra relazioni di equivalenza su $S$ e partizioni di $S$. > [!tip] Dimostrazione — Equivalenza $\longleftrightarrow$ Partizioni @@ -645,7 +645,7 @@ ### Relazione di Equivalenza Indotta da Funzione -> [!note] Equivalenza indotta +> [!info] Equivalenza indotta > Data $f: S \to T$, si definisce $x \mathrel{R_f} y \;\Longleftrightarrow\; f(x) = f(y)$. > Questa è una relazione di equivalenza su $S$. @@ -656,7 +656,7 @@ ### Applicazione Quoziente (Fattorizzazione) -> [!note] Fattorizzazione +> [!info] Fattorizzazione > Data $f: S \to T$ e la relazione $R_f$, l'**applicazione quoziente** è: > $$\bar{f}: S/R_f \to T, \qquad \bar{f}([a]) = f(a)$$ > È **ben definita** e **iniettiva**. Vale $f = \bar{f} \circ \pi$ (dove $\pi$ è la proiezione canonica). @@ -668,14 +668,14 @@ ### Congruenza (Compatibilità) -> [!note] Congruenza +> [!info] Congruenza > Una relazione di equivalenza $R$ su $(S, \perp)$ è una **congruenza** se: > $$a \mathrel{R} c \;\wedge\; b \mathrel{R} d \;\Longrightarrow\; (a \perp b) \mathrel{R} (c \perp d)$$ > Questo rende l'operazione quoziente **ben definita**. ### Congruenza Modulo $m$ -> [!note] Congruenza Modulo $m$ +> [!info] Congruenza Modulo $m$ > $$a \equiv b \pmod{m} \;\Longleftrightarrow\; m \mid (a - b)$$ > Equivalentemente: $a$ e $b$ hanno lo **stesso resto** nella divisione per $m$. > @@ -683,7 +683,7 @@ > - $m = 0$: la congruenza è l'**uguaglianza** > - $m = 1$: la relazione è **totale** (sempre vera) -> [!note] Compatibilità con $+$ e $\cdot$ +> [!info] Compatibilità con $+$ e $\cdot$ > Se $a \equiv c$ e $b \equiv d$ $\pmod{m}$, allora: > $$a + b \equiv c + d \pmod{m} \qquad a \cdot b \equiv c \cdot d \pmod{m}$$ @@ -694,7 +694,7 @@ > > **Prodotto:** $ab = (c + mh)(d + mk) = cd + m(ck + hd + mhk)$, dunque $ab - cd = m(ck + hd + mhk)$ e $m \mid (ab - cd)$. $\square$ -> [!note] Anello $\mathbb{Z}_m$ +> [!info] Anello $\mathbb{Z}_m$ > L'insieme quoziente $\mathbb{Z}_m = \{[0]_m, [1]_m, \ldots, [m-1]_m\}$ con: > $$[a] + [b] = [a + b], \qquad [a] \cdot [b] = [a \cdot b]$$ > è un **anello commutativo unitario**. @@ -705,7 +705,7 @@ ### $\mathbb{Z}_m$ è un Campo -> [!important] Teorema +> [!info] Teorema > $(\mathbb{Z}_m, +, \cdot)$ è un **campo** se e solo se $m$ è un numero **primo**. > [!tip] Dimostrazione — $\mathbb{Z}_m$ campo $\Longleftrightarrow$ $m$ primo @@ -715,7 +715,7 @@ ### Caratteristica di $\mathbb{Z}_m$ -> [!note] Caratteristica +> [!info] Caratteristica > $$\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m) = m$$ > [!tip] Dimostrazione — $\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m) = m$ @@ -724,13 +724,13 @@ ### Invertibili e Divisori dello Zero in $\mathbb{Z}_m$ -> [!note] Invertibili +> [!info] Invertibili > $[a]_m$ è **invertibile** in $\mathbb{Z}_m$ $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, m) = 1$. -> [!note] Divisori dello Zero +> [!info] Divisori dello Zero > $[a]_m \neq [0]_m$ è **divisore dello zero** in $\mathbb{Z}_m$ $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, m) > 1$. -> [!note] Dicotomia +> [!info] Dicotomia > In $\mathbb{Z}_m$, ogni $[a] \neq [0]$ è **o invertibile o divisore dello zero**. > [!tip] Dimostrazione — Invertibili e Divisori dello Zero in $\mathbb{Z}_m$ @@ -750,12 +750,12 @@ ### Elementi Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ -> [!note] Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ +> [!info] Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ > Sia $m = p_1^{\alpha_1} \cdots p_t^{\alpha_t}$. Allora $[a]_m$ è nilpotente se e solo se $a$ è multiplo di $\mathrm{rad}(m) = p_1 \cdot p_2 \cdots p_t$. ### Equazioni Congruenziali -> [!important] Teorema di Risolubilità +> [!info] Teorema di Risolubilità > L'equazione $ax \equiv b \pmod{m}$ ha soluzione $\;\Longleftrightarrow\;$ $d \mid b$, dove $d = \mathrm{MCD}(a, m)$. > Se ha soluzione, ci sono esattamente **$d$ soluzioni distinte** modulo $m$. > Se $d = 1$, la soluzione unica è $x \equiv a^{-1} b \pmod{m}$. @@ -766,13 +766,13 @@ ### Elemento Idempotente -> [!note] Idempotente in $\mathbb{Z}_m$ +> [!info] Idempotente in $\mathbb{Z}_m$ > $[a]_m$ è **idempotente** se $[a]^2 = [a]$, cioè $m \mid a(a-1)$. > Sempre idempotenti: $[0]$ e $[1]$. ### Criteri di Divisibilità (via Aritmetica Modulare) -> [!note] Formula Generale +> [!info] Formula Generale > Sia $n = c_k \cdot 10^k + \cdots + c_1 \cdot 10 + c_0$. Allora: > $$n \equiv \sum_{i=0}^{k} c_i \cdot (10^i \bmod m) \pmod{m}$$ @@ -789,12 +789,12 @@ ### Corollario: $\mathbb{Z}_n$ Dominio d'Integrità -> [!note] Dominio +> [!info] Dominio > $\mathbb{Z}_n$ è un **dominio d'integrità** $\;\Longleftrightarrow\;$ $n$ è primo $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathbb{Z}_n$ è un campo. ### Anello Prodotto -> [!note] Anello Prodotto $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ +> [!info] Anello Prodotto $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ > Operazioni **componente per componente**: > $$(\bar{a}, \tilde{b}) + (\bar{c}, \tilde{d}) = (\overline{a+c},\, \widetilde{b+d})$$ > $$(\bar{a}, \tilde{b}) \cdot (\bar{c}, \tilde{d}) = (\overline{a \cdot c},\, \widetilde{b \cdot d})$$ @@ -803,7 +803,7 @@ ### Caratteristica del Prodotto -> [!note] Caratteristica dell'Anello Prodotto +> [!info] Caratteristica dell'Anello Prodotto > $$\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) = \mathrm{mcm}(\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m),\, \mathrm{char}(\mathbb{Z}_n)) = \mathrm{mcm}(m, n)$$ --- @@ -812,13 +812,13 @@ ### Equazione Diofantea Lineare -> [!note] Equazione Diofantea +> [!info] Equazione Diofantea > $ax + by = c$ con $a, b, c \in \mathbb{Z}$, soluzioni $x, y \in \mathbb{Z}$. > Ha soluzione $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, b) \mid c$. ### Funzione Totiente di Eulero -> [!note] Funzione $\varphi(n)$ +> [!info] Funzione $\varphi(n)$ > $$\varphi(n) = |U(\mathbb{Z}_n)| = |\{k \in \{0, \ldots, n-1\} \mid \mathrm{MCD}(k, n) = 1\}|$$ > > Proprietà: @@ -828,23 +828,23 @@ ### Teorema di Fermat-Eulero -> [!important] Fermat-Eulero +> [!info] Fermat-Eulero > Se $\mathrm{MCD}(a, n) = 1$, allora: > $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$$ -> [!important] Piccolo Teorema di Fermat +> [!info] Piccolo Teorema di Fermat > Se $p$ è primo e $p \nmid a$: > $$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$ ### Coefficiente Binomiale -> [!note] Coefficiente Binomiale +> [!info] Coefficiente Binomiale > $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \qquad \text{per } 0 \leq k \leq n$$ > Simmetria: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$. ### Identità di Pascal -> [!important] Identità di Pascal +> [!info] Identità di Pascal > $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$ > [!tip] Dimostrazione — Identità di Pascal @@ -854,7 +854,7 @@ ### Somma dei Coefficienti Binomiali -> [!note] Somma +> [!info] Somma > $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$ > [!tip] Dimostrazione — $|\mathcal{P}(S)| = 2^{|S|}$ (per induzione) @@ -866,7 +866,7 @@ ### Applicazioni Iniettive -> [!note] Conteggio +> [!info] Conteggio > Il numero di applicazioni iniettive $f: S \to T$ con $|S| = n$, $|T| = m$, $n \leq m$: > $$\frac{m!}{(m-n)!}$$ @@ -879,7 +879,7 @@ ### Binomio di Newton -> [!important] Binomio di Newton +> [!info] Binomio di Newton > $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k$$ > [!tip] Dimostrazione — Binomio di Newton (per induzione su $n$) @@ -899,7 +899,7 @@ ### Relazione d'Ordine Largo -> [!note] Ordine Largo +> [!info] Ordine Largo > $\mathcal{R}$ su $S$ è d'**ordine** se è: > 1. **Riflessiva** > 2. **Antisimmetrica** @@ -907,7 +907,7 @@ ### Relazione d'Ordine Stretto -> [!note] Ordine Stretto +> [!info] Ordine Stretto > $\mathcal{R}'$ su $S$ è d'**ordine stretto** se è: > 1. **Antiriflessiva** > 2. **Transitiva** @@ -916,49 +916,49 @@ ### Corrispondenza Largo ↔ Stretto -> [!note] Corrispondenza +> [!info] Corrispondenza > $$x < y \;\Longleftrightarrow\; (x \leq y \;\wedge\; x \neq y)$$ > $$x \leq y \;\Longleftrightarrow\; (x < y \;\vee\; x = y)$$ ### Ordine Totale -> [!note] Ordine Totale +> [!info] Ordine Totale > $\forall x, y \in S:\; x \leq y \;\vee\; y \leq x$ (ogni coppia è confrontabile). ### Copertura -> [!note] Copertura +> [!info] Copertura > $b$ **copre** $a$ se $a < b$ e $\nexists\, c:\; a < c < b$. ### Diagramma di Hasse -> [!note] Diagramma di Hasse +> [!info] Diagramma di Hasse > Rappresentazione grafica di un poset finito: si disegnano solo le relazioni di **copertura**, con l'elemento maggiore in alto. ### Elemento Minimo / Massimo -> [!note] Minimo e Massimo +> [!info] Minimo e Massimo > - $a$ è **minimo** se $a \leq x$ per ogni $x \in S$. Se esiste, è **unico**. > - $a$ è **massimo** se $x \leq a$ per ogni $x \in S$. Se esiste, è **unico**. ### Elemento Minimale / Massimale -> [!note] Minimale e Massimale +> [!info] Minimale e Massimale > - $a$ è **minimale** se $\nexists\, x:\; x < a$. > - $a$ è **massimale** se $\nexists\, x:\; a < x$. > - Minimo $\Longrightarrow$ unico minimale. Ma un minimale unico **non** è necessariamente il minimo. -> [!important] Teorema (Poset Finiti) +> [!info] Teorema (Poset Finiti) > Ogni insieme **finito non vuoto** parzialmente ordinato possiede almeno un elemento **minimale** e almeno un elemento **massimale**. ### Minoranti, Maggioranti, Inf, Sup -> [!note] Minorante e Maggiorante +> [!info] Minorante e Maggiorante > Sia $X \subseteq S$: > - **Minorante** di $X$: $a \leq x\;\forall x \in X$ > - **Maggiorante** di $X$: $x \leq a\;\forall x \in X$ -> [!note] Infimo e Supremo +> [!info] Infimo e Supremo > - $\inf(X) = \max(\text{minoranti di } X)$ > - $\sup(X) = \min(\text{maggioranti di } X)$ > @@ -970,13 +970,13 @@ ### Divisibilità su $\mathbb{N}^*$ -> [!note] Divisibilità come Ordine +> [!info] Divisibilità come Ordine > $(\mathbb{N}^*, \mid)$ è un **ordine parziale**. > $(\mathbb{Z}, \mid)$ **non** è un ordine (non è antisimmetrica: $2 \mid {-2}$ e ${-2} \mid 2$ ma $2 \neq -2$). ### Ordine Indotto da Funzione -> [!note] Ordine Indotto +> [!info] Ordine Indotto > Data $f: S \to T$ e $(T, \leq_T)$ ordinato: > $$a \leq_f b \;\Longleftrightarrow\; (a = b) \;\vee\; (f(a) <_T f(b))$$ > Questa è una relazione d'ordine su $S$. @@ -987,14 +987,14 @@ ### Reticolo (Definizione tramite Ordine) -> [!note] Reticolo +> [!info] Reticolo > Un poset $(L, \leq)$ è un **reticolo** se per ogni $a, b \in L$ esistono: > - $\inf\{a, b\} = a \wedge b$ (**meet**) > - $\sup\{a, b\} = a \vee b$ (**join**) ### Reticolo (Definizione Algebrica) -> [!note] Reticolo (algebrico) +> [!info] Reticolo (algebrico) > $(L, \wedge, \vee)$ è un **reticolo** se $\wedge$ e $\vee$ soddisfano: > 1. **Associatività**: $(a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)$, $\;(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)$ > 2. **Commutatività**: $a \wedge b = b \wedge a$, $\;a \vee b = b \vee a$ @@ -1002,13 +1002,13 @@ ### Idempotenza (derivata) -> [!note] Idempotenza +> [!info] Idempotenza > Dalle leggi di assorbimento: > $$a \wedge a = a, \qquad a \vee a = a$$ ### Equivalenza tra le Due Definizioni -> [!important] Teorema +> [!info] Teorema > Le due definizioni sono equivalenti. La relazione d'ordine si recupera da: > $$a \leq b \;\Longleftrightarrow\; a \wedge b = a \;\Longleftrightarrow\; a \vee b = b$$ @@ -1023,15 +1023,15 @@ ### Esempio Fondamentale -> [!note] $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ è un Reticolo +> [!info] $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ è un Reticolo > Con $A \wedge B = A \cap B$ e $A \vee B = A \cup B$. ### Catena -> [!note] Catena +> [!info] Catena > Un sottoinsieme $C \subseteq S$ di un insieme parzialmente ordinato $(S, \leq)$ è una **catena** se è **totalmente ordinato**: > $$\forall x, y \in C:\; x \leq y \;\vee\; y \leq x$$ -> [!note] Catena Massimale +> [!info] Catena Massimale > Una catena $C$ in $(S, \leq)$ è **massimale** se non può essere estesa: non esiste alcun elemento $s \in S \setminus C$ tale che $C \cup \{s\}$ sia ancora una catena. --- @@ -1039,29 +1039,29 @@ ### Reticolo Limitato -> [!note] Reticolo Limitato +> [!info] Reticolo Limitato > Un reticolo $L$ è **limitato** se possiede: > - Elemento **minimo** $0_L$: $\;0_L \leq a\;\forall a$, ossia $a \vee 0_L = a$ > - Elemento **massimo** $1_L$: $\;a \leq 1_L\;\forall a$, ossia $a \wedge 1_L = a$ > > **Ogni reticolo finito è limitato.** -> [!important] Insieme Totalmente Ordinato ⇒ Reticolo +> [!info] Insieme Totalmente Ordinato ⇒ Reticolo > Se $(S, \leq)$ è un insieme **totalmente ordinato**, allora è un **reticolo**. > Per ogni $a, b \in S$: se $a \leq b$, allora $a \wedge b = a$ e $a \vee b = b$. -> [!important] Reticolo Finito ⇒ Limitato +> [!info] Reticolo Finito ⇒ Limitato > Ogni reticolo **finito** è **limitato**: possiede sempre un elemento minimo $0_L$ e un elemento massimo $1_L$. ### Sottoreticolo -> [!note] Sottoreticolo +> [!info] Sottoreticolo > $A \subseteq L$ non vuoto è un **sottoreticolo** se è chiuso per $\wedge$ e $\vee$: > $$\forall x, y \in A:\; x \wedge y \in A \;\wedge\; x \vee y \in A$$ ### Isomorfismo di Reticoli -> [!note] Isomorfismo di Poset / Reticoli +> [!info] Isomorfismo di Poset / Reticoli > $f: L \to M$ biettiva è un **isomorfismo** se: > $$a \leq_L b \;\Longleftrightarrow\; f(a) \leq_M f(b)$$ > Equivalentemente, preserva $\wedge$ e $\vee$: @@ -1069,13 +1069,13 @@ ### Reticolo Complementato -> [!note] Complementato +> [!info] Complementato > Un reticolo **limitato** è **complementato** se per ogni $a \in L$ esiste almeno un $\bar{a} \in L$ tale che: > $$a \wedge \bar{a} = 0_L \qquad \text{e} \qquad a \vee \bar{a} = 1_L$$ ### Reticolo Prodotto -> [!note] Reticolo Prodotto +> [!info] Reticolo Prodotto > Dati $(L_1, \leq_1)$ e $(L_2, \leq_2)$ reticoli, $L_1 \times L_2$ è un reticolo con: > $$(a, b) \leq (c, d) \;\Longleftrightarrow\; a \leq_1 c \;\wedge\; b \leq_2 d$$ > $$(a, b) \wedge (c, d) = (a \wedge_1 c,\; b \wedge_2 d)$$ @@ -1083,7 +1083,7 @@ ### Reticolo dei Divisori -> [!note] Reticolo $(\mathbb{D}_n, \mid)$ +> [!info] Reticolo $(\mathbb{D}_n, \mid)$ > L’insieme dei divisori positivi di $n$, ordinato per divisibilità, forma un **reticolo limitato**: > - $a \wedge b = \mathrm{MCD}(a, b)$ > - $a \vee b = \mathrm{mcm}(a, b)$ @@ -1095,32 +1095,32 @@ ### Sottoanello -> [!note] Sottoanello +> [!info] Sottoanello > Sia $(A, +, \cdot)$ un anello e $B \subseteq A$, $B \neq \emptyset$. > $(B, +, \cdot)$ è un **sottoanello** se $B$ è chiuso per **sottrazione** e **moltiplicazione**: > $$\forall b_1, b_2 \in B:\; b_1 - b_2 \in B \;\wedge\; b_1 \cdot b_2 \in B$$ ### Principio di Dualità per Reticoli -> [!important] Principio di Dualità +> [!info] Principio di Dualità > Se un enunciato vale per **tutti** i reticoli, anche l'enunciato **duale** vale, ottenuto scambiando: > $$\leq \;\longleftrightarrow\; \geq, \qquad \wedge \;\longleftrightarrow\; \vee, \qquad 0_L \;\longleftrightarrow\; 1_L$$ ### Reticolo Distributivo -> [!note] Distributivo +> [!info] Distributivo > Un reticolo è **distributivo** se: > $$a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$$ > $$a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)$$ > (Le due leggi sono equivalenti per dualità.) -> [!important] Teorema ($M_3$, $N_5$) +> [!info] Teorema ($M_3$, $N_5$) > Un reticolo è distributivo $\;\Longleftrightarrow\;$ **non contiene** sottoreticoli isomorfi a $M_3$ (diamante) o $N_5$ (pentagono). -> [!note] Reticolo Pentagonale $N_5$ +> [!info] Reticolo Pentagonale $N_5$ > Il reticolo con 5 elementi $\{0, a, b, c, 1\}$ dove $0 < a < b < 1$ e $0 < c < 1$ con $c$ non confrontabile con $a$ e $b$. **Non è distributivo** né modulare. -> [!note] Reticolo Diamante $M_3$ +> [!info] Reticolo Diamante $M_3$ > Il reticolo con 5 elementi $\{0, a, b, c, 1\}$ dove $a, b, c$ sono mutuamente non confrontabili e $0 < a, b, c < 1$. **Non è distributivo** (ma è modulare). > [!tip] Dimostrazione — $M_3$ e $N_5$ non sono distributivi @@ -1136,7 +1136,7 @@ ### Unicità del Complemento -> [!important] Proposizione +> [!info] Proposizione > In un reticolo **distributivo e limitato**, se un elemento ha un complemento, questo è **unico**. > [!tip] Dimostrazione — Unicità del Complemento @@ -1146,18 +1146,18 @@ ### Reticolo Booleano -> [!note] Reticolo Booleano +> [!info] Reticolo Booleano > Un reticolo è **booleano** se è **distributivo** e **complementato**. > > Esempio fondamentale: $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$. -> [!important] Teorema di Rappresentazione +> [!info] Teorema di Rappresentazione > Ogni reticolo booleano **finito** è isomorfo a $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ per qualche insieme finito $S$. > Pertanto $|L| = 2^n$. ### Algebra di Boole -> [!note] Algebra di Boole +> [!info] Algebra di Boole > $(A, \wedge, \vee, ', 0, 1)$ dove $\wedge, \vee$ sono binarie, $'$ è unaria, e valgono: > 1. **Associatività** di $\wedge$ e $\vee$ > 2. **Commutatività** di $\wedge$ e $\vee$ @@ -1166,12 +1166,12 @@ > 5. **Elementi neutri**: $a \wedge 1 = a$, $\;a \vee 0 = a$ > 6. **Complemento**: $a \wedge a' = 0$, $\;a \vee a' = 1$ -> [!important] Teorema di Stone +> [!info] Teorema di Stone > Ogni algebra di Boole **finita** è isomorfa a $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup, {}^c, \emptyset, S)$. ### Anello Booleano -> [!note] Anello Booleano +> [!info] Anello Booleano > Un anello $(A, +, \cdot)$ è **booleano** se $a^2 = a$ per ogni $a \in A$. > > Proprietà: @@ -1190,7 +1190,7 @@ ### Da Reticolo Booleano ad Anello Booleano -> [!note] Costruzione +> [!info] Costruzione > Dato un reticolo booleano $(L, \wedge, \vee, ', 0, 1)$, si definisce l'anello $(L, +, \cdot)$: > - **Prodotto:** $a \cdot b = a \wedge b$ > - **Somma:** $a + b = (a \wedge b') \vee (b \wedge a')$ (differenza simmetrica) diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Definizioni Algebra.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Definizioni Algebra.md" index dcf0496..67bba0e 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Definizioni Algebra.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Definizioni Algebra.md" @@ -36,28 +36,28 @@ cssclasses: ### Connettivi Logici -> [!note] Negazione +> [!info] Negazione > $\neg P$ è vera quando $P$ è falsa, e viceversa. -> [!note] Congiunzione +> [!info] Congiunzione > $P \wedge Q$ è vera solo quando **entrambe** $P$ e $Q$ sono vere. -> [!note] Disgiunzione Inclusiva +> [!info] Disgiunzione Inclusiva > $P \vee Q$ è falsa solo quando **entrambe** $P$ e $Q$ sono false. -> [!note] Implicazione +> [!info] Implicazione > $P \Rightarrow Q$ è falsa solo quando $P$ è vera e $Q$ è falsa. -> [!note] Bicondizionale +> [!info] Bicondizionale > $P \Leftrightarrow Q$ è vera quando $P$ e $Q$ hanno lo **stesso valore di verità**. ### Tautologia e Contraddizione -> [!note] Tautologia +> [!info] Tautologia > Proposizione composta **sempre vera**, qualunque siano i valori di verità delle componenti. > Esempio: $P \vee \neg P$. -> [!note] Contraddizione +> [!info] Contraddizione > Proposizione composta **sempre falsa**. > Esempio: $P \wedge \neg P$. @@ -73,41 +73,41 @@ cssclasses: ### XOR, NAND, NOR -> [!note] XOR (Disgiunzione Esclusiva) +> [!info] XOR (Disgiunzione Esclusiva) > $$a \oplus b \;\Longleftrightarrow\; (\neg a \wedge b) \vee (a \wedge \neg b)$$ -> [!note] NAND / NOR +> [!info] NAND / NOR > Sono **funzionalmente completi**: ogni connettivo logico può essere espresso usando solo NAND (o solo NOR). ### Predicati e Quantificatori -> [!note] Predicato +> [!info] Predicato > Proprietà o relazione con variabili; una **formula ben formata** (FBF) diventa proposizione quando le variabili vengono sostituite. -> [!note] Quantificatore Universale +> [!info] Quantificatore Universale > $\forall x\, P(x)$: «per ogni $x$, vale $P(x)$». -> [!note] Quantificatore Esistenziale +> [!info] Quantificatore Esistenziale > $\exists x\, P(x)$: «esiste almeno un $x$ tale che $P(x)$». -> [!note] Quantificatore Esistenziale Unico +> [!info] Quantificatore Esistenziale Unico > $$\exists!\, x\, P(x) \;\Longleftrightarrow\; \exists x\, P(x) \;\wedge\; \forall x\,\forall y\,\bigl(P(x) \wedge P(y) \Rightarrow x = y\bigr)$$ ### Variabili Libere e Vincolate -> [!note] Variabile Vincolata +> [!info] Variabile Vincolata > Una variabile che compare nel raggio d'azione di un quantificatore. Altrimenti è **libera**. Una formula senza variabili libere è detta **chiusa** (è una proposizione). ### Insiemi -> [!note] Insieme +> [!info] Insieme > Collezione di oggetti distinti, detti **elementi**. Si scrive $a \in A$ se $a$ appartiene ad $A$. -> [!note] Insieme Vuoto +> [!info] Insieme Vuoto > $\emptyset$ — l'insieme privo di elementi. -> [!note] Sottoinsieme +> [!info] Sottoinsieme > $A \subseteq B \;\Longleftrightarrow\; \forall x\,(x \in A \Rightarrow x \in B)$. -> [!note] Prodotto Cartesiano +> [!info] Prodotto Cartesiano > $$A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \wedge b \in B\}$$ ### Operazioni su Insiemi @@ -121,10 +121,10 @@ cssclasses: ### Relazione e Funzione -> [!note] Relazione opp. Corrispondenza +> [!info] Relazione opp. Corrispondenza > $\rho \subseteq A \times B$ — un sottoinsieme del prodotto cartesiano. -> [!note] Funzione +> [!info] Funzione > $f: A \to B$ è una relazione tale che $\forall a \in A,\; \exists!\, b \in B$ con $(a, b) \in G_f$. > $A$ è il **dominio**, $B$ il **codominio**. @@ -134,41 +134,41 @@ cssclasses: ### Proprietà dei Quantificatori -> [!note] Negazione dei Quantificatori (De Morgan Generalizzato) +> [!info] Negazione dei Quantificatori (De Morgan Generalizzato) > $$\neg(\forall x\, P(x)) \;\Longleftrightarrow\; \exists x\,(\neg P(x))$$ > $$\neg(\exists x\, P(x)) \;\Longleftrightarrow\; \forall x\,(\neg P(x))$$ -> [!note] Ordine dei Quantificatori +> [!info] Ordine dei Quantificatori > $$\exists y\,\forall x\, \varphi(x,y) \;\Longrightarrow\; \forall x\,\exists y\, \varphi(x,y)$$ > Il viceversa **non** vale in generale. ### Immagine e Controimmagine -> [!note] Immagine di un Sottoinsieme +> [!info] Immagine di un Sottoinsieme > Dato un sottoinsieme X ⊆ A, l'immagine di X tramite f è l'insieme di tutti gli elementi del codominio B che sono "raggiunti" da almeno un elemento di X. > $$\vec{f}(X) = \{f(x) \mid x \in X\} \subseteq B$$ -> [!note] Controimmagine +> [!info] Controimmagine > Dato un sottoinsieme Y ⊆ B, la controimmagine (o preimmagine) di Y tramite f è l'insieme di tutti gli elementi del dominio A le cui immagini cadono dentro Y . > $$\overleftarrow{f}(Y) = \{x \in A \mid f(x) \in Y\} \subseteq A$$ ### Funzione Iniettiva -> [!note] Iniettività +> [!info] Iniettività > $f: A \to B$ è **iniettiva** se: > $$\forall x_1, x_2 \in A:\; f(x_1) = f(x_2) \;\Longrightarrow\; x_1 = x_2$$ ->[!note] Caratterizzazione tramite Controimmagine +>[!info] Caratterizzazione tramite Controimmagine Una funzione f : A → B è iniettiva se e solo se per ogni elemento b del codominio B, la sua controimmagine $f^{-1}(\{b\})$ contiene al massimo un elemento. $$ f \text{ è iniettiva } \iff (\forall b \in B) \quad \bigl| f^{-1}(\{b\}) \bigr| \leq 1 $$ ### Partizione -> [!note] Partizione +> [!info] Partizione > Una famiglia $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(S)$ è una **partizione** di $S$ se: > 1. $\forall X \in \mathcal{F},\; X \neq \emptyset$ > 2. $\forall X, Y \in \mathcal{F},\; X \neq Y \Rightarrow X \cap Y = \emptyset$ > 3. $\bigcup \mathcal{F} = S$ -> [!note] Partizioni Banali: +> [!info] Partizioni Banali: $\mathcal{F}_1 = \{\{S\}\} = \{\{a, b, c\}\}$. (Un solo pezzo: l'insieme intero). $\mathcal{F}_2 = \{\{a\}, \{b\}, \{c\}\}$. (Ogni pezzo è un singolo elemento) @@ -178,44 +178,44 @@ $\mathcal{F}_2 = \{\{a\}, \{b\}, \{c\}\}$. (Ogni pezzo è un singolo elemento) ### Funzione Suriettiva -> [!note] Suriettività +> [!info] Suriettività > $f: A \to B$ è **suriettiva** se: > $$\forall b \in B,\; \exists a \in A:\; f(a) = b$$ ->[!note] Caratterizzazione tramite Controimmagine +>[!info] Caratterizzazione tramite Controimmagine Una funzione f : A → B è suriettiva se e solo se per ogni elemento b del codominio B, la sua controimmagine $f^{-1}(\{b\})$ contiene al minimo un elemento. $$ f \text{ è iniettiva } \iff (\forall b \in B) \quad \bigl| f^{-1}(\{b\}) \bigr| \geq 1 $$ ### App. Immagine e Anti-Immagine banali e Funzione Caratteristica -> [!nota] Applicazioni immagine e anti-immagine banali +> [!info] Applicazioni immagine e anti-immagine banali > Per ogni $f: A \to B$: > - $f(\varnothing)=\varnothing$. > - $f^{-1}(\varnothing)=\varnothing$. > - $f^{-1}(B)=A$. > - $f(A)=\operatorname{Im}(f)\subseteq B$ (e $f(A)=B$ sse $f$ è suriettiva). -> [!note] Funzione Caratteristica +> [!info] Funzione Caratteristica > Sia $A \subseteq S$. La funzione $\chi_A: S \to \{0, 1\}$ è definita da: > $$\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in A \\ 0 & \text{se } x \notin A \end{cases}$$ ### Uguaglianza di Funzioni -> [!note] Uguaglianza +> [!info] Uguaglianza > $f = g$ se e solo se hanno lo **stesso dominio**, lo **stesso codominio** e la **stessa legge**: $f(x) = g(x)$ per ogni $x$. ### Restrizione e Prolungamento -> [!note] Restrizione +> [!info] Restrizione > Sia $C \subseteq A$. La **restrizione** di $f: A \to B$ a $C$ è $f|_C: C \to B$ con $f|_C(x) = f(x)$. -> [!note] Prolungamento (Estensione) +> [!info] Prolungamento (Estensione) > $f: A \to B$ **estende** $g: C \to B$, se > - $C \subseteq A$ > - $f(x) = g(x)$ per ogni $x \in C$. ### Funzione(o Applicazione) Identità -> [!note] Identità +> [!info] Identità > $\mathrm{id}_A: A \to A$ definita da $\mathrm{id}_A(a) = a$. È sempre **biettiva**. --- @@ -224,11 +224,11 @@ $$ f \text{ è iniettiva } \iff (\forall b \in B) \quad \bigl| f^{-1}(\{b\}) \bi ### Funzione Biettiva -> [!note] Biettività +> [!info] Biettività > $f: A \to B$ è **biettiva** se è **iniettiva e suriettiva**: > $$\forall b \in B,\; |\overleftarrow{f}(\{b\})| = 1$$ ->[!note] Caratterizzazione tramite Controimmagine +>[!info] Caratterizzazione tramite Controimmagine > >f è biettiva ⟺ per ogni b ∈ B, la controimmagine f⁻¹({b}) è un singleton (contiene esattamente un elemento). > @@ -237,7 +237,7 @@ $$ f \text{ è iniettiva } \iff (\forall b \in B) \quad \bigl| f^{-1}(\{b\}) \bi > >Mettendole insieme: |f⁻¹({b})| = 1 -> [!note] Funzione biettiva $\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ +> [!info] Funzione biettiva $\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ >$$f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z},\qquad > f(n)= > \begin{cases} @@ -247,35 +247,35 @@ $$ f \text{ è iniettiva } \iff (\forall b \in B) \quad \bigl| f^{-1}(\{b\}) \bi > (con $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$). ### Equipotenza $\iff \exists f$ Biettiva ->[!note] Equipotenza $\iff \exists f$ Biettiva +>[!info] Equipotenza $\iff \exists f$ Biettiva >$|A| \gt |B| \to \nexists f iniettiva \atop |B| \gt |A| \to \nexists f suriettiva$ $\rbrace \to |A| = |B| \iff \exists f biettiva$ ### Composizione di Funzioni e proprietà -> [!note] Composizione +> [!info] Composizione > Date $f: A \to B$ e $g: B \to C$: > $$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$ > $$(g \circ f) : A \to C$$ ->[!note] Proprietà +>[!info] Proprietà >- Associativa = $(h \circ g) \circ f = h\circ(g\circ f)$ >- Non commutativa = $g \circ f \not= f \circ g$ ### Corrispondenza Complementare ed Inversa ->[!note] Corrispondenza Complementare +>[!info] Corrispondenza Complementare Data una relazione $\varphi \subseteq A \times B$, $\varphi' = (A \times B) \setminus \varphi$. ->[!note] Corrispondenza Inversa +>[!info] Corrispondenza Inversa Data una relazione $\varphi \subseteq A \times B$, $\varphi^{-1} = \{ (b, a) \in B \times A : (a, b) \in \varphi \}$. ### Funzione Inversa ->[!note] Funzione Invertibile +>[!info] Funzione Invertibile >Una funzione f : A → B $\iff \exists$ f⁻¹ : B → A tale che: >1. f⁻¹ ∘ f = idₐ (Comporre f e poi f⁻¹ riporta all'identità sul dominio originale A) >2. f ∘ f⁻¹ = idᵦ (Comporre f⁻¹ e poi f riporta all'identità sul codominio originale B) ->[!important] Teorema Fondamentale: Invertibilità +>[!info] Teorema Fondamentale: Invertibilità >Una funzione $f$ è completamente invertibile $\iff$ biettiva. > >**Dimostrazione** @@ -287,15 +287,15 @@ $\varphi^{-1} = \{ (b, a) \in B \times A : (a, b) \in \varphi \}$. > >Possiamo definire $f^{-1}(b) = a$, che soddisfa le condizioni $f^{-1} \circ f = \text{id}_A$ e $f \circ f^{-1} = \text{id}_B$. -> [!note] Inversa Sinistra +> [!info] Inversa Sinistra > $g \circ f = \mathrm{id}_A$. Esiste $\Longleftrightarrow$ $f$ è **iniettiva**. -> [!note] Inversa Destra +> [!info] Inversa Destra > $f \circ h = \mathrm{id}_B$. Esiste $\Longleftrightarrow$ $f$ è **suriettiva**. ### Operazione $n$-aria ->[!note] Operazione $n$-aria +>[!info] Operazione $n$-aria >Una operazione $n$-aria è una funzione $f : A^n \to A$, dove $A^n = A \times A \times \cdots \times A$ ($n$ volte). >- $n=1 \to$ "Unaria interna" >- $n=2 \to$ "Binaria interna" @@ -305,36 +305,36 @@ $\varphi^{-1} = \{ (b, a) \in B \times A : (a, b) \in \varphi \}$. ## *Lezione 5* — Matrici, Semigruppo, Monoide ### Strutture Algebriche -> [!note] Struttura Algebrica +> [!info] Struttura Algebrica > $(S, \mathcal{O})$ dove $S$ è un insieme non vuoto e $\mathcal{O}$ è una famiglia di operazioni su $S$ (Interne opp. Esterne). #### Matrici -> [!note] Matrice $m \times n$ +> [!info] Matrice $m \times n$ > Tabella rettangolare di $m$ righe e $n$ colonne di elementi di un anello. > **Trasposta:** $(A^T)_{ij} = A_{ji}$. #### Magma ->[!note] Magma +>[!info] Magma >$(S,*)$, con $*$ operazione binaria interna #### Associatività -> [!note] Associatività +> [!info] Associatività > $$\forall a, b, c \in S:\; (a * b) * c = a * (b * c)$$ #### Semigruppo -> [!note] Semigruppo +> [!info] Semigruppo > $(S, *)$ dove $*$ è un'operazione binaria **associativa**. #### Elemento Neutro -> [!note] Elemento Neutro +> [!info] Elemento Neutro > $u \in S$ tale che $\forall a \in S:\; a * u = u * a = a$. > Se esiste, è **unico**. ->[!note] Proposizione: Unicità elemento neutro +>[!info] Proposizione: Unicità elemento neutro > Se in un semigruppo $(S, ∗)$ esiste un elemento neutro "$u$", allora > esso è unico. > - Dimostrazione: @@ -344,7 +344,7 @@ Consideriamo $u_2$. Poiché $u_1$ è neutro (in particolare a sinistra), $u_1 Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_2$. #### Monoide -> [!note] Monoide +> [!info] Monoide > **Semigruppo con elemento neutro**: $(S, *, u)$. > > Esempi: @@ -358,7 +358,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Prodotto di Matrici -> [!note] Prodotto Matriciale +> [!info] Prodotto Matriciale > Date $A \in M_{m \times p}$ e $B \in M_{p \times n}$: > $$c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}$$ > Non commutativo; associativo; la matrice identità $I_n$ è l'elemento neutro. @@ -366,7 +366,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Elemento Invertibile (Simmetrico) -> [!note] Elemento Invertibile opp. Simmetrizzabile +> [!info] Elemento Invertibile opp. Simmetrizzabile > In un monoide $(S, *, u)$, $a \in S$ è **invertibile** se: > $$\exists\, a' \in S:\; a * a' = a' * a = u$$ > L'inverso è **unico**. Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile. @@ -378,14 +378,14 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Gruppo degli Invertibili -> [!note] $U(S)$ — Gruppo degli Invertibili +> [!info] $U(S)$ — Gruppo degli Invertibili > L'insieme degli elementi invertibili di un monoide $(S, *, u)$ è **chiuso** per $*$ e forma un **gruppo** $(U(S), *)$. > > Esempi: $U(\mathbb{N},+) = \{0\}$, $\;U(\mathbb{Z}, \cdot) = \{1,-1\}$, $\;U(\mathbb{Q}, \cdot) = \mathbb{Q}^*$, $\;U(A^A, \circ) = S_A$. ### Parte Stabile (Chiusa) -> [!note] Parte Stabile +> [!info] Parte Stabile > $H \subseteq S$ è **stabile** (o **chiusa**) per $*$ se: > $$\forall h, k \in H:\; h * k \in H$$ > @@ -395,13 +395,13 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > - L'elemento neutro di $H$ sarà lo stesso $u$. ### Gruppo -> [!note] Gruppo +> [!info] Gruppo > $(G, *)$ è un **gruppo** se: > 1. $*$ è **associativa** > 2. Esiste un **elemento neutro** $u$ > 3. Ogni elemento ha un **inverso**: $\forall a \in G,\; \exists\, a^{-1} \in G$ -> [!note] Gruppo Abeliano +> [!info] Gruppo Abeliano > Gruppo in cui $*$ è **commutativa**: $a * b = b * a$. --- @@ -410,33 +410,33 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Inversa di una Matrice $2 \times 2$ -> [!note] Inversa $2 \times 2$ +> [!info] Inversa $2 \times 2$ > Sia $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ con $\det(A) = ad - bc \neq 0$: > $$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ ### Anello -> [!note] Anello +> [!info] Anello > $(A, +, \cdot)$ è un **anello** se: > 1. $(A, +)$ è un **gruppo abeliano** > 2. $(A, \cdot)$ è un **semigruppo** > 3. Valgono le **proprietà distributive** (sinistra e destra): > $$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \qquad (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$$ -> [!note] Anello Commutativo +> [!info] Anello Commutativo > $(S,\cdot)$ commutativo > $a \cdot b = b \cdot a$ per ogni $a, b$. -> [!note] Anello Unitario +> [!info] Anello Unitario > $(S,\cdot)$ monoide > Esiste un'unità $1_A$ tale che $a \cdot 1_A = 1_A \cdot a = a$. -> [!note] Anello Booleano +> [!info] Anello Booleano > $(S,\cdot) idempotenza prodotto$ > Anello con $a \cdot a = a$ per ogni $a$. Esempio: $(\mathcal{P}(S), \triangle, \cap)$. ### Caratteristica di un Anello Unitario -> [!note] Caratteristica +> [!info] Caratteristica > $$\mathrm{char}(A) = \min\{m > 0 \mid \underbrace{1_A + \cdots + 1_A}_{m} = 0_A\}$$ > Se tale $m$ non esiste, $\mathrm{char}(A) = 0$. > @@ -444,7 +444,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Elemento Cancellabile -> [!note] Cancellabilità +> [!info] Cancellabilità > $a$ è **cancellabile a sinistra** se $a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b = c$. > $a$ è **cancellabile a destra** se $b \cdot a = c \cdot a \Rightarrow b = c$. > **Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile** (il viceversa non vale in generale). @@ -457,7 +457,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Divisore dello Zero -> [!note] Divisore dello Zero +> [!info] Divisore dello Zero > $a \neq 0_A$ è **divisore dello zero** se $\exists\, b \neq 0_A:\; a \cdot b = 0_A$. > $$a \neq 0 \text{ è divisore dello zero} \;\Longleftrightarrow\; a \text{ non è cancellabile}$$ @@ -476,12 +476,12 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Omomorfismo -> [!note] Omomorfismo +> [!info] Omomorfismo > $f: (S, *) \to (T, \perp)$ è un **omomorfismo** se: > $$f(a * b) = f(a) \perp f(b) \quad \forall a, b \in S$$ ### Dominio d'Integrità e campi -> [!note] Dominio d'Integrità +> [!info] Dominio d'Integrità > Un anello $(A, +, \cdot)$ è un **dominio d'integrità** se: > - È **commutativo** > - È **unitario** (con $1_A \neq 0_A$) @@ -489,13 +489,13 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > > **Esempi:** $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$. -> [!note] Corpo +> [!info] Corpo > Un anello $(K, +, \cdot)$ è un **corpo** se: > - È **unitario** (con $1_K \neq 0_K$) > - $(K^*, \cdot)$ è un **gruppo** (dove $K^* = K \setminus \{0_K\}$) > Equivalentemente: $\mathcal{U}(K^*) = K \setminus \{0_K\}$, ossia ogni elemento non nullo è invertibile/simmetrizzabile. -> [!note] Campo +> [!info] Campo > Un **campo** è un **corpo commutativo**, ossia: > - È un corpo > - La moltiplicazione "$\cdot$" è **commutativa** @@ -510,7 +510,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ >QUINDI >- Cancellabile $\implies \nexists$ Divisori dello zero -> [!important] Teorema di Wedderburn +> [!info] Teorema di Wedderburn > Ogni **corpo finito** è anche un **campo**. > - Spiegazione: > Il teorema dimostra che se l'insieme degli elementi è finito, è matematicamente impossibile costruire una struttura dove valga l'invertibilità senza che valga anche la commutatività @@ -521,7 +521,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Spazio Vettoriale -> [!note] Spazio Vettoriale +> [!info] Spazio Vettoriale > Sia $K$ un campo. Un **$K$-spazio vettoriale** è una struttura $(V, +, \cdot_{\text{ext}})$ dove: > > 1. $(V, +)$ è un **gruppo abeliano** (vettori, somma vettoriale, vettore nullo $0_V$) @@ -534,7 +534,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Gruppo Simmetrico -> [!note] Gruppo Simmetrico $S_n$ +> [!info] Gruppo Simmetrico $S_n$ > Sia $S$ un insieme con $|S| = n$ (spesso $S = \{1, 2, \ldots, n\}$). > > **$\mathcal{B}(S)$** = insieme delle permutazioni (biiezioni) di $S$. @@ -543,10 +543,10 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > - $|S_n| = n!$ > - Non abeliano per $n \geq 3$ -> [!note] Notazione Ciclica +> [!info] Notazione Ciclica > Un **ciclo** $(c_1c_2\cdots c_k)$: $\sigma(c_i) = c_{i+1}$, $\sigma(c_k) = c_1$, $\sigma(x) = x$ altrimenti. -> [!important] **Teorema di Scomposizione Canonica (Permutazioni)** +> [!info] **Teorema di Scomposizione Canonica (Permutazioni)** > > - *Enunciato* > Ogni permutazione $\sigma \in S_n$ diversa dall'identità si può scrivere come prodotto di cicli disgiunti. Tale scomposizione è **unica a meno dell'ordine** con cui i cicli compaiono nel prodotto. @@ -564,7 +564,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > - *Esempio* > $$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 7 & 1 & 5 & 6 & 3 & 9 & 8 \end{pmatrix} = (124)(37)(89)$$ -> [!note] Inversa di Cicli +> [!info] Inversa di Cicli > **Ciclo:** $(c_1c_2\cdots c_k)^{-1} = (c_1c_kc_{k-1}\cdots c_2)$ > > **Esempio:** $(1743)^{-1} = (1347)$ @@ -574,38 +574,38 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Tavole di Cayley -> [!note] Proprietà visibili dalle Tavole +> [!info] Proprietà visibili dalle Tavole > - **Commutatività** $\Longleftrightarrow$ tabella simmetrica rispetto alla diagonale > - **Cancellabilità** $\Longleftrightarrow$ nessuna ripetizione nelle righe e colonne > - **Elemento Neutro** $\Longleftrightarrow$ c'è una riga ed una colonna con elementi uguali agli indici > - **Simmetrizzabili** $\Longleftrightarrow$ l'operazione $*$ restituisce l'elemento neutro -> [!important] Cancellabilità in Strutture Finite +> [!info] Cancellabilità in Strutture Finite > In un magma **finito** $(S, *)$, un elemento $a$ è **cancellabile** se e solo se la funzione $x \mapsto a * x$ è **iniettiva** (e quindi biettiva, essendo $S$ finito). ### Elemento Nilpotente -> [!note] Nilpotente +> [!info] Nilpotente > $a \in A$ è **nilpotente** se $\exists\, n \geq 1:\; a^n = 0_A$. > **Nilpotente non nullo $\Longrightarrow$ Divisore dello zero.** ### Divisibilità -> [!note] Divisibilità +> [!info] Divisibilità > $$b \mid a \;\Longleftrightarrow\; \exists c:\; a = b \cdot c$$ > - $\mathrm{div}(a)$: insieme dei divisori di $a$. > - $\mathrm{mult}(b)$: insieme dei multipli di $b$. ### Elementi Associati -> [!note] Associati +> [!info] Associati > > Sia $x,y \in A$ un anello commutativo unitario. > $x \sim y \;\Longleftrightarrow\; \exists\, u \in U(A):\; x = u \cdot y$. > È una **relazione di equivalenza**. ### Divisori Banali e Propri -> [!note] Divisori Banali e Propri +> [!info] Divisori Banali e Propri > Sia $a \in A$ un anello unitario. > - I **divisori banali** di $a$ sono gli elementi **associati** a $1$ (cioè gli invertibili $U(A)$) e gli associati ad $a$ stesso. > - Un **divisore proprio** è un divisore di $a$ che non è né banale né invertibile. @@ -613,22 +613,22 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### MCD e mcm -> [!note] Massimo Comun Divisore +> [!info] Massimo Comun Divisore > $e = \mathrm{MCD}(a, b)$ se: > 1. $e \mid a$ e $e \mid b$ > 2. $\forall x:\; (x \mid a \;\wedge\; x \mid b) \Rightarrow x \mid e$ -> [!note] Minimo Comune Multiplo +> [!info] Minimo Comune Multiplo > $m = \mathrm{mcm}(a, b)$ se: > 1. $a \mid m$ e $b \mid m$ > 2. $\forall x:\; (a \mid x \;\wedge\; b \mid x) \Rightarrow m \mid x$ ### Numero Primo -> [!note] Primo +> [!info] Primo > $p$ è **primo** se $p \notin U(\mathbb{Z})$ e $\mathrm{div}(p) = \{1, -1, p, -p\}$. -> [!important] Lemma di Euclide +> [!info] Lemma di Euclide > Se $p$ è primo e $p \mid ab$, allora $p \mid a$ oppure $p \mid b$. > [!tip] Dimostrazione — Lemma di Euclide @@ -641,7 +641,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > Quindi $p \mid (pxb + aby) = b$. $\square$ ### Aritmentica in $\mathbb{Z}$ -> [!note] Aritmetica in $\mathbb{Z}$ +> [!info] Aritmetica in $\mathbb{Z}$ > > $\mathbb{Z}$ è un **dominio d'integrità** speciale con proprietà aritmetiche fondamentali: > @@ -661,14 +661,14 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Relazioni Binarie — Proprietà -> [!note] 9.12 — Relazione Binaria su $A$ +> [!info] 9.12 — Relazione Binaria su $A$ > Una **relazione binaria** $R$ su $A$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A \times A$. > > Formalmente: $R = (A \times A, G)$ dove $G \subseteq A \times A$ è il **grafo**. > > Scriviamo: $aRb \Leftrightarrow (a, b) \in G$ -> [!note] Relazione Banali +> [!info] Relazione Banali > - **Relazione Totale**: > $G = A \times A$ > $\forall a, b \in A: \, aRb$ @@ -677,7 +677,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > $G = \text{Diag}(A) = \{(a, a) \mid a \in A\}$ > $aRb \Leftrightarrow a = b$ -> [!note] Proprietà di una Relazione $R \subseteq A \times A$ +> [!info] Proprietà di una Relazione $R \subseteq A \times A$ > | Proprietà | Definizione | > |:----------|:-----------| > | **Riflessiva** | $\forall x \in A,\; xRx$ | @@ -693,7 +693,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Insieme Ben Ordinato -> [!caution] Anticipazione: +> [!warning] Anticipazione: > ##### Insieme Parzialmente Ordinato (POSet: Partial Order Set) > Un **insieme parzialmente ordinato** è una coppia $(S, \leq)$ dove $\leq$ è una relazione che soddisfa $\forall a, b, c \in S$: > @@ -706,7 +706,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > ##### Quindi: > Ben Ordinato $\subset$ Totalmente Ordinato $\subset$ Parzialmente Ordinato (Poset) -> [!note] Ben Ordinato +> [!info] Ben Ordinato > $(S, \leq)$ è **ben ordinato** se ogni sottoinsieme non vuoto ammette un **minimo**. > Ben ordinato $\Longrightarrow$ totalmente ordinato. > Esempio: $(\mathbb{N}, \leq)$. @@ -714,15 +714,15 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Principio di Induzione Si basa sul fatto che $(N, ≤)$ è ben ordinato -> [!note] Forma I (Standard) +> [!info] Forma I (Standard) > Se $P(\bar{n})$ è vera e $\forall n \geq \bar{n}:\; P(n) \Rightarrow P(n+1)$, allora $P(n)$ è vera $\forall n \geq \bar{n}$. -> [!note] Forma II (Forte) +> [!info] Forma II (Forte) > Se $P(\bar{n})$ è vera e $\forall n > \bar{n}:\; \bigl[\forall i\;(\bar{n} \leq i < n \Rightarrow P(i))\bigr] \Rightarrow P(n)$, allora $P(n)$ è vera $\forall n \geq \bar{n}$. ### Divisione Euclidea -> [!important] Teorema della Divisione Euclidea +> [!info] Teorema della Divisione Euclidea > $\forall\, m, n \in \mathbb{Z},\; n \not= 0,\; \exists!\, q, r \in \mathbb{Z}:$ > $$m = n \cdot q + r, \qquad 0 \leq r < |n|$$ @@ -740,7 +740,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Identità di Bézout -> [!important] Identità di Bézout +> [!info] Identità di Bézout > $$\mathrm{MCD}(a, b) = a \cdot x + b \cdot y \quad \text{per opportuni } x, y \in \mathbb{Z}$$ > Corollario: $a, b$ coprimi $\Longleftrightarrow$ $\exists\, x, y:\; ax + by = 1$. @@ -771,7 +771,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Relazione d'Equivalenza -> [!note] Equivalenza +> [!info] Equivalenza > Una relazione binaria $R$ su $A$ è di **equivalenza** se è: > 1. **Riflessiva** > 2. **Simmetrica** @@ -779,7 +779,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Relazione d'Ordine come accennato... -> [!note] Ordine (Parziale) +> [!info] Ordine (Parziale) > Una relazione su $A$ è d'**ordine** se è : > - riflessiva, > - **antisimmetrica** @@ -788,7 +788,7 @@ come accennato... ### Grafo ->[!note] Definizione di garfo +>[!info] Definizione di garfo >Una relazione su A è un **grafo** se è: >- Antiriflessivo >- Simmetrico @@ -799,18 +799,18 @@ come accennato... ### Algoritmo di Euclide -> [!note] Algoritmo di Euclide +> [!info] Algoritmo di Euclide > Calcola $\mathrm{MCD}(a, b)$ tramite divisioni successive: si divide ripetutamente il dividendo per il resto, finché il resto è $r = 0$. L'ultimo resto non nullo è il MCD. > $$MCD(a,b) = MCD(b,r)$$ ### Algoritmo Esteso di Euclide -> [!note] Algoritmo Esteso +> [!info] Algoritmo Esteso > Risalendo le divisioni dell'Algoritmo di Euclide, si trovano i **coefficienti di Bézout** $x, y$ tali che $ax + by = \mathrm{MCD}(a, b)$. ### Lemma D'Euclide -> [!important] Lemma di Euclide +> [!info] Lemma di Euclide > Se $p$ è un numero primo e $p \mid ab$, allora $p \mid a$ oppure $p \mid b$. > > **Dimostrazione (Idea):** Se $p \nmid a$, allora MCD$(p, a) = 1$. Per Bézout, @@ -818,7 +818,7 @@ come accennato... > Moltiplichiamo per $b$: $pxb + ayb = b$. Poiché $p \mid pxb$ e $p \mid ayb$ (dato che $p \mid ab$), allora $p$ divide la loro somma, cioè $p \mid b$. ### Teorema Fondamentale dell'Aritmetica -> [!important] FTA +> [!info] FTA > Ogni intero $n \geq 2$ si scrive in modo **unico** (a meno dell'ordine) come prodotto di numeri primi: > $$n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$ >- **Unicità della Fattorizzazione :** @@ -829,7 +829,7 @@ allora: $(m = n)$ (stesso numero di fattori), e $(p_i = q_i)\,\space \forall i$ > - **Ruolo del Lemma di Euclide :** Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: se un primo $p \mid (a\cdot b), \implies p\mid a \lor p\mid b$ -> [!important] Dimostrazione Th. Fondamenta della aritmetica +> [!info] Dimostrazione Th. Fondamenta della aritmetica > - Parte 1: Esistenza della fattorizzazione > > **Per induzione su $n$:** @@ -874,7 +874,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Classi di Equivalenza -> [!note] Classe di Equivalenza +> [!info] Classe di Equivalenza > $$[a]_R = \{x \in S \mid x \mathrel{R} a\}$$ > Proprietà: > - Ogni classe è **non vuota** ($a \in [a]$) @@ -883,7 +883,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Insieme Quoziente -> [!note] Insieme Quoziente +> [!info] Insieme Quoziente > $$S / R = \{[a]_R \mid a \in S\}$$ > L'insieme di tutte le classi di equivalenza disgiunte. @@ -893,7 +893,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ## *Lezione 12* — Equivalenza ↔ Partizioni, Congruenza, Anello $\mathbb{Z}_m$ ### Th. Fondamentale sulle relazioni di equivalenza -> [!important] Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza +> [!info] Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza > > Sia $S \neq \varnothing$. Esiste una corrispondenza biunivoca tra: > - L'insieme di tutte le **relazioni di equivalenza** su $S$ @@ -904,7 +904,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: > - Se $\mathcal{F}$ è una partizione, allora $x R_{\mathcal{F}} y \Leftrightarrow \exists A \in \mathcal{F}: x, y \in A$ è una relazione di equivalenza > - Queste costruzioni sono una l'inversa dell'altra -> [!important] Dimostrazione: Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza +> [!info] Dimostrazione: Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza > > ### Parte i) Relazione $\Rightarrow$ Partizione > @@ -967,7 +967,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Relazione di Equivalenza Indotta da Funzione -> [!note] Relazione di Equivalenza indotta da una Funzione +> [!info] Relazione di Equivalenza indotta da una Funzione > > Siano $S, T$ insiemi non vuoti e $f : S \to T$ una funzione. > @@ -985,7 +985,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Applicazione Quoziente (Fattorizzazione) -> [!note] Fattorizzazione +> [!info] Fattorizzazione > Data $f: S \to T$ e la relazione $R_f$, l'**applicazione quoziente** è: > $$\bar{f}: S/R_f \to T, \qquad \bar{f}([a]) = f(a)$$ > È **ben definita** e **iniettiva**. Vale $f = \bar{f} \circ \pi$ (dove $\pi$ è la proiezione canonica). @@ -997,7 +997,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Congruenza (Compatibilità) -> [!note] Congruenza (Relazione di Equivalenza Compatibile) +> [!info] Congruenza (Relazione di Equivalenza Compatibile) > > Sia $(S, \bot)$ una struttura con un'operazione binaria $\bot$. Una relazione di equivalenza $R$ su $S$ si dice **congruenza** (o **compatibile**) rispetto a $\bot$ se: > @@ -1016,7 +1016,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: > > La struttura quoziente $(S/R, \bot_R)$ eredita le proprietà algebriche di $(S, \bot)$. -> [!attention] Operazione "Ben definita" +> [!warning] Operazione "Ben definita" > > Se scegliamo altri rappresentanti $[a]_R = [c]_R$ (cioè $aRc$) e $[b]_R = [d]_R$ (cioè $bRd$), il risultato non deve cambiare: > $$[a \bot b]_R \text{ deve essere uguale a } [c \bot d]_R$$ @@ -1030,7 +1030,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: > Quindi l'operazione $\bot_R$ su $S/R$ è **ben definita**. ### Congruenza Modulo $m$ -> [!note] Congruenza Modulo $m$ +> [!info] Congruenza Modulo $m$ > $$a \equiv b \pmod{m} \;\Longleftrightarrow\; m \mid (a - b)$$ > Equivalentemente: $a$ e $b$ hanno lo **stesso resto** nella divisione per $m$. > @@ -1038,7 +1038,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: > - $m = 0$: la congruenza è l'**uguaglianza** > - $m = 1$: la relazione è **totale** (sempre vera) -> [!note] Compatibilità con $+$ e $\cdot$ +> [!info] Compatibilità con $+$ e $\cdot$ > Se $a \equiv c$ e $b \equiv d$ $\pmod{m}$, allora: > $$a + b \equiv c + d \pmod{m} \qquad a \cdot b \equiv c \cdot d \pmod{m}$$ > >[!tip] Dimostrazione — Compatibilità @@ -1048,7 +1048,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: >> >> **Prodotto:** $ab = (c + mh)(d + mk) = cd + m(ck + hd + mhk)$, dunque $ab - cd = m(ck + hd + mhk)$ e $m \mid (ab - cd)$. $\square$ -> [!note] Anello $\mathbb{Z}_m$ +> [!info] Anello $\mathbb{Z}_m$ > L'insieme quoziente $\mathbb{Z}_m = \{[0]_m, [1]_m, \ldots, [m-1]_m\}$ con: > $$[a] + [b] = [a + b], \qquad [a] \cdot [b] = [a \cdot b]$$ > è un **anello commutativo unitario**. @@ -1059,7 +1059,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### $\mathbb{Z}_m$ è un Campo -> [!important] Teorema +> [!info] Teorema > $(\mathbb{Z}_m, +, \cdot)$ è un **campo** se e solo se $m$ è un numero **primo**. > [!tip] Dimostrazione — $\mathbb{Z}_m$ campo: $\Longleftrightarrow$ $m$ primo @@ -1071,7 +1071,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Caratteristica di $\mathbb{Z}_m$ -> [!note] Caratteristica +> [!info] Caratteristica > $$\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m) = m$$ @@ -1081,13 +1081,13 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Invertibili e Divisori dello Zero in $\mathbb{Z}_m$ -> [!note] Invertibili +> [!info] Invertibili > $[a]_m$ è **invertibile** in $\mathbb{Z}_m$ $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, m) = 1$. -> [!note] Divisori dello Zero +> [!info] Divisori dello Zero > $[a]_m \neq [0]_m$ è **divisore dello zero** in $\mathbb{Z}_m$ $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, m) > 1$. -> [!note] Dicotomia +> [!info] Dicotomia > In $\mathbb{Z}_m$, ogni $[a] \neq [0]$ è **o invertibile o divisore dello zero**. > [!tip] Dimostrazione — Invertibili e Divisori dello Zero in $\mathbb{Z}_m$ @@ -1113,12 +1113,12 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Elementi Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ -> [!note] Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ +> [!info] Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ > Sia $m = p_1^{\alpha_1} \cdots p_t^{\alpha_t}$. Allora $[a]_m$ è nilpotente $\iff$ ogni divisore primo di $m$ divide anche $a$. ### Equazioni Congruenziali -> [!important] Teorema di Risolubilità +> [!info] Teorema di Risolubilità > L'equazione $ax \equiv b \pmod{m}$ ha soluzione $\;\Longleftrightarrow\;$ $d \mid b$, dove $d = \mathrm{MCD}(a, m)$. > Se ha soluzione, ci sono esattamente **$d$ soluzioni distinte** modulo $m$. > Se $d = 1$, la soluzione unica è $x \equiv a^{-1} b \pmod{m}$. @@ -1129,13 +1129,13 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Elemento Idempotente -> [!note] Idempotente in $\mathbb{Z}_m$ +> [!info] Idempotente in $\mathbb{Z}_m$ > $[a]_m$ è **idempotente** se $[a]^2 = [a]$, cioè $m \mid a(a-1)$. > Sempre idempotenti: $[0]$ e $[1]$. ### Criteri di Divisibilità (via Aritmetica Modulare) -> [!note] Formula Generale +> [!info] Formula Generale > Sia $n = c_k \cdot 10^k + \cdots + c_1 \cdot 10 + c_0$. Allora: > $$n \equiv \sum_{i=0}^{k} c_i \cdot (10^i \bmod m) \pmod{m}$$ | Divisore | Criterio | @@ -1151,19 +1151,19 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Corollario: $\mathbb{Z}_n$ Dominio d'Integrità $\mathbb{Z}_n$ equivale a $\mathbb{Z}_m$ ma con $n \not= m$ -> [!note] Dominio +> [!info] Dominio > $\mathbb{Z}_n$ è un **dominio d'integrità** $\;\Longleftrightarrow\;$ $n$ è primo $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathbb{Z}_n$ è un campo. ### Anello Prodotto -> [!note] **Definizione** +> [!info] **Definizione** > L'anello prodotto $R \times S = \{(r,s) \mid r \in R, s \in S\}$ con operazioni componente per componente: > - $(r_1,s_1) + (r_2,s_2) = (r_1+r_2, s_1+s_2)$ > - $(r_1,s_1) \cdot (r_2,s_2) = (r_1 \cdot r_2, s_1 \cdot s_2)$ > - Zero: $\mathbf{0} = (0_R, 0_S)$ > - Unità: $\mathbf{1} = (1_R, 1_S)$ (se $R,S$ unitari) -> [!note] **Proprietà Fondamentali** +> [!info] **Proprietà Fondamentali** > > | Proprietà | Risultato | > |---|---| @@ -1174,7 +1174,7 @@ $\mathbb{Z}_n$ equivale a $\mathbb{Z}_m$ ma con $n \not= m$ > | **Caratteristica** | $\mathrm{char}(R \times S) = \mathrm{mcm}(\mathrm{char}(R), \mathrm{char}(S))$ | > | **Campo** | Se $F,K$ campi ⟹ $F \times K$ **NON è campo** (ha divisori dello zero) | -> [!note] **Teorema Cinese dei Resti (TCR)** +> [!info] **Teorema Cinese dei Resti (TCR)** > $$\mathbb{Z}_{mn} \cong \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{MCD}(m,n) = 1$$ > > **Isomorfismo:** $\phi([a]_{mn}) = ([a]_m, [a]_n)$ @@ -1183,14 +1183,14 @@ $\mathbb{Z}_n$ equivale a $\mathbb{Z}_m$ ma con $n \not= m$ > > **Esempio:** $\mathbb{Z}_{15} \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5$ (poiché $\gcd(3,5)=1$) -> [!note] **Riassunto Critico** +> [!info] **Riassunto Critico** > - ✓ Operazioni componente per componente funzionano perfettamente > - ✗ Divisori dello zero sempre presenti (perdita proprietà integralità) > - ✗ Non è mai un campo anche se fattori sono campi > - ✓ TCR consente di fattorizzare calcoli complessi quando fattori sono coprimi > - ✓ Invertibili sono il prodotto cartesiano di invertibili -> [!note] Caratteristica dell'Anello Prodotto +> [!info] Caratteristica dell'Anello Prodotto > $$\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) = \mathrm{mcm}(\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m),\, \mathrm{char}(\mathbb{Z}_n)) = \mathrm{mcm}(m, n)$$ --- @@ -1198,13 +1198,13 @@ $\mathbb{Z}_n$ equivale a $\mathbb{Z}_m$ ma con $n \not= m$ ### Equazione Diofantea Lineare -> [!note] Equazione Diofantea +> [!info] Equazione Diofantea > $ax + by = c$ con $a, b, c \in \mathbb{Z}$, soluzioni $x, y \in \mathbb{Z}$. > Ha soluzione $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, b) \mid c$. ### Funzione Totiente di Eulero -> [!note] Funzione $\varphi(n)$ +> [!info] Funzione $\varphi(n)$ > $$\varphi(n) = |U(\mathbb{Z}_n)| = |\{k \in \{0, \ldots, n-1\} \mid \mathrm{MCD}(k, n) = 1\}|$$ > > Proprietà: @@ -1214,15 +1214,15 @@ $\mathbb{Z}_n$ equivale a $\mathbb{Z}_m$ ma con $n \not= m$ ### Teorema di Fermat-Eulero -> [!important] Fermat-Eulero +> [!info] Fermat-Eulero > Se $\mathrm{MCD}(a, n) = 1$, allora: > $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$$ ->> [!important] Piccolo Teorema di Fermat +>> [!info] Piccolo Teorema di Fermat >> Se $p$ è primo e $p \nmid a$: >> $$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$ ### Coefficiente Binomiale Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme di oggetti, senza considerare l'ordine e senza ripetizioni. -> [!note] **Fattoriale e Coefficiente Binomiale** +> [!info] **Fattoriale e Coefficiente Binomiale** > > >[!info] **Fattoriale:** $n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$ per $n \geq 1$; $0! = 1$ > @@ -1239,7 +1239,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Identità di Pascal -> [!important] Identità di Pascal +> [!info] Identità di Pascal > $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$ > [!tip] Dimostrazione — Identità di Pascal > $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k+1)!}$$ @@ -1248,7 +1248,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Somma dei Coefficienti Binomiali -> [!note] Somma +> [!info] Somma > $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$ >> [!tip] Dimostrazione — $|\mathcal{P}(S)| = 2^{|S|}$ (per induzione) >> *Base:* $n = 0$: $|\mathcal{P}(\emptyset)| = |\{\emptyset\}| = 1 = 2^0$. @@ -1259,7 +1259,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Applicazioni Iniettive -> [!note] Conteggio +> [!info] Conteggio > Il numero di applicazioni iniettive $f: S \to T$ con $|S| = n$, $|T| = m$, $n \leq m$: > $$\frac{m!}{(m-n)!}$$ >> [!tip] Dimostrazione — Conteggio applicazioni iniettive (per induzione su $n$) @@ -1271,7 +1271,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Binomio di Newton -> [!important] Binomio di Newton +> [!info] Binomio di Newton > $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k$$ > [!tip] Dimostrazione — Binomio di Newton (per induzione su $n$) > *Base:* $n = 0$: $(a+b)^0 = 1 = \binom{0}{0} a^0 b^0$. @@ -1293,13 +1293,13 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Insieme Parzialmente Ordinato (POSet) -> [!note] Insieme Parzialmente Ordinato +> [!info] Insieme Parzialmente Ordinato > Un **insieme parzialmente ordinato** (POSet) è una coppia $(S, \leq)$ dove $\leq$ è una relazione d'ordine su $S$. > Se l'ordine è totale, si parla di **insieme totalmente ordinato**. ### Ordine Largo -> [!note] Relazione d'Ordine (Largo, Parziale) +> [!info] Relazione d'Ordine (Largo, Parziale) > Una relazione $\leq$ su $S$ è d'**ordine** se è: > 1. **Riflessiva:** $\forall x \in S,\; x \leq x$ > 2. **Antisimmetrica:** $\forall x, y \in S,\; (x \leq y \wedge y \leq x) \Rightarrow x = y$ @@ -1307,7 +1307,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Ordine Stretto -> [!note] Ordine Stretto +> [!info] Ordine Stretto > Una relazione $<$ su $S$ è d'**ordine stretto** se è: > 1. **Antiriflessiva:** $\forall x \in S,\; x \not< x$ > 2. **Transitiva:** $\forall x, y, z \in S,\; (x < y \wedge y < z) \Rightarrow x < z$ @@ -1319,13 +1319,13 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Corrispondenza Largo ↔ Stretto -> [!note] Relazione tra Ordine Largo e Stretto +> [!info] Relazione tra Ordine Largo e Stretto > Esiste una corrispondenza biunivoca tra ordine largo e stretto sullo stesso insieme: > $$x < y \;\Longleftrightarrow\; (x \leq y \;\wedge\; x \neq y)$$ > $$x \leq y \;\Longleftrightarrow\; (x < y \;\vee\; x = y)$$ ### Ordine Totale -> [!note] Ordine Totale (o Lineare) +> [!info] Ordine Totale (o Lineare) > Un ordine $\leq$ su $S$ è **totale** se ogni coppia di elementi è **confrontabile**: > $$\forall x, y \in S:\; x \leq y \;\vee\; y \leq x$$ > Se un ordine non è totale, è detto **parziale**. @@ -1336,7 +1336,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Elemento Minimo e Massimo -> [!note] Minimo e Massimo +> [!info] Minimo e Massimo > Sia $(S, \leq)$ un insieme ordinato: > - $a$ è **minimo** se $a \leq x$ per ogni $x \in S$. Se esiste, è **unico**. > - $a$ è **massimo** se $x \leq a$ per ogni $x \in S$. Se esiste, è **unico**. @@ -1350,31 +1350,31 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Elemento Minimale e Massimale -> [!note] Minimale e Massimale +> [!info] Minimale e Massimale > Sia $(S, \leq)$ un insieme ordinato: > - $a$ è **minimale** se non esiste $x \in S$ con $x < a$. Equivalentemente: $\forall x \in S,\; (x \leq a \Rightarrow x = a)$. > - $a$ è **massimale** se non esiste $x \in S$ con $a < x$. Equivalentemente: $\forall x \in S,\; (a \leq x \Rightarrow x = a)$. -> [!note] Relazione tra Minimo e Minimale +> [!info] Relazione tra Minimo e Minimale > - Minimo $\Rightarrow$ unico elemento minimale > - Un minimale unico **non è necessariamente** il minimo > - In un ordine **totale**, minimale $\Longleftrightarrow$ minimo -> [!important] Teorema — Poset Finiti +> [!info] Teorema — Poset Finiti > Ogni insieme **finito non vuoto** parzialmente ordinato possiede almeno un elemento **minimale** e almeno un elemento **massimale**. > > **Controesempio per insiemi infiniti:** $(\mathbb{Z}, \leq)$ non ha né minimali né massimali. ### Copertura (Successore Immediato) -> [!note] Copertura +> [!info] Copertura > Sia $(S, \leq)$ un poset. L'elemento $b$ **copre** $a$ se: > $$a < b \;\wedge\; \nexists\, c \in S:\; a < c < b$$ > Cioè $b$ è "immediatamente sopra" $a$ nell'ordine (è il successore immediato). ### Diagramma di Hasse -> [!note] Diagramma di Hasse +> [!info] Diagramma di Hasse > Rappresentazione grafica di un poset finito $(S, \leq)$: > - Vertici: elementi di $S$ > - Archi: solo le relazioni di **copertura** @@ -1383,7 +1383,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Insieme Ben Ordinato -> [!note] Ben Ordinato +> [!info] Ben Ordinato > $(S, \leq)$ è **ben ordinato** se ogni sottoinsieme non vuoto $X \subseteq S$ ammette un **minimo**. > - Ben ordinato $\Rightarrow$ totalmente ordinato > - **Esempio:** $(\mathbb{N}, \leq)$ @@ -1391,7 +1391,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Minoranti e Maggioranti -> [!note] Minorante e Maggiorante +> [!info] Minorante e Maggiorante > Sia $(S, \leq)$ un poset e $X \subseteq S$: > - $a \in S$ è un **minorante** di $X$ se $a \leq x$ per ogni $x \in X$ > - $a \in S$ è un **maggiorante** di $X$ se $x \leq a$ per ogni $x \in X$ @@ -1400,19 +1400,19 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Infimo e Supremo -> [!note] Infimo +> [!info] Infimo > $$\inf(X) = \max(\text{minoranti di } X)$$ > Il **più grande** tra i minoranti di $X$ (se esiste). -> [!note] Supremo +> [!info] Supremo > $$\sup(X) = \min(\text{maggioranti di } X)$$ > Il **più piccolo** tra i maggioranti di $X$ (se esiste). -> [!note] Relazione con Minimo e Massimo +> [!info] Relazione con Minimo e Massimo > - Se $\min(X)$ esiste, allora $\inf(X) = \min(X)$ > - Se $\max(X)$ esiste, allora $\sup(X) = \max(X)$ -> [!note] Esempio Fondamentale: $(\mathbb{N}^*, \mid)$ +> [!info] Esempio Fondamentale: $(\mathbb{N}^*, \mid)$ > Per $X = \{60, 54\}$: > - **Minoranti** = divisori comuni = $\{1, 2, 3, 6\}$ > - **Infimo** = massimo dei minoranti = $6 = \mathrm{MCD}(60, 54)$ @@ -1442,7 +1442,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Divisibilità come Relazione d'Ordine -> [!note] Divisibilità su $\mathbb{N}^*$ +> [!info] Divisibilità su $\mathbb{N}^*$ > La relazione di divisibilità "$\mid$" su $\mathbb{N}^*$ è una **relazione d'ordine parziale(Largo)**: > 1. **Riflessiva:** $a \mid a$ per ogni $a \in \mathbb{N}^*$ > 2. **Antisimmetrica:** Se $a \mid b$ e $b \mid a$ con $a, b > 0$, allora $a = b$ @@ -1454,7 +1454,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme > - Minimo: $\min(\mathbb{N}^*, \mid) = 1$ > - Massimo: non esiste -> [!note] Divisibilità su $\mathbb{Z}$ — Non è un Ordine +> [!info] Divisibilità su $\mathbb{Z}$ — Non è un Ordine > La relazione "$\mid$" su $\mathbb{Z}$ **non** è una relazione d'ordine perché **non è antisimmetrica**. > > **Controesempio:** $2 \mid (-2)$ e $(-2) \mid 2$, ma $2 \neq -2$. @@ -1462,7 +1462,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Ordine Indotto da una Funzione -> [!note] Ordine Indotto +> [!info] Ordine Indotto > Sia $f: S \to T$ una funzione e $(T, \leq_T)$ un insieme ordinato. Su $S$ definiamo la relazione: > $$a \leq_f b \;\Longleftrightarrow\; (a = b) \;\vee\; (f(a) <_T f(b))$$ > Questa è una **relazione d'ordine** su $S$. @@ -1480,7 +1480,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme > - Se $a \neq b$ e $b \neq c$: allora $f(a) <_T f(b) <_T f(c)$, da cui $f(a) <_T f(c)$ e $a \leq_f c$. > $\square$ -> [!attention] TIPS: +> [!warning] TIPS: > Nota come l'ordine indotto definisce la relazione nello stesso modo come la: > $$\text{ordine Largo} \implies (a=b) \lor \text{ordine stretto}$$ --- @@ -1489,14 +1489,14 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Reticolo (Definizione tramite Ordine) -> [!note] Reticolo +> [!info] Reticolo > Un poset $(L, \leq)$ è un **reticolo** se per ogni coppia $a, b \in L$ esistono: > - $\inf\{a, b\} = a \wedge b$ (**meet**, infimo di due elementi) > - $\sup\{a, b\} = a \vee b$ (**join**, supremo di due elementi) ### Reticolo (Definizione Algebrica) -> [!note] Reticolo (struttura algebrica) +> [!info] Reticolo (struttura algebrica) > Una struttura $(L, \wedge, \vee)$ è un **reticolo** se $\wedge$ e $\vee$ sono operazioni binarie che soddisfano: > 1. **Associatività:** > - $(a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)$ @@ -1510,7 +1510,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Idempotenza (Conseguenza) -> [!note] Idempotenza +> [!info] Idempotenza > Dalle leggi di assorbimento derivano le **proprietà di idempotenza**: > $$a \wedge a = a \qquad \qquad a \vee a = a$$ >> [!tip] Dimostrazione — Idempotenza @@ -1520,7 +1520,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Equivalenza tra le Due Definizioni -> [!important] Teorema — Equivalenza Ordine ↔ Algebrica +> [!info] Teorema — Equivalenza Ordine ↔ Algebrica > Le due definizioni di reticolo sono **equivalenti**. La relazione d'ordine si recupera da: > $$a \leq b \;\Longleftrightarrow\; a \wedge b = a \;\Longleftrightarrow\; a \vee b = b$$ >> [!tip] Dimostrazione — Algebrico ⟹ Ordine @@ -1543,7 +1543,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Esempio Fondamentale -> [!note] L'Insieme delle Parti è un Reticolo +> [!info] L'Insieme delle Parti è un Reticolo > La struttura $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ è un **reticolo** con: > - $A \wedge B = A \cap B$ (infimo = intersezione) > - $A \vee B = A \cup B$ (supremo = unione) @@ -1552,15 +1552,15 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Catena -> [!note] Catena +> [!info] Catena > Un sottoinsieme $C \subseteq S$ di un insieme ordinato $(S, \leq)$ è una **catena** se è **totalmente ordinato**: > $$\forall x, y \in C:\; x \leq y \;\vee\; y \leq x$$ ->> [!note] Catena Massimale +>> [!info] Catena Massimale >> Una catena $C$ in $(S, \leq)$ è **massimale** se **non può essere estesa**: non esiste alcun elemento $s \in S \setminus C$ tale che $C \cup \{s\}$ sia ancora una catena. ### Poset che Non è un Reticolo -> [!note] Esempio — Poset Privo di Infimo o Supremo +> [!info] Esempio — Poset Privo di Infimo o Supremo > Consideriamo il poset $P = \{0, a, b, c, d, 1\}$ con ordine: > $$0 < a, b \quad \text{e} \quad a, b < c, d \quad \text{e} \quad c, d < 1$$ > dove $c$ e $d$ **non sono confrontabili**. @@ -1574,22 +1574,22 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Reticolo Limitato -> [!note] Reticolo Limitato +> [!info] Reticolo Limitato > Un reticolo $(L, \leq)$ è **limitato** se possiede: > - Un **elemento minimo** $0_L$: $0_L \leq a$ per ogni $a \in L$ > - Un **elemento massimo** $1_L$: $a \leq 1_L$ per ogni $a \in L$ > > Equivalentemente (in notazione algebrica): $a \vee 0_L = a$ e $a \wedge 1_L = a$ per ogni $a$. -> [!important] Teorema — Reticoli Finiti Sono Limitati +> [!info] Teorema — Reticoli Finiti Sono Limitati > Ogni reticolo **finito** è **limitato**: possiede sempre un elemento minimo e un elemento massimo. -> [!important] Corollario — Insieme Totalmente Ordinato è un Reticolo +> [!info] Corollario — Insieme Totalmente Ordinato è un Reticolo > Se $(S, \leq)$ è un insieme **totalmente ordinato**, allora è un **reticolo**. Per ogni $a, b \in S$: > $$a \wedge b = \min\{a, b\} \qquad \quad a \vee b = \max\{a, b\}$$ #### Esempi di Reticoli Limitati -> [!note] Esempi Comuni +> [!info] Esempi Comuni > - $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$: elemento minimo $0_L = \emptyset$, massimo $1_L = S$ > - $(\mathbb{D}_n, \mid)$ (divisori di $n$): elemento minimo $0_L = 1$, massimo $1_L = n$ > - $(\mathbb{N}^*, \mid)$: limitato **inferiormente** (minimo = 1), ma **non** limitato superiormente. Non è un reticolo limitato. @@ -1605,12 +1605,12 @@ graph TD ### Sottoreticolo -> [!note] Sottoreticolo +> [!info] Sottoreticolo > Un sottoinsieme non vuoto $A \subseteq L$ di un reticolo $(L, \wedge, \vee)$ è un **sottoreticolo** se è **chiuso** per $\wedge$ e $\vee$: > $$\forall x, y \in A:\; x \wedge y \in A \;\wedge\; x \vee y \in A$$ > In tal caso, $(A, \wedge|_A, \vee|_A)$ è esso stesso un reticolo. -> [!note] Esempi e Non-Esempi +> [!info] Esempi e Non-Esempi > - Ogni singolo elemento $\{a\}$ è un **sottoreticolo banale**. > - $\{a, b\}$ è un sottoreticolo $\iff$ $a$ e $b$ sono **confrontabili** (uno è $\leq$ all'altro). > - In $(\mathbb{D}_{36}, \mid)$: il sottoinsieme $L = \{1, 2, 3, 6, 36\}$ **è** un sottoreticolo. @@ -1618,7 +1618,7 @@ graph TD ### Isomorfismo di Reticoli -> [!note] Isomorfismo tra Poset e Reticoli +> [!info] Isomorfismo tra Poset e Reticoli > Una funzione biettiva $f: L \to M$ è un **isomorfismo** se **preserva l'ordine**: > $$a \leq_L b \;\Longleftrightarrow\; f(a) \leq_M f(b) \quad \forall a, b \in L$$ > @@ -1626,10 +1626,10 @@ graph TD > $$f(a \wedge b) = f(a) \wedge f(b) \qquad \quad f(a \vee b) = f(a) \vee f(b)$$ ### Elemento Complementato -> [!note] Complemento in un Reticolo Limitato +> [!info] Complemento in un Reticolo Limitato > In un reticolo **limitato** $(L, \leq, 0_L, 1_L)$, un elemento $a \in L$ ha un **complemento** $\bar{a}$ se: > $$a \wedge \bar{a} = 0_L \qquad \text{e} \qquad a \vee \bar{a} = 1_L$$ ->> [!note] Osservazione +>> [!info] Osservazione >> - Ogni elemento ha **al massimo** un complemento (l'inverso è unico). >> - Gli elementi $0_L$ e $1_L$ sono sempre complementari tra loro. @@ -1637,10 +1637,10 @@ graph TD ### Reticolo Complementato -> [!note] Reticolo Complementato +> [!info] Reticolo Complementato > Un reticolo **limitato** è **complementato** se **ogni** elemento possiede almeno un complemento. -> [!note] Esempio: $M_3$ (Diamante) è Complementato +> [!info] Esempio: $M_3$ (Diamante) è Complementato > Il reticolo $M_3 = \{0, a, b, c, 1\}$ con $a, b, c$ mutuamente non confrontabili e $0 < a, b, c < 1$: > - $a$ ha come complementi sia $b$ che $c$ (ad es., $a \wedge b = 0$ e $a \vee b = 1$) > - È un reticolo complementato (ma non distributivo). @@ -1656,7 +1656,7 @@ graph TD ``` ### Reticolo NON Complementato -> [!note] Esempio: Catena $0 < a < 1$ Non è Complementata +> [!info] Esempio: Catena $0 < a < 1$ Non è Complementata > La catena a 3 elementi $L = \{0, a, 1\}$ con $0 < a < 1$: > > Se $\bar{a}$ è il complemento di $a$, deve soddisfare $a \wedge \bar{a} = 0$ e $a \vee \bar{a} = 1$. @@ -1669,7 +1669,7 @@ graph TD ### Reticolo Prodotto -> [!note] Reticolo Prodotto +> [!info] Reticolo Prodotto > Dati due reticoli $(L_1, \leq_1)$ e $(L_2, \leq_2)$, il **prodotto cartesiano** $L_1 \times L_2$ è un reticolo con ordine e operazioni **componente per componente**: > > **Ordine:** $(a, b) \leq (c, d) \;\Longleftrightarrow\; a \leq_1 c \;\wedge\; b \leq_2 d$ @@ -1682,7 +1682,7 @@ graph TD ### Reticolo dei Divisori -> [!note] Reticolo $(\mathbb{D}_n, \mid \space)$ +> [!info] Reticolo $(\mathbb{D}_n, \mid \space)$ > L'insieme dei divisori positivi di $n$, ordinato per divisibilità, forma un **reticolo limitato**: > - **Infimo:** $a \wedge b = \mathrm{MCD}(a, b)$ > - **Supremo:** $a \vee b = \mathrm{mcm}(a, b)$ @@ -1695,7 +1695,7 @@ graph TD ### Principio di Dualità per Reticoli -> [!important] Principio di Dualità +> [!info] Principio di Dualità > Se un enunciato vale per **tutti** i reticoli, allora vale anche il suo **duale**, ottenuto scambiando simultaneamente: > $$\leq \;\longleftrightarrow\; \geq \qquad \wedge \;\longleftrightarrow\; \vee \qquad 0_L \;\longleftrightarrow\; 1_L$$ > @@ -1703,7 +1703,7 @@ graph TD ### Reticolo Distributivo -> [!note] Reticolo Distributivo +> [!info] Reticolo Distributivo > Un reticolo è **distributivo** se soddisfa la **distributività** del meet sul join: > $$a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$$ > @@ -1714,10 +1714,10 @@ graph TD ### Reticoli Non Distributivi: $M_3$ e $N_5$ -> [!important] Teorema — Caratterizzazione della Distributività +> [!info] Teorema — Caratterizzazione della Distributività > Un reticolo è distributivo se e soltanto se **non contiene** sottoreticoli isomorfi a $M_3$ (diamante) o $N_5$ (pentagono). -> [!note] Reticolo Diamante $M_3$ +> [!info] Reticolo Diamante $M_3$ > Il reticolo con 5 elementi $\{0, a, b, c, 1\}$ dove: > - $a, b, c$ sono mutuamente **non confrontabili** > - $0 < a, b, c < 1$ @@ -1733,7 +1733,7 @@ graph TD c --- 0((0)) ``` -> [!note] Reticolo Pentagonale $N_5$ +> [!info] Reticolo Pentagonale $N_5$ > Il reticolo con 5 elementi $\{0, a, b, c, 1\}$ dove: > - $0 < a < b < 1$ (una catena) > - $0 < c < 1$ con $c$ **non confrontabile** con $a$ e $b$ @@ -1768,7 +1768,7 @@ graph TD ### Unicità del Complemento in Reticoli Distributivi -> [!important] Teorema — Unicità del Complemento +> [!info] Teorema — Unicità del Complemento > In un reticolo **distributivo e limitato**, se un elemento ha un complemento, questo è **unico**. > [!tip] Dimostrazione — Unicità del Complemento @@ -1784,7 +1784,7 @@ graph TD ### Reticolo Booleano -> [!note] Reticolo Booleano +> [!info] Reticolo Booleano > Un reticolo è **booleano** se è **distributivo** e **complementato**. > > **Esempio fondamentale:** $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ con complemento $A^c = S \setminus A$. @@ -1794,7 +1794,7 @@ graph TD > - $M_3$ (è complementato ma non distributivo) > - $N_5$ (non è distributivo) -> [!important] Teorema di Rappresentazione +> [!info] Teorema di Rappresentazione > Ogni reticolo booleano **finito** è isomorfo a $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ per un opportuno insieme finito $S$. > > **Conseguenza:** Se $|L| = 2^n$, allora $L$ ha $n$ "atomi" (elementi minimali non zero). @@ -1817,7 +1817,7 @@ graph TD ### Algebra di Boole -> [!note] Algebra di Boole +> [!info] Algebra di Boole > Una struttura $(A, \wedge, \vee, ', 0, 1)$ è un'**algebra di Boole** se: > 1. **Associatività** di $\wedge$ e $\vee$ > 2. **Commutatività** di $\wedge$ e $\vee$ @@ -1828,12 +1828,12 @@ graph TD > > dove $'$ è un'operazione unaria (**complementazione**). -> [!important] Teorema di Rappresentazione di Stone +> [!info] Teorema di Rappresentazione di Stone > Ogni algebra di Boole **finita** è isomorfa a $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup, {}^c, \emptyset, S)$ per un opportuno insieme $S$. ### Anello Booleano -> [!note] Anello Booleano +> [!info] Anello Booleano > Un anello $(A, +, \cdot)$ è **booleano** se $a^2 = a$ (idempotenza moltiplicativa) per ogni $a \in A$. > > **Proprietà caratteristiche:** @@ -1854,7 +1854,7 @@ graph TD ### Corrispondenza tra Reticoli Booleani e Anelli Booleani -> [!note] Da Reticolo Booleano ad Anello Booleano +> [!info] Da Reticolo Booleano ad Anello Booleano > Dato un reticolo booleano $(L, \wedge, \vee, ', 0, 1)$, si costruisce l'anello booleano $(L, +, \cdot)$ definendo: > - **Prodotto (meet):** $a \cdot b = a \wedge b$ > - **Somma (differenza simmetrica):** $a + b = (a \wedge b') \vee (b \wedge a')$ @@ -1870,7 +1870,7 @@ graph TD ## Introduzione -> [!note] Struttura Fondamentale +> [!info] Struttura Fondamentale > $(\mathbb{Z}_m, +, \cdot)$ è un **anello commutativo unitario** per ogni $m > 1$: > - **Unità moltiplicativa:** $\bar{1}$ > - **Elemento nullo (zero additivo):** $\bar{0}$ @@ -1883,12 +1883,12 @@ graph TD ### Definizione -> [!note] Divisore dello Zero +> [!info] Divisore dello Zero > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ con $\bar{a} \neq \bar{0}$ è un **divisore dello zero** se esiste $\bar{b} \in \mathbb{Z}_m$ con $\bar{b} \neq \bar{0}$ tale che: > $$\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{0}$$ ### Teorema Caratterizzante -> [!important] **TEOREMA — Caratterizzazione dei Divisori dello Zero** +> [!info] **TEOREMA — Caratterizzazione dei Divisori dello Zero** > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ (con $\bar{a} \neq \bar{0}$) è un divisore dello zero **se e solo se**: > $$\mathrm{MCD}(a, m) \neq 1$$ > @@ -1943,7 +1943,7 @@ graph TD #### Esempio Concreto -> [!note] **Esempio: $\bar{6} \in \mathbb{Z}_{15}$** +> [!info] **Esempio: $\bar{6} \in \mathbb{Z}_{15}$** > > **Dati:** $a = 6$, $m = 15$, $\mathrm{MCD}(6, 15) = 3 > 1$ ✓ > @@ -1962,7 +1962,7 @@ graph TD ### Definizione -> [!note] Elemento Invertibile +> [!info] Elemento Invertibile > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è **invertibile** (o **simmetrizzabile** rispetto al prodotto) se esiste $\bar{b} \in \mathbb{Z}_m$ tale che: > $$\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$$ > @@ -1970,7 +1970,7 @@ graph TD ### Teorema Caratterizzante -> [!important] **TEOREMA — Caratterizzazione degli Elementi Invertibili** +> [!info] **TEOREMA — Caratterizzazione degli Elementi Invertibili** > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è invertibile **se e solo se**: > $$\mathrm{MCD}(a, m) = 1$$ > @@ -2017,7 +2017,7 @@ graph TD ### L'Insieme degli Invertibili: $U(\mathbb{Z}_m)$ -> [!note] Gruppo Moltiplicativo degli Invertibili +> [!info] Gruppo Moltiplicativo degli Invertibili > L'insieme: > $$U(\mathbb{Z}_m) = \{\bar{a} \in \mathbb{Z}_m \mid \mathrm{MCD}(a, m) = 1\}$$ > @@ -2032,7 +2032,7 @@ graph TD #### La Funzione Toziente di Eulero -> [!note] Cardinalità di $U(\mathbb{Z}_m)$ — Funzione toziente +> [!info] Cardinalità di $U(\mathbb{Z}_m)$ — Funzione toziente > Il numero di elementi invertibili in $\mathbb{Z}_m$ è dato dalla **funzione toziente di Eulero**: > $$|U(\mathbb{Z}_m)| = \varphi(m)$$ > @@ -2040,7 +2040,7 @@ graph TD #### Formula Esplicita per $\varphi(m)$ -> [!note] Formula Moltiplicativa +> [!info] Formula Moltiplicativa > Se $m = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$, allora: > $$\varphi(m) = m \prod_{p \mid m} \left(1 - \frac{1}{p}\right) = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i-1}(p_i - 1)$$ #### Esempi di $\varphi(m)$ @@ -2054,7 +2054,7 @@ graph TD #### Esempio Concreto -> [!note] **Esempio: Elementi Invertibili in $\mathbb{Z}_{15}$** +> [!info] **Esempio: Elementi Invertibili in $\mathbb{Z}_{15}$** > > $15 = 3 \cdot 5$, quindi $\varphi(15) = 15 \cdot (1 - 1/3)(1 - 1/5) = 15 \cdot 2/3 \cdot 4/5 = 8$ > @@ -2077,7 +2077,7 @@ graph TD ### Teorema -> [!important] **TEOREMA — $\mathbb{Z}_p$ è un Campo** +> [!info] **TEOREMA — $\mathbb{Z}_p$ è un Campo** > Se $p$ è un numero **primo**, allora $(\mathbb{Z}_p, +, \cdot)$ è un **campo**. #### Dimostrazione @@ -2120,14 +2120,14 @@ graph TD #### Esempi -> [!note] **Esempi di Campi** +> [!info] **Esempi di Campi** > > - $\mathbb{Z}_2 = \{\bar{0}, \bar{1}\}$ è un campo (campo finito con 2 elementi, $\mathbb{F}_2$) > - $\mathbb{Z}_3 = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}\}$ è un campo > - $\mathbb{Z}_5 = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}\}$ è un campo > - $\mathbb{Z}_{11}, \mathbb{Z}_{13}, \mathbb{Z}_{17}, \ldots$ sono tutti campi -> [!note] **Contro-Esempi: Non-Campi** +> [!info] **Contro-Esempi: Non-Campi** > > - $\mathbb{Z}_4$: $\bar{2} \neq \bar{0}$ ma $\mathrm{MCD}(2, 4) = 2 \neq 1$, quindi $\bar{2}$ **non è invertibile** > - $\mathbb{Z}_6$: $\bar{2}, \bar{3}, \bar{4}$ non sono invertibili (hanno MCD > 1 con 6) @@ -2139,7 +2139,7 @@ graph TD ### Definizione -> [!note] Elemento Nilpotente +> [!info] Elemento Nilpotente > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è **nilpotente** se esiste un intero positivo $N$ tale che: > $$\bar{a}^N = \bar{0}$$ > @@ -2147,7 +2147,7 @@ graph TD ### Teorema Caratterizzante -> [!important] **TEOREMA — Caratterizzazione degli Elementi Nilpotenti** +> [!info] **TEOREMA — Caratterizzazione degli Elementi Nilpotenti** > Sia $m = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$ la fattorizzazione in primi distinti di $m$. > > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è nilpotente **se e solo se**: @@ -2157,7 +2157,7 @@ graph TD > $$\mathrm{rad}(m) = p_1 p_2 \cdots p_k \mid a$$ ### Radicale di un Numero -> [!note] Radicale +> [!info] Radicale > Il **radicale** di $m$ è il prodotto di tutti i fattori primi distinti di $m$: > $$\mathrm{rad}(m) = \prod_{p \mid m, \, p \text{ primo}} p$$ > @@ -2208,7 +2208,7 @@ graph TD #### Esempio Concreto -> [!note] **Esempio: Elementi Nilpotenti in $\mathbb{Z}_{12}$** +> [!info] **Esempio: Elementi Nilpotenti in $\mathbb{Z}_{12}$** > > $12 = 2^2 \cdot 3$, quindi $\mathrm{rad}(12) = 2 \cdot 3 = 6$ > @@ -2221,7 +2221,7 @@ graph TD ### Numero di Elementi Nilpotenti -> [!note] Cardinalità dell'Insieme dei Nilpotenti +> [!info] Cardinalità dell'Insieme dei Nilpotenti > Il numero di elementi nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ è: > $$\#\{\bar{a} \in \mathbb{Z}_m \mid \bar{a} \text{ nilpotente}\} = \frac{m}{\mathrm{rad}(m)}$$ > @@ -2233,7 +2233,7 @@ graph TD ### Definizione -> [!note] Elemento Idempotente +> [!info] Elemento Idempotente > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è **idempotente** se: > $$\bar{a}^2 = \bar{a}$$ > @@ -2241,19 +2241,19 @@ graph TD ### Caratterizzazione Algebrica -> [!note] Equivalenza Algebrica +> [!info] Equivalenza Algebrica > $\bar{a}$ è idempotente se e solo se: > $$a^2 \equiv a \pmod{m} \quad \Longleftrightarrow \quad m \mid (a^2 - a) \quad \Longleftrightarrow \quad m \mid a(a-1)$$ ### Elementi Idempotenti Banali -> [!note] Idempotenti Banali +> [!info] Idempotenti Banali > **Sempre** $\bar{0}$ e $\bar{1}$ sono idempotenti: > - $\bar{0}^2 = \bar{0} \cdot \bar{0} = \bar{0}$ ✓ > - $\bar{1}^2 = \bar{1} \cdot \bar{1} = \bar{1}$ ✓ ### Caratterizzazione Completa (Teorema Cinese dei Resti) -> [!important] **TEOREMA — Elementi Idempotenti** +> [!info] **TEOREMA — Elementi Idempotenti** > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è idempotente se e solo se: > $$a \equiv 0 \pmod{p^k} \quad \text{oppure} \quad a \equiv 1 \pmod{p^k}$$ > @@ -2263,7 +2263,7 @@ graph TD ### Numero di Elementi Idempotenti -> [!note] Cardinalità dell'Insieme degli Idempotenti +> [!info] Cardinalità dell'Insieme degli Idempotenti > Se $m = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$, il numero di elementi idempotenti è: > $$\#\{\bar{a} \in \mathbb{Z}_m \mid \bar{a}^2 = \bar{a}\} = 2^k$$ > @@ -2273,7 +2273,7 @@ graph TD ##### Esempio 1: $\mathbb{Z}_6$ -> [!note] **Elementi Idempotenti in $\mathbb{Z}_6$** +> [!info] **Elementi Idempotenti in $\mathbb{Z}_6$** > > $6 = 2 \cdot 3$ (2 fattori primi distinti), quindi ci sono $2^2 = 4$ idempotenti. > @@ -2289,7 +2289,7 @@ graph TD ##### Esempio 2: $\mathbb{Z}_{12}$ -> [!note] **Elementi Idempotenti in $\mathbb{Z}_{12}$** +> [!info] **Elementi Idempotenti in $\mathbb{Z}_{12}$** > > $12 = 2^2 \cdot 3$ (2 fattori primi distinti), quindi ci sono $2^2 = 4$ idempotenti. > @@ -2304,7 +2304,7 @@ graph TD ### Interpretazione Geometrica: Anello Prodotto -> [!note] Teorema Cinese dei Resti e Idempotenti +> [!info] Teorema Cinese dei Resti e Idempotenti > Se $m = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$, allora: > $$\mathbb{Z}_m \cong \mathbb{Z}_{p_1^{\alpha_1}} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_k^{\alpha_k}}$$ > @@ -2328,7 +2328,7 @@ graph TD ## Osservazione Finale: Relazioni tra le Proprietà -> [!important] **Implicazioni tra Proprietà** +> [!info] **Implicazioni tra Proprietà** > > 1. **Nilpotente ⟹ Divisore dello Zero** (eccetto lo zero) > - Se $\bar{a}^N = \bar{0}$, allora $\bar{a} \cdot \bar{a}^{N-1} = \bar{0}$ con $\bar{a}^{N-1} \neq \bar{0}$ (in genere) diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Dimostrazioni.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Dimostrazioni.md" index aaebbd6..deda8ce 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Dimostrazioni.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Dimostrazioni.md" @@ -1,7 +1,7 @@ ## 4.9: Teorema Invertibilità di Funzioni ->[!important] Teorema Fondamentale: Invertibilità +>[!info] Teorema Fondamentale: Invertibilità >Una funzione $f$ è completamente invertibile $\iff$ biettiva. > >**Dimostrazione** @@ -16,7 +16,7 @@ ## 6.1: Elementi simmetrizzabili: se esiste il simmetrico è unico -> [!note] Elemento Invertibile opp. Simmetrizzabile +> [!info] Elemento Invertibile opp. Simmetrizzabile > In un monoide $(S, *, u)$, $a \in S$ è **invertibile** se: > $$\exists\, a' \in S:\; a * a' = a' * a = u$$ > L'inverso è **unico**. Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile. @@ -30,7 +30,7 @@ ## 7.6: Divisioni dello zero: mai cancellabili -> [!note] Divisore dello Zero +> [!info] Divisore dello Zero > $a \neq 0_A$ è **divisore dello zero** se $\exists\, b \neq 0_A:\; a \cdot b = 0_A$. > $$a \neq 0 \text{ è divisore dello zero} \;\Longleftrightarrow\; a \text{ non è cancellabile}$$ @@ -47,7 +47,7 @@ ## 8.1: Elementi simmetrizzabili $\implies$ elementi cancellabili -> [!note] Cancellabilità +> [!info] Cancellabilità > $a$ è **cancellabile a sinistra** se $a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b = c$. > $a$ è **cancellabile a destra** se $b \cdot a = c \cdot a \Rightarrow b = c$. > **Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile** (il viceversa non vale in generale). @@ -62,7 +62,7 @@ ## 8.7: Teorema di Wedderburn -> [!important] Teorema di Wedderburn +> [!info] Teorema di Wedderburn > Ogni **corpo finito** è anche un **campo**. > - Spiegazione: > Il teorema dimostra che se l'insieme degli elementi è finito, è matematicamente impossibile costruire una struttura dove valga l'invertibilità senza che valga anche la commutatività @@ -73,7 +73,7 @@ ## 8.9: Teorema di scomposizione canonica di una permutazione -> [!important] **Teorema di Scomposizione Canonica (Permutazioni)** +> [!info] **Teorema di Scomposizione Canonica (Permutazioni)** > > - *Enunciato* > Ogni permutazione $\sigma \in S_n$ diversa dall'identità si può scrivere come prodotto di cicli disgiunti. Tale scomposizione è **unica a meno dell'ordine** con cui i cicli compaiono nel prodotto. @@ -93,7 +93,7 @@ ## 10.5: Teorema della divisione euclidea -> [!important] Teorema della Divisione Euclidea +> [!info] Teorema della Divisione Euclidea > $\forall\, m \in \mathbb{Z},\; n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\},\; \exists!\, q, r \in \mathbb{Z}:$ > $$m = n \cdot q + r, \qquad 0 \leq r < |n|$$ @@ -110,7 +110,7 @@ > Quindi $r_1 = r_2$ e $q_1 = q_2$. $\square$ ## 10.6: Teorema di Bézout -> [!important] Identità di Bézout +> [!info] Identità di Bézout > $$\mathrm{MCD}(a, b) = a \cdot x + b \cdot y \quad \text{per opportuni } x, y \in \mathbb{Z}$$ > Corollario: $a, b$ coprimi $\Longleftrightarrow$ $\exists\, x, y:\; ax + by = 1$. @@ -141,7 +141,7 @@ ## Teorema Fondamentale dell'Aritmetica -> [!important] FTA +> [!info] FTA > Ogni intero $n \geq 2$ si scrive in modo **unico** (a meno dell'ordine) come prodotto di numeri primi: > $$n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$ >- **Unicità della Fattorizzazione :** @@ -157,7 +157,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ## 11.2: Teorema su relazioni di equivalenza e partizioni -> [!important] Teorema: Equivalenza e Partizioni +> [!info] Teorema: Equivalenza e Partizioni > Esiste una corrispondenza biunivoca tra relazioni di equivalenza su $S$ e partizioni di $S$. > 1. Ogni relazione di equivalenza R su S induce una partizione di S (data dall'insieme quoziente S/R). > 2. Ogni partizione F di S induce una relazione di equivalenza RF su S, definita da: diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/FlashCards.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/FlashCards.md" index 8a013c7..dc9d95f 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/FlashCards.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/FlashCards.md" @@ -435,14 +435,14 @@ Dato un reticolo booleano (L, ∧, ∨, ', 0, 1), si definisce (L, +, ·): Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (TFA) ? -> [!important] **Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (TFA)** +> [!info] **Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (TFA)** > > **Enunciato:** > Ogni intero $n \geq 2$ si scrive in modo **unico** (a meno dell'ordine) come prodotto di numeri primi: > $$n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$ > dove i $p_i$ sono primi distinti e gli $\alpha_i$ sono interi positivi. > ->> [!attention] **Dimostrazione (Idea Generale)** +>> [!warning] **Dimostrazione (Idea Generale)** >> >> ### Parte 1: Esistenza della fattorizzazione >> @@ -489,13 +489,13 @@ Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (TFA) Teorema Divisione euclidea ? -> [!important] **Teorema della Divisione Euclidea** +> [!info] **Teorema della Divisione Euclidea** > > **Enunciato:** > $\forall\, m, n \in \mathbb{Z},\; n \neq 0,\; \exists!\, q, r \in \mathbb{Z}:$ > $$m = n \cdot q + r, \qquad 0 \leq r < |n|$$ > ->> [!attention] **Dimostrazione** +>> [!warning] **Dimostrazione** >> >> **Esistenza** (per induzione forte su $m$): >> - *Base:* Se $0 \leq m < |n|$, basta prendere $q = 0$ e $r = m$. @@ -511,13 +511,13 @@ Teorema Divisione euclidea Teorema di Bézout ? -> [!important] **Identità di Bézout** +> [!info] **Identità di Bézout** > > **Enunciato:** > Per ogni coppia di interi $a, b$, esistono interi $x, y$ tali che: > $$\mathrm{MCD}(a, b) = a \cdot x + b \cdot y$$ > ->> [!attention] **Dimostrazione** +>> [!warning] **Dimostrazione** >> >> Sia $S = \{as + bt \mid s, t \in \mathbb{Z}, \, as + bt > 0\}$. >> @@ -547,12 +547,12 @@ Teorema di Bézout Applicazione Quoziente ? ->[!important] Fattorizzazione +>[!info] Fattorizzazione > Data $f: S \to T$ e la relazione $R_f$, l'**applicazione quoziente** è: > $$\bar{f}: S/R_f \to T, \qquad \bar{f}([a]) = f(a)$$ > È **ben definita** e **iniettiva**. Vale $f = \bar{f} \circ \pi$ (dove $\pi$ è la proiezione canonica). > ->> [!attention] Dimostrazione — Fattorizzazione (forse non necessaria) +>> [!warning] Dimostrazione — Fattorizzazione (forse non necessaria) >> **Ben definita:** Se $[a] = [b]$, allora $a \mathrel{R_f} b$, cioè $f(a) = f(b)$, dunque $\bar{f}([a]) = \bar{f}([b])$. >> >> **Iniettiva:** Se $\bar{f}([a]) = \bar{f}([b])$, allora $f(a) = f(b)$, dunque $a \mathrel{R_f} b$, cioè $[a] = [b]$. $\square$ @@ -561,14 +561,14 @@ Applicazione Quoziente Teorema fondamentale sulle relazioni d'equivalenza (Equivalenza $\iff$ Partizione) ? -> [!important] **Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza (Versione Ristretta)** +> [!info] **Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza (Versione Ristretta)** > > **Enunciato:** > Sia $R$ una relazione di equivalenza su un insieme non vuoto $S$. Allora l'insieme quoziente $S/R$ è una **partizione** di $S$. > > Viceversa, ogni partizione di $S$ definisce una relazione di equivalenza. > ->> [!attention] **Dimostrazione** +>> [!warning] **Dimostrazione** >> >> ### Verso 1: Equivalenza $\Rightarrow$ Partizione >> diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" index 79ffe4f..3a527e9 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" @@ -193,7 +193,7 @@ usando la stima $\log_2(n!) = \Omega(n \log n)$ già dimostrata sopra. ## 8. Il significato del risultato -> [!quote] +> [!tip] > "Il fatto che voi non riusciate a trovare un algoritmo migliore non significa che non esista. O c'è un'argomentazione sufficientemente astratta che vi permette di quantificare su tutti i possibili modi di risolvere, oppure non avete modo di rispondere." La tecnica usata — astrarsi dalla struttura sintattica degli algoritmi e ragionare sulle classi di equivalenza definite dall'albero di decisione — è un esempio di **approccio information-theoretic**: si ragiona sul numero di output distinti che l'algoritmo deve essere in grado di produrre e si deduce il numero minimo di confronti necessari per discriminarli tutti. @@ -202,7 +202,7 @@ Questo è diverso dall'analisi sintattica dei singoli algoritmi. Due algoritmi c --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Ogni algoritmo comparison-based per ordinamento ha un unico albero di decisione di ordine $n$: i percorsi nell'albero corrispondono alle esecuzioni. > - L'altezza dell'albero = complessità caso peggiore; la lunghezza media dei percorsi = complessità caso medio. > - Poiché ci sono $n!$ permutazioni distinte, l'albero ha almeno $n!$ foglie, e questo implica altezza $\geq \log_2(n!) = \Omega(n \log n)$. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 0.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 0.md" index 953f49b..b3a06cf 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 0.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 0.md" @@ -39,11 +39,11 @@ Il corso si divide in due macro-aree: ### 2. Progettazione degli algoritmi Dato un problema, come si costruisce una soluzione algoritmica? Si seguono due principi fondamentali: -> [!definition] Decomposizione +> [!info] Decomposizione > Scomporre il problema in **sottoproblemi più semplici**, risolverli separatamente e comporre le soluzioni. > *Esempio già visto:* problema delle coppie → generazione + filtraggio/conteggio. -> [!definition] Riduzione +> [!info] Riduzione > Ridurre un problema a un **problema già noto** e risolverlo sfruttando quella soluzione. > *Esempio già visto:* ordinamento topologico → ridotto alla visita DFS su grafi. @@ -58,7 +58,7 @@ Dato un problema, come si costruisce una soluzione algoritmica? Si seguono due p Per analizzare matematicamente un algoritmo serve un **ponte** tra il mondo degli algoritmi e il mondo della matematica. Questo ponte è il modello RAM (*Random Access Machine*). -> [!definition] Modello RAM +> [!info] Modello RAM > Astrazione di un calcolatore con: > - **Memoria illimitata** di celle accessibili a tempo costante (accesso diretto) > - Un insieme di **istruzioni elementari:** operazioni aritmetiche, lettura/scrittura in memoria @@ -68,7 +68,7 @@ Per analizzare matematicamente un algoritmo serve un **ponte** tra il mondo degl $$T_A : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$$ Dove $n \in \mathbb{N}$ è la **dimensione dell'input** (es. numero di elementi di un array) e $T_A(n)$ è il numero di operazioni elementari necessarie. -> [!note] Perché $\mathbb{R}^+$ e non $\mathbb{N}$? +> [!info] Perché $\mathbb{R}^+$ e non $\mathbb{N}$? > Il numero di operazioni è un naturale, ma le espressioni che useremo (es. con logaritmi) assumono valori reali. Lavorare in $\mathbb{R}$ ci dà accesso a strumenti più potenti: derivate, integrali, limiti — tutti strumenti di $\mathbb{R}$ non disponibili (o difficili) nel discreto. > [!tip] Codifica dell'input @@ -131,7 +131,7 @@ Far partire `j` da `i` invece che da `1`: si evitano i confronti inutili (tutti 4. return sam ``` $$T_3(n) = 6n + 4 \quad \Rightarrow \quad \Theta(n)$$ -> [!success] Miglioramento asintotico +> [!tip] Miglioramento asintotico > Da $\Theta($n^2$)$ a $\Theta(n)$: un ciclo annidato in meno produce un salto di classe di complessità. ### Algoritmo 4 — Soluzione a tempo costante (geometrica) @@ -142,7 +142,7 @@ $$\text{risultato} = \frac{n^2 - n}{2} + n = \frac{n(n+1)}{2}$$ 1. return n * (n + 1) / 2 ``` $$T_4(n) = O(1)$$ -> [!success] Tempo costante +> [!tip] Tempo costante > Nessun ciclo: la risposta si calcola in un numero fisso di operazioni indipendentemente da $n$. --- @@ -158,7 +158,7 @@ $$T_4(n) = O(1)$$ Confrontare due funzioni punto per punto non è sempre possibile (potrebbero incrociarsi). Ci interessa il comportamento **al crescere illimitato di $n$**, cioè il regime asintotico. -> [!important] Intuizione fondamentale +> [!info] Intuizione fondamentale > Un algoritmo è **intrinsecamente** migliore di un altro se lo è **indipendentemente dall'hardware** su cui gira. Un computer può essere $c$ volte più veloce di un altro, ma questo fattore è **costante** e non dipende da $n$. Due algoritmi sono equivalenti se la differenza tra loro è solo una costante moltiplicativa fissa. ### Le tre notazioni @@ -173,7 +173,7 @@ Confrontare due funzioni punto per punto non è sempre possibile (potrebbero inc ### $O$ grande — Limite superiore asintotico -> [!definition] O grande +> [!info] O grande > $$f(n) = O(g(n)) \iff \exists\, c > 0,\ \exists\, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0,\quad f(n) \leq c \cdot g(n)$$ **Interpretazione:** $c$ è il fattore con cui posso *rallentare* l'esecutore di $g$ per renderlo peggio di $f$. Se esiste tale $c$ fissata a priori, allora $f$ non è peggio di $g$. @@ -186,7 +186,7 @@ Confrontare due funzioni punto per punto non è sempre possibile (potrebbero inc ### $\Omega$ grande — Limite inferiore asintotico -> [!definition] Omega grande +> [!info] Omega grande > $$f(n) = \Omega(g(n)) \iff \exists\, c > 0,\ \exists\, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0,\quad f(n) \geq c \cdot g(n)$$ Duale di $O$ grande: $c$ è ora il fattore con cui *accelero* l'esecutore di $g$. @@ -194,7 +194,7 @@ Duale di $O$ grande: $c$ è ora il fattore con cui *accelero* l'esecutore di $g$ ### $\Theta$ (Theta) — Equivalenza asintotica -> [!definition] Theta +> [!info] Theta > $$f(n) = \Theta(g(n)) \iff \exists\, c_1, c_2 > 0,\ \exists\, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0,\quad c_1 \cdot g(n) \leq f(n) \leq c_2 \cdot g(n)$$ Equivale a: $f = O(g)$ **e** $f = \Omega(g)$. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" index c2b83cc..28b6231 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" @@ -57,7 +57,7 @@ Da questo punto in poi, sia la condizione $O$ che quella $\Omega$ sono soddisfat │ solo O vale │ O e Ω valgono entrambi ``` -> [!note] +> [!info] > Se $n_{0,2} > n_{0,1}$, c'è un intervallo $[n_{0,1}, n_{0,2})$ in cui vale solo $O$ ma non $\Omega$. Prendendo il massimo, si elimina questo problema. --- @@ -110,7 +110,7 @@ flowchart LR style Ck fill:#fff3cd ``` -> [!note] Perché funziona quando $L = k$ (costante) +> [!info] Perché funziona quando $L = k$ (costante) > Se $h$ tende a $k$ da sopra o da sotto, le oscillazioni diventano irrilevanti rispetto a costanti opportunamente scelte. Si trovano $c_1 < k < c_2$ tali che, da un certo $n_0$ in poi, $c_1 \leq h(n) \leq c_2$, ovvero $c_1 \cdot g(n) \leq f(n) \leq c_2 \cdot g(n)$ → definizione di $\Theta$. > [!tip] Quando usare De L'Hôpital @@ -126,7 +126,7 @@ Vogliamo confrontare $f(n) = 4n^2 + 10n$ con $g(n) = n^2$. $$L = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 10n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(4 + \frac{10}{n}\right) = 4$$ $L$ è una costante positiva finita → $f(n) = \Theta($n^2$)$. -> [!note] Proprietà generale sui polinomi +> [!info] Proprietà generale sui polinomi > Per qualsiasi polinomio $f(n)$ di grado $d$ con coefficiente principale positivo: > $$f(n) = \Theta(n^d)$$ > La dimostrazione è una generalizzazione diretta: tutti i termini di grado inferiore producono termini $\to 0$ nel rapporto con $n^d$. @@ -186,7 +186,7 @@ Per $n \geq n_3$: $$f(n) \leq c_1 \cdot g(n) \leq c_1 \cdot c_2 \cdot h(n)$$ Scelgo $c_3 = c_1 \cdot c_2 > 0$ (prodotto di positivi). Ho dimostrato $f = O(h)$. $\square$ -> [!note] Stessa dimostrazione per $\Omega$ e $\Theta$ +> [!info] Stessa dimostrazione per $\Omega$ e $\Theta$ > Il ragionamento è identico per $\Omega$. Per $\Theta$, si combina transitività di $O$ e $\Omega$. --- @@ -215,10 +215,10 @@ Ora $\log c_1$ e $\log c_2$ sono **costanti** (anche potenzialmente negative, ma $$\frac{\log g(n) + \log c_1}{\log g(n)} \leq \frac{\log f(n)}{\log g(n)} \leq \frac{\log g(n) + \log c_2}{\log g(n)}$$ I due lati tendono entrambi a 1 (poiché $\log g(n) \to \infty$ e le costanti sommative diventano irrilevanti) → per il metodo dei limiti, il rapporto tende a una costante positiva → $\Theta$. -> [!quote] +> [!tip] > *"Il punto chiave è questo: una costante moltiplicativa, prendendo il logaritmo, diventa una costante additiva, e le costanti additive sono irrilevanti rispetto a funzioni che crescono all'infinito. Con l'esponenziale è il contrario: una costante moltiplicativa nell'esponente diventa un fattore moltiplicativo esponenziale, e quello non è più trascurabile."* -> [!note] Generalizzazione: torri di esponenziali +> [!info] Generalizzazione: torri di esponenziali > Il logaritmo "taglia" un solo livello di esponenziale. Per confrontare $2^{2^n}$ e $2^{4^n}$ bisognerebbe applicare il logaritmo due volte ($\log \log$). La torre degli esponenziali ha come inversa la torre dei logaritmi. --- @@ -245,7 +245,7 @@ I due lati tendono entrambi a 1 (poiché $\log g(n) \to \infty$ e le costanti so > > Senza il vincolo di contiguità, basterebbe sommare tutti i valori non negativi. **Il vincolo di contiguità rende il problema non banale.** -> [!note] Gestione del caso "tutti negativi" +> [!info] Gestione del caso "tutti negativi" > Se tutti i valori sono negativi, la sottosequenza ottimale è quella **vuota**, con somma 0. Per questo l'algoritmo parte con $\text{somma\_massima} = 0$ — se non trova niente di meglio, la risposta sarà 0. ### Quante sono le sottosequenze contigue? @@ -291,7 +291,7 @@ $$\boxed{T(n) = \Theta(n^3)}$$ ## Anticipazione: verso l'algoritmo quadratico -> [!note] *(Verrà approfondito nella prossima lezione)* +> [!info] *(Verrà approfondito nella prossima lezione)* Il ciclo interno fa **lavoro inutile**: ogni volta che $j$ avanza di 1, ricalcola da zero l'intera somma $\sum_{k=i}^{j} A[k]$, che era già stata calcolata al passo precedente! @@ -299,16 +299,16 @@ Il ciclo interno fa **lavoro inutile**: ogni volta che $j$ avanza di 1, ricalcol $$S([i, j+1]) = S([i, j]) + A[j+1]$$ cioè posso estendere la sottosequenza a destra in **tempo costante**, senza ricalcolare tutto. Questo elimina il ciclo `k`, abbassando la complessità da $O($n^3$)$ a $O($n^2$)$. -> [!note] *(Verrà approfondito nelle lezioni successive)* +> [!info] *(Verrà approfondito nelle lezioni successive)* Abbassare ulteriormente da $O($n^2$)$ a $O(n)$ richiede di **non analizzare tutte le sottosequenze**, scartandone alcune con la garanzia formale che non possono contenere la soluzione ottima. -> [!quote] +> [!tip] > *"Il numero di sottosequenze contigue è quadratico, quindi l'unico modo di abbassare rispetto al quadratico è non analizzare tutte le sottosequenze — devo avere un modo di scartarle con la certezza di non perdere quella buona."* --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > 1. **$\Theta = O \cap \Omega$**: la dimostrazione del verso non banale richiede di scegliere $n_0 = \max(n_{0,1}, n_{0,2})$ per garantire che entrambe le condizioni valgano contemporaneamente. > 2. **Transitività**: $O$, $\Omega$ e $\Theta$ sono transitive; la costante si ottiene come prodotto $c_3 = c_1 \cdot c_2$. > 3. **Metodo dei limiti**: $L=0 \Rightarrow o$; $L=\infty \Rightarrow \omega$; $L=k>0 \Rightarrow \Theta$. Utile De L'Hôpital per forme indeterminate. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 2.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 2.md" index d4119b8..5de2df1 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 2.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 2.md" @@ -392,7 +392,7 @@ $$T_{\text{worst}}(n) = \Theta(n^2)$$ --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > 1. **Da $\Theta(n^3)$ a $\Theta(n^2)$**: eliminando il ciclo interno e mantenendo la somma incrementale tra iterazioni successive di $j$, si riduce il costo di valutazione di ogni sottosequenza da $O(n)$ a $O(1)$. > 2. **Da $\Theta(n^2)$ a $\Theta(n)$ (Kadane)**: dimostrando che ogni sottosequenza contenente un prefisso di somma negativa e subottimale, si riduce lo spazio di ricerca da $\Theta(n^2)$ a $O(n)$ sottosequenze. L'algoritmo e **ottimo** (limite inferiore $\Omega(n)$). > 3. **Due strategie di ottimizzazione**: (a) ridurre il costo per soluzione, (b) ridurre il numero di soluzioni esaminate. La seconda e piu potente ma richiede una dimostrazione di correttezza. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 3.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 3.md" index 181e567..a0f2288 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 3.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 3.md" @@ -432,7 +432,7 @@ L'approccio usato per Merge Sort si generalizza a qualsiasi algoritmo ricorsivo: --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > 1. **Insertion Sort --- caso migliore**: $t_j = 1$ per ogni $j$ (array ordinato) $\Rightarrow$ $T(n) = \Theta(n)$. > 2. **Insertion Sort --- caso peggiore**: $t_j = j$ per ogni $j$ (array ordinato al contrario) $\Rightarrow$ $T(n) = \Theta(n^2)$. > 3. **Insertion Sort --- caso medio**: il valore atteso $E[t_j] = \frac{j+1}{2}$ porta a $T(n) = \Theta(n^2)$. La conferma arriva anche dall'analisi delle inversioni: il numero medio di inversioni e $\frac{n(n-1)}{4} = \Theta(n^2)$. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" index 8060375..6c82868 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" @@ -78,7 +78,7 @@ $$T(n) = \sum_{i=2}^{n} T_{\text{findmax}}(i) = \sum_{i=2}^{n} \Theta(i) = \Thet Il problema di Selection Sort è che ogni chiamata a `find_max` parte da zero, dimenticando tutto quello che ha visto nelle chiamate precedenti. Eppure, durante la ricerca del massimo, l'algoritmo fa confronti e acquisisce informazioni sulle relazioni di ordine tra elementi — che vengono poi dimenticate. -> [!quote] +> [!tip] > "Se il nostro algoritmo ricordasse le cose che ha già visto, potrebbe evitare di fare confronti inutili nelle ricerche successive. La prima ricerca del massimo sarà sempre $\Theta(n)$ — non c'è modo di evitarlo su input arbitrario. Ma le ricerche successive potrebbero costare molto meno, se disponessimo dell'informazione accumulata in precedenza." L'idea è mantenere una struttura dati che rappresenta un **ordinamento parziale** tra gli elementi: non sappiamo l'ordinamento totale, ma conosciamo alcune relazioni tra coppie. Questa struttura ha naturalmente forma di albero. @@ -134,7 +134,7 @@ Da questa corrispondenza si ricavano le funzioni di navigazione dell'albero (con $$\text{FiglioSinistro}(i) = 2i \qquad \text{FiglioDestra}(i) = 2i + 1 \qquad \text{Padre}(i) = \lfloor i/2 \rfloor$$ -> [!important] Proprietà strutturali dell'array +> [!info] Proprietà strutturali dell'array > - I **nodi interni** (quelli con almeno un figlio) occupano le posizioni $1$ a $\lfloor n/2 \rfloor$. > - Le **foglie** occupano le posizioni $\lfloor n/2 \rfloor + 1$ a $n$. > - Ogni array di lunghezza $n$ corrisponde implicitamente a un albero binario completo. @@ -265,7 +265,7 @@ flowchart LR Totale: $T(n) = \Theta(n) + O(n \log n) = O(n \log n)$ -> [!important] Il costo è esattamente $\Theta(n \log n)$, non solo $O(n \log n)$ +> [!info] Il costo è esattamente $\Theta(n \log n)$, non solo $O(n \log n)$ > Il limite inferiore $\Omega(n \log n)$ deriva dal **Teorema degli Alberi di Decisione** (che verrà dimostrato più avanti): nessun algoritmo di ordinamento basato su confronti può fare meglio di $\Omega(n \log n)$. Quindi HeapSort è asintoticamente ottimale. ### Confronto finale @@ -280,7 +280,7 @@ HeapSort combina i vantaggi di Merge Sort (complessità garantita $\Theta(n \log --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - **Selection Sort** è il duale di Insertion Sort: seleziona le posizioni e cerca l'elemento. Ha sempre costo $\Theta(n^2)$ perché `find_max` è ottimale ma non ha memoria. > - **HeapSort** nasce dall'idea di memorizzare le relazioni d'ordine viste durante la prima ricerca del massimo in una struttura dati (lo heap), evitando lavoro ridondante nelle ricerche successive. > - Uno **heap** è un albero binario completo con la proprietà che ogni nodo è ≥ dei suoi figli. Il massimo è sempre in radice. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" index 135a0e6..9d5d1e4 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" @@ -42,7 +42,7 @@ Le stime superiori che avevamo dato erano: $O(n \log n)$ sia per `BuildHeap` che `BuildHeap` applica `Heapify` a tutti i nodi interni, ma la **gran parte delle chiamate** avviene su nodi che sono radici di sottoalberi di altezza molto bassa. I nodi profondi (vicini alle foglie) sono molti, ma i loro sottoalberi sono piccoli. I nodi vicini alla radice (con sottoalberi alti) sono pochi. -> [!quote] +> [!tip] > "La stragrande maggioranza delle chiamate Heapify vengono fatte su heap in cui H è molto basso." ### La struttura dell'analisi @@ -245,12 +245,12 @@ $$T(n) = \begin{cases} \Theta(1) & \text{se } n \leq 1 \\ \Theta(n) + T(k) + T(n dove $k$ dipende dall'input. L'analisi richiede quindi di distinguere **caso peggiore**, **caso migliore** e **caso medio**, analogamente a quanto fatto per InsertionSort. -> [!important] Implicazione +> [!info] Implicazione > Il comportamento di QuickSort non dipende solo dalla dimensione dell'input, ma dai suoi **valori**. Se il pivot è sempre il minimo o il massimo, la partizione sarà sempre sbilanciata (1 elemento da un lato, $n-1$ dall'altro), degradando a $\Theta(n^2)$. La prossima lezione tratterà la soluzione di questa equazione di ricorrenza. --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - `BuildHeap` ha costo $\Theta(n)$, non $\Theta(n \log n)$: la maggior parte delle chiamate `Heapify` avviene su sottoalberi molto bassi. > - `HeapSort` ha costo $\Theta(n \log n)$: la stima era stretta perché le prime $n/2$ chiamate costano ciascuna $\log n$. > - QuickSort evita la fusione garantendo che ogni elemento della partizione sinistra sia $\leq$ di ogni elemento della destra. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" index 705c1ee..158b87a 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" @@ -118,12 +118,12 @@ Per il Teorema Master (caso 2): $T(n) = \Theta(n \log n)$. **Caso medio**: in media su tutti i possibili input, il tempo atteso è $\Theta(n \log n)$. Questo verrà dimostrato nelle lezioni successive. -> [!quote] +> [!tip] > "Dovremo fare analisi di caso migliore, caso peggiore e eventualmente caso medio, analogamente a quanto fatto con InsertionSort." --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - `Partition` termina in $\Theta(n)$: la somma degli incrementi di $i$ e dei decrementi di $j$ è al più $n+1$. > - Si restituisce $j$ perché si ferma su un elemento $\leq x$ (corretto per la partizione sinistra); $i$ si ferma su un elemento $\geq x$ che potrebbe essere troppo grande. > - Fermarsi sugli uguali è fondamentale per garantire R2 su array con elementi duplicati. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" index 93f20f1..5a64884 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" @@ -61,7 +61,7 @@ $$T(n) = \Theta(n \cdot h_{\max}) = \Theta(n \log n)$$ Per qualsiasi costante $\alpha$ con $0 < \alpha < 1$, se le partizioni sono sempre $\alpha n$ e $(1-\alpha)n$, si ottiene $T(n) = \Theta(n \log n)$. -> [!important] Il sbilanciamento proporzionale non peggiora l'andamento asintotico +> [!info] Il sbilanciamento proporzionale non peggiora l'andamento asintotico > Finché le due partizioni hanno dimensioni che sono entrambe frazioni costanti di $n$, l'algoritmo rimane $\Theta(n \log n)$. Solo quando una partizione è di dimensione costante (es. 1) si degrada a $\Theta(n^2)$. ### Alternanza di partizioni perfette e pessime @@ -70,7 +70,7 @@ Se QuickSort alterna livelli perfettamente bilanciati ($n/2, n/2$) e livelli com $$T(n) = \Theta(n \cdot 2 \log_2 n) = \Theta(n \log n)$$ -> [!quote] +> [!tip] > "Non è facile rovinare l'andamento del caso migliore in vari modi in cui ho provato ad avvicinarmi. Quindi sembra che questo algoritmo tendenzialmente si comporti sempre così." --- @@ -188,7 +188,7 @@ Fissato $n$ e fissato l'algoritmo $A$, esiste un unico **albero di decisione** c --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Il caso peggiore di QuickSort è $\Theta(n^2)$ (pivot sempre estremo), ma questo è raro con la scelta casuale del pivot. > - Qualsiasi sbilanciamento proporzionale (es. 1/10 e 9/10) mantiene la complessità a $\Theta(n \log n)$. > - Il caso medio è $\Theta(n \log n)$, dimostrato per induzione con la tecnica della sommatoria in due parti. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione 0.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione 0.md" index 26e8f7b..fe5f406 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione 0.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione 0.md" @@ -148,7 +148,7 @@ L'organizzazione delle parti avviene secondo due criteri: favorire l'apprendimen --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - L'impresa è un'organizzazione che acquisisce input, li trasforma e produce output per generare reddito. > - L'utile è il risultato economico positivo; una perdita non implica automaticamente il fallimento, ma è un rischio. > - L'impresa è un sistema: tutte le sue parti devono essere interconnesse e orientate allo stesso obiettivo. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione 1.md" index d756bda..d852e75 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione 1.md" @@ -173,7 +173,7 @@ Una prima rottura parziale del mercato si e verificata quando **LG** ha messo in La vera rivoluzione e arrivata con **Apple** e il touchscreen. Questo cambiamento e stato cosi radicale che aziende leader come Nokia non sono riuscite a tenere il passo. Nokia esiste ancora oggi, ma vende principalmente telefoni con tasti grandi destinati a persone anziane: non ha piu la potenza mondiale che aveva vent'anni fa. -> [!quote] Il docente sulla rivoluzione del touchscreen +> [!tip] Il docente sulla rivoluzione del touchscreen > "C'e stata un'evoluzione che ha cambiato completamente il mondo. Aziende forti come Nokia, che erano leader del mercato, non sono riuscite a tenere il passo e si sono trovate, andando da li a poco, che Nokia esiste ma non fattura le stesse cose che fatturava prima." ### Motorola @@ -218,7 +218,7 @@ Il docente distingue nettamente tra giudizio politico e giudizio imprenditoriale ### Berlusconi -> [!quote] Il docente su Berlusconi imprenditore +> [!tip] Il docente su Berlusconi imprenditore > "Berlusconi lo si puo criticare come uomo di politica. Ma come imprenditore? Come imprenditore Berlusconi e stato un grande. Ha iniziato cantando sulle navi da crociera, poi e diventato l'uomo piu ricco d'Italia e uno dei piu ricchi del mondo, perche ha saputo sfruttare la sua capacita imprenditoriale." Dal punto di vista politico si puo essere d'accordo o meno, ma dal punto di vista imprenditoriale la sua capacita di costruire un impero mediatico e finanziario e indiscutibile. Il docente nota anche che i suoi rapporti internazionali (Trump, Putin) derivavano in parte dal suo status di grande imprenditore. @@ -331,7 +331,7 @@ I video sono disponibili anche all'interno delle slide caricate su Teams. --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - L'impresa e un sistema cognitivo perche la componente umana acquisisce continuamente nuove conoscenze, a differenza delle macchine (conoscenza statica). > - Gli elementi tangibili (immobilizzazioni materiali) e intangibili (immobilizzazioni immateriali come brevetti e marchi) coesistono nel bilancio, ma il sapere umano non vi compare. > - L'impresa opera in tre mercati esterni: produzione (fornitori), lavoro (personale) e capitali (investitori e banche). diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_2_Relazioni_impresa_ambiente.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_2_Relazioni_impresa_ambiente.md" index dc14f16..95bf662 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_2_Relazioni_impresa_ambiente.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_2_Relazioni_impresa_ambiente.md" @@ -107,7 +107,7 @@ L'impresa che comprende il pattern di questa dinamica — ovvero che alcuni fatt --- -> [!summary] Riepilogo concettuale +> [!abstract] Riepilogo concettuale > La relazione tra impresa e ambiente è dinamica e multidimensionale. Non esiste una gerarchia fissa di influenze: a volte l'impresa condiziona il mercato, a volte è il mercato a vincolare l'impresa, a volte ancora fattori completamente esterni determinano i confini dello spazio d'azione aziendale. Comprendere come posizionare un singolo fattore lungo questo spettro di influenze è cruciale per la formulazione di strategie aziendali efficaci. --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_3_Strategie_aziendali.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_3_Strategie_aziendali.md" index 6649c26..fc657a7 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_3_Strategie_aziendali.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_3_Strategie_aziendali.md" @@ -186,7 +186,7 @@ Il successo di una strategia dipende dalla sua coerenza con l'ambiente esterno e --- -> [!summary] Riepilogo concettuale +> [!abstract] Riepilogo concettuale > La gestione strategica è il processo attraverso il quale un'impresa formula e persegue scelte per mantenere un vantaggio competitivo. Una strategia efficace deve essere coerente sia con l'ambiente esterno sia con le risorse interne. Nel corso dei decenni, le strategie aziendali hanno seguito evoluzioni significative: dalla diversificazione dei prodotti alla focalizzazione sul vantaggio competitivo, fino all'innovazione e cooperazione contemporanea. La distinzione tra strategia (il piano complessivo) e tattica (le azioni specifiche) è fondamentale per comprendere come le imprese operano e competono. --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_4_Sviluppo_aziendale_Ansoff.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_4_Sviluppo_aziendale_Ansoff.md" index f8831ec..cc4514e 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_4_Sviluppo_aziendale_Ansoff.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_4_Sviluppo_aziendale_Ansoff.md" @@ -290,7 +290,7 @@ Ciascuna strategia comporta profili di rischio, complessità, e potenziale di re --- -> [!summary] Riepilogo concettuale +> [!abstract] Riepilogo concettuale > I percorsi di sviluppo aziendale possono essere classificati secondo la matrice di Ansoff, che considera come cambiano il prodotto e il mercato. La penetrazione del mercato è la strategia conservativa di aumento della quota nel segmento attuale. Lo sviluppo del prodotto comporta innovazione senza uscire dal mercato attuale. Lo sviluppo del mercato significa espandere geograficamente o di segmento senza modificare il prodotto. La diversificazione è la strategia più ambiziosa e rischiosa. Ogni strategia è appropriata in contesti diversi e richiede analisi critica del business plan, comprensivo di analisi SWOT, visione e missione, analisi competitiva, e proiezioni finanziarie. --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_5_Vincoli_istituzionali.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_5_Vincoli_istituzionali.md" index 3564c5b..1f9156a 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_5_Vincoli_istituzionali.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_5_Vincoli_istituzionali.md" @@ -182,7 +182,7 @@ Per comprendere pienamente l'economia aziendale, quindi, bisogna sempre guardare --- -> [!summary] Riepilogo concettuale +> [!abstract] Riepilogo concettuale > L'impresa è un sistema politico-istituzionale, socio-demografico, culturale-tecnologico e economico. La qualità di ciascuna di queste dimensioni nel contesto in cui l'impresa opera determina la sua capacità di nascere, crescere, e generare profitto. I vincoli burocratici, la tassazione, l'infrastruttura tecnologica, e le scelte politiche dei governi hanno impatto diretto sulla vitalità economica. L'analisi critica delle politiche pubbliche richiede di guardare oltre le giustificazioni ufficiali e chiedersi chi effettivamente beneficia dalle decisioni prese. --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_6_Imprenditore_Manager_Stakeholder.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_6_Imprenditore_Manager_Stakeholder.md" index 339a462..ca14679 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_6_Imprenditore_Manager_Stakeholder.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_6_Imprenditore_Manager_Stakeholder.md" @@ -264,7 +264,7 @@ Questo approccio non è altruismo: è una **strategia commerciale razionale**. U --- -> [!summary] Riepilogo concettuale +> [!abstract] Riepilogo concettuale > L'imprenditore è il visionario che identifica opportunità e rischia i propri capitali per realizzarle. Il manager è l'esecutore razionale che implementa la visione dell'imprenditore in modo efficiente. L'efficacia riguarda il raggiungimento dell'obiettivo; l'efficienza riguarda il raggiungimento con minimo spreco di risorse. Un'impresa moderna non serve solo gli azionisti, ma un complesso di stakeholder (dipendenti, fornitori, clienti, comunità). La gestione consapevole di questi rapporti è una fonte di vantaggio competitivo sostenibile nel lungo termine. --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_7_Barriere_Forze_Porter.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_7_Barriere_Forze_Porter.md" index 9b75db9..cd4925b 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_7_Barriere_Forze_Porter.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Economia Aziendale/Lezione_7_Barriere_Forze_Porter.md" @@ -268,7 +268,7 @@ Un settore **attraente** (ad es. tecnologia dei semiconduttori negli anni 2000) --- -> [!summary] Riepilogo concettuale +> [!abstract] Riepilogo concettuale > Le barriere di mercato — economiche, strategiche, e normative — determinano la struttura competitiva di un settore. Il modello di Porter delle cinque forze fornisce un framework per analizzare la competizione: minaccia di nuovi entranti, potere dei fornitori, potere dei clienti, rivalità tra competitor, e minaccia di prodotti sostitutivi. Un'azienda che comprende queste forze può formulare strategie difensive appropriate (aumentare le barriere, differenziarsi, innovare) per proteggere la propria redditività. --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" index ab56231..e2753da 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" @@ -117,7 +117,7 @@ flowchart LR 2. **Inizializzatori espliciti:** se un attributo è dichiarato con `= valore`, quel valore viene scritto. 3. **Corpo del costruttore:** esegue ulteriori inizializzazioni. -> [!quote] +> [!tip] > "Questo è un fattore di sicurezza. Se provate a usare un puntatore azzerato, vi darà fuori un'eccezione. È un compromesso vantaggioso tra sicurezza ed efficienza: la costruzione di oggetti è relativamente rara rispetto alle operazioni." --- @@ -257,7 +257,7 @@ Quando si studia un linguaggio nuovo, le caratteristiche del sistema di tipi da --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Java ha 8 tipi primitivi con dimensioni fisse su qualunque piattaforma; `boolean` non è mai compatibile con i tipi interi. > - Gli oggetti vengono costruiti in tre strati: azzeramento → inizializzatori espliciti → costruttore. Gli attributi sono sempre inizializzati; le variabili locali devono essere inizializzate esplicitamente (controllo statico del compilatore). > - Il passaggio parametri in Java è sempre per copia. Per i tipi reference si copia il puntatore: modifiche all'oggetto sono visibili fuori, ma riassegnare il parametro formale non lo è. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" index 4366c09..07868ec 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" @@ -42,7 +42,7 @@ Il corso si chiama "Linguaggi di Programmazione" al plurale per una ragione prec La risposta pratica non è conoscerli tutti, ma capire le **idee fondamentali** con cui i linguaggi vengono costruiti. Queste idee sono poche, stabili nel tempo, e non dipendono dalla sintassi di un linguaggio specifico. Quando emerge un linguaggio nuovo, lo si "scompatta" nelle sue idee costituenti e lo si impara per delta rispetto a ciò che si conosce già. -> [!quote] +> [!tip] > "L'obiettivo specifico è insegnare a imparare velocemente un nuovo linguaggio, astraendo quelle che sono le caratteristiche di base. Queste cambiano di rado: è tanto tempo che non ne vedo comparire una completamente nuova." ### Obiettivi del corso @@ -191,7 +191,7 @@ flowchart TD --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - I linguaggi proliferano perché categorie di problemi diverse richiedono strumenti espressivi diversi. Imparare le idee fondamentali (non le sintassi) permette adattamento rapido. > - Le caratteristiche chiave — variabile, tipo, ricorsione, GC, OO, metaprogrammazione — sono state introdotte tra gli anni '50 e '70. > - Un linguaggio è Turing-completo se i suoi programmi possono non terminare; SQL non lo è. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" index 9179252..dc1499c 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" @@ -60,7 +60,7 @@ Quando si sceglie o si progetta un linguaggio, esistono diversi **criteri di val > [!example] N-Queens in Prolog > Nel libro di Sterling e Shapiro si trova un codice Prolog che risolve il problema delle N regine (piazzare N regine su una scacchiera NxN senza che si attacchino) in circa **10 righe**. Tuttavia, comprendere quel codice richiede una conoscenza approfondita del paradigma logico e dell'unificazione. -> [!quote] +> [!tip] > "Quel codice che risolve il problema delle N regine e lungo 10 righe, una roba di questo genere. Pero io, che sono un esperto in linguaggi di programmazione logica, ci sono cresciuto --- per capire come funzionava ci ho passato il pomeriggio. Quindi concisione non vuol dire necessariamente leggibilita." La semplicita puo anche significare **semplicita sintattica**: pochi costrutti, pochi modi di fare la stessa cosa, il che facilita l'apprendimento. @@ -89,7 +89,7 @@ L'espressivita misura quante cose un linguaggio puo esprimere e quanto facilment > [!abstract] Definizione: Ortogonalita > Un linguaggio e **ortogonale** quando ha poche eccezioni alle proprie regole: e molto regolare, e dove si puo usare una categoria sintattica si possono usare tutte le sue istanziazioni. Dove trovo un identificatore, puo essere un identificatore qualsiasi; dove trovo una chiamata a funzione, puo essere una chiamata a qualsiasi funzione. -> [!quote] +> [!tip] > "I linguaggi moderni sono tutti molto ortogonali, perche vengono costruiti con grammatiche che dicono come ogni costrutto puo essere realizzato. Inizialmente, nel tempo di FORTRAN, i parser si scrivevano a mano e c'erano cose che si potevano usare in certi contesti ma non in altri." ### Portabilita e fattori esterni @@ -172,7 +172,7 @@ bool member(int x, list L) { } ``` -> [!quote] +> [!tip] > "Questi due programmi hanno esattamente la stessa struttura. Cosa cambia? I blocchi con indentazione vs parentesi graffe, il terminatore punto-e-virgola, NOT vs punto esclamativo. Ma sono dettagli sintattici. Lo stesso paradigma vuol dire che lo stesso problema ha le stesse soluzioni algoritmiche." **Funzionale (pseudocodice / Lisp)**: @@ -191,7 +191,7 @@ function member(x, L): (t (member x (rest L))))) ``` -> [!quote] +> [!tip] > "Le parentesi di Lisp derivano dal fatto che e un linguaggio nato in accademia, dove si sono semplificati la vita nella costruzione del parser scegliendo questa sintassi molto semplice a liste. L'intenzione era metterci una sintassi piu amichevole all'esterno. Non e mai successo." **C in stile funzionale** (senza assegnamenti, con l'operatore ternario): @@ -230,12 +230,12 @@ Esempi di uso di `member` in Prolog: | `member(X, [1,2,3])` | Quali X compaiono nella lista? | `X=1; X=2; X=3` | | | | `member(1, L)` | Quali liste contengono 1? | `L=[1 | _]; L=[_,1 | _]; ...` (infinite) | -> [!quote] +> [!tip] > "Lo stesso codice lo posso usare come funzione booleana, come generatore, come iteratore. Con poche righe si fa una semplice AI per giocare a Tris, dove lo stesso pezzo di codice lo uso per valutare strategie vincenti, per giocare, per esplorare le mosse successive." ### Conclusione sui paradigmi -> [!quote] +> [!tip] > "Imparato a risolvere il problema in un linguaggio, so risolverlo in qualunque linguaggio dello stesso paradigma. La curva di apprendimento si accelera molto: devo soltanto andarmi a vedere il manuale." Oltre al paradigma, contano anche: il **sistema di tipi**, la **gestione delle eccezioni**, il supporto alla **concorrenza**. @@ -293,7 +293,7 @@ Composizione di due funzioni: prima si trova la locazione (`env`), poi si legge > [!warning] Proprieta fondamentale > L'ambiente (`env`) e **immutabile** all'interno di un singolo contesto di esecuzione. Finche resto dentro una funzione, l'associazione nome-locazione non cambia. Cio che cambia e il **contenuto della memoria** (`mem`), modificato dagli assegnamenti. Quando si entra in un nuovo blocco o si fa una chiamata ricorsiva, si passa a un **ambiente diverso**. -> [!quote] +> [!tip] > "Quando faccio una chiamata al fattoriale, `n` viene associato dall'ambiente direttamente a 4 e non cambia per tutta l'esecuzione di quel livello di ricorsione. Quando faccio la chiamata ricorsiva e dentro `n` diventa 3, quello e un altro `n` perche sta in un altro contesto, in un ambiente diverso." --- @@ -335,7 +335,7 @@ Nell'assegnamento `x = x + 1`: > [!warning] Regola fondamentale: `env(mem(...))` non esiste mai > `env` vuole un **nome** (un simbolo del codice sorgente). `mem` restituisce un **valore** (un dato a runtime). Scrivere `env(mem(...))` e sempre un errore concettuale: i due domini sono incompatibili. -> [!quote] +> [!tip] > "Quando ci dovete ragionare, partite dall'inizio della catena dei puntatori, da quello esplicito che sta li col nome, e procedete incrementalmente." --- @@ -351,7 +351,7 @@ Per la prossima lezione: esercitarsi con **vettori** (`a[i]`), **dereferenziazio --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - I criteri di valutazione di un linguaggio (semplicita, astrazione, espressivita, ortogonalita, portabilita) possono essere in tensione tra loro: la concisione non implica leggibilita. > - Lo zucchero sintattico non aggiunge potere espressivo: e trattabile con un preprocessore. > - Il paradigma determina radicalmente il modo di pensare al problema; all'interno dello stesso paradigma, le soluzioni sono strutturalmente isomorfe tra linguaggi diversi. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" index 6b6a4d1..956a6e1 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" @@ -196,7 +196,7 @@ Il puntatore all'env non locale punta sempre al record immediatamente precedente | Puntatore env | Salta record intermedi (verso il blocco contenitore) | Punta sempre al record precedente | | Usato da | Quasi tutti i linguaggi moderni | Primo LISP (poi sostituito da Scheme) | -> [!quote] +> [!tip] > "Scheme è praticamente uguale a LISP — stessa sintassi con tante parentesi — ma usa lo scoping statico proprio per eliminare l'incubo di predire il comportamento dei programmi con scope dinamico." --- @@ -262,7 +262,7 @@ Il passaggio di un parametro può avvenire: --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - I **blocchi** introducono namespace separati e permettono l'ereditarietà unidirezionale (interno vede esterno, non viceversa). Il **mascheramento** nasconde temporaneamente la variabile esterna con lo stesso nome. > - Lo **scope statico** determina l'ambiente non locale guardando il testo del programma. È predittibile, debuggabile, usato in quasi tutti i linguaggi moderni. > - Lo **scope dinamico** determina l'ambiente non locale dall'ordine delle chiamate a runtime. È impredicibile (indecidibile in generale) e storicamente abbandonato (LISP → Scheme). diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 4.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 4.md" index 7e170bd..93b83ef 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 4.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 4.md" @@ -35,10 +35,10 @@ In un linguaggio Pascal-like, la dichiarazione di un parametro formale determina | **in-out per copia** | `in out` | il parametro si legge e si scrive; valore copiato dentro e fuori | copia-in / copia-out | | **in-out per riferimento** | `var` (Pascal, per in-out) | il parametro si legge e si scrive; è un alias della variabile del chiamante | puntatore | -> [!important] Errori a compile-time per modalità in +> [!info] Errori a compile-time per modalità in > Un parametro dichiarato `in` non deve mai comparire a sinistra di un assegnamento. Il compilatore lo rileva staticamente. Se trovate questa violazione, il programma non compila e non ha senso costruire lo stack di attivazione. -> [!important] Errori per modalità out +> [!info] Errori per modalità out > Un parametro dichiarato `out` non deve essere letto prima di essere scritto. Poiché il suo valore iniziale è indefinito ("spazzatura"), leggerne il valore prima dell'inizializzazione è un errore. --- @@ -277,7 +277,7 @@ Le funzioni restituiscono un valore singolo. In linguaggi "vecchi" si usa una ps --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Le modalità di passaggio parametri (`in`, `out`, `in-out`, per copia o per riferimento) determinano l'ambiente del parametro e quando le modifiche diventano visibili all'esterno. > - Il passaggio per riferimento crea aliasing, che può produrre comportamenti controintuitivi. > - Le macro C sono sostituzioni testuali senza ambiente protetto: possono causare conflitti di nomi, doppia valutazione di argomenti con side effect, e comportamenti imprevedibili. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 5.md" index a9e2b06..2ecb38d 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 5.md" @@ -35,10 +35,10 @@ In un linguaggio Pascal-like, la dichiarazione di un parametro formale determina | **in-out per copia** | `in out` | il parametro si legge e si scrive; valore copiato dentro e fuori | copia-in / copia-out | | **in-out per riferimento** | `var` (Pascal, per in-out) | il parametro si legge e si scrive; è un alias della variabile del chiamante | puntatore | -> [!important] Errori a compile-time per modalità in +> [!info] Errori a compile-time per modalità in > Un parametro dichiarato `in` non deve mai comparire a sinistra di un assegnamento. Il compilatore lo rileva staticamente. Se trovate questa violazione, il programma non compila e non ha senso costruire lo stack di attivazione. -> [!important] Errori per modalità out +> [!info] Errori per modalità out > Un parametro dichiarato `out` non deve essere letto prima di essere scritto. Poiché il suo valore iniziale è indefinito ("spazzatura"), leggerne il valore prima dell'inizializzazione è un errore. --- @@ -277,7 +277,7 @@ Le funzioni restituiscono un valore singolo. In linguaggi "vecchi" si usa una ps --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Le modalità di passaggio parametri (`in`, `out`, `in-out`, per copia o per riferimento) determinano l'ambiente del parametro e quando le modifiche diventano visibili all'esterno. > - Il passaggio per riferimento crea aliasing, che può produrre comportamenti controintuitivi. > - Le macro C sono sostituzioni testuali senza ambiente protetto: possono causare conflitti di nomi, doppia valutazione di argomenti con side effect, e comportamenti imprevedibili. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 6.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 6.md" index b6f1dca..d817209 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 6.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 6.md" @@ -117,7 +117,7 @@ P2: B alias→ b (di Esercizio2) ``` -> [!important] Notazione per il passaggio per riferimento +> [!info] Notazione per il passaggio per riferimento > Non riscrivere il valore del parametro nel record di P2. Annotate esplicitamente l'alias, ad es. `A ≡ c (Esercizio2)`. Se li duplicate con il valore, dimenticate di aggiornare entrambe le copie quando il valore cambia. ### Esecuzione di P2 @@ -222,7 +222,7 @@ P1: --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Modalità `in` e `out` devono essere controllate per errori prima di costruire lo stack. > - Il passaggio per riferimento crea alias: modifiche a un parametro si riflettono immediatamente sulla variabile originale, incluse eventuali successive letture dello stesso valore tramite altri nomi. > - Il passaggio per copia isola le modifiche fino all'uscita dalla procedura (copia-out). diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" index 9556062..f4f3690 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" @@ -28,7 +28,7 @@ tags: [LP, Java, JVM, bytecode, package, sintassi, garbage-collector, BNF] ## 1. Scelte di design per la sicurezza -> [!important] Perché Java è progettato per la sicurezza del codice mobile +> [!info] Perché Java è progettato per la sicurezza del codice mobile > Java nasce con il requisito di poter eseguire codice proveniente dalla rete in modo sicuro. Le scelte di design riflettono questo obiettivo. Le principali scelte di sicurezza del linguaggio sono: @@ -45,7 +45,7 @@ Le principali scelte di sicurezza del linguaggio sono: **Bytecode verifier**: prima di eseguire il bytecode, la JVM lo verifica. Questa verifica controlla che non vengano accedute zone di memoria non autorizzate, che lo stack non vada in overflow/underflow, e che non ci siano conversioni di tipo illegali. Anche un bytecode manipolato a mano (che aggira il compilatore) viene rilevato. -> [!quote] +> [!tip] > "Se volete un sistema sicuro con codice mobile, non avete tante scelte." --- @@ -71,7 +71,7 @@ flowchart LR > [!tip] Vantaggio dell'implementazione mista > Il costo della compilazione e dei controlli di tipo viene pagato una volta sola. L'esecuzione del bytecode è più fluida perché il bytecode è compatto e facile da interpretare. Il JIT ottimizza i pezzi critici per le prestazioni. -> [!important] Portabilità +> [!info] Portabilità > Il bytecode è indipendente dalla piattaforma. Si compila una volta e si esegue su qualsiasi JVM, che può girare su qualsiasi sistema operativo e hardware. La JVM funge da mediatore tra il bytecode e il sistema sottostante. --- @@ -198,7 +198,7 @@ I modificatori di visibilità sono (dal più restrittivo al meno): `private`, (d --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Java è progettato per eseguire codice mobile in modo sicuro: controllo indici, tipizzazione forte, no aritmetica puntatori, GC automatico, bytecode verifier. > - La JVM implementa una strategia mista: `javac` compila a bytecode portabile, `java` (JVM) interpreta con JIT per i cicli critici. > - I package organizzano il codice in namespace gerarchici corrispondenti a directory nel filesystem; gli import sono solo abbreviazioni. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 0.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 0.md" index f1167d4..b66232e 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 0.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 0.md" @@ -21,14 +21,14 @@ tags: ## 📝 Esame -> [!important] Modalità d'esame +> [!info] Modalità d'esame > - **Prova scritta** + **colloquio orale** > - 6 CFU, nessun progetto --- ## Perché la Probabilità per l'Informatica? -> [!quote] Idea chiave del corso +> [!tip] Idea chiave del corso > Telecomunicazioni e informatica trattano entrambe lo stesso oggetto: l'**informazione**. Le telecomunicazioni la trasferiscono *nello spazio* (da un luogo a un altro); l'informatica la trasferisce *nel tempo* (memorizzazione, compressione, correzione degli errori). > > Intrinseco nel concetto di informazione c'è l'**incertezza**: se non c'è incertezza su ciò che viene trasmesso, non c'è informazione da trasmettere. @@ -65,7 +65,7 @@ graph TD style G fill:#f0a500,color:#fff ``` -> [!note] Cherry picking +> [!info] Cherry picking > Essendo un corso da 6 CFU (vs 9 CFU del corso parallelo al 3° anno), alcuni argomenti come la compressione dati (Huffman, codifica aritmetica) e le passeggiate casuali su grafi non saranno trattati in dettaglio. Priorità: **meno argomenti, ma compresi bene**. ### Statistica inferenziale vs descrittiva @@ -84,7 +84,7 @@ graph TD ### Il Discreto vs il Continuo -> [!quote] Aforisma del prof +> [!tip] Aforisma del prof > *"Il discreto riempie la testa di idee; il continuo riempie la lavagna di formule. Se uno capisce bene le idee, le formule sono una conseguenza."* --- @@ -106,7 +106,7 @@ Può essere: - **Numerabilmente infinito** → es. numero di pacchetti in coda: $\Omega = \mathbb{N}_0$ - **Non numerabile (continuo)** → es. tensione misurata ai capi di una resistenza (rumore termico): $\Omega = \mathbb{R}$ -> [!note] Discreto vs Continuo nella pratica +> [!info] Discreto vs Continuo nella pratica > In realtà qualunque misura fisica è razionale (strumenti con cifre significative finite), ma quando i valori sono così tanti, si modella come continuo e poi si tronca. Il **tempo** viene solitamente schematizzato come continuo. ### Evento @@ -235,7 +235,7 @@ Le permutazioni di $n$ elementi sono tutte le $n$-uple ordinate senza ripetizion Due $k$-uple che differiscono **solo per l'ordine** degli elementi sono considerate la **stessa** combinazione. -> [!note] Ragionamento chiave +> [!info] Ragionamento chiave > Tra tutte le $k$-uple ordinate senza ripetizione, ogni gruppo di $k!$ di esse (tutte le permutazioni degli stessi elementi) collassa in **un'unica** $k$-upla non ordinata. Quindi: $$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$ diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" index c115f41..ea264b3 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" @@ -71,7 +71,7 @@ Questo coefficiente è detto anche **coefficiente binomiale**. > [!example] Mani di poker > Mazzo da 52 carte, mano di 5 carte: $\binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = 2.598.960$. -> [!important] Equivalenza: sequenze binarie con $k$ uni +> [!info] Equivalenza: sequenze binarie con $k$ uni > Il numero di sequenze binarie di lunghezza $n$ con esattamente $k$ uni (e $n-k$ zeri) è: > $$\binom{n}{k}$$ > Questa interpretazione combinatoria del coefficiente binomiale è fondamentale per calcolare probabilità in esperimenti come "almeno $k$ successi in $n$ prove". @@ -117,7 +117,7 @@ $$P(\text{colore qualsiasi}) = 4 \cdot \frac{56}{201.376} \approx 0{,}44\%$$ --- ### Caso m-ario: Sequenze Binarie con Esattamente $k$ Uni -> [!quote] **Domanda:** +> [!tip] **Domanda:** Data una sequenza di $n$ bit, quante sequenze hanno esattamente $k$ uni? >**Ragionamento senza formula:** @@ -155,7 +155,7 @@ Questa definizione è matematicamente "zoppicante" per due motivi: Nonostante ciò, l'approccio frequentistico è preferito da questo docente per una ragione pratica: **rende le proprietà della probabilità intuitive**, derivandole direttamente dalle proprietà degli insiemi, senza bisogno di assiomi astratti da dimostrare separatamente. -> [!quote] +> [!tip] > "Io do le carte napoletane, mi ha giocato a scopone, ho dieci carri per uno, poi la probabilità che gli do i sette carri... Con l'approccio teorico la gente cominciava a ragionare in percentuali assurde. Con quello frequentistico si ragiona automaticamente nel modo giusto." ### La probabilità come misura @@ -307,7 +307,7 @@ Il risultato è circa 70% — molto più alto di quanto l'intuizione suggerisce. --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Il coefficiente binomiale $\binom{n}{k}$ conta le sequenze binarie di lunghezza $n$ con esattamente $k$ uni: si deriva solo dal ragionamento sulle permutazioni degli indistinguibili. > - La probabilità frequentistica $P(A) = \lim_{n \to \infty} N_A/n$ è intuitiva e permette di derivare tutte le proprietà dalle operazioni sugli insiemi. > - Quando gli eventi elementari non sono equiprobabili, non si può usare il rapporto di cardinalità. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" index e56906c..8f6307b 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" @@ -98,7 +98,7 @@ Usando la definizione di probabilità condizionata, $P(A \cap E_i) = P(A \mid E_ > $$P(A) = \sum_{i=1}^{m} P(A \mid E_i) \cdot P(E_i)$$ > La probabilità di un evento $A$ si puo scomporre condizionando rispetto a una partizione dello spazio dei campioni. -> [!quote] +> [!tip] > "Questa legge, ragazzi, e importantissima. Si usa in tutti i calcoli probabilistici, in quasi tutti, perche a volte devo calcolare la probabilità di un evento ed e difficile, pero se mi metto in certe condizioni la devo scomporre in calcoli piu semplici. La useremo, la vedremo, ve la farò vedere negli esercizi." --- @@ -112,7 +112,7 @@ Tuttavia questa impostazione presenta due problemi fondamentali: 1. **Convergenza non specificata:** non si e detto in che senso la frequenza di successo converge a un valore stabile; le prove devono essere indipendenti, ma l'indipendenza e essa stessa un concetto probabilistico (circolarità). 2. **Generalità non garantita:** non c'e a priori nessuna garanzia che le proprietà trovate sotto certe ipotesi valgano in generale. -> [!quote] +> [!tip] > "Io vi ho promesso che vi avrei definito in modo piu rigoroso la probabilità. Tutto questo zoppica dal punto di vista non solo matematico, ma concettuale." --- @@ -167,7 +167,7 @@ Analogamente, $A \setminus B = A \cap B^c$: poiche $B^c \in \mathcal{E}$ (chiusu > > L'insieme delle parti $2^\Omega$ e anch'esso un'algebra, ma e molto piu grande del necessario. Piu piccola di questi quattro elementi non e possibile. -> [!quote] +> [!tip] > "Non vi fate mai spaventare dai paroloni della matematica." --- @@ -215,7 +215,7 @@ La terna $(\Omega, \mathcal{E}, P)$ prende il nome di **spazio di probabilità** > La $\sigma$-algebra garantisce che tutte le operazioni insiemistiche (unione, intersezione, complementazione, differenza) restino nel dominio di definizione della funzione $P$. Senza questa struttura, non si potrebbe essere certi di poter calcolare $P$ su combinazioni arbitrarie di eventi. > Come dice il professore: "i matematici pensano: io resto nel dominio di definizione dell'algebra." -> [!quote] +> [!tip] > "Vedete che noi abbiamo fatto tutto questo ambaradan. Dice, ma e tutta questa cosa complicata? Tu metti le tue prove, fatti la frequenza di successo... Tutto quello che abbiamo ricavato, qua non c'e niente. Io ti faccio vedere che tutto quello che tu hai ricavato prima, usando quella definizione, se volete, un po' farlocca di probabilità, io te lo ricavo come unica conseguenza degli assiomi di Kolmogorov." --- @@ -277,7 +277,7 @@ $$P(\emptyset) = P(\Omega^c) = 1 - P(\Omega) = 1 - 1 = 0$$ > [!warning] Terminologia > L'insieme vuoto $\emptyset$ si chiama **evento impossibile**; lo spazio dei campioni $\Omega$ si chiama **evento certo**. -> [!quote] +> [!tip] > "Riprendo il giro per dirvi quanto e pesante questo. Abbiamo trovato le cose prima, le abbiamo trovate in modo facile. Ora dimostrarle diventa un giochino, perche gia sappiamo il risultato che dobbiamo tirare." --- @@ -288,7 +288,7 @@ $$P(\emptyset) = P(\Omega^c) = 1 - P(\Omega) = 1 - 1 = 0$$ > Due eventi $A, B \in \mathcal{E}$ si dicono **statisticamente indipendenti** se: > $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ -> [!quote] +> [!tip] > "La nozione di indipendenza e fondamentale e moltissima statistica inferenziale si fonda su ipotesi di indipendenza, perche senza indipendenza una serie di convergenze [non valgono]. Voi avete dei grandi database, giocate quei file Excel per ricavarvi una serie di parametri globali. E ci sono delle ipotesi alla base: ipotesi di ergodicità, che a loro volta indicano ipotesi di indipendenza, per lo meno tra campioni sufficientemente lontani. Se no, la statistica descrittiva vale solo per quel campione di dati. Non e generalizzabile." ### Indipendenza dei complementari @@ -379,7 +379,7 @@ Questi $n$ eventi sono **disgiunti** (nel primo c'e $A_1$, nel secondo c'e $A_2$ $$\boxed{P(\text{esattamente uno}) = \sum_{i=1}^{n} p_i \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} (1 - p_j)}$$ -> [!quote] +> [!tip] > "E solo logica, ragazzi, pero vi dico anche che questa logica non la dovete dimenticare, perche poi quando andiamo sulle variabili aleatorie e un po' piu numerica la cosa, pero dovete sempre ricordarvi questa logica. Dovete formulare opportunamente le proposizioni." --- @@ -533,7 +533,7 @@ hanno tutti un esito **binario**. Codificando opportunamente (testa $\to 0$, cro Il professore accenna al fatto che, per essere rigorosi, una variabile aleatoria deve essere un'**applicazione misurabile**: l'anti-immagine di ogni evento concernente $X$ deve essere un elemento della $\sigma$-algebra. Questa condizione garantisce che si possa calcolare la probabilità che $X$ assuma certi valori. Tuttavia, per il livello del corso, e sufficiente la definizione semplificata. -> [!quote] +> [!tip] > "Queste cose le ho studiate perche mi sono servite per la mia ricerca, e manco sono sicuro che mi siano servite veramente perche il mio advisor di dottorato era sadico e mi metteva in mano certi libri. Pero se uno deve fare ricerca in questo campo, e bene che certe cose le faccia." ### Evento elementare nello spazio della variabile aleatoria @@ -594,7 +594,7 @@ dove $n_0$ e il numero di volte in cui esce $0$ e $n_1 = n - n_0$ e il numero di $$\bar{X}_n \xrightarrow{n \to \infty} 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = \frac{1}{2} \stackrel{\text{def}}{=} E[X]$$ -> [!quote] +> [!tip] > "Voi avete automaticamente detto, guarda, se io faccio $n$ prove, la meta delle volte mi viene $0$, la meta delle volte mi viene $1$. Voi ragionate inevitabilmente sulla frequenza di successo." > [!warning] Attenzione @@ -602,7 +602,7 @@ $$\bar{X}_n \xrightarrow{n \to \infty} 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = \frac{1 --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Le proprietà della probabilità derivate dalla frequenza di successo sono confermate dalla teoria assiomatica, dove diventano **teoremi** dimostrabili dai soli assiomi di Kolmogorov. > - Un'**algebra** e una collezione di sottoinsiemi chiusa rispetto a unione e complementazione; la chiusura rispetto a intersezione e differenza segue dalle leggi di De Morgan. > - Una **$\sigma$-algebra** estende la chiusura a unioni numerabili, ed e necessaria quando $\Omega$ e infinito numerabile. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" index 56a1f1f..2d34873 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" @@ -68,7 +68,7 @@ Questo limite è il **valore atteso** della variabile aleatoria. > [!warning] Media statistica vs media aritmetica > La media statistica **non** coincide in generale con la media aritmetica dei valori dell'alfabeto. La media aritmetica pesa tutti i valori allo stesso modo ($1/M$ ciascuno); la media statistica è una **media pesata** con pesi $P_X(a_k)$. Solo quando la distribuzione è uniforme (tutti i valori equiprobabili) le due medie coincidono. -> [!quote] +> [!tip] > "La media statistica è il baricentro della distribuzione di probabilità: se mettete dei pesi sulle posizioni dell'asse reale, il baricentro cade dove c'è più massa di probabilità. È il numero verso cui converge la media campionaria quando fate tante prove." --- @@ -200,7 +200,7 @@ Quando l'alfabeto è $\mathcal{X} = \{1, 2, \ldots, M\}$ (i primi $M$ interi pos $$\sum_{k=1}^{M} k = \frac{M(M+1)}{2}$$ -> [!quote] +> [!tip] > "La scoprì Gauss a sei anni, quando il maestro gli chiese di sommare i numeri da 1 a 100 pensando di tenerlo occupato per un'ora. Gauss scrisse l'ultimo numero accanto al primo, il penultimo accanto al secondo... e si accorse che ogni coppia faceva 101. Cinquanta coppie: $50 \times 101 = 5050$. Il maestro rimase a bocca aperta." **Dimostrazione.** Sia $S = 1 + 2 + \cdots + M$. Scriviamo la somma due volte, una in ordine crescente e una in ordine decrescente: @@ -273,7 +273,7 @@ $$\boxed{E[X] = \lambda}$$ La media della Poisson è esattamente il parametro $\lambda$: un risultato elegante che conferma l'interpretazione di $\lambda$ come tasso medio. -> [!quote] +> [!tip] > "La Poisson è la distribuzione delle cose rare: eventi che singolarmente sono poco probabili, ma che vengono osservati su un numero enorme di occasioni. Quante macchine passano al casello in un minuto? Quanti pacchetti arrivano al router in un millisecondo? Quante persone entrano all'ufficio postale in un'ora? Tutte Poisson." ### Applicazioni della distribuzione di Poisson @@ -418,7 +418,7 @@ $$P(T \mid S) + P(O \mid S) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1 \quad \checkmark$$ > [!warning] L'aggiornamento bayesiano: a priori vs a posteriori > Prima del lancio, la probabilità che il dado fosse truccato era $P(T) = 1/3 \approx 33\%$. Dopo aver osservato l'uscita del $6$, la probabilità è salita a $P(T \mid S) = 3/5 = 60\%$. L'osservazione ha **aggiornato** la nostra credenza: poiché il $6$ è molto più probabile con il dado truccato ($1/2$ vs $1/6$), la sua uscita è un'evidenza a favore dell'ipotesi "dado truccato". -> [!quote] +> [!tip] > "Bayes è questo: prima di vedere i dati avete un'opinione — la probabilità a priori. Poi vedete i dati e aggiornate l'opinione — ottenete la probabilità a posteriori. Se i dati sono coerenti con la vostra ipotesi, la probabilità sale; se non lo sono, scende. Questo è il cuore dell'inferenza statistica." --- @@ -475,12 +475,12 @@ Per questo motivo, nella pratica, accanto alla media si calcolano sempre altri i - La **mediana**: il valore che divide la distribuzione a metà (il 50% dei dati sta sopra, il 50% sotto). È robusta rispetto agli outlier. - La **varianza** (che vedremo nelle prossime lezioni): misura la dispersione dei dati attorno alla media. Se la varianza è alta, la media da sola è poco informativa. -> [!quote] +> [!tip] > "Se uno mette la testa nel forno e i piedi nel congelatore, in media sta bene. Ecco perché la media da sola non basta: bisogna sempre guardare anche quanto i dati si disperdono attorno ad essa." --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Il **valore atteso** $E[X] = \sum_k a_k P_X(a_k)$ è il baricentro della distribuzione e il limite della media campionaria per la legge dei grandi numeri. > - **Bernoulli** $\text{Ber}(p)$: l'esperimento più semplice (successo/fallimento), con media $E[X] = p$. > - **Binomiale** $\text{Bin}(n,p)$: somma di $n$ Bernoulli indipendenti, PMF $= \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, media $= np$. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 4.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 4.md" index e083d9e..1b0c3a5 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 4.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 4.md" @@ -135,7 +135,7 @@ Il **valore efficace** (root mean square) è: $$x_{\text{rms}} = \sqrt{E[X^2]}$$ -> [!note] Terminologia RMS +> [!info] Terminologia RMS > Il termine inglese "root mean square" indica che si prende la **radice** del valor medio del **quadrato**. La notazione $x_{\text{rms}}^2 = E[X^2]$ (il quadrato del valore efficace = valore quadratico medio) può essere fonte di confusione. > [!example] Corrente alternata e valore efficace diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" index 4eee44f..49c449a 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" @@ -119,7 +119,7 @@ La covarianza misura il grado di **co-variazione** tra due variabili: - **Negativa**: le deviazioni tendono a essere di segno opposto (se $X$ è sopra la media, $Y$ tende ad essere sotto). - **Zero**: non esiste una tendenza lineare di co-variazione. -> [!important] Indipendenza implica incorrelazione +> [!info] Indipendenza implica incorrelazione > Se $X$ e $Y$ sono indipendenti, allora $\text{Cov}(X, Y) = 0$: > $$E[XY] = E[X]E[Y] \quad \Rightarrow \quad \text{Cov}(X,Y) = 0$$ > Però l'implicazione non vale al contrario: variabili non correlate (covarianza nulla) **non sono necessariamente indipendenti**. @@ -204,14 +204,14 @@ graph TD Le frecce indicano implicazioni. Convergenza con prob. 1 e convergenza in media quadratica sono entrambe **forti**, ma non si implicano a vicenda. Entrambe implicano la convergenza in probabilità (la più debole). -> [!quote] +> [!tip] > "La probabilità è definita come il limite della frequenza di successo. Questo ha senso matematico rigoroso: la frequenza converge alla probabilità in media quadratica e in probabilità. La nostra definizione era corretta fin dall'inizio." ### Nota sul problema circolare La definizione frequentistica richiede che le prove siano **indipendenti** — ma l'indipendenza è essa stessa un concetto probabilistico. L'approccio formale (assiomi di Kolmogorov) risolve questo problema: si definisce prima la probabilità assiomaticamente, poi si dimostra che la frequenza converge a essa. -> [!quote] +> [!tip] > "Il professore Conte me lo contesta sempre: per definire la probabilità usi la frequenza, ma per dire che è una frequenza hai bisogno dell'indipendenza, che è un concetto probabilistico. È il cane che si morde la coda. In realtà non serve strettamente l'indipendenza: basta un'asintotica indipendenza." --- @@ -259,12 +259,12 @@ Per la roulette ($b = 36$, $a = 18/37$): $g(k) = 34 \cdot 2^{k-1} + 1$. > [!warning] Paradosso della martingala > Se il limite di puntata $S \to \infty$ (patrimonio infinito, nessun limite), la martingala garantisce di vincere con probabilità 1 — ed è per questo che i casinò impongono un **limite massimo di puntata**. Con un qualunque limite finito $S$, il guadagno medio è negativo per il giocatore (il banco ha sempre un vantaggio statistico). -> [!quote] +> [!tip] > "Il guadagno medio per $S \to \infty$ diverge. Ma attenzione: fare il limite di $S$ al denominatore non è lo stesso che calcolare il guadagno con $S$ infinito. La convergenza è in probabilità, non puntuale. Questo è un esempio di convergenza in probabilità che non implica nulla sul limite dei valori attesi." --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - La **varianza** misura l'aleatorietà: $\sigma_X^2$ piccolo significa variabile concentrata intorno alla media. La coppia $(\mu_X, \sigma_X)$ caratterizza globalmente $X$. > - La **disuguaglianza di Chebyshev** quantifica quanto raramente una variabile si discosta dalla media: $P(|X-\mu_X| \geq k\sigma_X) \leq 1/k^2$. > - **Media** è lineare: $E[aX+b] = aE[X]+b$. **Varianza** è invariante per traslazione e covariante per scala: $\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 6.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 6.md" index 7356456..d30e9ef 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 6.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 6.md" @@ -164,7 +164,7 @@ $$p_X(x) = \sum_{y \in \mathcal{Y}} p_{XY}(x, y), \qquad p_Y(y) = \sum_{x \in \m **Dimostrazione**: L'evento $\{X = x\}$ è l'unione disgiunta degli eventi $\{X = x, Y = y\}$ al variare di $y$. Per l'assioma di additività di Kolmogorov: $P(X=x) = \sum_y P(X=x, Y=y)$. -> [!important] Asimmetria congiunta ↔ marginali +> [!info] Asimmetria congiunta ↔ marginali > - Congiunta **implica** marginali: data la PMF congiunta, le marginali sono univocamente determinate (per somma). > - Marginali **non implicano** congiunta: date le due PMF marginali, esistono in generale molte congiunte compatibili con esse. > @@ -227,7 +227,7 @@ Il caso di due variabili si generalizza naturalmente. **Marginalizzazione gerarchica**: Una PMF di ordine $n$ implica tutte le PMF di ordine inferiore. Sommando su tutti i valori di $X_k$, si ottiene la PMF congiunta delle restanti $n-1$ variabili. -> [!important] La gerarchia va solo verso il basso +> [!info] La gerarchia va solo verso il basso > La conoscenza di ordine $n$ implica la conoscenza di ordine $n-1$, $n-2$, ..., fino a 1. Non vale il contrario: le marginali di ordine inferiore non determinano quella di ordine superiore (salvo indipendenza). ### Esempio: terne di bit @@ -270,7 +270,7 @@ Cioè, la PMF marginale di $X$ è la **media rispetto a $Y$** della PMF condizio --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Una coppia di variabili aleatorie è caratterizzata dalla PMF congiunta: una tabella di $|\mathcal{X}| \times |\mathcal{Y}|$ numeri non negativi che sommano a 1. > - Dalla congiunta si ricavano le marginali per somma (marginalizzazione). Il viceversa non vale in generale. > - Due variabili sono indipendenti se e solo se la congiunta si fattorizza nel prodotto delle marginali. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" index 66d88b2..bd210f0 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" @@ -130,7 +130,7 @@ $$H(X) = p \log_2 \frac{1}{p} + (1-p) \log_2 \frac{1}{1-p}$$ Proprietà: $0 \leq H(X) \leq 1$, con $H(X) = 1$ se e solo se $p = 1/2$. -> [!important] Implicazione per i file compressi +> [!info] Implicazione per i file compressi > Una variabile Bernoulliana porta al più 1 bit di informazione, e esattamente 1 bit solo quando $p = 1/2$ (i due valori sono equiprobabili). Un file compresso idealmente è una sequenza binaria in cui 0 e 1 sono equiprobabili e statisticamente indipendenti: questa è la condizione di massima complessità informazionale. ### Entropia di una variabile quaternaria uniforme @@ -141,7 +141,7 @@ $$H(X) = 4 \cdot \frac{1}{4} \log_2 4 = \log_2 4 = 2 \text{ bit}$$ Una variabile quaternaria equiprobabile porta 2 bit di informazione, coerentemente con il fatto che 4 valori si codificano con 2 bit binari. -> [!quote] +> [!tip] > "Una variabile bistabile trasporta una quantità di informazione che è al più un bit." --- @@ -296,7 +296,7 @@ $$P(6,5) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20} = \fr #### Confronto: $P(6,5)$ vs. $P(5,6)$ -> [!important] Asimmetria della coppia $(6,5)$ vs $(5,6)$ +> [!info] Asimmetria della coppia $(6,5)$ vs $(5,6)$ > Per il calcolo di $P(X_1=5, X_2=6)$: dato $X_1=5$ (dispari), si **cambia dado**. Quindi, se il primo dado era onesto, il secondo è truccato (e viceversa). Questo cambia radicalmente le probabilità: > > - Dado onesto primo: $P(X_1=5|\text{onesto})=1/6$. Dato $X_1=5$ (dispari), si usa il dado truccato: $P(X_2=6|\text{truccato})=1/2$. Contributo: $1/6 \cdot 1/2 = 1/12$. @@ -308,7 +308,7 @@ $$P(6,5) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20} = \fr --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Nel canale binario simmetrico la probabilità di errore è $\varepsilon$ indipendentemente dall'input; il caso peggiore è $\varepsilon=1/2$ (l'uscita non dà informazioni sull'ingresso). > - L'entropia $H(X) = E[\log_2(1/p_X(X))]$ misura la quantità media di informazione in bit; per una variabile Bernoulliana vale al più 1 bit, raggiunto con $p=1/2$. > - La PMF marginale è la media della PMF condizionale rispetto alla variabile condizionante. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" index de449b2..690913c 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" @@ -144,7 +144,7 @@ $$K_{\mathbf{x}} = E\!\left[(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})(\mathbf{x} - \boldsy Il caso si generalizza a $n$ variabili: la matrice $K$ è $n \times n$, con $K_{ij} = \text{Cov}(X_i, X_j)$. -> [!important] Importanza nella data analysis e nel machine learning +> [!info] Importanza nella data analysis e nel machine learning > La matrice di covarianza è fondamentale in machine learning, analisi dei componenti principali (PCA), stima MMSE (Minimum Mean Square Error) e in generale in tutti i metodi statistici che lavorano con vettori di dati. Se $K$ è diagonale, le variabili sono incorrelate. --- @@ -179,7 +179,7 @@ $$f_X(x) = \lim_{\delta x \to 0} \frac{P(x - \delta x/2 \leq X \leq x + \delta x > [!warning] La densità non è una probabilità > $f_X(x_0)$ non è la probabilità che $X = x_0$. La probabilità di un singolo punto è 0. La densità è la "concentrazione" di probabilità in un intorno di $x_0$: più è alta, più è probabile trovare $X$ vicino a $x_0$. -> [!quote] +> [!tip] > "Chiamare il massimo della densità il 'valore più probabile' mi dà una pugnalata a sangue freddo. Il massimo della densità si chiama correttamente il valore modale." La teoria sarà ripresa in dettaglio nella prossima lezione, con il concetto di **funzione di distribuzione cumulativa (CDF)** e con tutti gli strumenti del caso continuo. @@ -287,7 +287,7 @@ La **Funzione Generatrice dei Momenti (MGF)** è uno strumento potente per lo st Per dimostrare rigorosamente il **Teorema del Limite Centrale**, si calcola la MGF della somma standardizzata e si mostra che converge alla MGF della gaussiana standard $\mathcal{N}(0,1)$, che è $M(t) = e^{t^2/2}$. -> [!important] Criterio di convergenza in pratica +> [!info] Criterio di convergenza in pratica > Per verificare se una sequenza di distribuzioni converge a quella di una variabile aleatoria nota (es. gaussiana), calcolare le MGF e controllare se la convergenza vale punto per punto. --- @@ -295,7 +295,7 @@ Per dimostrare rigorosamente il **Teorema del Limite Centrale**, si calcola la M --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Il teorema della media condizionale permette di calcolare la media totale condizionando su una variabile ausiliaria, scomponendo problemi complessi in sottoproblemi più semplici. > - La distribuzione di Poisson è chiusa rispetto al subcampionamento bernoulliano: $N \sim \text{Poisson}(\lambda)$ e $M|N \sim \text{Bin}(N,p)$ implicano $M \sim \text{Poisson}(\lambda p)$. > - La covarianza misura la co-variazione lineare tra due variabili; il coefficiente di correlazione la normalizza in $[-1,1]$. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 9.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 9.md" index 0ed0361..5c95d98 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 9.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 9.md" @@ -110,7 +110,7 @@ dove $c_i$ è un punto del sottointervallo $i$ per il teorema del valor medio. Q $$E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\, f_X(x)\, dx$$ -> [!important] Implicazione pratica: la quantizzazione vettoriale +> [!info] Implicazione pratica: la quantizzazione vettoriale > Shannon (1948) dimostrò che per digitalizzare dati analogici in modo ottimo non conviene quantizzare campione per campione, ma blocchi di dati grandi tutti insieme (**quantizzazione vettoriale**). Un quantizzatore su $\mathbb{R}^n$ è asintoticamente molto più efficiente di $n$ quantizzatori scalari indipendenti. Questo è il fondamento della codifica a blocchi usata in tutti i sistemi di compressione moderni. --- @@ -193,7 +193,7 @@ La convenienza di lavorare con la CDF è che $P(X \leq x \mid A)$ è sempre ben --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - La CDF $F_X(x) = P(X \leq x)$ è definita per qualsiasi variabile aleatoria; è monotona crescente, vale 0 a $-\infty$ e 1 a $+\infty$. > - PDF e CDF sono equivalenti: $f_X(x) = F_X'(x)$ e $F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t)\, dt$. > - Il valore atteso continuo $E[X] = \int x f_X(x)\, dx$ si giustifica come limite di medie di variabili quantizzate. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" index b1170fa..a80deb0 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" @@ -24,7 +24,7 @@ tags: --- ## 📝 Esame -> [!important] Modalità d'esame +> [!info] Modalità d'esame > 1. **Prova scritta** — domande aperte + esercizi (lettura e interpretazione di codice, non scrittura) > 2. **Prova orale** — accessibile solo dopo aver superato lo scritto > @@ -44,7 +44,7 @@ tags: ## Cos'è un Sistema Operativo? -> [!quote] Definizione +> [!tip] Definizione > Un Sistema Operativo è un **programma** che gestisce le risorse hardware di un calcolatore, facendo da intermediario tra utente e macchina. È il **primo strato software** che si pone tra l'hardware e le applicazioni. ### Obiettivi principali @@ -99,7 +99,7 @@ graph TB ## Kernel vs Programmi di sistema -> [!note] Distinzione fondamentale +> [!info] Distinzione fondamentale > - **Kernel (nucleo):** parte più interna; unico programma con accesso completo all'hardware; opera in *Kernel Mode* (modalità privilegiata) > - **Programmi di sistema:** estendono le funzionalità del kernel (shell, utilità di sistema, ecc.) > - **Applicazioni:** tutto ciò che non è né kernel né programma di sistema @@ -274,7 +274,7 @@ gantt ### Dual Mode — Modalità Duale -> [!important] Principio fondamentale +> [!info] Principio fondamentale > Il sistema opera sempre in una di due modalità, distinte da un **bit hardware**: > - **Kernel Mode:** accesso completo all'hardware, operazioni privilegiate > - **User Mode:** operazioni limitate; per accedere all'hardware si deve richiedere al kernel tramite *system call* @@ -288,7 +288,7 @@ gantt Per evitare che un processo utente occupi la CPU indefinitamente: -> [!note] +> [!info] > Un **timer hardware** invia periodicamente un interrupt alla CPU, riportando il controllo al kernel. Questo garantisce che nessun processo possa monopolizzare la CPU. ### Protezione della Memoria diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" index fe19161..5d297b6 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" @@ -39,7 +39,7 @@ Il sistema operativo deve fornire un insieme ampio di servizi. Deve mettere a di Il SO è anche un **monitor**: non solo alloca le risorse, ma tiene costantemente traccia di tutto quello che sta succedendo sulla macchina. Per ogni processo sa quali file sono aperti, quali risorse sono allocate, chi sono gli utenti coinvolti. Mantiene per questo una serie di strutture dati interne al kernel. Vengono anche garantiti meccanismi di **protezione** (accesso controllato alle risorse tra processi interni) e **sicurezza** (difesa da accessi non autorizzati dall'esterno). -> [!important] Protezione ≠ Sicurezza +> [!info] Protezione ≠ Sicurezza > La **protezione** riguarda l'interno: garantisce che processi utente non accedano a zone di memoria o operazioni non consentite. La **sicurezza** riguarda l'esterno: autenticazione, difesa da intrusioni. Sono concetti e meccanismi distinti. --- @@ -131,7 +131,7 @@ Questo è ciò che il compilatore genera quando si compila una chiamata come `wr 6. Esegue la routine di servizio. 7. Scrive il risultato in `rax` e ritorna al processo utente. -> [!quote] +> [!tip] > "È come se voi vi siete già messi d'accordo su dove stanno le chiavi di casa. Io ho lasciato le chiavi nel solito posto. Il kernel già sa in quali cassetti aprire per trovare i dati." > [!example] Esempio dall'alto: il comando `cp` @@ -199,7 +199,7 @@ La scelta dipende sempre dai trade-off: velocità vs modularità, sicurezza vs p --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Le system call sono il confine tra user space e kernel space: l'unico canale di comunicazione controllato. > - API (alto livello, portabile) e ABI (livello macchina) sono due cose distinte; non c'è mapping 1:1 garantito. > - Le API POSIX sono lo standard Unix-like che useremo nel corso per la programmazione concorrente in C. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" index 7ff77ef..6fd91c1 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" @@ -149,7 +149,7 @@ Svantaggio: **overhead di comunicazione**. Ogni volta che un modulo deve comunic Approccio usato dai kernel moderni (Linux, Solaris, Windows). Il kernel ha un nucleo fisso a cui si possono agganciare/sganciare **moduli** dinamicamente, senza ricompilare. I moduli vengono linkati dentro il kernel → nessun overhead di message passing, ma comunque compartimentazione del codice. -> [!quote] +> [!tip] > "È simile al microkernel per l'idea di compartimentazione, ma senza il message passing. I moduli stanno dentro il kernel, si parlano direttamente." ### Sistemi Ibridi @@ -335,7 +335,7 @@ if (pid < 0) { --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - La virtualizzazione tipo 1 (bare metal) è più efficiente del tipo 2 (hosted); entrambe si distinguono dall'emulazione, che riproduce software l'intera architettura. > - I kernel moderni sono ibridi: prendono idee dal monolitico (prestazioni), dal microkernel (modularità) e dalla struttura modulare (estendibilità). > - Un processo è un programma in esecuzione con un proprio spazio di memoria, un program counter e un ciclo di vita. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 3.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 3.md" index 12c92b8..79959c7 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 3.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 3.md" @@ -553,7 +553,7 @@ La capacita del canale di comunicazione determina il comportamento: --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - Il formato degli eseguibili in Linux e passato da **.out** a **.elf**; il loader usa l'header del file per caricare i segmenti nello spazio di indirizzamento virtuale. > - Ogni processo ha uno spazio virtuale che include sia la zona **user mode** che una mappatura del **kernel** (shared tra tutti i processi). > - L'**exit status** e un intero opaco che va letto con macro bit a bit (`WIFEXITED`, `WEXITSTATUS`). diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 4.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 4.md" index d3b1483..cf5ee2c 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 4.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 4.md" @@ -480,7 +480,7 @@ gcc -Wall -g hello.c -o hello --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - La **shell** è l'interfaccia testuale con il sistema operativo; bash è la shell standard su Linux > - La compilazione è una **pipeline a 4 fasi**: preprocessore → compilatore → assemblatore → linker > - **GCC** permette di fermarsi a ciascuna fase con i flag `-E`, `-S`, `-c` diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" index 6634f9d..fc9320f 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" @@ -37,7 +37,7 @@ Un **thread** è un flusso esecutivo che condivide lo spazio di indirizzamento d | **Economia** | Creare e distruggere un thread è più veloce di un processo; il context switch è più leggero (lo stack è più piccolo) | | **Scalabilità** | Su architetture multicore, thread diversi possono girare su core diversi contemporaneamente | -> [!important] Thread e architetture multicore +> [!info] Thread e architetture multicore > Con l'aumentare del numero di core nelle CPU moderne (es. 16 core fisici, 24 hardware thread), la capacità di parallelizzare tramite thread diventa un principio architetturale fondamentale, non solo un'ottimizzazione. --- @@ -119,7 +119,7 @@ Tutti gli user thread di un processo si mappano su **un unico kernel thread**. L - Se un thread si blocca (es. su I/O), si bloccano tutti (il kernel vede un unico thread bloccato). - Nessun vero parallelismo su multicore. -> [!quote] +> [!tip] > "Questo poteva avere un senso quando avevamo architetture single core. Adesso che sono architetture multicore non si utilizza questo tipo di mapping." ### One-to-one @@ -180,7 +180,7 @@ La libreria **POSIX Threads** (`pthread.h`) è lo standard per la gestione dei t | `pthread_self()` | Restituisce il TID del thread corrente | | `pthread_attr_init(attr)` | Inizializza gli attributi del thread | -> [!important] Prototipo della funzione di avvio +> [!info] Prototipo della funzione di avvio > Ogni funzione passata a `pthread_create` deve avere questa firma: > ```c > void *start_function(void *arg); @@ -289,7 +289,7 @@ for (int i = 0; i < N; i++) { --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - I thread condividono lo spazio di indirizzamento del processo: comunicano direttamente ma possono andare in conflitto (race condition). > - La legge di Amdahl mostra che la parte seriale limita lo speedup ottenibile con più core. > - User thread e kernel thread sono distinti; i modelli di mapping (many-to-one, one-to-one, many-to-many) definiscono come vengono collegati. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 7.md" index ed06322..a5537c6 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 7.md" @@ -207,7 +207,7 @@ Lo **dispatcher** è il componente che materialmente trasferisce il controllo de | **Waiting time** | Minimizzare il tempo medio in coda Ready | Tutti | | **Response time** | Minimizzare il tempo alla prima risposta | Processi interattivi | -> [!important] Minimizzare la varianza è spesso più importante della media +> [!info] Minimizzare la varianza è spesso più importante della media > Un sistema con tempi di risposta imprevedibili (alta varianza) è percepito come inaffidabile anche se la media è bassa. Ridurre la varianza aumenta la predicibilità e la fiducia dell'utente. --- @@ -282,7 +282,7 @@ I burst più recenti pesano di più; i burst più vecchi **sfumano esponenzialme --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - I segnali ordinari pending non si accumulano: N invii → 1 sola consegna. I segnali real-time invece si accodano. > - Una maschera impostata prima del lancio dei thread viene ereditata da tutti i figli; impostata dopo, vale solo per il thread corrente. > - La cancellazione deferred (default) aspetta un cancellation point; si possono aggiungere cancellation point artificiali con `pthread_testcancel()`. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" index 7f2266f..0ea2a06 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" @@ -206,7 +206,7 @@ Ogni processo ha: **Selezione**: tra i processi eligibili, si sceglie quello con la **virtual deadline più ravvicinata** (EDF applicato alle deadline virtuali). -> [!quote] +> [!tip] > "Se quello di prima era orientato alla fairness pesata su priorità, questo nuovo è orientato alla reattività pesata, considerando priorità e deadline." ### Confronto CFS vs. EEVDF @@ -250,7 +250,7 @@ Core ad alte prestazioni (big) e core a basso consumo (LITTLE) sullo stesso chip --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - RMS: priorità statica basata sulla frequenza; garantisce le deadline finché l'utilizzo totale ≤ $n(2^{1/n}-1)$ (69% per $n \to \infty$). > - EDF: priorità dinamica basata sulla deadline più ravvicinata; ottimale — se esiste uno scheduling fattibile, EDF lo trova. > - Linux CFS: virtual runtime con "orologio truccato" in base alla priorità; albero rosso-nero per selezione O(1). diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 9.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 9.md" index 9cada49..b09b226 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 9.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 9.md" @@ -185,12 +185,12 @@ Con più core, lo scheduler deve anche decidere **su quale core** eseguire ogni - **Push migration**: un processo verifica periodicamente i carichi e sposta task dai core sovraccarichi. - **Pull migration**: un core idle va a "rubare" task dalla coda di un core occupato. -> [!important] Affinità del processore (CPU affinity) +> [!info] Affinità del processore (CPU affinity) > Un thread che ha già eseguito su un core ha i suoi dati in quella cache. Migrarlo su un altro core implica invalidare la cache → costo. Lo scheduler tende a mantenere un thread sullo stesso core (soft affinity) o può forzarlo (hard affinity). --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - SRTF (SJF preemptive) prelaziona quando arriva un processo con burst rimanente più breve; minimizza il tempo di attesa medio meglio di SJF non-preemptive. > - La priorità fissa causa starvation; l'aging la previene alzando la priorità dei processi che aspettano. > - Round-Robin è equo e senza starvation; il quanto deve essere abbastanza grande rispetto al context switch ma abbastanza piccolo per garantire reattività. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" index cad6dba..b85b968 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" @@ -34,10 +34,10 @@ Gli algoritmi di scheduling possono essere valutati con approcci di diverso live **Simulazione** — Si simulano gli arrivi e i tempi di elaborazione con generatori casuali. Più realistico, ma pur sempre limitato. Il vero banco di prova è l'implementazione diretta nel kernel. -> [!important] Il vero banco di prova +> [!info] Il vero banco di prova > L'unico modo per valutare davvero un algoritmo di scheduling sofisticato è inserirlo nel kernel e osservarne il comportamento nel sistema completo. L'algoritmo vive in un ecosistema e interagisce con tutto il resto: un algoritmo teoricamente ottimo può risultare non performante in pratica. Ad esempio, l'EEVDF di Linux è stato proposto come lavoro scientifico diversi anni prima di essere integrato nel kernel, proprio per la cautela necessaria nel sostituire un algoritmo già in produzione. -> [!quote] +> [!tip] > "Finché si trattano algoritmi molto semplici, si possono modellare in astratto, però poi per valutare effettivamente l'impatto reale bisogna immergerlo dentro il kernel." --- @@ -55,7 +55,7 @@ La soluzione con contatore esplicita il problema in modo ancora più chiaro: un > [!example] Corsa critica sul contatore > Supponiamo `counter = 5`. Il thread 1 legge 5 nel registro R1, aggiorna R1 a 6. Prima di scrivere in memoria, lo scheduler cede la parola al thread 2, che legge 5 nel registro R2, aggiorna R2 a 4, scrive 4 in memoria. Poi il thread 1 scrive 6. Il risultato finale è 6 invece di 5. Se avessero operato atomicamente, qualunque ordine avrebbe prodotto 5. -> [!quote] +> [!tip] > "Voi che cosa state ipotizzando, lanciando due thread? Che tutte queste siano operazioni atomiche. Se fossero atomiche, chi arriva prima, chi arriva dopo... non è un problema." Il problema si amplifica su sistemi **multicore** dove c'è parallelismo reale: i thread girano su core distinti e accedono a memoria condivisa contemporaneamente. In più, le cache possono introdurre ulteriori problemi di consistenza: una modifica tenuta in cache può non essere ancora propagata in memoria globale. @@ -204,7 +204,7 @@ Questo garantisce che ogni processo che aspetta verrà servito nell'ordine circo --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - La valutazione deterministica degli algoritmi di scheduling è quella richiesta ai compiti; il vero banco di prova è l'implementazione nel kernel. > - Le corse critiche nascono dall'interfogliamento di istruzioni macchina su variabili condivise: anche `counter++` non è atomica. > - Un corretto meccanismo per la sezione critica deve garantire mutua esclusione, progresso e bounded waiting. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione11.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione11.md" index 3e5a726..4db9683 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione11.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione11.md" @@ -80,7 +80,7 @@ void spinlock_release(int *lock) { | Adatto a | Sistemi multicore, kernel | Programmazione applicativa | | Analogia | Macchina al semaforo col motore acceso | Macchina che si spegne e si riavvia | -> [!important] Spin lock su sistemi single-core +> [!info] Spin lock su sistemi single-core > Su un solo core, lo spin lock è dannoso: il processo che aspetta occupa il 100% della CPU, impedendo al processo che tiene il lock di eseguire e liberarlo. Su multicore invece un core può dedicarsi allo spinning mentre un altro esegue il processo che deve rilasciare il lock. --- @@ -297,7 +297,7 @@ Gli spin lock non fanno context switch ma sprecano CPU. I mutex sospendono il pr --- -> [!summary] Punti chiave della lezione +> [!abstract] Punti chiave della lezione > - I semafori generalizzano i mutex: un semaforo binario equivale a un mutex, un semaforo contatore permette $k$ accessi contemporanei. > - Il problema produttore-consumatore si risolve elegantemente con tre semafori (`mutex`, `empty`, `full`). > - I monitor garantiscono mutua esclusione strutturalmente; le variabili di condizione permettono ai processi di sospendersi in attesa di una condizione, lasciando entrare altri. diff --git a/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/%.*/02-04-26.md b/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/%.*/02-04-26.md index 4cc499f..e2e4760 100644 --- a/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/%.*/02-04-26.md +++ b/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/%.*/02-04-26.md @@ -14,7 +14,7 @@ tags: %.* > **Orari:** BLOCCO 2, BLOCCO 6 > **Preparazione:** Nessuno -> [!important] +> [!info] > **Modalità d'esame:** Calibrazione completa con formule, diagrammi e codice. --- @@ -59,7 +59,7 @@ Il prof espone un esempio concreto: un processo ha un'ipotesi iniziale di 10 uni --- ### Avvertenze o affermazioni forti del prof: La previsione è basata su una media esponenziale che dà un peso alle stime passate e attuali -> [!quote] +> [!tip] > Il prof enfatizza che la media esponenziale attribuisce un peso maggiore alle stime recenti (determinato da alfa) e un peso minore a quelle passate. Se $\alpha = 1$, la previsione dipende solo dal tempo letto; se $\alpha = 0$, si basa solo sull'ipotesi iniziale. --- diff --git a/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/Test/04-04-26.md b/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/Test/04-04-26.md index 9ade8a9..3841c51 100644 --- a/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/Test/04-04-26.md +++ b/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/Test/04-04-26.md @@ -29,7 +29,7 @@ $$ P(x, y) = \text{probabilità della coppia } (x, y), \quad \text{con } x \in \mathcal{X},\ y \in \mathcal{Y} $$ -> [!quote] +> [!tip] La somma di tutti i valori della PMF deve essere uguale a 1, poiché rappresenta la probabilità dell'evento certo. $$ @@ -64,7 +64,7 @@ stateDiagram-v2 Il passaggio da una variabile singola a due variabili richiede la definizione di una PMF congiunta perché la coppia di variabili aleatorie deve essere completamente caratterizzata da una distribuzione di probabilità. Questo è necessario per descrivere la relazione tra le due variabili e la loro interdipendenza. -> [!quote] +> [!tip] La PMF congiunta è necessaria anche quando le variabili non sono omogenee (come nel caso dell'altezza e del peso), poiché permette di modellare la loro interazione. ## Dettagli aggiuntivi @@ -455,7 +455,7 @@ mindmap Inoltre, il professor confronta la misura fisica (come la massa) con la misura probabilistica, spiegando che la densità è una caratteristica puntuale, simile alla densità di massa in fisica. La misura di probabilità su un intervallo è analoga alla misura di massa su un oggetto, ma normalizzata. Questo approccio permette di definire la densità come una "misura" della probabilità su intervalli, analogamente a come la massa è una misura fisica. ## Punti chiave della lezione -> [!summary] +> [!abstract] - Definizione e proprietà della PMF congiunta - Esempio di altezza e peso per illustrare la PMF congiunta - Spiegazione del teorema della media condizionale From e8675d5095a7cd20a503f5cbc3b83326428d2ebe Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "copilot-swe-agent[bot]" <198982749+Copilot@users.noreply.github.com> Date: Thu, 16 Apr 2026 08:16:37 +0000 Subject: [PATCH 2/4] =?UTF-8?q?wrap=20former-quote=20tip=20callouts=20as?= =?UTF-8?q?=20callout-in-callout=20in=202=C2=B0=20Semestre=20(46=20occurre?= =?UTF-8?q?nces,=2023=20files)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Agent-Logs-Url: https://github.com/Fede-7/Notes/sessions/27733932-3009-494c-a2d9-620e65691e03 Co-authored-by: Fede-7 <75255965+Fede-7@users.noreply.github.com> --- .../APA_Lezione9.md" | 5 ++- .../Lezione 1.md" | 10 +++-- .../Lezione 5.md" | 5 ++- .../Lezione 6.md" | 5 ++- .../Lezione 7.md" | 5 ++- .../Lezione 8.md" | 5 ++- .../LP_Lezione8.md" | 5 ++- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" | 5 ++- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" | 40 ++++++++++------- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" | 5 ++- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" | 5 ++- .../Lezione 1.md" | 5 ++- .../Lezione 2.md" | 45 +++++++++++-------- .../Lezione 3.md" | 25 ++++++----- .../Lezione 5.md" | 15 ++++--- .../Lezione 7.md" | 5 ++- .../Lezione 8.md" | 5 ++- .../Sistemi Operativi/Lezione 0.md" | 5 ++- .../Sistemi Operativi/Lezione 1.md" | 5 ++- .../Sistemi Operativi/Lezione 2.md" | 5 ++- .../Sistemi Operativi/Lezione 5.md" | 5 ++- .../Sistemi Operativi/Lezione 8.md" | 5 ++- .../Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" | 10 +++-- 23 files changed, 138 insertions(+), 92 deletions(-) diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" index 3a527e9..1467dd4 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" @@ -193,8 +193,9 @@ usando la stima $\log_2(n!) = \Omega(n \log n)$ già dimostrata sopra. ## 8. Il significato del risultato -> [!tip] -> "Il fatto che voi non riusciate a trovare un algoritmo migliore non significa che non esista. O c'è un'argomentazione sufficientemente astratta che vi permette di quantificare su tutti i possibili modi di risolvere, oppure non avete modo di rispondere." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Il fatto che voi non riusciate a trovare un algoritmo migliore non significa che non esista. O c'è un'argomentazione sufficientemente astratta che vi permette di quantificare su tutti i possibili modi di risolvere, oppure non avete modo di rispondere." La tecnica usata — astrarsi dalla struttura sintattica degli algoritmi e ragionare sulle classi di equivalenza definite dall'albero di decisione — è un esempio di **approccio information-theoretic**: si ragiona sul numero di output distinti che l'algoritmo deve essere in grado di produrre e si deduce il numero minimo di confronti necessari per discriminarli tutti. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" index 28b6231..ed26104 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" @@ -215,8 +215,9 @@ Ora $\log c_1$ e $\log c_2$ sono **costanti** (anche potenzialmente negative, ma $$\frac{\log g(n) + \log c_1}{\log g(n)} \leq \frac{\log f(n)}{\log g(n)} \leq \frac{\log g(n) + \log c_2}{\log g(n)}$$ I due lati tendono entrambi a 1 (poiché $\log g(n) \to \infty$ e le costanti sommative diventano irrilevanti) → per il metodo dei limiti, il rapporto tende a una costante positiva → $\Theta$. -> [!tip] -> *"Il punto chiave è questo: una costante moltiplicativa, prendendo il logaritmo, diventa una costante additiva, e le costanti additive sono irrilevanti rispetto a funzioni che crescono all'infinito. Con l'esponenziale è il contrario: una costante moltiplicativa nell'esponente diventa un fattore moltiplicativo esponenziale, e quello non è più trascurabile."* +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > *"Il punto chiave è questo: una costante moltiplicativa, prendendo il logaritmo, diventa una costante additiva, e le costanti additive sono irrilevanti rispetto a funzioni che crescono all'infinito. Con l'esponenziale è il contrario: una costante moltiplicativa nell'esponente diventa un fattore moltiplicativo esponenziale, e quello non è più trascurabile."* > [!info] Generalizzazione: torri di esponenziali > Il logaritmo "taglia" un solo livello di esponenziale. Per confrontare $2^{2^n}$ e $2^{4^n}$ bisognerebbe applicare il logaritmo due volte ($\log \log$). La torre degli esponenziali ha come inversa la torre dei logaritmi. @@ -303,8 +304,9 @@ cioè posso estendere la sottosequenza a destra in **tempo costante**, senza ric Abbassare ulteriormente da $O($n^2$)$ a $O(n)$ richiede di **non analizzare tutte le sottosequenze**, scartandone alcune con la garanzia formale che non possono contenere la soluzione ottima. -> [!tip] -> *"Il numero di sottosequenze contigue è quadratico, quindi l'unico modo di abbassare rispetto al quadratico è non analizzare tutte le sottosequenze — devo avere un modo di scartarle con la certezza di non perdere quella buona."* +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > *"Il numero di sottosequenze contigue è quadratico, quindi l'unico modo di abbassare rispetto al quadratico è non analizzare tutte le sottosequenze — devo avere un modo di scartarle con la certezza di non perdere quella buona."* --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" index 6c82868..51e675d 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" @@ -78,8 +78,9 @@ $$T(n) = \sum_{i=2}^{n} T_{\text{findmax}}(i) = \sum_{i=2}^{n} \Theta(i) = \Thet Il problema di Selection Sort è che ogni chiamata a `find_max` parte da zero, dimenticando tutto quello che ha visto nelle chiamate precedenti. Eppure, durante la ricerca del massimo, l'algoritmo fa confronti e acquisisce informazioni sulle relazioni di ordine tra elementi — che vengono poi dimenticate. -> [!tip] -> "Se il nostro algoritmo ricordasse le cose che ha già visto, potrebbe evitare di fare confronti inutili nelle ricerche successive. La prima ricerca del massimo sarà sempre $\Theta(n)$ — non c'è modo di evitarlo su input arbitrario. Ma le ricerche successive potrebbero costare molto meno, se disponessimo dell'informazione accumulata in precedenza." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Se il nostro algoritmo ricordasse le cose che ha già visto, potrebbe evitare di fare confronti inutili nelle ricerche successive. La prima ricerca del massimo sarà sempre $\Theta(n)$ — non c'è modo di evitarlo su input arbitrario. Ma le ricerche successive potrebbero costare molto meno, se disponessimo dell'informazione accumulata in precedenza." L'idea è mantenere una struttura dati che rappresenta un **ordinamento parziale** tra gli elementi: non sappiamo l'ordinamento totale, ma conosciamo alcune relazioni tra coppie. Questa struttura ha naturalmente forma di albero. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" index 9d5d1e4..1945893 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" @@ -42,8 +42,9 @@ Le stime superiori che avevamo dato erano: $O(n \log n)$ sia per `BuildHeap` che `BuildHeap` applica `Heapify` a tutti i nodi interni, ma la **gran parte delle chiamate** avviene su nodi che sono radici di sottoalberi di altezza molto bassa. I nodi profondi (vicini alle foglie) sono molti, ma i loro sottoalberi sono piccoli. I nodi vicini alla radice (con sottoalberi alti) sono pochi. -> [!tip] -> "La stragrande maggioranza delle chiamate Heapify vengono fatte su heap in cui H è molto basso." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "La stragrande maggioranza delle chiamate Heapify vengono fatte su heap in cui H è molto basso." ### La struttura dell'analisi diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" index 158b87a..04ecd9f 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" @@ -118,8 +118,9 @@ Per il Teorema Master (caso 2): $T(n) = \Theta(n \log n)$. **Caso medio**: in media su tutti i possibili input, il tempo atteso è $\Theta(n \log n)$. Questo verrà dimostrato nelle lezioni successive. -> [!tip] -> "Dovremo fare analisi di caso migliore, caso peggiore e eventualmente caso medio, analogamente a quanto fatto con InsertionSort." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Dovremo fare analisi di caso migliore, caso peggiore e eventualmente caso medio, analogamente a quanto fatto con InsertionSort." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" index 5a64884..fec0c48 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" @@ -70,8 +70,9 @@ Se QuickSort alterna livelli perfettamente bilanciati ($n/2, n/2$) e livelli com $$T(n) = \Theta(n \cdot 2 \log_2 n) = \Theta(n \log n)$$ -> [!tip] -> "Non è facile rovinare l'andamento del caso migliore in vari modi in cui ho provato ad avvicinarmi. Quindi sembra che questo algoritmo tendenzialmente si comporti sempre così." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Non è facile rovinare l'andamento del caso migliore in vari modi in cui ho provato ad avvicinarmi. Quindi sembra che questo algoritmo tendenzialmente si comporti sempre così." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" index e2753da..1a8add5 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" @@ -117,8 +117,9 @@ flowchart LR 2. **Inizializzatori espliciti:** se un attributo è dichiarato con `= valore`, quel valore viene scritto. 3. **Corpo del costruttore:** esegue ulteriori inizializzazioni. -> [!tip] -> "Questo è un fattore di sicurezza. Se provate a usare un puntatore azzerato, vi darà fuori un'eccezione. È un compromesso vantaggioso tra sicurezza ed efficienza: la costruzione di oggetti è relativamente rara rispetto alle operazioni." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Questo è un fattore di sicurezza. Se provate a usare un puntatore azzerato, vi darà fuori un'eccezione. È un compromesso vantaggioso tra sicurezza ed efficienza: la costruzione di oggetti è relativamente rara rispetto alle operazioni." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" index 07868ec..e83c35b 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" @@ -42,8 +42,9 @@ Il corso si chiama "Linguaggi di Programmazione" al plurale per una ragione prec La risposta pratica non è conoscerli tutti, ma capire le **idee fondamentali** con cui i linguaggi vengono costruiti. Queste idee sono poche, stabili nel tempo, e non dipendono dalla sintassi di un linguaggio specifico. Quando emerge un linguaggio nuovo, lo si "scompatta" nelle sue idee costituenti e lo si impara per delta rispetto a ciò che si conosce già. -> [!tip] -> "L'obiettivo specifico è insegnare a imparare velocemente un nuovo linguaggio, astraendo quelle che sono le caratteristiche di base. Queste cambiano di rado: è tanto tempo che non ne vedo comparire una completamente nuova." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "L'obiettivo specifico è insegnare a imparare velocemente un nuovo linguaggio, astraendo quelle che sono le caratteristiche di base. Queste cambiano di rado: è tanto tempo che non ne vedo comparire una completamente nuova." ### Obiettivi del corso diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" index dc1499c..8aeaf1d 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" @@ -60,8 +60,9 @@ Quando si sceglie o si progetta un linguaggio, esistono diversi **criteri di val > [!example] N-Queens in Prolog > Nel libro di Sterling e Shapiro si trova un codice Prolog che risolve il problema delle N regine (piazzare N regine su una scacchiera NxN senza che si attacchino) in circa **10 righe**. Tuttavia, comprendere quel codice richiede una conoscenza approfondita del paradigma logico e dell'unificazione. -> [!tip] -> "Quel codice che risolve il problema delle N regine e lungo 10 righe, una roba di questo genere. Pero io, che sono un esperto in linguaggi di programmazione logica, ci sono cresciuto --- per capire come funzionava ci ho passato il pomeriggio. Quindi concisione non vuol dire necessariamente leggibilita." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Quel codice che risolve il problema delle N regine e lungo 10 righe, una roba di questo genere. Pero io, che sono un esperto in linguaggi di programmazione logica, ci sono cresciuto --- per capire come funzionava ci ho passato il pomeriggio. Quindi concisione non vuol dire necessariamente leggibilita." La semplicita puo anche significare **semplicita sintattica**: pochi costrutti, pochi modi di fare la stessa cosa, il che facilita l'apprendimento. @@ -89,8 +90,9 @@ L'espressivita misura quante cose un linguaggio puo esprimere e quanto facilment > [!abstract] Definizione: Ortogonalita > Un linguaggio e **ortogonale** quando ha poche eccezioni alle proprie regole: e molto regolare, e dove si puo usare una categoria sintattica si possono usare tutte le sue istanziazioni. Dove trovo un identificatore, puo essere un identificatore qualsiasi; dove trovo una chiamata a funzione, puo essere una chiamata a qualsiasi funzione. -> [!tip] -> "I linguaggi moderni sono tutti molto ortogonali, perche vengono costruiti con grammatiche che dicono come ogni costrutto puo essere realizzato. Inizialmente, nel tempo di FORTRAN, i parser si scrivevano a mano e c'erano cose che si potevano usare in certi contesti ma non in altri." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "I linguaggi moderni sono tutti molto ortogonali, perche vengono costruiti con grammatiche che dicono come ogni costrutto puo essere realizzato. Inizialmente, nel tempo di FORTRAN, i parser si scrivevano a mano e c'erano cose che si potevano usare in certi contesti ma non in altri." ### Portabilita e fattori esterni @@ -172,8 +174,9 @@ bool member(int x, list L) { } ``` -> [!tip] -> "Questi due programmi hanno esattamente la stessa struttura. Cosa cambia? I blocchi con indentazione vs parentesi graffe, il terminatore punto-e-virgola, NOT vs punto esclamativo. Ma sono dettagli sintattici. Lo stesso paradigma vuol dire che lo stesso problema ha le stesse soluzioni algoritmiche." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Questi due programmi hanno esattamente la stessa struttura. Cosa cambia? I blocchi con indentazione vs parentesi graffe, il terminatore punto-e-virgola, NOT vs punto esclamativo. Ma sono dettagli sintattici. Lo stesso paradigma vuol dire che lo stesso problema ha le stesse soluzioni algoritmiche." **Funzionale (pseudocodice / Lisp)**: @@ -191,8 +194,9 @@ function member(x, L): (t (member x (rest L))))) ``` -> [!tip] -> "Le parentesi di Lisp derivano dal fatto che e un linguaggio nato in accademia, dove si sono semplificati la vita nella costruzione del parser scegliendo questa sintassi molto semplice a liste. L'intenzione era metterci una sintassi piu amichevole all'esterno. Non e mai successo." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Le parentesi di Lisp derivano dal fatto che e un linguaggio nato in accademia, dove si sono semplificati la vita nella costruzione del parser scegliendo questa sintassi molto semplice a liste. L'intenzione era metterci una sintassi piu amichevole all'esterno. Non e mai successo." **C in stile funzionale** (senza assegnamenti, con l'operatore ternario): @@ -230,13 +234,15 @@ Esempi di uso di `member` in Prolog: | `member(X, [1,2,3])` | Quali X compaiono nella lista? | `X=1; X=2; X=3` | | | | `member(1, L)` | Quali liste contengono 1? | `L=[1 | _]; L=[_,1 | _]; ...` (infinite) | -> [!tip] -> "Lo stesso codice lo posso usare come funzione booleana, come generatore, come iteratore. Con poche righe si fa una semplice AI per giocare a Tris, dove lo stesso pezzo di codice lo uso per valutare strategie vincenti, per giocare, per esplorare le mosse successive." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Lo stesso codice lo posso usare come funzione booleana, come generatore, come iteratore. Con poche righe si fa una semplice AI per giocare a Tris, dove lo stesso pezzo di codice lo uso per valutare strategie vincenti, per giocare, per esplorare le mosse successive." ### Conclusione sui paradigmi -> [!tip] -> "Imparato a risolvere il problema in un linguaggio, so risolverlo in qualunque linguaggio dello stesso paradigma. La curva di apprendimento si accelera molto: devo soltanto andarmi a vedere il manuale." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Imparato a risolvere il problema in un linguaggio, so risolverlo in qualunque linguaggio dello stesso paradigma. La curva di apprendimento si accelera molto: devo soltanto andarmi a vedere il manuale." Oltre al paradigma, contano anche: il **sistema di tipi**, la **gestione delle eccezioni**, il supporto alla **concorrenza**. @@ -293,8 +299,9 @@ Composizione di due funzioni: prima si trova la locazione (`env`), poi si legge > [!warning] Proprieta fondamentale > L'ambiente (`env`) e **immutabile** all'interno di un singolo contesto di esecuzione. Finche resto dentro una funzione, l'associazione nome-locazione non cambia. Cio che cambia e il **contenuto della memoria** (`mem`), modificato dagli assegnamenti. Quando si entra in un nuovo blocco o si fa una chiamata ricorsiva, si passa a un **ambiente diverso**. -> [!tip] -> "Quando faccio una chiamata al fattoriale, `n` viene associato dall'ambiente direttamente a 4 e non cambia per tutta l'esecuzione di quel livello di ricorsione. Quando faccio la chiamata ricorsiva e dentro `n` diventa 3, quello e un altro `n` perche sta in un altro contesto, in un ambiente diverso." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Quando faccio una chiamata al fattoriale, `n` viene associato dall'ambiente direttamente a 4 e non cambia per tutta l'esecuzione di quel livello di ricorsione. Quando faccio la chiamata ricorsiva e dentro `n` diventa 3, quello e un altro `n` perche sta in un altro contesto, in un ambiente diverso." --- @@ -335,8 +342,9 @@ Nell'assegnamento `x = x + 1`: > [!warning] Regola fondamentale: `env(mem(...))` non esiste mai > `env` vuole un **nome** (un simbolo del codice sorgente). `mem` restituisce un **valore** (un dato a runtime). Scrivere `env(mem(...))` e sempre un errore concettuale: i due domini sono incompatibili. -> [!tip] -> "Quando ci dovete ragionare, partite dall'inizio della catena dei puntatori, da quello esplicito che sta li col nome, e procedete incrementalmente." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Quando ci dovete ragionare, partite dall'inizio della catena dei puntatori, da quello esplicito che sta li col nome, e procedete incrementalmente." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" index 956a6e1..405b0d4 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" @@ -196,8 +196,9 @@ Il puntatore all'env non locale punta sempre al record immediatamente precedente | Puntatore env | Salta record intermedi (verso il blocco contenitore) | Punta sempre al record precedente | | Usato da | Quasi tutti i linguaggi moderni | Primo LISP (poi sostituito da Scheme) | -> [!tip] -> "Scheme è praticamente uguale a LISP — stessa sintassi con tante parentesi — ma usa lo scoping statico proprio per eliminare l'incubo di predire il comportamento dei programmi con scope dinamico." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Scheme è praticamente uguale a LISP — stessa sintassi con tante parentesi — ma usa lo scoping statico proprio per eliminare l'incubo di predire il comportamento dei programmi con scope dinamico." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" index f4f3690..1314850 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" @@ -45,8 +45,9 @@ Le principali scelte di sicurezza del linguaggio sono: **Bytecode verifier**: prima di eseguire il bytecode, la JVM lo verifica. Questa verifica controlla che non vengano accedute zone di memoria non autorizzate, che lo stack non vada in overflow/underflow, e che non ci siano conversioni di tipo illegali. Anche un bytecode manipolato a mano (che aggira il compilatore) viene rilevato. -> [!tip] -> "Se volete un sistema sicuro con codice mobile, non avete tante scelte." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Se volete un sistema sicuro con codice mobile, non avete tante scelte." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" index ea264b3..529d496 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" @@ -155,8 +155,9 @@ Questa definizione è matematicamente "zoppicante" per due motivi: Nonostante ciò, l'approccio frequentistico è preferito da questo docente per una ragione pratica: **rende le proprietà della probabilità intuitive**, derivandole direttamente dalle proprietà degli insiemi, senza bisogno di assiomi astratti da dimostrare separatamente. -> [!tip] -> "Io do le carte napoletane, mi ha giocato a scopone, ho dieci carri per uno, poi la probabilità che gli do i sette carri... Con l'approccio teorico la gente cominciava a ragionare in percentuali assurde. Con quello frequentistico si ragiona automaticamente nel modo giusto." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Io do le carte napoletane, mi ha giocato a scopone, ho dieci carri per uno, poi la probabilità che gli do i sette carri... Con l'approccio teorico la gente cominciava a ragionare in percentuali assurde. Con quello frequentistico si ragiona automaticamente nel modo giusto." ### La probabilità come misura diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" index 8f6307b..7be0d1e 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" @@ -98,8 +98,9 @@ Usando la definizione di probabilità condizionata, $P(A \cap E_i) = P(A \mid E_ > $$P(A) = \sum_{i=1}^{m} P(A \mid E_i) \cdot P(E_i)$$ > La probabilità di un evento $A$ si puo scomporre condizionando rispetto a una partizione dello spazio dei campioni. -> [!tip] -> "Questa legge, ragazzi, e importantissima. Si usa in tutti i calcoli probabilistici, in quasi tutti, perche a volte devo calcolare la probabilità di un evento ed e difficile, pero se mi metto in certe condizioni la devo scomporre in calcoli piu semplici. La useremo, la vedremo, ve la farò vedere negli esercizi." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Questa legge, ragazzi, e importantissima. Si usa in tutti i calcoli probabilistici, in quasi tutti, perche a volte devo calcolare la probabilità di un evento ed e difficile, pero se mi metto in certe condizioni la devo scomporre in calcoli piu semplici. La useremo, la vedremo, ve la farò vedere negli esercizi." --- @@ -112,8 +113,9 @@ Tuttavia questa impostazione presenta due problemi fondamentali: 1. **Convergenza non specificata:** non si e detto in che senso la frequenza di successo converge a un valore stabile; le prove devono essere indipendenti, ma l'indipendenza e essa stessa un concetto probabilistico (circolarità). 2. **Generalità non garantita:** non c'e a priori nessuna garanzia che le proprietà trovate sotto certe ipotesi valgano in generale. -> [!tip] -> "Io vi ho promesso che vi avrei definito in modo piu rigoroso la probabilità. Tutto questo zoppica dal punto di vista non solo matematico, ma concettuale." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Io vi ho promesso che vi avrei definito in modo piu rigoroso la probabilità. Tutto questo zoppica dal punto di vista non solo matematico, ma concettuale." --- @@ -167,8 +169,9 @@ Analogamente, $A \setminus B = A \cap B^c$: poiche $B^c \in \mathcal{E}$ (chiusu > > L'insieme delle parti $2^\Omega$ e anch'esso un'algebra, ma e molto piu grande del necessario. Piu piccola di questi quattro elementi non e possibile. -> [!tip] -> "Non vi fate mai spaventare dai paroloni della matematica." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Non vi fate mai spaventare dai paroloni della matematica." --- @@ -215,8 +218,9 @@ La terna $(\Omega, \mathcal{E}, P)$ prende il nome di **spazio di probabilità** > La $\sigma$-algebra garantisce che tutte le operazioni insiemistiche (unione, intersezione, complementazione, differenza) restino nel dominio di definizione della funzione $P$. Senza questa struttura, non si potrebbe essere certi di poter calcolare $P$ su combinazioni arbitrarie di eventi. > Come dice il professore: "i matematici pensano: io resto nel dominio di definizione dell'algebra." -> [!tip] -> "Vedete che noi abbiamo fatto tutto questo ambaradan. Dice, ma e tutta questa cosa complicata? Tu metti le tue prove, fatti la frequenza di successo... Tutto quello che abbiamo ricavato, qua non c'e niente. Io ti faccio vedere che tutto quello che tu hai ricavato prima, usando quella definizione, se volete, un po' farlocca di probabilità, io te lo ricavo come unica conseguenza degli assiomi di Kolmogorov." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Vedete che noi abbiamo fatto tutto questo ambaradan. Dice, ma e tutta questa cosa complicata? Tu metti le tue prove, fatti la frequenza di successo... Tutto quello che abbiamo ricavato, qua non c'e niente. Io ti faccio vedere che tutto quello che tu hai ricavato prima, usando quella definizione, se volete, un po' farlocca di probabilità, io te lo ricavo come unica conseguenza degli assiomi di Kolmogorov." --- @@ -277,8 +281,9 @@ $$P(\emptyset) = P(\Omega^c) = 1 - P(\Omega) = 1 - 1 = 0$$ > [!warning] Terminologia > L'insieme vuoto $\emptyset$ si chiama **evento impossibile**; lo spazio dei campioni $\Omega$ si chiama **evento certo**. -> [!tip] -> "Riprendo il giro per dirvi quanto e pesante questo. Abbiamo trovato le cose prima, le abbiamo trovate in modo facile. Ora dimostrarle diventa un giochino, perche gia sappiamo il risultato che dobbiamo tirare." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Riprendo il giro per dirvi quanto e pesante questo. Abbiamo trovato le cose prima, le abbiamo trovate in modo facile. Ora dimostrarle diventa un giochino, perche gia sappiamo il risultato che dobbiamo tirare." --- @@ -288,8 +293,9 @@ $$P(\emptyset) = P(\Omega^c) = 1 - P(\Omega) = 1 - 1 = 0$$ > Due eventi $A, B \in \mathcal{E}$ si dicono **statisticamente indipendenti** se: > $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ -> [!tip] -> "La nozione di indipendenza e fondamentale e moltissima statistica inferenziale si fonda su ipotesi di indipendenza, perche senza indipendenza una serie di convergenze [non valgono]. Voi avete dei grandi database, giocate quei file Excel per ricavarvi una serie di parametri globali. E ci sono delle ipotesi alla base: ipotesi di ergodicità, che a loro volta indicano ipotesi di indipendenza, per lo meno tra campioni sufficientemente lontani. Se no, la statistica descrittiva vale solo per quel campione di dati. Non e generalizzabile." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "La nozione di indipendenza e fondamentale e moltissima statistica inferenziale si fonda su ipotesi di indipendenza, perche senza indipendenza una serie di convergenze [non valgono]. Voi avete dei grandi database, giocate quei file Excel per ricavarvi una serie di parametri globali. E ci sono delle ipotesi alla base: ipotesi di ergodicità, che a loro volta indicano ipotesi di indipendenza, per lo meno tra campioni sufficientemente lontani. Se no, la statistica descrittiva vale solo per quel campione di dati. Non e generalizzabile." ### Indipendenza dei complementari @@ -379,8 +385,9 @@ Questi $n$ eventi sono **disgiunti** (nel primo c'e $A_1$, nel secondo c'e $A_2$ $$\boxed{P(\text{esattamente uno}) = \sum_{i=1}^{n} p_i \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} (1 - p_j)}$$ -> [!tip] -> "E solo logica, ragazzi, pero vi dico anche che questa logica non la dovete dimenticare, perche poi quando andiamo sulle variabili aleatorie e un po' piu numerica la cosa, pero dovete sempre ricordarvi questa logica. Dovete formulare opportunamente le proposizioni." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "E solo logica, ragazzi, pero vi dico anche che questa logica non la dovete dimenticare, perche poi quando andiamo sulle variabili aleatorie e un po' piu numerica la cosa, pero dovete sempre ricordarvi questa logica. Dovete formulare opportunamente le proposizioni." --- @@ -533,8 +540,9 @@ hanno tutti un esito **binario**. Codificando opportunamente (testa $\to 0$, cro Il professore accenna al fatto che, per essere rigorosi, una variabile aleatoria deve essere un'**applicazione misurabile**: l'anti-immagine di ogni evento concernente $X$ deve essere un elemento della $\sigma$-algebra. Questa condizione garantisce che si possa calcolare la probabilità che $X$ assuma certi valori. Tuttavia, per il livello del corso, e sufficiente la definizione semplificata. -> [!tip] -> "Queste cose le ho studiate perche mi sono servite per la mia ricerca, e manco sono sicuro che mi siano servite veramente perche il mio advisor di dottorato era sadico e mi metteva in mano certi libri. Pero se uno deve fare ricerca in questo campo, e bene che certe cose le faccia." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Queste cose le ho studiate perche mi sono servite per la mia ricerca, e manco sono sicuro che mi siano servite veramente perche il mio advisor di dottorato era sadico e mi metteva in mano certi libri. Pero se uno deve fare ricerca in questo campo, e bene che certe cose le faccia." ### Evento elementare nello spazio della variabile aleatoria @@ -594,8 +602,9 @@ dove $n_0$ e il numero di volte in cui esce $0$ e $n_1 = n - n_0$ e il numero di $$\bar{X}_n \xrightarrow{n \to \infty} 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = \frac{1}{2} \stackrel{\text{def}}{=} E[X]$$ -> [!tip] -> "Voi avete automaticamente detto, guarda, se io faccio $n$ prove, la meta delle volte mi viene $0$, la meta delle volte mi viene $1$. Voi ragionate inevitabilmente sulla frequenza di successo." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Voi avete automaticamente detto, guarda, se io faccio $n$ prove, la meta delle volte mi viene $0$, la meta delle volte mi viene $1$. Voi ragionate inevitabilmente sulla frequenza di successo." > [!warning] Attenzione > Il risultato $E[X] = \frac{1}{2}$ vale perche la variabile e **equiprobabile**. Il fatto che la media aritmetica converga al valore atteso e un risultato profondo che sarà formalizzato nelle lezioni successive. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" index 2d34873..21d9300 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" @@ -68,8 +68,9 @@ Questo limite è il **valore atteso** della variabile aleatoria. > [!warning] Media statistica vs media aritmetica > La media statistica **non** coincide in generale con la media aritmetica dei valori dell'alfabeto. La media aritmetica pesa tutti i valori allo stesso modo ($1/M$ ciascuno); la media statistica è una **media pesata** con pesi $P_X(a_k)$. Solo quando la distribuzione è uniforme (tutti i valori equiprobabili) le due medie coincidono. -> [!tip] -> "La media statistica è il baricentro della distribuzione di probabilità: se mettete dei pesi sulle posizioni dell'asse reale, il baricentro cade dove c'è più massa di probabilità. È il numero verso cui converge la media campionaria quando fate tante prove." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "La media statistica è il baricentro della distribuzione di probabilità: se mettete dei pesi sulle posizioni dell'asse reale, il baricentro cade dove c'è più massa di probabilità. È il numero verso cui converge la media campionaria quando fate tante prove." --- @@ -200,8 +201,9 @@ Quando l'alfabeto è $\mathcal{X} = \{1, 2, \ldots, M\}$ (i primi $M$ interi pos $$\sum_{k=1}^{M} k = \frac{M(M+1)}{2}$$ -> [!tip] -> "La scoprì Gauss a sei anni, quando il maestro gli chiese di sommare i numeri da 1 a 100 pensando di tenerlo occupato per un'ora. Gauss scrisse l'ultimo numero accanto al primo, il penultimo accanto al secondo... e si accorse che ogni coppia faceva 101. Cinquanta coppie: $50 \times 101 = 5050$. Il maestro rimase a bocca aperta." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "La scoprì Gauss a sei anni, quando il maestro gli chiese di sommare i numeri da 1 a 100 pensando di tenerlo occupato per un'ora. Gauss scrisse l'ultimo numero accanto al primo, il penultimo accanto al secondo... e si accorse che ogni coppia faceva 101. Cinquanta coppie: $50 \times 101 = 5050$. Il maestro rimase a bocca aperta." **Dimostrazione.** Sia $S = 1 + 2 + \cdots + M$. Scriviamo la somma due volte, una in ordine crescente e una in ordine decrescente: @@ -273,8 +275,9 @@ $$\boxed{E[X] = \lambda}$$ La media della Poisson è esattamente il parametro $\lambda$: un risultato elegante che conferma l'interpretazione di $\lambda$ come tasso medio. -> [!tip] -> "La Poisson è la distribuzione delle cose rare: eventi che singolarmente sono poco probabili, ma che vengono osservati su un numero enorme di occasioni. Quante macchine passano al casello in un minuto? Quanti pacchetti arrivano al router in un millisecondo? Quante persone entrano all'ufficio postale in un'ora? Tutte Poisson." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "La Poisson è la distribuzione delle cose rare: eventi che singolarmente sono poco probabili, ma che vengono osservati su un numero enorme di occasioni. Quante macchine passano al casello in un minuto? Quanti pacchetti arrivano al router in un millisecondo? Quante persone entrano all'ufficio postale in un'ora? Tutte Poisson." ### Applicazioni della distribuzione di Poisson @@ -418,8 +421,9 @@ $$P(T \mid S) + P(O \mid S) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1 \quad \checkmark$$ > [!warning] L'aggiornamento bayesiano: a priori vs a posteriori > Prima del lancio, la probabilità che il dado fosse truccato era $P(T) = 1/3 \approx 33\%$. Dopo aver osservato l'uscita del $6$, la probabilità è salita a $P(T \mid S) = 3/5 = 60\%$. L'osservazione ha **aggiornato** la nostra credenza: poiché il $6$ è molto più probabile con il dado truccato ($1/2$ vs $1/6$), la sua uscita è un'evidenza a favore dell'ipotesi "dado truccato". -> [!tip] -> "Bayes è questo: prima di vedere i dati avete un'opinione — la probabilità a priori. Poi vedete i dati e aggiornate l'opinione — ottenete la probabilità a posteriori. Se i dati sono coerenti con la vostra ipotesi, la probabilità sale; se non lo sono, scende. Questo è il cuore dell'inferenza statistica." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Bayes è questo: prima di vedere i dati avete un'opinione — la probabilità a priori. Poi vedete i dati e aggiornate l'opinione — ottenete la probabilità a posteriori. Se i dati sono coerenti con la vostra ipotesi, la probabilità sale; se non lo sono, scende. Questo è il cuore dell'inferenza statistica." --- @@ -475,8 +479,9 @@ Per questo motivo, nella pratica, accanto alla media si calcolano sempre altri i - La **mediana**: il valore che divide la distribuzione a metà (il 50% dei dati sta sopra, il 50% sotto). È robusta rispetto agli outlier. - La **varianza** (che vedremo nelle prossime lezioni): misura la dispersione dei dati attorno alla media. Se la varianza è alta, la media da sola è poco informativa. -> [!tip] -> "Se uno mette la testa nel forno e i piedi nel congelatore, in media sta bene. Ecco perché la media da sola non basta: bisogna sempre guardare anche quanto i dati si disperdono attorno ad essa." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Se uno mette la testa nel forno e i piedi nel congelatore, in media sta bene. Ecco perché la media da sola non basta: bisogna sempre guardare anche quanto i dati si disperdono attorno ad essa." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" index 49c449a..7db9b21 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" @@ -204,15 +204,17 @@ graph TD Le frecce indicano implicazioni. Convergenza con prob. 1 e convergenza in media quadratica sono entrambe **forti**, ma non si implicano a vicenda. Entrambe implicano la convergenza in probabilità (la più debole). -> [!tip] -> "La probabilità è definita come il limite della frequenza di successo. Questo ha senso matematico rigoroso: la frequenza converge alla probabilità in media quadratica e in probabilità. La nostra definizione era corretta fin dall'inizio." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "La probabilità è definita come il limite della frequenza di successo. Questo ha senso matematico rigoroso: la frequenza converge alla probabilità in media quadratica e in probabilità. La nostra definizione era corretta fin dall'inizio." ### Nota sul problema circolare La definizione frequentistica richiede che le prove siano **indipendenti** — ma l'indipendenza è essa stessa un concetto probabilistico. L'approccio formale (assiomi di Kolmogorov) risolve questo problema: si definisce prima la probabilità assiomaticamente, poi si dimostra che la frequenza converge a essa. -> [!tip] -> "Il professore Conte me lo contesta sempre: per definire la probabilità usi la frequenza, ma per dire che è una frequenza hai bisogno dell'indipendenza, che è un concetto probabilistico. È il cane che si morde la coda. In realtà non serve strettamente l'indipendenza: basta un'asintotica indipendenza." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Il professore Conte me lo contesta sempre: per definire la probabilità usi la frequenza, ma per dire che è una frequenza hai bisogno dell'indipendenza, che è un concetto probabilistico. È il cane che si morde la coda. In realtà non serve strettamente l'indipendenza: basta un'asintotica indipendenza." --- @@ -259,8 +261,9 @@ Per la roulette ($b = 36$, $a = 18/37$): $g(k) = 34 \cdot 2^{k-1} + 1$. > [!warning] Paradosso della martingala > Se il limite di puntata $S \to \infty$ (patrimonio infinito, nessun limite), la martingala garantisce di vincere con probabilità 1 — ed è per questo che i casinò impongono un **limite massimo di puntata**. Con un qualunque limite finito $S$, il guadagno medio è negativo per il giocatore (il banco ha sempre un vantaggio statistico). -> [!tip] -> "Il guadagno medio per $S \to \infty$ diverge. Ma attenzione: fare il limite di $S$ al denominatore non è lo stesso che calcolare il guadagno con $S$ infinito. La convergenza è in probabilità, non puntuale. Questo è un esempio di convergenza in probabilità che non implica nulla sul limite dei valori attesi." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Il guadagno medio per $S \to \infty$ diverge. Ma attenzione: fare il limite di $S$ al denominatore non è lo stesso che calcolare il guadagno con $S$ infinito. La convergenza è in probabilità, non puntuale. Questo è un esempio di convergenza in probabilità che non implica nulla sul limite dei valori attesi." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" index bd210f0..9e494fb 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" @@ -141,8 +141,9 @@ $$H(X) = 4 \cdot \frac{1}{4} \log_2 4 = \log_2 4 = 2 \text{ bit}$$ Una variabile quaternaria equiprobabile porta 2 bit di informazione, coerentemente con il fatto che 4 valori si codificano con 2 bit binari. -> [!tip] -> "Una variabile bistabile trasporta una quantità di informazione che è al più un bit." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Una variabile bistabile trasporta una quantità di informazione che è al più un bit." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" index 690913c..ca5ce3a 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" @@ -179,8 +179,9 @@ $$f_X(x) = \lim_{\delta x \to 0} \frac{P(x - \delta x/2 \leq X \leq x + \delta x > [!warning] La densità non è una probabilità > $f_X(x_0)$ non è la probabilità che $X = x_0$. La probabilità di un singolo punto è 0. La densità è la "concentrazione" di probabilità in un intorno di $x_0$: più è alta, più è probabile trovare $X$ vicino a $x_0$. -> [!tip] -> "Chiamare il massimo della densità il 'valore più probabile' mi dà una pugnalata a sangue freddo. Il massimo della densità si chiama correttamente il valore modale." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Chiamare il massimo della densità il 'valore più probabile' mi dà una pugnalata a sangue freddo. Il massimo della densità si chiama correttamente il valore modale." La teoria sarà ripresa in dettaglio nella prossima lezione, con il concetto di **funzione di distribuzione cumulativa (CDF)** e con tutti gli strumenti del caso continuo. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" index a80deb0..bb52b4b 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" @@ -295,8 +295,9 @@ Per evitare che un processo utente occupi la CPU indefinitamente: Il kernel assegna ad ogni processo uno **spazio di indirizzamento** con registro base e registro limite: $$\text{indirizzo fisico} = \text{base} + \text{indirizzo logico} \quad \text{se} \quad \text{indirizzo logico} \leq \text{limite}$$ -> [!tip] -> La CPU lavora con **indirizzi logici** (disaccoppiati dalla RAM fisica). I controlli di accesso sono eseguiti in **hardware** per motivi di velocità. Il SO "apparecchia la tavola", poi l'hardware fa i controlli. +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > La CPU lavora con **indirizzi logici** (disaccoppiati dalla RAM fisica). I controlli di accesso sono eseguiti in **hardware** per motivi di velocità. Il SO "apparecchia la tavola", poi l'hardware fa i controlli. --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" index 5d297b6..218f14d 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" @@ -131,8 +131,9 @@ Questo è ciò che il compilatore genera quando si compila una chiamata come `wr 6. Esegue la routine di servizio. 7. Scrive il risultato in `rax` e ritorna al processo utente. -> [!tip] -> "È come se voi vi siete già messi d'accordo su dove stanno le chiavi di casa. Io ho lasciato le chiavi nel solito posto. Il kernel già sa in quali cassetti aprire per trovare i dati." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "È come se voi vi siete già messi d'accordo su dove stanno le chiavi di casa. Io ho lasciato le chiavi nel solito posto. Il kernel già sa in quali cassetti aprire per trovare i dati." > [!example] Esempio dall'alto: il comando `cp` > Il comando `cp input.txt output.txt` è un programma C che si compone di decine di system call: diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" index 6fd91c1..22d29c4 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" @@ -149,8 +149,9 @@ Svantaggio: **overhead di comunicazione**. Ogni volta che un modulo deve comunic Approccio usato dai kernel moderni (Linux, Solaris, Windows). Il kernel ha un nucleo fisso a cui si possono agganciare/sganciare **moduli** dinamicamente, senza ricompilare. I moduli vengono linkati dentro il kernel → nessun overhead di message passing, ma comunque compartimentazione del codice. -> [!tip] -> "È simile al microkernel per l'idea di compartimentazione, ma senza il message passing. I moduli stanno dentro il kernel, si parlano direttamente." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "È simile al microkernel per l'idea di compartimentazione, ma senza il message passing. I moduli stanno dentro il kernel, si parlano direttamente." ### Sistemi Ibridi diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" index fc9320f..f4e1f88 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" @@ -119,8 +119,9 @@ Tutti gli user thread di un processo si mappano su **un unico kernel thread**. L - Se un thread si blocca (es. su I/O), si bloccano tutti (il kernel vede un unico thread bloccato). - Nessun vero parallelismo su multicore. -> [!tip] -> "Questo poteva avere un senso quando avevamo architetture single core. Adesso che sono architetture multicore non si utilizza questo tipo di mapping." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Questo poteva avere un senso quando avevamo architetture single core. Adesso che sono architetture multicore non si utilizza questo tipo di mapping." ### One-to-one diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" index 0ea2a06..900723e 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" @@ -206,8 +206,9 @@ Ogni processo ha: **Selezione**: tra i processi eligibili, si sceglie quello con la **virtual deadline più ravvicinata** (EDF applicato alle deadline virtuali). -> [!tip] -> "Se quello di prima era orientato alla fairness pesata su priorità, questo nuovo è orientato alla reattività pesata, considerando priorità e deadline." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Se quello di prima era orientato alla fairness pesata su priorità, questo nuovo è orientato alla reattività pesata, considerando priorità e deadline." ### Confronto CFS vs. EEVDF diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" index b85b968..35f8b88 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" @@ -37,8 +37,9 @@ Gli algoritmi di scheduling possono essere valutati con approcci di diverso live > [!info] Il vero banco di prova > L'unico modo per valutare davvero un algoritmo di scheduling sofisticato è inserirlo nel kernel e osservarne il comportamento nel sistema completo. L'algoritmo vive in un ecosistema e interagisce con tutto il resto: un algoritmo teoricamente ottimo può risultare non performante in pratica. Ad esempio, l'EEVDF di Linux è stato proposto come lavoro scientifico diversi anni prima di essere integrato nel kernel, proprio per la cautela necessaria nel sostituire un algoritmo già in produzione. -> [!tip] -> "Finché si trattano algoritmi molto semplici, si possono modellare in astratto, però poi per valutare effettivamente l'impatto reale bisogna immergerlo dentro il kernel." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Finché si trattano algoritmi molto semplici, si possono modellare in astratto, però poi per valutare effettivamente l'impatto reale bisogna immergerlo dentro il kernel." --- @@ -55,8 +56,9 @@ La soluzione con contatore esplicita il problema in modo ancora più chiaro: un > [!example] Corsa critica sul contatore > Supponiamo `counter = 5`. Il thread 1 legge 5 nel registro R1, aggiorna R1 a 6. Prima di scrivere in memoria, lo scheduler cede la parola al thread 2, che legge 5 nel registro R2, aggiorna R2 a 4, scrive 4 in memoria. Poi il thread 1 scrive 6. Il risultato finale è 6 invece di 5. Se avessero operato atomicamente, qualunque ordine avrebbe prodotto 5. -> [!tip] -> "Voi che cosa state ipotizzando, lanciando due thread? Che tutte queste siano operazioni atomiche. Se fossero atomiche, chi arriva prima, chi arriva dopo... non è un problema." +> [!tip] Parole del Professore +> > [!tip] +> > "Voi che cosa state ipotizzando, lanciando due thread? Che tutte queste siano operazioni atomiche. Se fossero atomiche, chi arriva prima, chi arriva dopo... non è un problema." Il problema si amplifica su sistemi **multicore** dove c'è parallelismo reale: i thread girano su core distinti e accedono a memoria condivisa contemporaneamente. In più, le cache possono introdurre ulteriori problemi di consistenza: una modifica tenuta in cache può non essere ancora propagata in memoria globale. From 133420139e7758de7af16b65652ad2698fc3d838 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "copilot-swe-agent[bot]" <198982749+Copilot@users.noreply.github.com> Date: Thu, 16 Apr 2026 08:32:57 +0000 Subject: [PATCH 3/4] =?UTF-8?q?revert=20callout=20standardization=20for=20?= =?UTF-8?q?1=C2=B0=20Anno=20and=20SbobbinatoreAi=20files=20(30=20files)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Agent-Logs-Url: https://github.com/Fede-7/Notes/sessions/92eea65f-5a8d-40ef-8c9f-0e57f9857271 Co-authored-by: Fede-7 <75255965+Fede-7@users.noreply.github.com> --- .../Lezioni/Lezione 1.md" | 18 +- .../Lezioni/Lezione 10.md" | 14 +- .../Lezioni/Lezione 11.md" | 18 +- .../Lezioni/Lezione 12.md" | 12 +- .../Lezioni/Lezione 13.md" | 18 +- .../Lezioni/Lezione 14.md" | 20 +- .../Lezioni/Lezione 15.md" | 16 +- .../Lezioni/Lezione 16.md" | 6 +- .../Lezioni/Lezione 17.md" | 10 +- .../Lezioni/Lezione 18 (Grafi).md" | 4 +- .../Lezioni/Lezione 19.md" | 8 +- .../Lezioni/Lezione 2.md" | 24 +- .../Lezioni/Lezione 20.md" | 4 +- .../Lezioni/Lezione 21.md" | 34 +- .../Lezioni/Lezione 22.md" | 38 +- .../Lezioni/Lezione 23 (Polinomi).md" | 56 +-- .../Lezioni/Lezione 3.md" | 14 +- .../Lezioni/Lezione 4.md" | 12 +- .../Lezioni/Lezione 5.md" | 6 +- .../Lezioni/Lezione 6.md" | 6 +- .../Lezioni/Lezione 7.md" | 4 +- .../Lezioni/Lezione 8 Alt.Vers..md" | 20 +- .../Lezioni/Lezione 8.md" | 10 +- .../Lezioni/Lezione 9.md" | 4 +- .../Lezioni/Teoremi.md" | 322 ++++++------- .../ALGEBRA/Elenco Definizioni Algebra.md" | 452 +++++++++--------- .../ALGEBRA/Elenco Dimostrazioni.md" | 20 +- .../1\302\260 - Anno/ALGEBRA/FlashCards.md" | 20 +- .../SbobbinatoreAi/%.*/02-04-26.md | 4 +- .../SbobbinatoreAi/Test/04-04-26.md | 6 +- 30 files changed, 600 insertions(+), 600 deletions(-) diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 1.md" index 7585164..e266927 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 1.md" @@ -52,7 +52,7 @@ I connettivi logici sono come la "colla" che unisce le proposizioni semplici per | F | V | V | | F | F | F | -> [!info] Nota Bene: Questa è la "o" inclusiva, significa che va bene anche se entrambe sono vere. Nelle tue note c'era scritto "non disgiuntiva", ma in realtà $\lor$ *è* la disgiunzione standard (inclusiva). Forse intendevi la disgiunzione *esclusiva*? Ne parliamo tra poco! [[Lezione 1#1.5 Disgiunzione Esclusiva (XOR)]] +> [!NOTE] Nota Bene: Questa è la "o" inclusiva, significa che va bene anche se entrambe sono vere. Nelle tue note c'era scritto "non disgiuntiva", ma in realtà $\lor$ *è* la disgiunzione standard (inclusiva). Forse intendevi la disgiunzione *esclusiva*? Ne parliamo tra poco! [[Lezione 1#1.5 Disgiunzione Esclusiva (XOR)]] * **Implicazione Materiale (SE... ALLORA):** È falsa solo se la prima proposizione (antecedente) è vera e la seconda (conseguente) è falsa. * Simbolo: $\implies$ (o $\rightarrow$, si legge "implica" o "se... allora") @@ -67,7 +67,7 @@ I connettivi logici sono come la "colla" che unisce le proposizioni semplici per | F | V | V | | F | F | V | -> [!tip] Suggerimento: Pensa all'implicazione come a una promessa. $P \implies Q$ significa "Se P è vera, prometto che Q è vera". L'unico caso in cui la promessa è infranta è quando P è vera, ma Q è falsa. Se P è falsa, la promessa non è stata messa alla prova, quindi l'implicazione è considerata vera. +> [!TIP] Suggerimento: Pensa all'implicazione come a una promessa. $P \implies Q$ significa "Se P è vera, prometto che Q è vera". L'unico caso in cui la promessa è infranta è quando P è vera, ma Q è falsa. Se P è falsa, la promessa non è stata messa alla prova, quindi l'implicazione è considerata vera. * **Bicondizionale (SE E SOLO SE):** È vera solo se le proposizioni hanno lo *stesso* valore di verità. * Simbolo: $\iff$ (o $\leftrightarrow$, si legge "se e solo se" o "è equivalente a") @@ -98,7 +98,7 @@ Alcune formule complesse sono equivalenti, cioè hanno sempre lo stesso valore d | F | V | V | V | V | V | | F | F | V | V | V | V | -> [!info] Questa equivalenza è super utile per trasformare le implicazioni! [[Equivalenza Implicazione-Disgiunzione]] +> [!IMPORTANT] Questa equivalenza è super utile per trasformare le implicazioni! [[Equivalenza Implicazione-Disgiunzione]] * **Doppia Negazione:** Negare due volte riporta alla proposizione originale. * Formula: $\neg (\neg P) \iff P$ @@ -125,7 +125,7 @@ Alcune formule complesse sono equivalenti, cioè hanno sempre lo stesso valore d * $P \lor \neg P$ (Principio del terzo escluso) * $P \implies P$ (Identità) * $((P \implies Q) \land P) \implies Q$ (Modus Ponens) - > [!info] Le tautologie rappresentano le leggi fondamentali del pensiero logico. + > [!NOTE] Le tautologie rappresentano le leggi fondamentali del pensiero logico. * #tag/tautologia [[Tautologia]] * **Contraddizione:** Una proposizione composta che è **sempre FALSA**. È la negazione di una tautologia. @@ -224,7 +224,7 @@ Questi sono interessanti perché *ciascuno* di essi può essere usato per costru * Definizione: $P \downarrow Q \iff \neg (P \lor Q)$ * #tag/nand #tag/nor [[Operatore NAND]] [[Operatore NOR]] [[Completezza Funzionale]] -> [!question] Domanda Rapida: Riesci a vedere perché $(P \land \neg P)$ è una contraddizione usando la tavola di verità? E perché $(P \lor \neg P)$ è una tautologia? +> [!QUESTION] Domanda Rapida: Riesci a vedere perché $(P \land \neg P)$ è una contraddizione usando la tavola di verità? E perché $(P \lor \neg P)$ è una tautologia? --- @@ -271,7 +271,7 @@ I quantificatori ci dicono *quanti* elementi nell'universo soddisfano un predica * **Formula Aperta:** Una formula che contiene almeno una variabile libera. Il suo valore di verità dipende dal valore assegnato alle variabili libere (es. $x > 10$). * **Formula Chiusa (o Enunciato):** Una formula che non contiene variabili libere. Ha un valore di verità definito (V o F) indipendentemente da assegnazioni esterne (es. $\forall x (x > 1)$, $\exists x (x > 10)$). -> [!info] Esempio dalle tue note (Pagina 17): +> [!NOTE] Esempio dalle tue note (Pagina 17): > * `a: x > 1` (Formula aperta, $x$ è libera) > * `b: ∀x(x > 1)` (Formula chiusa, $x$ è vincolata da $\forall$) > * `c: ∀x(x > 1) ∧ x = 7` (Questa è un po' ambigua come scritta. Probabilmente si intende `(∀y(y > 1)) ∧ (x = 7)`. Qui, la $y$ nel primo pezzo è vincolata (ho cambiato nome per chiarezza), ma la $x$ nel secondo pezzo è libera. Quindi è una formula aperta.) @@ -322,7 +322,7 @@ Una **funzione** $f$ da A a B è un tipo *speciale* di relazione in cui **ogni** * Combinando le due condizioni (dalle tue note!): $\forall a \in A, \exists ! b \in B \text{ tale che } (a, b) \in G$. * Notazione funzionale: Se $(a, b) \in G$, scriviamo $f(a) = b$. $b$ è detta **immagine** di $a$ tramite $f$. $a$ è una **controimmagine** di $b$. -> [!info] Differenza Chiave: In una relazione generica, un elemento di A può essere collegato a zero, uno o molti elementi di B. In una funzione, ogni elemento di A *deve* essere collegato a *esattamente un* elemento di B. +> [!IMPORTANT] Differenza Chiave: In una relazione generica, un elemento di A può essere collegato a zero, uno o molti elementi di B. In una funzione, ogni elemento di A *deve* essere collegato a *esattamente un* elemento di B. * **Esempi (dalle tue note - Pagine 24-27):** * Consideriamo relazioni $G \subseteq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$. Quali sono funzioni $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$? @@ -353,7 +353,7 @@ Una **funzione** $f$ da A a B è un tipo *speciale* di relazione in cui **ogni** --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce > * Abbiamo definito i **connettivi logici** ($\neg, \land, \lor, \implies, \iff$) e visto le loro **tavole di verità**. > * Abbiamo esplorato **equivalenze logiche** importanti come De Morgan, contrapposizione e l'equivalenza tra implicazione e disgiunzione. > * Abbiamo distinto **tautologie** (sempre vere) e **contraddizioni** (sempre false). @@ -361,7 +361,7 @@ Una **funzione** $f$ da A a B è un tipo *speciale* di relazione in cui **ogni** > * Abbiamo definito gli **insiemi**, il **prodotto cartesiano** ($A \times B$), le **relazioni** (sottoinsiemi di $A \times B$) e le **funzioni** (relazioni speciali dove ogni input ha un unico output). > * Abbiamo visto le operazioni fondamentali tra insiemi ($\cup, \cap, \setminus, \Delta, ^c$). -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Rileggi questi appunti con calma. Ci sono parti che non sono chiare? Usa i link `[[...]]` per creare nuove note o collegarti a note esistenti per approfondire! > * Prova a fare qualche esempio tu stesso/a. Crea piccole tavole di verità o elenca gli elementi di un prodotto cartesiano. > * Pensa a come questi concetti si collegano. Ad esempio, come useresti i quantificatori per definire l'unione di due insiemi? ($x \in A \cup B \iff (x \in A) \lor (x \in B)$). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 10.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 10.md" index e92dd4c..160aa6e 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 10.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 10.md" @@ -43,7 +43,7 @@ Il Principio di Induzione è uno strumento potente per dimostrare proprietà $P( 2. **Passo Induttivo Forte:** Per ogni $n > \bar{n}$, **se** $P(i)$ è vera per **tutti** gli $i$ tali che $\bar{n} \le i < n$ (**ipotesi induttiva forte**), **allora** anche $P(n)$ è vera. ($\forall n > \bar{n}, (\forall i, \bar{n} \le i < n \implies P(i)) \implies P(n)$). **Allora:** $P(n)$ è vera per ogni $n \ge \bar{n}$. -> [!info] Le due forme sono logicamente equivalenti. La Forma II sembra richiedere un'ipotesi più forte, ma permette di dimostrare il passo induttivo in casi in cui $P(n+1)$ dipende non solo da $P(n)$ ma anche da $P(k)$ per $k < n$. +> [!NOTE] Le due forme sono logicamente equivalenti. La Forma II sembra richiedere un'ipotesi più forte, ma permette di dimostrare il passo induttivo in casi in cui $P(n+1)$ dipende non solo da $P(n)$ ma anche da $P(k)$ per $k < n$. [[Principio di Induzione]] @@ -208,32 +208,32 @@ Riprendiamo le proprietà delle relazioni binarie su un insieme $S$. Verificare se le seguenti sono relazioni di equivalenza sui rispettivi insiemi. Ricorda che per essere di equivalenza, una relazione deve essere **Riflessiva**, **Simmetrica** e **Transitiva**. -> [!example] Esercizio 1: Relazione su P(S) +> [!EXERCISE] Esercizio 1: Relazione su P(S) > Sia $S = \{a, b, c, d\}$ e sia $K = \{b, c\}$. > Si consideri la relazione $\mathcal{R}_1$ su $P(S)$ definita da: > $$ X \mathcal{R}_1 Y \iff X \cap K = Y \cap K $$ > Verificare se $\mathcal{R}_1$ è una relazione di equivalenza. -> [!example] Esercizio 2: Relazione su P(S) +> [!EXERCISE] Esercizio 2: Relazione su P(S) > Sia $S = \{a, b, c, d\}$ e sia $K = \{b, c\}$. > Si consideri la relazione $\mathcal{R}_2$ su $P(S)$ definita da: > $$ X \mathcal{R}_2 Y \iff X \cup K = Y \cup K $$ > Verificare se $\mathcal{R}_2$ è una relazione di equivalenza. -> [!example] Esercizio 3: Relazione su P(S) +> [!EXERCISE] Esercizio 3: Relazione su P(S) > Sia $S = \{a, b, c, d\}$ e sia $K = \{b, c\}$. > Si consideri la relazione $\mathcal{R}_3$ su $P(S)$ definita da: > $$ X \mathcal{R}_3 Y \iff X \setminus K = Y \setminus K $$ > Verificare se $\mathcal{R}_3$ è una relazione di equivalenza. -> [!example] Esercizio 4: Relazione su $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ +> [!EXERCISE] Esercizio 4: Relazione su $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ > Si consideri la relazione $\mathcal{R}_4$ su $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ definita da: > $$ (a, b) \mathcal{R}_4 (c, d) \iff a + c = b + d $$ > Verificare se $\mathcal{R}_4$ è una relazione di equivalenza. --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 10 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 10 > * Il **Principio del Buon Ordinamento** di $\mathbb{N}$ garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto ha minimo. > * Il **Principio di Induzione** (Forma I e II) è una tecnica di dimostrazione basata sul buon ordinamento. > * Il **Teorema della Divisione Euclidea** garantisce esistenza e unicità di quoziente e resto $r$ con $0 \le r < |n|$. @@ -242,7 +242,7 @@ Verificare se le seguenti sono relazioni di equivalenza sui rispettivi insiemi. > * Una **Relazione d'Ordine** è Riflessiva, Antisimmetrica, Transitiva. > * La relazione $ad=bc$ su $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^*$ è di equivalenza e definisce i razionali. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Prova a svolgere gli esercizi sulle relazioni di equivalenza. > * Il passo successivo naturale è studiare le **classi di equivalenza** e l'**insieme quoziente** associati a una relazione di equivalenza, e vedere come le partizioni sono collegate. > * Approfondire le **relazioni d'ordine** (parziale, totale, massimi, minimi, maggioranti, minoranti). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 11.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 11.md" index 0b05f86..a78384b 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 11.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 11.md" @@ -15,7 +15,7 @@ Approfondiamo le proprietà dei numeri interi $\mathbb{Z}$. Questo teorema è la base per l'algoritmo di Euclide. -> [!info] Teorema della Divisione Euclidea +> [!THEOREM] Teorema della Divisione Euclidea > Dati due interi $a, b \in \mathbb{Z}$, con $b \neq 0$, esistono **unici** due interi $q$ (quoziente) e $r$ (resto) tali che: > $$ a = b \cdot q + r $$ > con la condizione che $0 \le r < |b|$ (il resto è non negativo e strettamente minore del valore assoluto del divisore). @@ -56,13 +56,13 @@ Applichiamo l'algoritmo di Euclide: $20 = 5 \cdot 4 + 0$ ($q_4=4, r_4=0$) 5. Il resto è 0. L'ultimo resto non nullo è $r_3 = 5$. -> [!example] $\text{MCD}(375, 110) = 5$. +> [!RESULT] $\text{MCD}(375, 110) = 5$. ### 1.4 Teorema di Bézout (Identità) Questo teorema fondamentale collega il MCD a una combinazione lineare degli interi originali. -> [!info] Teorema di Bézout +> [!THEOREM] Teorema di Bézout > Siano $a, b \in \mathbb{Z}$, non entrambi nulli. Allora esistono due interi $x, y \in \mathbb{Z}$ tali che: > $$ ax + by = \text{MCD}(a, b) $$ > Questi interi $x, y$ sono detti **coefficienti di Bézout**. @@ -171,7 +171,7 @@ $5 = 375 \cdot (5) + 110 \cdot (-17)$ Abbiamo trovato l'identità di Bézout: $ax + by = d$ con $a=375, b=110, d=5$. I coefficienti sono $x=5$ e $y=-17$. -> [!example] $375 \cdot (5) + 110 \cdot (-17) = 5$. +> [!RESULT] $375 \cdot (5) + 110 \cdot (-17) = 5$. ### 1.7 Esempio Alternativo: MCD(100, 54) e Bézout (da lavagna) @@ -197,7 +197,7 @@ $2 = 100 \cdot (-7) + 54 \cdot (13)$ I coefficienti sono $x=-7$ e $y=13$. -> [!example] $100 \cdot (-7) + 54 \cdot (13) = 2$. +> [!RESULT] $100 \cdot (-7) + 54 \cdot (13) = 2$. ### 1.8 Conseguenze e Proprietà (da note/lavagna) @@ -325,7 +325,7 @@ graph TD Questo teorema afferma che ogni intero (diverso da 0, 1, -1) si scompone in modo unico in fattori primi. -> [!info] Teorema Fondamentale dell'Aritmetica +> [!THEOREM] Teorema Fondamentale dell'Aritmetica > Ogni intero $a \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 1, -1\}$ si può scrivere come prodotto di numeri primi. Tale decomposizione è **unica** a meno dell'ordine dei fattori e della sostituzione di un fattore primo $p_i$ con il suo associato $-p_i$. > $$ a = (\pm 1) \cdot p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} $$ > dove $p_1, \dots, p_k$ sono primi positivi distinti e $e_i \ge 1$. @@ -372,7 +372,7 @@ Sia $\mathcal{R}$ una relazione di equivalenza su $S$. Valgono le seguenti propr 3. **Unione:** L'unione di tutte le classi di equivalenza distinte restituisce l'insieme originale $S$. $$ \bigcup_{a \in S} [a]_{\mathcal{R}} = S $$ -> [!info] Le classi di equivalenza formano una **partizione** dell'insieme $S$. Ogni elemento di $S$ appartiene a una e una sola classe di equivalenza. +> [!IMPORTANT] Le classi di equivalenza formano una **partizione** dell'insieme $S$. Ogni elemento di $S$ appartiene a una e una sola classe di equivalenza. ### 3.4 Insieme Quoziente @@ -408,7 +408,7 @@ Sia $S=\{a, b, c, d\}$. Consideriamo $P(S)$. Definiamo la relazione $\mathcal{R} --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 11 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 11 > * Abbiamo visto l'**Algoritmo di Euclide** per calcolare il MCD e l'**Algoritmo Esteso** per trovare i coefficienti dell'**Identità di Bézout** ($ax+by=d$). > * Abbiamo richiamato le **conseguenze** su coprimalità e il **Lemma di Euclide**. > * Abbiamo enunciato il **Teorema Fondamentale dell'Aritmetica** (fattorizzazione unica in primi). @@ -417,7 +417,7 @@ Sia $S=\{a, b, c, d\}$. Consideriamo $P(S)$. Definiamo la relazione $\mathcal{R} > * Abbiamo definito l'**Insieme Quoziente** $S/\mathcal{R}$ come l'insieme delle classi di equivalenza. > * Abbiamo enunciato la corrispondenza tra relazioni di equivalenza e partizioni. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Fai pratica con l'algoritmo esteso di Euclide per trovare i coefficienti di Bézout. > * Assicurati di aver compreso le proprietà R, S, T e come verificare se una relazione è di equivalenza. > * Cerca di capire bene cosa sono le classi di equivalenza e l'insieme quoziente, magari con esempi concreti (es. congruenza modulo n). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 12.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 12.md" index c2459a4..17c2fa3 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 12.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 12.md" @@ -24,7 +24,7 @@ Questo teorema stabilisce un legame profondo e fondamentale tra due concetti app * **Osservazione Chiave (Pag 1):** Le proprietà 1, 2, 3 delle classi di equivalenza sono esattamente le proprietà che definiscono una **partizione**! L'insieme quoziente $S/\mathcal{R}$ è una partizione di $S$. -> [!info] Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza (Pag 2) +> [!THEOREM] Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza (Pag 2) > Sia $S$ un insieme non vuoto ($S \neq \emptyset$). Esiste una **corrispondenza biunivoca** tra l'insieme di tutte le relazioni di equivalenza su $S$ e l'insieme di tutte le partizioni di $S$. > > i) **Da Relazione a Partizione:** Se $\mathcal{R}$ è una relazione di equivalenza su $S$, allora l'insieme quoziente $S/\mathcal{R} = \{ [a]_{\mathcal{R}} \mid a \in S \}$ è una partizione di $S$. @@ -73,7 +73,7 @@ Questo teorema stabilisce un legame profondo e fondamentale tra due concetti app Ogni funzione definisce naturalmente una relazione di equivalenza sul suo dominio. -> [!info] Teorema (Pag 8): Relazione di Equivalenza Indotta da una Funzione +> [!THEOREM] Teorema (Pag 8): Relazione di Equivalenza Indotta da una Funzione > Siano $S, T$ insiemi non vuoti e $f: S \to T$ una funzione. > La relazione $\mathcal{R}_f$ su $S$ definita da: > $$ x \mathcal{R}_f y \iff f(x) = f(y) $$ @@ -230,7 +230,7 @@ e $$ 0 \le r < m $$ Il valore $r$ è denotato come $\text{rest}(a,m)$. -> [!info] Equivalenza tra Congruenza Modulo m e Uguaglianza dei Resti (Pag 26) +> [!THEOREM] Equivalenza tra Congruenza Modulo m e Uguaglianza dei Resti (Pag 26) > Siano $a, b \in \mathbb{Z}$ e $m \in \mathbb{Z}$ con $m \ge 2$. Allora: > $$ a \equiv b \pmod{m} \iff \text{rest}(a, m) = \text{rest}(b, m) $$ > In altre parole, due interi sono congrui modulo $m$ se e solo se hanno lo stesso resto nella divisione euclidea per $m$. @@ -294,7 +294,7 @@ Questo teorema implica che le classi di equivalenza modulo $m$ (per $m \ge 2$) s La relazione di congruenza modulo $m$ non è solo una relazione di equivalenza, ma è anche una **congruenza** rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione definite su $\mathbb{Z}$. Questo è un risultato cruciale. -> [!info] Compatibilità della Congruenza Modulo m con Addizione e Moltiplicazione +> [!THEOREM] Compatibilità della Congruenza Modulo m con Addizione e Moltiplicazione > Siano $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$ e $m \in \mathbb{Z}$ con $m \neq 0$. Se > * $a \equiv c \pmod{m}$ > * $b \equiv d \pmod{m}$ @@ -351,7 +351,7 @@ L'insieme $\mathbb{Z}_m$ con queste operazioni forma una nuova e fondamentale st --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 12 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 12 > * Il **Teorema Fondamentale** stabilisce una corrispondenza 1:1 tra **relazioni di equivalenza** su $S$ e **partizioni** di $S$. La partizione associata a $\mathcal{R}$ è l'insieme quoziente $S/\mathcal{R}$. La relazione associata a $\mathcal{F}$ è $x \mathcal{R}_{\mathcal{F}} y \iff x, y$ appartengono allo stesso blocco di $\mathcal{F}$. > * Ogni **funzione** $f: S \to T$ induce una relazione di equivalenza $\mathcal{R}_f$ su $S$ ($x \mathcal{R}_f y \iff f(x)=f(y)$). > * Esiste una **mappa quoziente iniettiva** $\bar{f}: S/\mathcal{R}_f \to T$ tale che $\bar{f}([a]) = f(a)$. @@ -359,7 +359,7 @@ L'insieme $\mathbb{Z}_m$ con queste operazioni forma una nuova e fondamentale st > * La **congruenza modulo m** ($a \equiv b \pmod{m} \iff m \mid (a-b)$) è una relazione di equivalenza su $\mathbb{Z}$. > * Per $m \ge 2$, $a \equiv b \pmod{m} \iff \text{rest}(a, m) = \text{rest}(b, m)$. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso il legame tra relazioni di equivalenza, classi di equivalenza e partizioni. > * Rifletti su come la relazione indotta da una funzione "raggruppa" gli elementi del dominio che hanno la stessa immagine. > * La congruenza modulo m è fondamentale. Il prossimo passo sarà studiare la struttura dell'insieme quoziente $\mathbb{Z}_m$ (l'anello delle classi di resto modulo m). diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 13.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 13.md" index c412bee..330f740 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 13.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 13.md" @@ -58,7 +58,7 @@ La relazione di congruenza si "comporta bene" rispetto alla somma e al prodotto * Poiché $(ck + hd + mhk) \in \mathbb{Z}$, questo significa $m \mid (ab - cd)$. * Quindi, $ab \equiv cd \pmod{m}$. -> [!info] La compatibilità della congruenza con somma e prodotto è ciò che permette di definire le operazioni sull'insieme quoziente $\mathbb{Z}_m$. +> [!IMPORTANT] La compatibilità della congruenza con somma e prodotto è ciò che permette di definire le operazioni sull'insieme quoziente $\mathbb{Z}_m$. --- @@ -140,7 +140,7 @@ L'insieme delle classi di equivalenza della congruenza modulo $m$. ## 5. Campi $\mathbb{Z}_m$ e Caratteristica -> [!info] Teorema: $\mathbb{Z}_m$ è un Campo se e solo se $m$ è Primo +> [!TEOREM] Teorema: $\mathbb{Z}_m$ è un Campo se e solo se $m$ è Primo > * **Enunciato (Pag 11):** L'anello $(\mathbb{Z}_m, +, \cdot)$ è un **campo** se e solo se $m$ è un numero **primo**. > * **Idea Chiave:** Questo risultato collega la struttura algebrica di $\mathbb{Z}_m$ (essere un campo, dove la divisione per elementi non nulli è sempre possibile) a una proprietà fondamentale del modulo $m$ (essere primo). > * **Spiegazione (legata al Capitolo 6):** La dimostrazione completa si basa sulla caratterizzazione degli elementi invertibili in $\mathbb{Z}_m$. Un anello commutativo unitario è un campo se e solo se ogni suo elemento non nullo è invertibile. Come vedremo, un elemento $[a]_m$ (con $a \not\equiv 0 \pmod m$) è invertibile in $\mathbb{Z}_m$ se e solo se $\text{MCD}(a, m)=1$. @@ -152,7 +152,7 @@ L'insieme delle classi di equivalenza della congruenza modulo $m$. > * **Esempi:** $\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_5, \mathbb{Z}_7, \mathbb{Z}_{11}, \dots$ sono campi. $\mathbb{Z}_4, \mathbb{Z}_6, \mathbb{Z}_8, \mathbb{Z}_9, \mathbb{Z}_{10}, \dots$ non sono campi. -> [!info] Caratteristica di $\mathbb{Z}_m$ +> [!INFO] Caratteristica di $\mathbb{Z}_m$ > * **Definizione (Pag 11-12):** La **caratteristica** di un anello unitario $R$, indicata con $char(R)$, è il più piccolo intero positivo $k$ tale che la somma di $k$ copie dell'elemento neutro moltiplicativo $1_R$ sia uguale all'elemento neutro additivo $0_R$. Se un tale $k$ non esiste, la caratteristica è 0. > * **Proposizione:** Per ogni $m \ge 1$, la caratteristica dell'anello $\mathbb{Z}_m$ è $m$. > $$ char(\mathbb{Z}_m) = m $$ @@ -299,25 +299,25 @@ Risolvere equazioni della forma $\bar{a} \cdot X = \bar{b}$ in $\mathbb{Z}_m$. ## 9. Esercizi Assegnati (Pag 26 e Foto) -> [!example] Esercizio 1 (Pag 26) +> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 26) > Determinare gli elementi invertibili, i divisori dello zero e gli elementi nilpotenti di $\mathbb{Z}_{40}$. > *Suggerimento: $40 = 2^3 \cdot 5$. Usare le proposizioni basate su $\text{MCD}(a, 40)$ e sulla fattorizzazione.* -> [!example] Esercizio 2 (Pag 26) +> [!EXERCISE] Esercizio 2 (Pag 26) > Determinare l'inverso di $\bar{25}$ in $\mathbb{Z}_{192}$. > *Suggerimento: Calcolare $\text{MCD}(25, 192)$ con l'algoritmo di Euclide. Se è 1, usare l'algoritmo esteso a ritroso per trovare l'identità di Bézout $25h + 192k = 1$. L'inverso sarà $\bar{h}$.* -> [!example] Esercizio 3 (dalla Foto 1) +> [!EXERCISE] Esercizio 3 (dalla Foto 1) > Calcolare l'inverso di $\bar{16}$ in $\mathbb{Z}_{125}$. > *Suggerimento: Calcolare $\text{MCD}(16, 125)$ e usare l'algoritmo esteso.* -> [!example] Esercizio 4 (dalla Foto 1) +> [!EXERCISE] Esercizio 4 (dalla Foto 1) > Calcolare l'inverso di $\bar{17}$ in $\mathbb{Z}_{42}$. > *Suggerimento: Calcolare $\text{MCD}(17, 42)$ e usare l'algoritmo esteso.* --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 13 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 13 > * Abbiamo definito la **congruenza modulo m** e visto la sua compatibilità con somma e prodotto. > * Abbiamo costruito l'**anello quoziente** $(\mathbb{Z}_m, +, \cdot)$ delle classi di resto. > * Abbiamo visto che $\mathbb{Z}_m$ è un **campo** $\iff m$ è primo. @@ -326,7 +326,7 @@ Risolvere equazioni della forma $\bar{a} \cdot X = \bar{b}$ in $\mathbb{Z}_m$. > * Abbiamo introdotto gli elementi **nilpotenti** in $\mathbb{Z}_m$. > * Abbiamo studiato le **equazioni congruenziali** $ax \equiv b \pmod{m}$ e il teorema sulla loro risolubilità. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Fai pratica con l'algoritmo di Euclide esteso per trovare gli inversi in $\mathbb{Z}_m$. > * Risolvi gli esercizi assegnati su $\mathbb{Z}_{40}$ e $\mathbb{Z}_{192}$. > * Potremmo approfondire le proprietà degli omomorfismi di anelli o iniziare a studiare i sottogruppi e le loro proprietà. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 14.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 14.md" index 80fec50..11afe77 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 14.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 14.md" @@ -53,7 +53,7 @@ Lo zero è $\bar{0}$. ## 2. Esercizi su $\mathbb{Z}_m$ (Pag 2-3) -> [!example] Esercizio (Pag 2) +> [!EXERCISE] Esercizio (Pag 2) > Determinare (se possibile) un $m \in \mathbb{N}, m > 1$ tale che $\mathbb{Z}_m$ soddisfi le seguenti condizioni: > > * i) $\mathbb{Z}_m$ possiede esattamente 8 elementi invertibili e 6 divisori dello zero. @@ -205,7 +205,7 @@ Questo approccio formale mostra che il "trucco" della somma delle cifre per la d Si tratta di equazioni della forma $ax \equiv b \pmod{m}$. Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \mathbb{Z}_m$ tali che $[a]_m [x]_m = [b]_m$. -> [!info] Esistenza e Numero di Soluzioni per $ax \equiv b \pmod{m}$ +> [!TEOREM] Esistenza e Numero di Soluzioni per $ax \equiv b \pmod{m}$ > Sia data l'equazione congruenziale lineare: > $$ ax \equiv b \pmod{m} $$ > dove $a, b$ sono interi e $m$ è un intero positivo ($m > 1$). Sia $d = \text{MCD}(a, m)$. @@ -268,12 +268,12 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ ## 5. Esercizi Proposti (Pag 15-21) -> [!example] Esercizio 1 (Pag 15) +> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 15) > Risolvere $135x \equiv 10 \pmod{192}$. > * $d = \text{MCD}(135, 192)$. $192 = 135 \cdot 1 + 57$; $135 = 57 \cdot 2 + 21$; $57 = 21 \cdot 2 + 15$; $21 = 15 \cdot 1 + 6$; $15 = 6 \cdot 2 + 3$; $6 = 3 \cdot 2 + 0$. $d=3$. > * $b=10$. $d=3 \nmid b=10$. **Nessuna soluzione.** -> [!example] Esercizio 2 (Pag 16-18) +> [!EXERCISE] Esercizio 2 (Pag 16-18) > Risolvere $135x \equiv 12 \pmod{192}$ (*). > * $a=135, b=12, m=192$. $d = \text{MCD}(135, 192) = 3$. > * $d=3 \mid b=12$. Esistono $d=3$ soluzioni. @@ -298,7 +298,7 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ > * $x_2 = 20 + 2 \cdot 64 = 20 + 128 = 148$. > * Soluzioni: $[20]_{192}, [84]_{192}, [148]_{192}$. -> [!example] Esercizio 3 (Pag 19-20) +> [!EXERCISE] Esercizio 3 (Pag 19-20) > Risolvere $39x \equiv b \pmod{90}$ per $b \in \{10, 15, 17\}$. > * $a=39, m=90$. $d = \text{MCD}(39, 90)$. $90 = 39 \cdot 2 + 12$; $39 = 12 \cdot 3 + 3$; $12 = 3 \cdot 4 + 0$. $d=3$. > * Caso $b=10$: $d=3 \nmid b=10$. **Nessuna soluzione.** @@ -318,7 +318,7 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ > * $x_2 = 5 + 2 \cdot 30 = 65$. > * Soluzioni per $b=15$: $[5]_{90}, [35]_{90}, [65]_{90}$. -> [!example] Esercizio 4 (Pag 21-23) +> [!EXERCISE] Esercizio 4 (Pag 21-23) > In $\mathbb{Z}_{100}$, con operazione $a * b = \overline{7}ab + \overline{25}(a+b)$, determinare gli $a \in \mathbb{Z}_{100}$ tali che $a * \bar{4} = \bar{4}$. > * $a * \bar{4} = \overline{7}a\bar{4} + \overline{25}(a+\bar{4}) = \overline{28}a + \overline{25}a + \overline{100} = \overline{53}a + \bar{0} = \overline{53}a$. > * Vogliamo $\overline{53}a = \bar{4}$, cioè $53a \equiv 4 \pmod{100}$ (*). @@ -332,7 +332,7 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ > * Moltiplichiamo (*) per $c_1=17$: $a \equiv 17 \cdot 4 \pmod{100} \implies a \equiv 68 \pmod{100}$. > * Soluzione: $a = \overline{68}$. -> [!example] Esercizio 5 (Pag 24-26) +> [!EXERCISE] Esercizio 5 (Pag 24-26) > In $(\mathbb{Z}_{50}, *)$ con $a * b = \overline{3}ab$. > * Determinare l'elemento neutro $u$. > * Determinare $U(\mathbb{Z}_{50})$ rispetto a $*$. @@ -376,7 +376,7 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ > $221 = 4 \cdot 50 + 21$. $221 \equiv 21 \pmod{50}$. > * L'inverso di $\bar{9}$ è $\bar{c} = \overline{21}$. -> [!example] Esercizio 6 (Pag 27-29) +> [!EXERCISE] Esercizio 6 (Pag 27-29) > In $\mathbb{Z}_{10}$ con l'operazione $a \oplus b = a + \overline{6}b$. > * È associativa? È commutativa? > * Determinare elementi neutri a destra e a sinistra. @@ -423,14 +423,14 @@ Cercare le soluzioni per $x$ significa trovare le classi di resto $\bar{x} \in \ --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 14 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 14 > * Abbiamo analizzato a fondo le proprietà dell'anello $\mathbb{Z}_m$: divisori dello zero ($\text{MCD}(a,m) \neq 1$), invertibili ($\text{MCD}(a,m) = 1$), nilpotenti ($rad(m) \mid a$), idempotenti ($m \mid a(a-1)$). > * Abbiamo visto che $\mathbb{Z}_p$ è un campo se $p$ è primo. > * Abbiamo derivato i **criteri di divisibilità** usando l'aritmetica modulare. > * Abbiamo studiato il teorema e il metodo risolutivo per le **equazioni congruenziali lineari** $ax \equiv b \pmod{m}$. > * Sono stati proposti diversi esercizi su $\mathbb{Z}_m$ e la risoluzione di congruenze. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso bene come determinare gli elementi speciali (div. zero, invertibili, etc.) in $\mathbb{Z}_m$. > * Fai pratica con la risoluzione delle equazioni congruenziali, specialmente con l'algoritmo di Euclide esteso. > * Il prossimo argomento, gli anelli dei polinomi, costruirà su queste fondamenta. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 15.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 15.md" index 585236e..1302038 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 15.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 15.md" @@ -96,7 +96,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. ## 3. Esercizi su Funzioni e Strutture -> [!example] Esercizio 1 (Pag 7-10 - Funzione su $\mathbb{Z}_{15}$) +> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 7-10 - Funzione su $\mathbb{Z}_{15}$) > Sia $f: \mathbb{Z}_{15} \to \mathbb{Z}_{15}$ definita da: > $$ f([a]_{15}) = \begin{cases} ([a]_{15})^{-1} & \text{se } [a]_{15} \in U(\mathbb{Z}_{15}) \\ [a]_{15} & \text{se } [a]_{15} \notin U(\mathbb{Z}_{15}) \end{cases} $$ > Determinare se $f$ è iniettiva e/o suriettiva (e quindi biettiva). @@ -123,7 +123,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. > * Per ogni $[y] \notin U(\mathbb{Z}_{15})$, vogliamo trovare $[x]$ t.c. $f([x])=[y]$. Se prendiamo $[x]=[y]$ (che non è in $U(\mathbb{Z}_{15})$), allora $f([x]) = [x] = [y]$. > * **Conclusione: $f$ è suriettiva.** -> [!example] Esercizio 2 (Pag 11-13 - Struttura $(\mathbb{Z}_{15}, *)$) +> [!EXERCISE] Esercizio 2 (Pag 11-13 - Struttura $(\mathbb{Z}_{15}, *)$) > Studiare la struttura $(\mathbb{Z}_{15}, *)$ dove $a * b = a + b + 2ab$. > * **Associatività e Commutatività:** Valgono perché le operazioni base ($+, \cdot$) in $\mathbb{Z}_{15}$ le hanno, e la forma è la stessa dell'Esercizio 4 della Lezione 8. > * **Elemento Neutro $u$:** @@ -143,7 +143,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. > * ... e così via. Bisogna testare tutti gli $a$. > * $U(\mathbb{Z}_{15}, *) = \{ a \in \mathbb{Z}_{15} \mid \text{MCD}(1+2a, 15)=1 \}$. -> [!example] Esercizio 3 (Pag 14 - Funzione $f: \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_{15}$) +> [!EXERCISE] Esercizio 3 (Pag 14 - Funzione $f: \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_{15}$) > È definita una funzione $f: (\bar{a}, \tilde{b}) \mapsto [a \cdot b]_{15}$? (dove $\bar{a} \in \mathbb{Z}_3, \tilde{b} \in \mathbb{Z}_5$). > * Una funzione deve essere ben definita. Se prendiamo rappresentanti diversi per la stessa classe, il risultato deve essere lo stesso. > * Sia $(\bar{a}, \tilde{b}) = (\bar{a'}, \tilde{b'})$. Questo significa $a \equiv a' \pmod 3$ e $b \equiv b' \pmod 5$. @@ -158,7 +158,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. ## 4. Anello Prodotto $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ (Esempio Pratico) -> [!example] Esercizio 4 (Pag 17-22 - Studio $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$) +> [!EXERCISE] Esercizio 4 (Pag 17-22 - Studio $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$) > Sia $R = \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$. Definiamo $+$ e $\cdot$ componente per componente: > $(\bar{a}, \tilde{b}) + (\bar{c}, \tilde{d}) = (\overline{a+c}, \widetilde{b+d})$ > $(\bar{a}, \tilde{b}) \cdot (\bar{c}, \tilde{d}) = (\overline{a \cdot c}, \widetilde{b \cdot d})$ @@ -219,7 +219,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. ## 5. Esercizio su Funzione e Invertibilità Modulare (Pag 23) -> [!example] Esercizio 5 (Pag 23 - Funzione e Invertibilità Modulare) +> [!EXERCISE] Esercizio 5 (Pag 23 - Funzione e Invertibilità Modulare) > Sia $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ data da $f(a, b) = 30a+b$. > 1. È iniettiva? È suriettiva? > 2. Sia $T = \{c \in \mathbb{Z} \mid 60 \le c \le 70\}$. Determinare gli elementi $(n,a) \in \mathbb{Z} \times T$ (con $n \ge 0$) tali che $f(n,a)$ sia invertibile modulo 45. @@ -259,7 +259,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. ## 6. Relazioni di Equivalenza (Cenno) -> [!example] Esercizio 6 (Pag 15-16 - Relazione di Equivalenza) +> [!EXERCISE] Esercizio 6 (Pag 15-16 - Relazione di Equivalenza) > Sia $A = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \le 7 \} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. > Sia $\rho$ una relazione di equivalenza su $A$. Sappiamo che: > * $0 \rho 7$ @@ -300,7 +300,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 10 (15) +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 10 (15) > * Abbiamo imparato a **risolvere congruenze lineari** $ax \equiv b \pmod n$. > * Abbiamo caratterizzato i **divisori dello zero** ($MCD(a,n) \neq 1$) e gli **elementi nilpotenti** (multipli di $\text{rad}(n)$) in $\mathbb{Z}_n$. > * Abbiamo svolto esercizi sulla **biettività di funzioni** definite su $\mathbb{Z}_n$. @@ -308,7 +308,7 @@ Una congruenza lineare è un'equazione della forma $ax \equiv b \pmod{n}$. > * Abbiamo introdotto il concetto di **relazione di equivalenza** e classi di equivalenza. > * Sono stati proposti numerosi **esercizi** per consolidare questi concetti. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Assicurati di padroneggiare la risoluzione delle congruenze lineari. > * Comprendi bene come identificare gli elementi speciali (invertibili, divisori dello zero, nilpotenti, idempotenti) negli anelli $\mathbb{Z}_n$ e negli anelli prodotto. > * Le relazioni di equivalenza sono fondamentali e portano al concetto di insiemi quoziente. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 16.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 16.md" index e2cfb8d..d85fc47 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 16.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 16.md" @@ -81,7 +81,7 @@ $a \operatorname{\delta} b \iff \forall p \in \mathbb{P}, (p \mid a \iff p \mid ## 2. Esercizi su Strutture Algebriche -> [!example] Esercizio 1 (Pag 7) +> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 7) > Sia $(\mathbb{Z}_{16}, *)$ con $a * b = \overline{3}ab$. > 1. Verificare che è un monoide commutativo. > 2. Determinare l'elemento neutro. @@ -280,7 +280,7 @@ Verificare per quali $n \in \mathbb{N}$ vale $n! \ge 2^n$. --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 16 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 16 > * Abbiamo definito le **Relazioni di Equivalenza** (riflessiva, simmetrica, transitiva) e visto come la congruenza modulo n ne sia un esempio. > * Abbiamo analizzato le **classi di equivalenza** e l'**insieme quoziente**. > * Abbiamo svolto un esercizio su una **struttura algebrica in $\mathbb{Z}_{16}$**. @@ -290,7 +290,7 @@ Verificare per quali $n \in \mathbb{N}$ vale $n! \ge 2^n$. > * Abbiamo esplorato il **Calcolo Combinatorio**: fattoriale, coefficiente binomiale, Identità di Pascal, numero di sottoinsiemi, numero di applicazioni iniettive, Binomio di Newton. > * Abbiamo dimostrato la disuguaglianza $n! \ge 2^n$ per $n=0$ e $n \ge 4$. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso bene come si dimostrano le proprietà di una relazione per verificarne l'equivalenza. > * Fai pratica con il calcolo di $\varphi(n)$ e l'applicazione del Teorema di Fermat-Eulero. > * Gli esercizi di calcolo combinatorio sono fondamentali per molte aree della matematica. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 17.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 17.md" index 9d71c1d..b97e23a 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 17.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 17.md" @@ -23,7 +23,7 @@ Sia $S$ un insieme non vuoto e $\mathcal{R}$ una relazione binaria su $S$. 1. **Antiriflessiva (o Irriflessiva):** $\forall x \in S, \neg (x \mathcal{R}' x)$. 2. **Transitiva:** $\forall x, y, z \in S, (x \mathcal{R}' y \land y \mathcal{R}' z) \implies x \mathcal{R}' z$. * *Notazione comune:* Spesso si usa il simbolo $<$ (o $\prec$) per denotare una generica relazione d'ordine stretto. - > [!info] Una relazione d'ordine stretto è automaticamente asimmetrica. Se fosse $x \mathcal{R}' y$ e $y \mathcal{R}' x$, per transitività avremmo $x \mathcal{R}' x$, il che contraddice l'antiriflessività. + > [!NOTE] Una relazione d'ordine stretto è automaticamente asimmetrica. Se fosse $x \mathcal{R}' y$ e $y \mathcal{R}' x$, per transitività avremmo $x \mathcal{R}' x$, il che contraddice l'antiriflessività. [[Relazione d'ordine]] [[Relazione d'ordine stretto]] @@ -255,7 +255,7 @@ Sia $(S, \le)$ un insieme parzialmente ordinato. ## 7. Esercizi Proposti -> [!example] Esercizio 1 (Pag 24 - Ordine tramite Funzione) +> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 24 - Ordine tramite Funzione) > Siano $(S, \le_S)$ e $(T, \le_T)$ insiemi ordinati, e $f: S \to T$ una funzione. > Definiamo una relazione $\le_f$ su $S$ come: > $$ a \le_f b \iff (a=b) \lor (f(a) <_T f(b)) $$ @@ -279,14 +279,14 @@ Sia $(S, \le)$ un insieme parzialmente ordinato. > Determinare $\vec{f}(\mathbb{Z})$, $\min(\vec{f}(\mathbb{Z}))$. > Determinare $\overleftarrow{f}(\{1\})$. -> [!example] Esercizio 2 (Pag 30 - DA FARE) +> [!EXERCISE] Esercizio 2 (Pag 30 - DA FARE) > Sia $(P(S), \mathcal{R})$ con $S=\{a,b,c\}$ e $X \mathcal{R} Y \iff (X=Y) \lor (|X| < |Y|)$. > Trovare gli elementi minimali e massimali di $P(S) \setminus \{\{a,b\}, \{a,c\}\}$. > Disegnare il diagramma di Hasse di questo sottoinsieme ordinato. --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 17 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 17 > * Abbiamo definito le **relazioni d'ordine largo** (riflessiva, antisimmetrica, transitiva) e **stretto** (antiriflessiva, transitiva) e la loro corrispondenza. > * Un ordine è **totale** se tutti gli elementi sono confrontabili, altrimenti è **parziale**. > * I **Diagrammi di Hasse** visualizzano ordini finiti mostrando solo le relazioni di copertura. @@ -294,7 +294,7 @@ Sia $(S, \le)$ un insieme parzialmente ordinato. > * Un insieme è **ben ordinato** se ogni suo sottoinsieme non vuoto ha un minimo (implica ordine totale). > * Abbiamo definito **minoranti, maggioranti, infimum (MCD generalizzato) e supremum (mcm generalizzato)**. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Svolgi gli esercizi proposti per familiarizzare con i diversi tipi di ordine e gli elementi speciali. > * Le relazioni d'ordine sono fondamentali per strutture come i reticoli e le algebre di Boole. > * Le relazioni di equivalenza (che vedremo) sono l'altro tipo principale di relazione con proprietà strutturali importanti.} \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 18 (Grafi).md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 18 (Grafi).md" index db5919c..b7665fc 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 18 (Grafi).md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 18 (Grafi).md" @@ -186,7 +186,7 @@ Ricollegandoci al problema dei Ponti di Königsberg. --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione Bonus (Grafi) +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione Bonus (Grafi) > * Il problema dei **Ponti di Königsberg** ha dato origine alla teoria dei grafi. > * Abbiamo definito un **grafo semplice non orientato** $(V, L)$ e concetti come **grado**, **somma dei gradi** (pari al doppio dei lati), e il fatto che i **vertici di grado dispari sono in numero pari**. > * Abbiamo visto **grafi regolari** e **grafi completi** $K_n$. @@ -195,6 +195,6 @@ Ricollegandoci al problema dei Ponti di Königsberg. > * Un (multi)grafo ha un **circuito euleriano** $\iff$ è connesso e tutti i vertici hanno grado pari. > * Abbiamo accennato al **grafo complementare**. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * La teoria dei grafi è vasta! Si potrebbero esplorare grafi orientati, pesati, algoritmi su grafi (ricerca cammini minimi, alberi ricoprenti, flusso massimo), colorazione, isomorfismo tra grafi. > * Rifletti su come le proprietà delle relazioni binarie (riflessiva, simmetrica, transitiva) si collegano alla struttura dei grafi. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 19.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 19.md" index e55723b..49da3ca 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 19.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 19.md" @@ -150,7 +150,7 @@ Per insiemi ordinati **finiti**. Si disegnano nodi per gli elementi e segmenti p AC --> SABC BC --> SABC ``` - > [!info] Questo diagramma di Hasse illustra che ogni elemento di cardinalità $k$ è "minore" (secondo $\mathcal{R}$) di ogni elemento di cardinalità $k+1, k+2, \dots$. La relazione di copertura si ha tra livelli di cardinalità adiacenti. + > [!NOTE] Questo diagramma di Hasse illustra che ogni elemento di cardinalità $k$ è "minore" (secondo $\mathcal{R}$) di ogni elemento di cardinalità $k+1, k+2, \dots$. La relazione di copertura si ha tra livelli di cardinalità adiacenti. * **Esempio $(\{2,3,4,5,6,8,10\}, \mathcal{R})$ con $a \mathcal{R} b \iff (a=b) \lor (\pi(a) \subset \pi(b))$, dove $\pi(n)$ è l'insieme dei divisori primi di $n$ (Pag 6):** * $\pi(2)=\{2\}$, $\pi(3)=\{3\}$, $\pi(4)=\{2\}$, $\pi(5)=\{5\}$, $\pi(6)=\{2,3\}$, $\pi(8)=\{2\}$, $\pi(10)=\{2,5\}$. @@ -178,7 +178,7 @@ Per insiemi ordinati **finiti**. Si disegnano nodi per gli elementi e segmenti p %% n4, n8 sono incomparabili (o uguali per pi) con gli altri in termini di copertura stretta %% e non coprono/sono coperti da altri in modo stretto basato su pi(x) subset pi(y) ``` - > [!info] In questo diagramma, i nodi 4 e 8 sono isolati perché $\pi(4)=\pi(2)$ e $\pi(8)=\pi(2)$. La relazione $a \mathcal{R} b$ si verifica se $a=b$ (riflessività, non mostrata in Hasse) oppure se $\pi(a)$ è un *sottoinsieme proprio* di $\pi(b)$. Quindi $2 \mathcal{R} 4$ non vale in senso stretto, né $2 \mathcal{R} 8$. + > [!NOTE] In questo diagramma, i nodi 4 e 8 sono isolati perché $\pi(4)=\pi(2)$ e $\pi(8)=\pi(2)$. La relazione $a \mathcal{R} b$ si verifica se $a=b$ (riflessività, non mostrata in Hasse) oppure se $\pi(a)$ è un *sottoinsieme proprio* di $\pi(b)$. Quindi $2 \mathcal{R} 4$ non vale in senso stretto, né $2 \mathcal{R} 8$. [[Diagramma di Hasse]] @@ -227,7 +227,7 @@ dove $<_T$ è l'ordine stretto associato a $\le_T$. Questa $\le_f$ è una relazi --- -> [!example] Esercizio (Pag 29 - DA FARE) +> [!EXERCISE] Esercizio (Pag 29 - DA FARE) > Sia $(P(S), \mathcal{R})$ con $S=\{a,b,c\}$ e $X \mathcal{R} Y \iff (X=Y) \lor (|X| < |Y|)$. > * Disegnare il diagramma di Hasse. > * Trovare gli elementi minimali e massimali. @@ -274,7 +274,7 @@ graph BT --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 19 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 19 > * Definite **relazioni d'ordine largo** e **stretto** e la loro corrispondenza. > * Distinzione tra ordine **totale** e **parziale**. > * I **Diagrammi di Hasse** visualizzano ordini finiti. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 2.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 2.md" index 57dbf21..8009ea3 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 2.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 2.md" @@ -12,7 +12,7 @@ Riprendiamo e approfondiamo alcune importanti leggi logiche. * **Non-Associatività dell'Implicazione:** - > [!warning] Attenzione! L'implicazione **NON** è associativa in generale. + > [!WARNING] Attenzione! L'implicazione **NON** è associativa in generale. > $(a \implies b) \implies c$ **NON** è logicamente equivalente a $a \implies (b \implies c)$. > [[Non-Associatività Implicazione]] @@ -73,12 +73,12 @@ Analizziamo le implicazioni numerate nelle tue note (Pag 4): 2. **(2) $(\neg p \land \neg q) \implies \neg r$** * Traduzione: "Se un numero NON è multiplo di 2 E NON è multiplo di 3, allora NON è multiplo di 6". * **Valore di Verità: VERO**. Se non è multiplo di 2, non può essere multiplo di 6. Se non è multiplo di 3, non può essere multiplo di 6. Quindi se non è né multiplo di 2 né di 3, a maggior ragione non è multiplo di 6. - * > [!info] Attenzione: Questa **NON** è la contrapposta di (1)! La contrapposta di $(p \land q) \implies r$ è $\neg r \implies \neg (p \land q)$, che per De Morgan diventa $\neg r \implies (\neg p \lor \neg q)$. + * > [!NOTE] Attenzione: Questa **NON** è la contrapposta di (1)! La contrapposta di $(p \land q) \implies r$ è $\neg r \implies \neg (p \land q)$, che per De Morgan diventa $\neg r \implies (\neg p \lor \neg q)$. 3. **(3) $(\neg p \lor \neg q) \implies \neg r$** * Traduzione: "Se un numero NON è multiplo di 2 OPPURE NON è multiplo di 3, allora NON è multiplo di 6". * **Valore di Verità: VERO**. Se non è multiplo di 2, non può essere multiplo di 6. Se non è multiplo di 3, non può essere multiplo di 6. Quindi, se vale almeno una delle due negazioni, non può essere multiplo di 6. - * > [!tip] Questa è equivalente alla contrapposta di (1), cioè $\neg r \implies (\neg p \lor \neg q)$. Quindi, poiché (1) è vera, anche (3) deve essere vera. + * > [!TIP] Questa è equivalente alla contrapposta di (1), cioè $\neg r \implies (\neg p \lor \neg q)$. Quindi, poiché (1) è vera, anche (3) deve essere vera. 4. **(4) $\neg r \implies (\neg p \land \neg q)$** * Traduzione: "Se un numero NON è multiplo di 6, allora NON è multiplo di 2 E NON è multiplo di 3". @@ -88,7 +88,7 @@ Analizziamo le implicazioni numerate nelle tue note (Pag 4): * Traduzione: "Se un numero NON è multiplo di 6, allora NON è multiplo di 2 OPPURE NON è multiplo di 3". * **Valore di Verità: VERO**. Questa è la contrapposta di (1) e anche equivalente a (3). Se un numero non è multiplo di 6, significa che gli manca almeno uno dei fattori primi 2 o 3. Quindi o non è multiplo di 2, o non è multiplo di 3 (o entrambi). -> [!abstract] Analisi Argomento +> [!SUMMARY] Analisi Argomento > * L'implicazione (1) è vera per definizione di multiplo di 6. > * L'implicazione (2) è vera, ma non è legata a (1) da regole semplici come la contrapposizione. > * L'implicazione (3) è vera ed è equivalente alla contrapposta di (1). @@ -140,7 +140,7 @@ Come si nega un'affermazione con $\forall$ o $\exists$? * Formula: $\neg (\exists x P(x)) \iff \forall x (\neg P(x))$ * Esempio: Negare "Esiste un numero reale il cui quadrato è negativo" ($\exists x (x^2 < 0)$) significa "Per tutti i numeri reali, il loro quadrato NON è negativo" ($\forall x \neg (x^2 < 0)$, cioè $\forall x (x^2 \ge 0)$). -> [!info] Queste regole sono fondamentali per fare dimostrazioni per assurdo o per capire cosa significa falsificare un'affermazione universale o esistenziale. +> [!IMPORTANT] Queste regole sono fondamentali per fare dimostrazioni per assurdo o per capire cosa significa falsificare un'affermazione universale o esistenziale. > [[Negazione dei Quantificatori]] ### 2.3 Ordine dei Quantificatori @@ -155,7 +155,7 @@ Consideriamo un predicato $\varphi(x, y)$ con due variabili. * **$\exists y \forall x \, \varphi(x, y)$**: "Esiste (almeno) un $y$ (fisso, lo stesso per tutti) tale che per ogni $x$, $\varphi(x, y)$ è vera." * Esempio (Universo $\mathbb{R}$): $\exists y \forall x (y > x)$. ("Esiste un numero reale y che è più grande di tutti i numeri reali x"). **FALSO**. Non esiste un numero reale massimo. -> [!warning] In generale: $\exists y \forall x \, \varphi(x, y) \implies \forall x \exists y \, \varphi(x, y)$ +> [!WARNING] In generale: $\exists y \forall x \, \varphi(x, y) \implies \forall x \exists y \, \varphi(x, y)$ > L'implicazione inversa **NON** vale! Se per ogni x trovo un y *diverso*, non è detto che esista un y *unico* che vada bene per tutti gli x. * Esempio dalle note (Pag 8): $\varphi(x,y)$ è $x \cdot y = x$. Universo $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$. @@ -180,7 +180,7 @@ Data una funzione $f: A \to B$. * Definizione Formale: $\vec{f}(X) = \{ f(x) \mid x \in X \}$ * Proprietà: $\vec{f}(X) \subseteq B$ -> [!info] L'immagine $\vec{f}(X)$ contiene i *risultati* della funzione applicata agli elementi di $X$. +> [!NOTE] L'immagine $\vec{f}(X)$ contiene i *risultati* della funzione applicata agli elementi di $X$. * Esempio (Pag 13): $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ definita da $f(x) = |x|$. Sia $X = \{-2, 5, -5\}$. * $\vec{f}(X) = \{ f(-2), f(5), f(-5) \} = \{ |-2|, |5|, |-5| \} = \{ 2, 5, 5 \} = \{2, 5\}$. (Ricorda: gli insiemi non hanno ripetizioni). @@ -200,7 +200,7 @@ Data una funzione $f: A \to B$. * Definizione Formale: $\overleftarrow{f}(Y) = \{ x \in A \mid f(x) \in Y \}$ * Proprietà: $\overleftarrow{f}(Y) \subseteq A$ -> [!info] La controimmagine $\overleftarrow{f}(Y)$ contiene gli *input* della funzione che producono risultati appartenenti a $Y$. +> [!NOTE] La controimmagine $\overleftarrow{f}(Y)$ contiene gli *input* della funzione che producono risultati appartenenti a $Y$. * Esempio (Pag 13): $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ definita da $f(x) = |x|$. Sia $Y = \{2, 5\}$. * $\overleftarrow{f}(Y) = \{ x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in \{2, 5\} \} = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x| = 2 \text{ oppure } |x| = 5 \}$ @@ -247,7 +247,7 @@ Una proprietà molto importante delle funzioni. $$ * **Spiegazione:** Se una funzione fosse non iniettiva, esisterebbero $x_1 \neq x_2$ con $f(x_1)=f(x_2)=b$. Ma allora la controimmagine di $b$, $\overleftarrow{f}(\{b\})$, conterrebbe sia $x_1$ che $x_2$, e quindi avrebbe cardinalità $\ge 2$. Viceversa, se la controimmagine di ogni $b$ ha al massimo un elemento, non possono esistere due $x$ distinti che mappano allo stesso $b$. -> [!tip] Per dimostrare che $f$ è iniettiva, parti da $f(x_1)=f(x_2)$ e cerca di dedurre $x_1=x_2$. +> [!TIP] Per dimostrare che $f$ è iniettiva, parti da $f(x_1)=f(x_2)$ e cerca di dedurre $x_1=x_2$. > Per dimostrare che $f$ NON è iniettiva, trova due $x_1 \neq x_2$ specifici tali che $f(x_1)=f(x_2)$. [[Funzione Iniettiva]] @@ -309,7 +309,7 @@ Un modo per "dividere" un insieme in pezzi disgiunti. 3. **I pezzi ricoprono tutto l'insieme:** L'unione di tutti i sottoinsiemi nella famiglia $\mathcal{F}$ deve dare l'insieme originale $S$. $$ \bigcup_{X \in \mathcal{F}} X = S $$ -> [!info] Immagina di rompere un piatto $S$. I frammenti $X_i$ formano una partizione: nessun frammento è vuoto, due frammenti diversi non si sovrappongono (a parte i bordi, che qui ignoriamo), e rimettendo insieme tutti i frammenti ottieni il piatto originale. +> [!NOTE] Immagina di rompere un piatto $S$. I frammenti $X_i$ formano una partizione: nessun frammento è vuoto, due frammenti diversi non si sovrappongono (a parte i bordi, che qui ignoriamo), e rimettendo insieme tutti i frammenti ottieni il piatto originale. * **Esempi (Pag 27):** Sia $S = \{a, b, c\}$. * **Partizioni Banali:** @@ -337,7 +337,7 @@ Un modo per "dividere" un insieme in pezzi disgiunti. --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 2 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 2 > * Abbiamo rivisto tautologie importanti come la **transitività** e la **contrapposizione** dell'implicazione, e l'equivalenza del **bicondizionale**. > * Abbiamo analizzato un'argomentazione logica concreta. > * Abbiamo imparato a **negare i quantificatori** ($\neg \forall \iff \exists \neg$, $\neg \exists \iff \forall \neg$). @@ -346,7 +346,7 @@ Un modo per "dividere" un insieme in pezzi disgiunti. > * Abbiamo definito la **funzione iniettiva** (diversi input $\implies$ diversi output) e visto diversi modi per caratterizzarla (definizione formale, contrapposta, negazione, tramite controimmagine di singleton). > * Abbiamo introdotto il concetto di **partizione** di un insieme (divisione in pezzi non vuoti e disgiunti che ricoprono tutto). -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso bene la differenza tra immagine e controimmagine. Prova a calcolarle per funzioni semplici. > * Fai pratica nel dimostrare se una funzione è iniettiva o meno. Trovare un controesempio è spesso il modo più rapido per dimostrare la non-iniettività. > * Rifletti sul legame tra partizioni e relazioni di equivalenza (lo vedremo presto!). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 20.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 20.md" index c10b3ff..ff4238d 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 20.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 20.md" @@ -277,7 +277,7 @@ Il diagramma di Hasse analizzato **non è un reticolo** perché la coppia $\{a, --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 20 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 20 > * Abbiamo rivisto le proprietà degli **insiemi ordinati** e analizzato esempi, inclusi i diagrammi di Hasse. > * Un **reticolo** $(L, \le)$ è un poset dove ogni coppia di elementi $\{a,b\}$ ammette $\inf\{a,b\}$ (denotato $a \land b$) e $\sup\{a,b\}$ (denotato $a \lor b$). > * Equivalentemente, un reticolo è una struttura algebrica $(L, \land, \lor)$ dove $\land, \lor$ sono binarie, associative, commutative e soddisfano le **leggi di assorbimento** (da cui deriva l'idempotenza). @@ -285,6 +285,6 @@ Il diagramma di Hasse analizzato **non è un reticolo** perché la coppia $\{a, > * $(P(S), \subseteq)$ è un reticolo con $A \land B = A \cap B$ e $A \lor B = A \cup B$. > * L'ordine basato sulla stretta inclusione delle cardinalità non è necessariamente un reticolo. z -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso l'equivalenza tra le due definizioni di reticolo. > * I reticoli possono avere ulteriori proprietà (distributivi, booleani, completi) che definiscono classi più specifiche di strutture. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 21.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 21.md" index 3c284d3..98d8660 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 21.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 21.md" @@ -11,7 +11,7 @@ Un reticolo può essere visto in due modi equivalenti, come due sentieri che por ### 1.1. Definizione tramite Insieme Parzialmente Ordinato (Poset) -> [!info] Definizione (come Poset) +> [!NOTE] Definizione (come Poset) > Un insieme parzialmente ordinato $(L, \le)$ è un **reticolo** se, per ogni coppia di elementi $a, b \in L$, esistono sempre: > 1. L'**estremo inferiore** (infimum) di $\{a, b\}$, denotato come $a \wedge b$ (letto "a meet b" o "a inf b"). > 2. L'**estremo superiore** (supremum) di $\{a, b\}$, denotato come $a \vee b$ (letto "a join b" o "a sup b"). @@ -24,7 +24,7 @@ Visualizza $a \wedge b$ come il punto d'incontro più "basso" raggiungibile da $ ### 1.2. Definizione tramite Struttura Algebrica -> [!info] Definizione (come Struttura Algebrica) +> [!NOTE] Definizione (come Struttura Algebrica) > Una struttura algebrica $(L, \wedge, \vee)$, dove $\wedge$ e $\vee$ sono operazioni binarie su $L$, è un **reticolo** se valgono le seguenti proprietà per tutti gli $a, b, c \in L$: > 1. **Leggi Associative**: > $$ (a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c) $$ @@ -46,7 +46,7 @@ La relazione d'ordine $\le$ e le operazioni $\wedge, \vee$ sono intimamente coll Per $a, b \in L$: $$ a \le b \iff a \wedge b = a \iff a \vee b = b $$ -> [!tip] Suggerimento per la Memoria +> [!TIP] Suggerimento per la Memoria > * $a \wedge b = a \implies a$ è "sotto" $b$ (o uguale), quindi $a \le b$. > * $a \vee b = b \implies b$ è "sopra" $a$ (o uguale), quindi $a \le b$. @@ -58,7 +58,7 @@ Vediamo alcuni esempi per rendere il concetto più concreto. ### 2.1. Insiemi Totalmente Ordinati -> [!example] Esempio: Insiemi Totalmente Ordinati +> [!EXAMPLE] Esempio: Insiemi Totalmente Ordinati > Se $(S, \le)$ è un **insieme totalmente ordinato** (cioè, per ogni $a, b \in S$, o $a \le b$ o $b \le a$), allora $S$ è un reticolo. > * **Perché?** Se $a \le b$: > * $a \wedge b = a$ (l'infimum è $a$) @@ -68,7 +68,7 @@ Vediamo alcuni esempi per rendere il concetto più concreto. ### 2.2. L'Insieme delle Parti $\mathcal{P}(S)$ -> [!example] Esempio: Insieme delle Parti +> [!EXAMPLE] Esempio: Insieme delle Parti > Sia $S$ un insieme. L'insieme delle sue parti, $\mathcal{P}(S)$, con la relazione di inclusione $\subseteq$, forma un reticolo. > Qui: > * $A \wedge B = A \cap B$ (l'intersezione è il più grande sottoinsieme comune) @@ -76,7 +76,7 @@ Vediamo alcuni esempi per rendere il concetto più concreto. > > Quindi, $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup)$ è la struttura algebrica del reticolo. -> [!info] Attenzione! +> [!IMPORTANT] Attenzione! > **Non tutti i reticoli sono totalmente ordinati!** > Pensa a $\mathcal{P}(\{1,2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$. > Qui, $\{1\}$ e $\{2\}$ non sono confrontabili (né $\{1\} \subseteq \{2\}$ né $\{2\} \subseteq \{1\}$). @@ -90,7 +90,7 @@ Vediamo alcuni esempi per rendere il concetto più concreto. Alcuni reticoli hanno degli elementi "speciali" che fungono da minimo e massimo assoluto. -> [!info] Definizione: Reticolo Limitato +> [!NOTE] Definizione: Reticolo Limitato > Un reticolo $L$ si dice **limitato** se possiede: > * Un **elemento minimo assoluto**, denotato con $0$ (o $0_L$), tale che $0 \le a$ per ogni $a \in L$. > * Un **elemento massimo assoluto**, denotato con $1$ (o $1_L$), tale che $a \le 1$ per ogni $a \in L$. @@ -113,11 +113,11 @@ Immagina $0$ come il "punto di partenza" o il "pavimento" del reticolo, e $1$ co * $0_{\mathbb{D}_n} = 1$ (1 divide tutti gli altri divisori) * $1_{\mathbb{D}_n} = n$ (n è divisibile per tutti gli altri divisori) -> [!tip] Reticoli Finiti +> [!TIP] Reticoli Finiti > **Ogni reticolo finito è limitato!** > Se hai un numero finito di elementi, puoi sempre trovare un minimo e un massimo (potrebbero non essere unici se non fosse un reticolo, ma in un reticolo l'esistenza di inf/sup per ogni coppia garantisce un minimo e massimo globale unici). -> [!warning] Attenzione con $(\mathbb{N}^*, |)$ +> [!CAUTION] Attenzione con $(\mathbb{N}^*, |)$ > L'insieme di **tutti** i numeri naturali positivi $(\mathbb{N}^*, |)$ con la divisibilità è un reticolo: > * $a \wedge b = \text{MCD}(a,b)$ > * $a \vee b = \text{mcm}(a,b)$ @@ -170,7 +170,7 @@ I diagrammi di Hasse sono un modo fantastico per visualizzare i reticoli finiti. ``` Il tuo "Reticolo Trizettangolo golo" (M3 o diamante) è corretto. -> [!question] Proviamo a Riflettere +> [!QUESTION] Proviamo a Riflettere > Guardando i diagrammi M3 e N5 (quello standard), riesci a trovare coppie di elementi e calcolare il loro $\wedge$ (meet) e $\vee$ (join)? > Ad esempio, in M3, cosa sono $a \wedge b$ e $a \vee b$? @@ -180,7 +180,7 @@ I diagrammi di Hasse sono un modo fantastico per visualizzare i reticoli finiti. Proprio come gli insiemi hanno sottoinsiemi e i gruppi hanno sottogruppi, i reticoli hanno i sottoreticoli! -> [!info] Definizione: Sottoreticolo +> [!NOTE] Definizione: Sottoreticolo > Sia $(L, \wedge_L, \vee_L)$ un reticolo e sia $A \subseteq L$ un sottoinsieme non vuoto di $L$. > $A$ è un **sottoreticolo** di $L$ se $A$ è chiuso rispetto alle operazioni $\wedge_L$ e $\vee_L$. > Cioè, per ogni $x, y \in A$: @@ -210,7 +210,7 @@ Come per altre strutture algebriche, possiamo parlare di "uguaglianza struttural ### 6.1. Isomorfismo di Insiemi Parzialmente Ordinati (Poset) -> [!info] Definizione: Isomorfismo di Poset +> [!NOTE] Definizione: Isomorfismo di Poset > Siano $(S, \le_S)$ e $(T, \le_T)$ due poset. Una funzione $f: S \to T$ è un **isomorfismo di poset** se: > 1. $f$ è **biettiva** (corrispondenza uno-a-uno e suriettiva). > 2. $f$ **preserva l'ordine**: per ogni $a, b \in S$, $a \le_S b \iff f(a) \le_T f(b)$. @@ -218,14 +218,14 @@ Come per altre strutture algebriche, possiamo parlare di "uguaglianza struttural ### 6.2. Isomorfismo di Reticoli -> [!info] Definizione: Isomorfismo di Reticoli +> [!NOTE] Definizione: Isomorfismo di Reticoli > Siano $(L, \wedge_L, \vee_L)$ e $(M, \wedge_M, \vee_M)$ due reticoli. Una funzione $f: L \to M$ è un **isomorfismo di reticoli** se: > 1. $f$ è **biettiva**. > 2. $f$ **preserva le operazioni** (è un omomorfismo): > * $f(a \wedge_L b) = f(a) \wedge_M f(b)$ > * $f(a \vee_L b) = f(a) \vee_M f(b)$ -> [!info] Isomorfismo di Poset vs. Isomorfismo di Reticoli +> [!IMPORTANT] Isomorfismo di Poset vs. Isomorfismo di Reticoli > Se $L$ e $M$ sono reticoli, un isomorfismo di poset $f: L \to M$ è **sempre** anche un isomorfismo di reticoli, e viceversa. > Cioè, se $f$ è biettiva e $a \le_L b \iff f(a) \le_M f(b)$, allora automaticamente $f$ preserverà le operazioni $\wedge$ e $\vee$. > @@ -246,7 +246,7 @@ Come per altre strutture algebriche, possiamo parlare di "uguaglianza struttural Questa è una proprietà molto importante, specialmente per le algebre di Boole! -> [!info] Definizione: Reticolo Complementato +> [!NOTE] Definizione: Reticolo Complementato > Un reticolo $(L, \wedge, \vee)$ si dice **complementato** se: > 1. $L$ è **limitato** (possiede $0$ e $1$). > 2. Per ogni elemento $a \in L$, esiste almeno un **complemento** $\bar{a} \in L$ tale che: @@ -285,7 +285,7 @@ Questa è una proprietà molto importante, specialmente per le algebre di Boole! * Se $\bar{a}=3$: $\text{mcm}(2,3)=6 \ne 12$. * Nessun elemento funziona. $2$ non ha complemento. -> [!warning] $(\mathbb{N}^*, |)$ (pag. 21) +> [!CAUTION] $(\mathbb{N}^*, |)$ (pag. 21) > Questo reticolo non è limitato superiormente, quindi per definizione non può essere complementato. Le tue note $(10,9)=1, (10,3)=1$ mostrano che puoi trovare elementi il cui MCD è $1$ (il $0_L$), ma questo è solo metà del lavoro. Devi anche avere $\text{mcm}(10, \bar{a}) = 1_L$, ma $1_L$ non esiste! --- @@ -352,7 +352,7 @@ $$ a \ \sigma \ b \iff (a=b) \text{ oppure } (a|b \text{ propriamente (cioè } a * La domanda se questo $L$ forma un reticolo sotto $\sigma$ è complessa. Richiederebbe di verificare l'esistenza di inf e sup per tutte le coppie usando l'ordine $\sigma$ all'interno di $L$. * I tuoi appunti a pag. 28 dicono che $M = \{5,10,9,16,81,256\}$ con $f(16)=f(2^4)=4, f(81)=f(3^4)=4, f(256)=f(2^8)=8$ **NON è un reticolo**. Questo suggerisce che tali strutture non sono facilmente reticoli. -> [!tip] Affrontare Concetti Complessi +> [!TIP] Affrontare Concetti Complessi > Luca, la parte sull'ordine $\sigma$ è un po' un rompicapo! È un ottimo esercizio per capire come si possono definire ordini non standard. Se ti senti bloccato, concentrati sulla definizione di $f$ e $\sigma$, prova con coppie piccole, e non preoccuparti se l'analisi completa di un insieme come $L$ o $M$ sembra difficile. È normale! --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 22.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 22.md" index e2a7d84..fee7ad6 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 22.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 22.md" @@ -3,7 +3,7 @@ **Docente:** Maria Rosaria Celentani **Argomenti Principali:** Sottoanelli, Reticoli (Dualità, Complementati, Distributivi, Booleani), Algebre di Boole, Anelli Booleani. -> [!tip] Ricorda! +> [!TIP] Ricorda! > * Usa il tuo **dizionario visuale** per i simboli che incontriamo. Se un simbolo è nuovo o ostico, disegnalo e associalo a un'immagine o a una parola chiave che ti aiuti a ricordarlo! > * Non esitare a **fare pause** quando ne senti il bisogno. Il cervello impara meglio quando è riposato. > * Se un concetto sembra un mostro, spezzettiamolo in parti più piccole. Insieme, possiamo domarlo! @@ -16,7 +16,7 @@ Ricordi cosa sia un **anello** $(A, +, \cdot)$? È una struttura algebrica con d Ora, immaginiamo di trovare un "piccolo mondo" all'interno di un anello più grande, che si comporta esso stesso come un anello. Quello è un **sottoanello**! -> [!info] Definizione: Sottoanello +> [!NOTE] Definizione: Sottoanello > Sia $(A, +, \cdot)$ un anello e sia $B$ un sottoinsieme **non vuoto** di $A$ ($B \subseteq A$, $B \neq \emptyset$). > Diciamo che $(B, +, \cdot)$ è un **sottoanello** di $A$ se soddisfa queste condizioni: > 1. **$B$ è stabile (o chiuso) rispetto a entrambe le operazioni $+$ e $\cdot$**: @@ -55,7 +55,7 @@ Questo insieme $B$ è un sottoanello di $A$? Vediamo! **Conclusione:** Sì, $B$ è un sottoanello di $M_{2,2}(\mathbb{R})$! -> [!info] Un dettaglio menzionato negli appunti (pag. 1): +> [!NOTE] Un dettaglio menzionato negli appunti (pag. 1): > $I_A \neq I_B$ in generale. $I_A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. > L'elemento $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ agisce come identità moltiplicativa *all'interno* di $B$ (se $B$ fosse un anello unitario a sé stante), ma non è l'identità di $A$. > In questo specifico esempio $B$, l'elemento $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ è l'unità di $B$. @@ -67,7 +67,7 @@ Questo insieme $B$ è un sottoanello di $A$? Vediamo! Passiamo ora ai **reticoli**. Immagina una struttura dove gli elementi sono "ordinati" in qualche modo, e per ogni coppia di elementi possiamo trovare un "punto d'incontro superiore" e un "punto d'incontro inferiore". -> [!info] Definizione: Reticolo (con relazione d'ordine $\le$) +> [!NOTE] Definizione: Reticolo (con relazione d'ordine $\le$) > Un insieme parzialmente ordinato $(L, \le)$ (cioè $\le$ è riflessiva, antisimmetrica, transitiva) si dice un **reticolo** se, per ogni coppia di elementi $a, b \in L$, esistono: > 1. L'**estremo inferiore** (o *meet* o *infimum*), indicato con $a \land b$ (leggi "a meet b" o "a inf b"). È il più grande elemento che è $\le a$ e $\le b$. > 2. L'**estremo superiore** (o *join* o *supremum*), indicato con $a \lor b$ (leggi "a join b" o "a sup b"). È il più piccolo elemento che è $\ge a$ e $\ge b$. @@ -78,7 +78,7 @@ Passiamo ora ai **reticoli**. Immagina una struttura dove gli elementi sono "ord Questo è un concetto super potente e elegante! È come guardare un'immagine allo specchio. -> [!info] Principio di Dualità per Reticoli +> [!IMPORTANT] Principio di Dualità per Reticoli > Se un enunciato (una proprietà, un teorema) è valido per **tutti** i reticoli, allora anche l'enunciato **duale** è valido per tutti i reticoli. > > Come si ottiene l'enunciato duale? @@ -100,7 +100,7 @@ Sia $(L, \le)$ un reticolo. * **Enunciato $a$**: Se esiste $0_L$ (elemento minimo), allora $0_L \le a, \forall a \in L$. * **Enunciato duale $a^*$**: Se esiste $1_L$ (elemento massimo), allora $1_L \ge a, \forall a \in L$. -> [!tip] Pensa alla musica! Se hai una melodia che sale, la sua "duale" potrebbe essere una melodia che scende in modo speculare. Il principio di dualità ci dice che se certe armonie funzionano con la melodia originale, armonie "speculari" funzioneranno con la melodia duale. +> [!TIP] Pensa alla musica! Se hai una melodia che sale, la sua "duale" potrebbe essere una melodia che scende in modo speculare. Il principio di dualità ci dice che se certe armonie funzionano con la melodia originale, armonie "speculari" funzioneranno con la melodia duale. ### 2.2. Esempio Pratico: Una Relazione d'Ordine su $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ (Pagine 4-6) @@ -161,7 +161,7 @@ Non tutti i reticoli sono uguali! Alcuni hanno proprietà speciali. ### 3.1. Reticoli Limitati (Pagina 8, 10) -> [!info] Definizione: Reticolo Limitato +> [!NOTE] Definizione: Reticolo Limitato > Un reticolo $(L, \le)$ (o $(L, \land, \lor)$) si dice **limitato** se possiede: > * Un elemento minimo, chiamato **zero** ($0_L$ o $0$), tale che $0_L \le x$ per ogni $x \in L$. > * Un elemento massimo, chiamato **uno** ($1_L$ o $1$), tale che $x \le 1_L$ per ogni $x \in L$. @@ -175,7 +175,7 @@ Non tutti i reticoli sono uguali! Alcuni hanno proprietà speciali. Questa è come trovare l' "opposto" o il "contrario" di un elemento, ma in senso reticolare. -> [!info] Definizione: Reticolo Complementato +> [!NOTE] Definizione: Reticolo Complementato > Un reticolo **limitato** $(L, \le, 0_L, 1_L)$ si dice **complementato** se per ogni elemento $a \in L$ esiste almeno un **complemento** $\bar{a} \in L$ tale che: > $$ > a \land \bar{a} = 0_L \quad \text{e} \quad a \lor \bar{a} = 1_L @@ -230,7 +230,7 @@ $0_L \land 1_L = 0_L$ e $0_L \lor 1_L = 1_L$. La distributività è una proprietà che conosciamo bene dall'aritmetica (la moltiplicazione distribuisce sulla somma). Nei reticoli è simile. -> [!info] Definizione: Reticolo Distributivo +> [!NOTE] Definizione: Reticolo Distributivo > Un reticolo $(L, \land, \lor)$ si dice **distributivo** se valgono le seguenti leggi distributive (basta che ne valga una, l'altra segue per dualità): > 1. $a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$ per ogni $a,b,c \in L$. (meet distribuisce su join) > 2. $a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$ per ogni $a,b,c \in L$. (join distribuisce su meet) @@ -249,7 +249,7 @@ I "cattivi ragazzi" che impediscono la distributività sono due reticoli specifi $(a \lor b) \land (a \lor c) = b \land 1 = b$. (Assumendo $a \lor b = b$ perché $a [!info] Teorema Fondamentale per i Reticoli Distributivi (Pagina 13) +> [!IMPORTANT] Teorema Fondamentale per i Reticoli Distributivi (Pagina 13) > Un reticolo $L$ è **distributivo** se e solo se **non contiene** alcun sottoreticolo isomorfo a $M_3$ o $N_5$. > (I disegni a pag. 13 mostrano $N_5$ e $M_3$). > Questo è un risultato molto potente per "diagnosticare" la distributività guardando la struttura del reticolo! @@ -271,7 +271,7 @@ Il diagramma a pagina 15 mostra una struttura che non è un reticolo. Probabilme **Unicità del Complemento (Pagina 16):** -> [!info] Proposizione +> [!IMPORTANT] Proposizione > Sia $(L, \land, \lor)$ un reticolo **distributivo** e **limitato**. Se un elemento $a \in L$ possiede un complemento, allora tale complemento è **unico**. > > **Dimostrazione (idea):** @@ -325,7 +325,7 @@ $x \lor (z \land y) = 2 \lor (3 \land 4) = 2 \lor \text{MCD}(3,4) = 2 \lor 1 = 2 $(x \lor z) \land (x \lor y) = (\text{mcm}(2,3)) \land (\text{mcm}(2,4)) = 6 \land 4 = \text{MCD}(6,4) = 2$. Questo esempio non mostra la non-distributività. -> [!warning] L'esempio della non distributività di $(\mathbb{N}, |)$ va chiarito meglio. Il reticolo dei divisori di un numero $n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$ è distributivo se e solo se tutti gli $a_i \le 1$ oppure $k \le 2$. Quindi $D_{30}$ (divisori di $2 \cdot 3 \cdot 5$) è distributivo. $D_{12}$ (divisori di $2^2 \cdot 3$) è distributivo. $D_{p^2 q r}$ non lo è. Ad esempio $D_{60}$ (divisori di $2^2 \cdot 3 \cdot 5$) contiene un $M_3$ (ad es. $\{2, 6, 10\}$ non è un $M_3$, i tre elementi "intermedi" sono $2\cdot3=6$, $2\cdot5=10$, $2\cdot2=4$). Gli elementi $2, 6, 10$ non sono in $M_3$. +> [!CAUTION] L'esempio della non distributività di $(\mathbb{N}, |)$ va chiarito meglio. Il reticolo dei divisori di un numero $n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$ è distributivo se e solo se tutti gli $a_i \le 1$ oppure $k \le 2$. Quindi $D_{30}$ (divisori di $2 \cdot 3 \cdot 5$) è distributivo. $D_{12}$ (divisori di $2^2 \cdot 3$) è distributivo. $D_{p^2 q r}$ non lo è. Ad esempio $D_{60}$ (divisori di $2^2 \cdot 3 \cdot 5$) contiene un $M_3$ (ad es. $\{2, 6, 10\}$ non è un $M_3$, i tre elementi "intermedi" sono $2\cdot3=6$, $2\cdot5=10$, $2\cdot2=4$). Gli elementi $2, 6, 10$ non sono in $M_3$. > Il reticolo $D_{pqr}$ (come $D_{30}$) è isomorfo a $\mathcal{P}(\{p,q,r\})$ ed è distributivo. > Il reticolo $D_{p^2q}$ (come $D_{12}$) è distributivo. > Un reticolo $L$ è non distributivo se contiene $M_3$ o $N_5$. @@ -335,7 +335,7 @@ Questo esempio non mostra la non-distributività. Questi sono i reticoli "perfetti": distributivi E complementati. -> [!info] Definizione: Reticolo Booleano +> [!NOTE] Definizione: Reticolo Booleano > Un reticolo $(L, \le)$ si dice **booleano** se: > 1. È **distributivo**. > 2. È **complementato**. @@ -350,7 +350,7 @@ $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ è un reticolo booleano! * $A \cup A^c = S = 1_L$. L'appunto dice: "non è 'un' esempio, è L'ESEMPIO". Questo sottolinea la sua importanza! -> [!info] Teorema di Rappresentazione per Reticoli Booleani Finiti (Pagina 19) +> [!IMPORTANT] Teorema di Rappresentazione per Reticoli Booleani Finiti (Pagina 19) > Sia $(L, \le)$ un reticolo booleano. > * $(L, \le)$ è isomorfo a un sottoreticolo di $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ per qualche insieme $S$. (Questo $S$ è l'insieme degli atomi di $L$ o degli ideali primi/massimali). > * Se $L$ è **finito**, allora esiste un insieme finito $S$ tale che $(L, \le)$ è isomorfo a $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$. @@ -372,7 +372,7 @@ La nota $|L|=2^n$ con un X sopra ($|L|=2^n \mathbb{X}$) forse significa che *non Strettamente collegate ai reticoli booleani, le algebre di Boole formalizzano le operazioni. -> [!info] Definizione: Algebra di Boole +> [!NOTE] Definizione: Algebra di Boole > Un'**algebra di Boole** è una struttura $(A, \land, \lor, ', 0, 1)$ dove: > * $A$ è un insieme non vuoto. > * $\land$ (meet) e $\lor$ (join) sono operazioni binarie su $A$. @@ -407,7 +407,7 @@ Viceversa, un'algebra di Boole $(A, \land, \lor, ', 0, 1)$ definisce un reticolo $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup, (\cdot)^c, \emptyset, S)$ è l'algebra di Boole per eccellenza. * Operazione unaria $'$: $A' = S \setminus A$ (complemento insiemistico). -> [!info] Teorema di Rappresentazione di Stone per Algebre di Boole Finite (Pagina 23) +> [!IMPORTANT] Teorema di Rappresentazione di Stone per Algebre di Boole Finite (Pagina 23) > Ogni algebra di Boole **finita** $(A, \land, \lor, ', 0, 1)$ è isomorfa all'algebra di Boole $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup, (\cdot)^c, \emptyset, S)$ per qualche insieme finito $S$. > (Questo è essenzialmente lo stesso teorema visto per i reticoli booleani finiti, ma formulato per le algebre). @@ -417,7 +417,7 @@ $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup, (\cdot)^c, \emptyset, S)$ è l'algebra di Boole pe Ora colleghiamo questi concetti con gli anelli! -> [!info] Definizione: Anello Booleano +> [!NOTE] Definizione: Anello Booleano > Un **anello** $(A, +, \cdot)$ (solitamente unitario, cioè con un'identità moltiplicativa $1_A$) si dice **booleano** se ogni suo elemento è **idempotente**, cioè: > $$ > a^2 = a \cdot a = a \quad \text{per ogni } a \in A @@ -448,7 +448,7 @@ forma un anello booleano $(\mathcal{P}(S), \Delta, \cap)$. * Verifichiamo l'idempotenza: $A^2 = A \cap A = A$. Sì! L'appunto dice: "CNO se considero $(\mathcal{P}(S), \Delta, \cup)$ non vale la distributività". Qui si riferisce alla distributività di $\cup$ rispetto a $\Delta$, che non è una delle leggi degli anelli. L'anello è $(\mathcal{P}(S), \Delta, \cap)$. La distributività richiesta è $\cap$ su $\Delta$: $A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C)$. Questa è vera. -> [!info] Teorema di Rappresentazione per Anelli Booleani Finiti (Pagina 26) +> [!IMPORTANT] Teorema di Rappresentazione per Anelli Booleani Finiti (Pagina 26) > Ogni anello booleano **finito** $(A, +, \cdot)$ è isomorfo a un anello $(\mathcal{P}(S), \Delta, \cap)$ per qualche insieme finito $S$. > (Se $A$ non è finito, è isomorfo a un sottoanello di $(\mathcal{P}(S), \Delta, \cap)$). @@ -508,7 +508,7 @@ Ricorda che $a \cdot b = a \land b$. Quindi $a \le b \iff a \land b = a$, che è ## Riepilogo della Lezione: Punti Chiave -> [!abstract] Cosa abbiamo imparato oggi: +> [!SUMMARY] Cosa abbiamo imparato oggi: > * Un **sottoanello** è un sottoinsieme di un anello che è esso stesso un anello con le stesse operazioni. > * Un **reticolo** è un insieme parzialmente ordinato dove ogni coppia di elementi ha un estremo superiore (join $\lor$) e un estremo inferiore (meet $\land$). > * Il **Principio di Dualità** ci permette di ottenere nuovi teoremi validi scambiando $\le/\ge$ e $\land/\lor$. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 23 (Polinomi).md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 23 (Polinomi).md" index d1c9879..bf335b5 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 23 (Polinomi).md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 23 (Polinomi).md" @@ -21,7 +21,7 @@ ## Definizioni di Base sui Polinomi -> [!info] Definizione: Anello dei Polinomi +> [!NOTE] Definizione: Anello dei Polinomi > Dato un anello commutativo unitario $(A, +, \cdot)$, l'insieme dei polinomi a coefficienti in $A$ nell'indeterminata $x$, indicato con $A[x]$, è l'insieme di tutte le espressioni formali del tipo: > $$ > f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n @@ -41,7 +41,7 @@ Possiamo sommare e moltiplicare i polinomi in modo molto intuitivo. ### Somma di Polinomi -> [!tip] Come sommare due polinomi +> [!TIP] Come sommare due polinomi > Per sommare due polinomi, $f(x)$ e $g(x)$, semplicemente **sommiamo i coefficienti dei termini con lo stesso grado**. Se $f(x) = a_0 + a_1x + \dots$ e $g(x) = b_0 + b_1x + \dots$, allora: @@ -49,7 +49,7 @@ $$ f(x) + g(x) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + (a_2 + b_2)x^2 + \dots $$ -> [!example] Esempio di Somma +> [!EXAMPLE] Esempio di Somma > * $f(x) = 3 - 5x^2 + 7x^4$ > * $g(x) = 1 + 3x + 4x^2 - 2x^3$ > @@ -59,7 +59,7 @@ $$ Il prodotto è un po' più elaborato, ma segue la regola "tutti per tutti". -> [!info] Formula del Prodotto +> [!NOTE] Formula del Prodotto > Se $f(x) \cdot g(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \dots$, il coefficiente $c_k$ si ottiene sommando tutti i prodotti $a_i \cdot b_j$ tali che $i+j=k$. > $$ > c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j @@ -75,7 +75,7 @@ Con queste operazioni, $(A[x], +, \cdot)$ diventa a sua volta un **anello commut #tag/definizione #tag/teorema -> [!info] Definizione: Grado di un Polinomio +> [!IMPORTANT] Definizione: Grado di un Polinomio > Il **grado** di un polinomio non nullo $f(x)$, indicato con $\text{gr}(f)$ o $\delta(f)$, è il **massimo esponente** della $x$ con un coefficiente diverso da zero. > * Il coefficiente di grado massimo è detto **coefficiente direttore**. > * Per convenzione, il grado del polinomio nullo è $-\infty$. @@ -92,7 +92,7 @@ Questa seconda proprietà diventa un'uguaglianza in un caso molto importante. ### Teorema: Additività dei Gradi (DIM) -> [!info] Teorema dei Gradi +> [!NOTE] Teorema dei Gradi > Siano $f(x), g(x) \in A[x]$. > 1. $\text{gr}(f \cdot g) \le \text{gr}(f) + \text{gr}(g)$ > 2. Se $A$ è un **dominio di integrità**, allora vale l'uguaglianza: @@ -118,7 +118,7 @@ Questa seconda proprietà diventa un'uguaglianza in un caso molto importante. $$ **Q.E.D.** (Quod Erat Demonstrandum - Come Volevasi Dimostrare) -> [!warning] Cosa succede se A non è un dominio di integrità? +> [!WARNING] Cosa succede se A non è un dominio di integrità? > Prendiamo l'anello $\mathbb{Z}_6[x]$. $\mathbb{Z}_6$ non è un dominio perché $\bar{2} \cdot \bar{3} = \bar{6} = \bar{0}$. > * $f(x) = \bar{5} + \bar{2}x$ (grado 1) > * $g(x) = \bar{1} + \bar{3}x$ (grado 1) @@ -133,7 +133,7 @@ Questa seconda proprietà diventa un'uguaglianza in un caso molto importante. ### Unità in A[x] -> [!info] Teorema sulle Unità +> [!IMPORTANT] Teorema sulle Unità > Se $A$ è un **dominio di integrità**, allora le unità dell'anello dei polinomi $A[x]$ sono esattamente le unità dell'anello dei coefficienti $A$. > $$ > \mathcal{U}(A[x]) = \mathcal{U}(A) @@ -143,7 +143,7 @@ Questa seconda proprietà diventa un'uguaglianza in un caso molto importante. ### Elementi Associati -> [!info] Definizione: Elementi Associati +> [!NOTE] Definizione: Elementi Associati > Due polinomi $f(x)$ e $g(x)$ si dicono **associati** (e si scrive $f \sim g$) se esiste un'unità $c \in \mathcal{U}(A[x])$ tale che: > $$ > f(x) = c \cdot g(x) @@ -153,16 +153,16 @@ Questa seconda proprietà diventa un'uguaglianza in un caso molto importante. ### Polinomi Monici -> [!tip] Definizione: Polinomio Monico +> [!TIP] Definizione: Polinomio Monico > Un polinomio si dice **monico** se il suo coefficiente direttore è **1**. -> [!example] Esempi di Polinomi Monici +> [!EXAMPLE] Esempi di Polinomi Monici > * $x^2 - 3x + 5$ è monico. > * $2x^3 + x - 1$ **non** è monico. **Il Superpotere dei Polinomi Monici:** Se il coefficiente direttore di un polinomio $f(x)$ è un'unità, allora $f(x)$ è associato a un **unico** polinomio monico. Basta moltiplicare $f(x)$ per l'inverso del suo coefficiente direttore! -> [!question] Esercizio Guidato +> [!QUESTION] Esercizio Guidato > Verificare se in $\mathbb{Z}_{42}[x]$ il polinomio $f(x) = \overline{25}x^3 + \overline{7}x - \overline{2}$ è associato a un polinomio monico. > 1. **Domanda:** Il coefficiente direttore, $\overline{25}$, è un'unità in $\mathbb{Z}_{42}$? > 2. **Controllo:** Un elemento $\bar{a}$ è invertibile in $\mathbb{Z}_n$ se e solo se $\text{MCD}(a, n) = 1$. @@ -192,7 +192,7 @@ Proprio come per i numeri interi, possiamo fare la divisione con resto anche per ### Teorema: Divisione Euclidea tra Polinomi (DIM) -> [!info] Teorema della Divisione +> [!NOTE] Teorema della Divisione > Siano $f(x), g(x) \in A[x]$, con $g(x) \neq 0$. Se il **coefficiente direttore di $g(x)$ è un'unità** in $A$, allora esistono e sono **unici** due polinomi $q(x)$ (quoziente) e $r(x)$ (resto) tali che: > $$ > f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x) @@ -230,7 +230,7 @@ La dimostrazione si fa per **induzione sul grado di $f(x)$**. $$ * Abbiamo trovato il nostro quoziente $q(x)$ e il nostro resto $r(x)$, e il resto ha il grado giusto. L'esistenza è provata. -> [!example] Esempio di Divisione +> [!EXAMPLE] Esempio di Divisione > Dividiamo $f(x) = 2x^3 + 7x^2 - 5x + 3$ per $g(x) = x-1$ in $\mathbb{Q}[x]$. > ``` > 2x^2 + 9x + 4 <-- q(x) @@ -261,12 +261,12 @@ $$ \tilde{f}(c) = a_0 + a_1c + a_2c^2 + \dots + a_nc^n $$ -> [!info] Definizione: Radice (o Zero) +> [!IMPORTANT] Definizione: Radice (o Zero) > Un elemento $c \in A$ è una **radice** (o **zero**) del polinomio $f(x)$ se $\tilde{f}(c) = 0$. ### Lemma del Resto (DIM) -> [!info] Lemma del Resto +> [!NOTE] Lemma del Resto > Il resto della divisione di un polinomio $f(x)$ per un binomio $(x-c)$ è uguale al valore che il polinomio assume in $c$, cioè $\tilde{f}(c)$. > $$ > \text{rest}(f(x), x-c) = \tilde{f}(c) @@ -296,7 +296,7 @@ $$ ### Teorema di Ruffini (DIM) -> [!info] Teorema di Ruffini +> [!NOTE] Teorema di Ruffini > Un elemento $c \in A$ è una radice di $f(x)$ se e solo se il polinomio $(x-c)$ divide $f(x)$. > $$ > \tilde{f}(c) = 0 \iff (x-c) \mid f(x) @@ -310,7 +310,7 @@ $$ ### Teorema di Ruffini Generalizzato -> [!info] Teorema di Ruffini Generalizzato +> [!NOTE] Teorema di Ruffini Generalizzato > Se $A$ è un **dominio di integrità** e $c_1, c_2, \dots, c_k$ sono $k$ radici **distinte** di $f(x)$, allora il prodotto $(x-c_1)(x-c_2)\dots(x-c_k)$ divide $f(x)$. --- @@ -319,13 +319,13 @@ $$ #tag/funzioni -> [!question] Se due polinomi generano la stessa funzione, sono per forza lo stesso polinomio? +> [!QUESTION] Se due polinomi generano la stessa funzione, sono per forza lo stesso polinomio? La risposta, sorprendentemente, è... **dipende dall'anello A!** ### Teorema: Identità dei Polinomi (DIM) -> [!info] Teorema sull'Identità dei Polinomi +> [!NOTE] Teorema sull'Identità dei Polinomi > Siano $f(x), g(x) \in A[x]$ dove $(A, +, \cdot)$ è un **campo**. > 1. Se $A$ è un **campo infinito** (come $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$), allora: > $$ @@ -339,7 +339,7 @@ La risposta, sorprendentemente, è... **dipende dall'anello A!** * **Caso Infinito:** Se $\tilde{f} = \tilde{g}$, allora il polinomio differenza $h(x) = f(x) - g(x)$ ha la proprietà che $\tilde{h}(c) = 0$ per ogni $c \in A$. Ma un polinomio non nullo può avere solo un numero finito di radici (al massimo il suo grado). Poiché $A$ è infinito, l'unico modo per avere infinite radici è che il polinomio $h(x)$ sia il polinomio nullo. Se $h(x)=0$, allora $f(x)=g(x)$. * **Caso Finito:** Se $\tilde{f} = \tilde{g}$, allora il polinomio differenza $h(x) = f(x) - g(x)$ ha come radici tutti gli $m$ elementi del campo $A$. Per il Teorema di Ruffini Generalizzato, il prodotto $(x-c_1)\dots(x-c_m)$ deve dividere $h(x)$. Si può dimostrare che questo prodotto è esattamente il "polinomio fondamentale" $x^m - x$. -> [!example] Esempio in un Campo Finito +> [!EXAMPLE] Esempio in un Campo Finito > In $\mathbb{Z}_3[x]$, consideriamo $f(x) = x^3+1$ e $g(x) = x+1$. > * $f \neq g$ come polinomi formali. > * Valutiamo le funzioni $\tilde{f}$ e $\tilde{g}$: @@ -360,23 +360,23 @@ La risposta, sorprendentemente, è... **dipende dall'anello A!** Questi concetti sono l'analogo dei numeri primi per i polinomi. -> [!info] Definizione: Polinomio Irriducibile +> [!IMPORTANT] Definizione: Polinomio Irriducibile > Un polinomio non costante $f(x) \in A[x]$ si dice **irriducibile** su $A$ se non può essere scritto come prodotto di due polinomi non costanti di grado inferiore. > Formalmente, se $f(x) = g(x) \cdot h(x)$, allora o $g(x)$ o $h(x)$ deve essere un'unità (cioè un polinomio costante invertibile). **Spiegazione Semplice:** Un polinomio è irriducibile se non puoi "spezzarlo" in polinomi più semplici. È un "atomo" polinomiale. Se è possibile spezzarlo, si dice **riducibile**. -> [!tip] Irriducibilità e Radici +> [!TIP] Irriducibilità e Radici > Se un polinomio $f(x)$ di grado 2 o 3 **ha una radice** in un campo $A$, allora è **riducibile** su $A$. > **Perché?** Se $c$ è una radice, per Ruffini $(x-c)$ divide $f(x)$. Quindi $f(x) = (x-c) \cdot q(x)$. Poiché $\text{gr}(f) > 1$, anche $q(x)$ non sarà costante. Abbiamo spezzato $f(x)$! > -> > [!warning] Attenzione! +> > [!WARNING] Attenzione! > > Il viceversa non è sempre vero! Un polinomio può essere riducibile anche senza avere radici. > > Esempio: $f(x) = (x^2+1)^2$ in $\mathbb{R}[x]$ non ha radici reali, ma è chiaramente riducibile. ### Proposizione: Irriducibilità per gradi 2 e 3 (DIM) -> [!info] Proposizione +> [!NOTE] Proposizione > Sia $A$ un **campo** e $f(x) \in A[x]$ un polinomio di grado 2 o 3. Allora: > $$ > f(x) \text{ è irriducibile} \iff f(x) \text{ non ha radici in } A @@ -409,7 +409,7 @@ Ogni intero $a \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 1, -1\}$ è un numero primo oppure ### Teorema di Fattorizzazione Unica per Polinomi (DIM) -> [!info] Teorema di Fattorizzazione Unica +> [!NOTE] Teorema di Fattorizzazione Unica > Sia $A$ un **campo**. Ogni polinomio non costante $f(x) \in A[x]$ è irriducibile oppure può essere scritto in modo **unico** (a meno dell'ordine e di fattori associati) come prodotto di polinomi irriducibili. #### Dimostrazione (Cenno) @@ -426,7 +426,7 @@ La dimostrazione è molto simile a quella per i numeri interi e si basa su due p ## Punti Chiave della Lezione -> [!tip] Riepilogo Super-Sintetico +> [!TIP] Riepilogo Super-Sintetico > * I **polinomi** formano un anello $A[x]$ con le operazioni di somma e prodotto. > * Il **grado** è l'esponente più alto. Se i coefficienti sono in un **dominio di integrità**, il grado del prodotto è la somma dei gradi. > * La **divisione con resto** è possibile se il coefficiente direttore del divisore è un'unità. @@ -438,7 +438,7 @@ La dimostrazione è molto simile a quella per i numeri interi e si basa su due p ## Domande per la Riflessione -> [!question] Mettiti alla Prova! +> [!QUESTION] Mettiti alla Prova! > 1. Perché è così importante che l'anello dei coefficienti $A$ sia un dominio di integrità per il teorema dei gradi? Cosa "si rompe" se non lo è? > 2. Prendi il polinomio $f(x) = x^2 + 1$. È irriducibile su $\mathbb{R}[x]$? E su $\mathbb{C}[x]$? (Suggerimento: cerca le radici!) > 3. Sai spiegare a parole tue la differenza tra un polinomio *formale* $f(x)$ e la sua *funzione* associata $\tilde{f}$? Perché questa distinzione è importante nei campi finiti? \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 3.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 3.md" index f152d93..cb77c27 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 3.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 3.md" @@ -15,7 +15,7 @@ Vediamo come negare formule più complesse e analizziamo qualche altra tautologi * Quindi, $\neg (p \implies q) \iff \neg (\neg p \lor q)$. * Applicando De Morgan: $\neg (\neg p \lor q) \iff (\neg (\neg p) \land \neg q)$. * Applicando la doppia negazione: $(\neg (\neg p) \land \neg q) \iff (p \land \neg q)$. - > [!info] Regola di Negazione dell'Implicazione: + > [!IMPORTANT] Regola di Negazione dell'Implicazione: > $$ \neg (p \implies q) \iff p \land \neg q $$ > **Spiegazione:** Negare "Se piove allora prendo l'ombrello" significa affermare che "Piove E non prendo l'ombrello". È l'unico caso che rende falsa l'implicazione originale. * [[Negazione Implicazione]] @@ -59,7 +59,7 @@ Vediamo come negare formule più complesse e analizziamo qualche altra tautologi * **Esercizio 8 (Pag 1):** L'equivalenza $((p \implies q) \implies (q \implies r \land s)) \iff ((\neg q) \lor (r \land s))$ è una tautologia? * Analizziamo il lato sinistro: $(p \implies q) \implies (q \implies (r \land s))$ * Questo **NON** sembra una tautologia standard o facilmente riconducibile. Potrebbe essere un errore di trascrizione o un'affermazione da verificare con una tavola di verità (che sarebbe molto lunga!). Sembra improbabile che sia una tautologia generale senza ulteriori condizioni su p, q, r, s. La nota "è tautologia?" suggerisce che sia una domanda, non un'affermazione. - > [!question] Verifica: Questa equivalenza è corretta o era una domanda da verificare? A prima vista non sembra una tautologia standard. + > [!QUESTION] Verifica: Questa equivalenza è corretta o era una domanda da verificare? A prima vista non sembra una tautologia standard. --- @@ -67,7 +67,7 @@ Vediamo come negare formule più complesse e analizziamo qualche altra tautologi ### 2.1 Errore Comune sull'Iniettività (Pag 2) -> [!warning] Attenzione a non confondere la definizione di funzione con quella di iniettività! +> [!WARNING] Attenzione a non confondere la definizione di funzione con quella di iniettività! > * Per **definizione di funzione**, se prendi lo stesso input $x$, otterrai sempre lo stesso output $f(x)$. Quindi, l'implicazione $x = y \implies f(x) = f(y)$ è **SEMPRE VERA** per qualsiasi funzione. > * La **definizione di iniettività** richiede l'implicazione inversa: $f(x) = f(y) \implies x = y$. Questo **NON** è vero per tutte le funzioni, ma solo per quelle iniettive. @@ -76,7 +76,7 @@ Vediamo come negare formule più complesse e analizziamo qualche altra tautologi Sia $f: A \to B$ una funzione e $X \subseteq A$. * $\vec{f}(\emptyset) = \emptyset$. (L'immagine del vuoto è vuota). * Se $X \neq \emptyset$, è possibile che $\vec{f}(X) \neq \emptyset$? **Sì, sempre!** Se $X$ contiene almeno un elemento $x$, allora $\vec{f}(X)$ contiene almeno $f(x)$, quindi non è vuoto. - > [!info] La nota $\vec{f}(X) \neq \emptyset$ nella pagina 3 sembra ridondante se $X \neq \emptyset$. Forse si intendeva qualcos'altro? + > [!NOTE] La nota $\vec{f}(X) \neq \emptyset$ nella pagina 3 sembra ridondante se $X \neq \emptyset$. Forse si intendeva qualcos'altro? * $\vec{f}(A)$ è l'**immagine dell'intera funzione**, spesso denotata $Im(f)$. * In generale, $\vec{f}(A) \subseteq B$. * $\vec{f}(A) = B$ se e solo se $f$ è **suriettiva**. (Lo vedremo meglio tra poco). @@ -113,7 +113,7 @@ Un'altra proprietà fondamentale delle funzioni. 2. Tramite Controimmagine di Singleton: $f$ è suriettiva $\iff \forall b \in B, \overleftarrow{f}(\{b\}) \neq \emptyset$. (La controimmagine di ogni singolo elemento del codominio non è mai vuota). 3. Tramite Controimmagine di Sottoinsiemi Non Vuoti: $f$ è suriettiva $\iff \forall C \subseteq B \text{ con } C \neq \emptyset, \text{ si ha } \overleftarrow{f}(C) \neq \emptyset$. (Se prendi un qualsiasi sottoinsieme non vuoto del codominio, ci deve essere almeno un elemento nel dominio la cui immagine cade in quel sottoinsieme). -> [!tip] Per dimostrare che $f$ è suriettiva, prendi un generico $b \in B$ e dimostra che esiste un $a \in A$ (spesso trovando una formula per $a$ in termini di $b$) tale che $f(a)=b$. +> [!TIP] Per dimostrare che $f$ è suriettiva, prendi un generico $b \in B$ e dimostra che esiste un $a \in A$ (spesso trovando una formula per $a$ in termini di $b$) tale che $f(a)=b$. > Per dimostrare che $f$ NON è suriettiva, trova uno specifico $b \in B$ per cui non esiste nessun $a \in A$ tale che $f(a)=b$. [[Funzione Suriettiva]] @@ -237,7 +237,7 @@ Due funzioni $f$ e $g$ sono **uguali** ($f=g$) se e solo se soddisfano **tutte e --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 3 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 3 > * Abbiamo praticato la **negazione** di formule logiche complesse (implicazioni, quantificatori). > * Abbiamo chiarito un **errore comune sull'iniettività**. > * Abbiamo esplorato le **proprietà dell'immagine e della controimmagine**, collegandole alla suriettività. @@ -248,7 +248,7 @@ Due funzioni $f$ e $g$ sono **uguali** ($f=g$) se e solo se soddisfano **tutte e > * Abbiamo definito la **restrizione** $f|_C$ e il **prolungamento** di funzioni, vedendo come si rapportano all'iniettività. > * Abbiamo definito la **funzione identità** $id_A$. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Assicurati di saper distinguere bene tra iniettività e suriettività e di conoscere le loro definizioni e caratterizzazioni. > * Prova a creare tu degli esempi di funzioni e a determinarne iniettività e suriettività. > * Rifletti: una funzione può essere sia iniettiva che suriettiva? (Sì, si chiama biettiva!). Può non essere nessuna delle due? (Sì!). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 4.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 4.md" index 7b23a81..425d4ff 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 4.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 4.md" @@ -25,7 +25,7 @@ * $\{\{a\}\} \in P(S)$ (l'insieme contenente l'elemento {a} è un sottoinsieme di S, quindi è un elemento di P(S)) * $\{\{a\}\} \subseteq P(S)$ (questo è vero perché l'unico elemento di $\{\{a\}\}$, cioè $\{a\}$, è anche un elemento di $P(S)$). -> [!warning] Fai molta attenzione alla differenza tra $x$ e $\{x\}$ e tra $\in$ e $\subseteq$, specialmente con $P(S)$! +> [!WARNING] Fai molta attenzione alla differenza tra $x$ e $\{x\}$ e tra $\in$ e $\subseteq$, specialmente con $P(S)$! [[Insieme delle Parti]] @@ -62,7 +62,7 @@ Ricordiamo la definizione: Una **partizione** di $S \neq \emptyset$ è una famig * $\mathcal{H} = \{A, E, F, G\}$ **NON è una partizione** perché $A \cap E = \emptyset$, $A \cap F = \emptyset$, $A \cap G = \emptyset$, $E \cap F = \emptyset$, ecc. MA $A \cup E \cup F \cup G = \mathbb{Z}$. Tutti gli elementi sono non vuoti. Tutti disgiunti? No, $A$ contiene $2, -2$, ecc. $E=\{1\}$, $F=\{-1\}$, $G=\{0\}$. Sembra che $A = \mathbb{Z} \setminus \{-1, 0, 1\}$. In questo caso, $A, E, F, G$ sono disgiunti, non vuoti e la loro unione è $\mathbb{Z}$. **SÌ, $\mathcal{H}$ è una partizione.** * La nota originale $\{A, C\}$ con $A=\{a | a^2>1\}$ e $C=\{a | a^2 \le 1\}$ **è una partizione** se interpretiamo $A = \mathbb{Z} \setminus \{-1, 0, 1\}$ e $C = \{-1, 0, 1\}$. I pezzi sono non vuoti, disgiunti e la loro unione è $\mathbb{Z}$. -> [!warning] L'insieme vuoto $\emptyset$ e l'insieme totale $S$ **non** sono MAI partizioni di $S$ (se $|S|>1$). $\emptyset$ non è una famiglia di sottoinsiemi non vuoti. $\{S\}$ è una partizione (banale), ma $S$ da solo non è una famiglia di sottoinsiemi. +> [!CAUTION] L'insieme vuoto $\emptyset$ e l'insieme totale $S$ **non** sono MAI partizioni di $S$ (se $|S|>1$). $\emptyset$ non è una famiglia di sottoinsiemi non vuoti. $\{S\}$ è una partizione (banale), ma $S$ da solo non è una famiglia di sottoinsiemi. [[Partizione di un insieme]] @@ -121,7 +121,7 @@ Come combinare due funzioni in sequenza. 2. Poiché $f(x)$ appartiene anche a $C$ (per l'ipotesi $\vec{f}(A) \subseteq C$), puoi applicare $g$ a $f(x)$. 3. Il risultato è $g(f(x)) \in D$. -> [!warning] L'ordine è importante! $g \circ f$ significa: prima applichi $f$, poi applichi $g$. Il dominio della composizione è il dominio della *prima* funzione applicata ($f$). Il codominio della composizione è il codominio della *seconda* funzione applicata ($g$). La condizione $\vec{f}(A) \subseteq C$ è essenziale perché l'output di $f$ deve essere un input valido per $g$. +> [!WARNING] L'ordine è importante! $g \circ f$ significa: prima applichi $f$, poi applichi $g$. Il dominio della composizione è il dominio della *prima* funzione applicata ($f$). Il codominio della composizione è il codominio della *seconda* funzione applicata ($g$). La condizione $\vec{f}(A) \subseteq C$ è essenziale perché l'output di $f$ deve essere un input valido per $g$. * **Esempio 1 (Pag 14):** * $S = \{x \subseteq{Z} \mid x ≠ \emptyset \text{ e finito}\}$? Sembra una definizione strana. Forse $S = P_{fin}(\mathbb{Z}) \setminus \{\emptyset\}$ (sottoinsiemi finiti non vuoti di $\mathbb{Z}$). @@ -177,7 +177,7 @@ Quando una funzione può essere "annullata" da un'altra. 1. $f^{-1} \circ f = id_A$ (Comporre $f$ e poi $f^{-1}$ riporta all'identità sul dominio originale A). 2. $f \circ f^{-1} = id_B$ (Comporre $f^{-1}$ e poi $f$ riporta all'identità sul codominio originale B). -> [!info] Teorema Fondamentale: Invertibilità e Biettività (Pag 19) +> [!theorem] Teorema Fondamentale: Invertibilità e Biettività (Pag 19) > Una funzione $f: A \to B$ è **completamente invertibile se e solo se è biettiva**. > > * **Costruzione dell'Inversa:** Se $f$ è biettiva, la sua inversa $f^{-1}: B \to A$ è definita associando a ogni $b \in B$ l'**unico** elemento $a \in A$ tale che $f(a)=b$. L'esistenza e unicità di tale $a$ è garantita dalla biettività di $f$ (poiché $|\overleftarrow{f}(\{b\})|=1$ per ogni $b \in B$). @@ -298,7 +298,7 @@ Introduciamo i concetti base dell'algebra. * $\overleftarrow{f}(\mathcal{P}(S) \times \mathcal{P}(S))$ --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 4 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 4 > * Abbiamo chiarito la distinzione tra $\in$ e $\subseteq$ in relazione a $P(S)$. > * Abbiamo rivisto la definizione di **partizione** con esempi. > * Abbiamo definito la **funzione biettiva** (iniettiva + suriettiva) e la sua caratterizzazione tramite controimmagine di singleton. @@ -309,6 +309,6 @@ Introduciamo i concetti base dell'algebra. > * Abbiamo definito le **strutture algebriche**. > * Abbiamo definito la **proprietà associativa**. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Prova a svolgere gli esercizi proposti. Sono ottimi per consolidare i concetti di iniettività, suriettività, immagine e controimmagine. > * Rifletti sulle diverse strutture algebriche menzionate. Quali proprietà (oltre all'associatività) potrebbero avere le loro operazioni (es. commutatività, elemento neutro, inverso)? Questo ci porterà ai gruppi! \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 5.md" index 4584453..701f954 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 5.md" @@ -108,7 +108,7 @@ Esistono concetti più deboli di invertibilità: * $g: B \to A$ è **inversa sinistra** di $f: A \to B$ se $g \circ f = id_A$. Si può dimostrare che $f$ ammette inversa sinistra $\iff$ $f$ è **iniettiva**. L'inversa sinistra, se esiste, non è necessariamente unica. * $h: B \to A$ è **inversa destra** di $f: A \to B$ se $f \circ h = id_B$. Si può dimostrare che $f$ ammette inversa destra $\iff$ $f$ è **suriettiva**. L'inversa destra, se esiste, non è necessariamente unica. -> [!info] Una funzione è invertibile (cioè ha un'inversa "bilatera") se e solo se è **biettiva**, e in tal caso l'inversa è unica. L'esistenza di solo una delle due (sinistra o destra) è legata solo all'iniettività o solo alla suriettività. +> [!IMPORTANT] Una funzione è invertibile (cioè ha un'inversa "bilatera") se e solo se è **biettiva**, e in tal caso l'inversa è unica. L'esistenza di solo una delle due (sinistra o destra) è legata solo all'iniettività o solo alla suriettività. * Esempio (Pag 11): $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ con $f(x)=2x+1$. * Iniettiva? $2x+1=2y+1 \implies 2x=2y \implies x=y$. **SÌ**. @@ -214,7 +214,7 @@ Sia $(S, *)$ un semigruppo (o anche solo una struttura con operazione binaria). --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 5 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 5 > * La composizione di funzioni **non è commutativa** ma **è associativa**. > * Una funzione è **invertibile se e solo se è biettiva**, e l'inversa è **unica**. > * L'esistenza di inverse sinistre/destre è legata all'iniettività/suriettività. @@ -223,6 +223,6 @@ Sia $(S, *)$ un semigruppo (o anche solo una struttura con operazione binaria). > * L'**elemento neutro**, se esiste in un semigruppo, è unico. > * Un **monoide** è un semigruppo con elemento neutro. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Prova a svolgere gli esercizi proposti sulla biettività/inversa e sull'associatività. Sono fondamentali per prendere confidenza. > * Il prossimo passo logico in algebra è introdurre l'ultimo ingrediente per i gruppi: l'**elemento inverso**. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 6.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 6.md" index 8096f10..faa1115 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 6.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 6.md" @@ -50,7 +50,7 @@ * $d_{11} = (\text{riga 1 di B}) \cdot (\text{colonna 1 di A}) = (7 \cdot 1) + (8 \cdot 4) = 7 + 32 = 39$ * $d_{12} = (\text{riga 1 di B}) \cdot (\text{colonna 2 di A}) = (7 \cdot 2) + (8 \cdot 5) = 14 + 40 = 54$ * ... e così via. - > [!info] Si vede subito che $A \cdot B \neq B \cdot A$ (non sono nemmeno delle stesse dimensioni in questo caso!). Il prodotto tra matrici **non è commutativo**. + > [!IMPORTANT] Si vede subito che $A \cdot B \neq B \cdot A$ (non sono nemmeno delle stesse dimensioni in questo caso!). Il prodotto tra matrici **non è commutativo**. * **Matrici Quadrate e Monoide (Pag 6):** Consideriamo l'insieme delle matrici quadrate $n \times n$ a coefficienti reali, $M_{n,n}(\mathbb{R})$ o $M_n(\mathbb{R})$. * Il prodotto tra matrici è un'operazione binaria interna su $M_n(\mathbb{R})$. @@ -259,7 +259,7 @@ La struttura algebrica fondamentale. --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 6 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 6 > * Abbiamo visto che l'esponenziazione non è associativa. > * Abbiamo definito e praticato il **prodotto tra matrici**, notando che è associativo ma non commutativo, e che $(M_n(\mathbb{R}), \cdot, I_n)$ è un monoide. > * Abbiamo definito i **monoidi commutativi**. @@ -270,7 +270,7 @@ La struttura algebrica fondamentale. > * Abbiamo finalmente definito la struttura di **Gruppo** (associatività, neutro, inverso per tutti gli elementi) e di **Gruppo Abeliano** (gruppo con operazione commutativa). > * Abbiamo visto numerosi esempi di gruppi e monoidi. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Assicurati di aver ben compreso la definizione di Gruppo e le sue proprietà costitutive. > * Rivedi gli esempi di gruppi e monoidi, cercando di capire perché alcuni lo sono e altri no. > * Il prossimo passo sarà esplorare le proprietà fondamentali dei gruppi e introdurre i sottogruppi. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 7.md" index 1dd7e9a..385161d 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 7.md" @@ -240,7 +240,7 @@ Concetto specifico degli anelli $(A, +, \cdot)$. --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 7 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 7 > * Abbiamo rivisto la definizione di **Gruppo** e classificato esempi comuni. > * Abbiamo visto come calcolare l'**inversa di una matrice 2x2**. > * Abbiamo analizzato in dettaglio due **strutture algebriche** verificando associatività, commutatività, neutro e invertibili. @@ -251,7 +251,7 @@ Concetto specifico degli anelli $(A, +, \cdot)$. > * Abbiamo definito gli **elementi cancellabili** e visto che invertibile $\implies$ cancellabile. > * Abbiamo definito i **divisori dello zero** in un anello e visto che $a \neq 0$ è divisore dello zero $\iff$ $a$ non è cancellabile (rispetto a $\cdot$). -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Assicurati di aver compreso la definizione di Anello e le sue proprietà. > * Rifletti sulla differenza tra cancellabilità e invertibilità. > * Il prossimo passo potrebbe essere l'introduzione di Domini di Integrità e Campi, che sono anelli con proprietà aggiuntive legate ai divisori dello zero e agli inversi moltiplicativi. \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8 Alt.Vers..md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8 Alt.Vers..md" index 5021aa7..f6c49a5 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8 Alt.Vers..md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8 Alt.Vers..md" @@ -85,28 +85,28 @@ Sia $(S, *)$ una struttura con operazione binaria. Un elemento $a \in S$ è: ## 3. Esercizi Proposti (come da note e suggerimento) -> [!example] Esercizio 1 (Pag 13 - Verifica Associatività) +> [!EXERCISE] Esercizio 1 (Pag 13 - Verifica Associatività) > Verificare se vale o meno l'associatività per le seguenti operazioni su $\mathbb{Z}$: > 1. $a * b = a + |b|$ > 2. $a \perp b = |a| + |b|$ > 3. $a \circ b = |a + b|$ > 4. $a \star b = -|a \cdot b|$ -> [!example] Esercizio 2 (Pag 14 - Divisori Zero in $\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}$) +> [!EXERCISE] Esercizio 2 (Pag 14 - Divisori Zero in $\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}$) > Determinare gli eventuali divisori dello zero nell'anello $(\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}, +, \cdot)$, dove $+$ e $\cdot$ sono definiti puntualmente: $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$ e $(f \cdot g)(x) = f(x)g(x)$. L'elemento neutro additivo è la funzione costante $cost_0(x)=0$. > *Suggerimento: Una funzione $f \neq cost_0$ è divisore dello zero se esiste $g \neq cost_0$ tale che $f \cdot g = cost_0$. Cosa significa $f(x)g(x)=0$ per ogni $x$?* -> [!example] Esercizio 3 (Pag 15 - Stabilità Funzioni Costanti) +> [!EXERCISE] Esercizio 3 (Pag 15 - Stabilità Funzioni Costanti) > Sia $T = \{ f \in \mathbb{Z}^{\mathbb{Z}} \mid f \text{ è costante} \}$. Verificare che $T$ è stabile (chiuso) rispetto a $+$ e $\cdot$ in $\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}$. È un sottoanello? -> [!example] Esercizio 4 (Pag 15 - Studio Struttura $\mathbb{Z}$) +> [!EXERCISE] Esercizio 4 (Pag 15 - Studio Struttura $\mathbb{Z}$) > Studiare la struttura $(\mathbb{Z}, *)$ dove $a * b = a + b + 4ab$. > * Verificare associatività e commutatività. > * Cercare l'eventuale elemento neutro. > * Determinare gli eventuali elementi invertibili (simmetrici). > * È un monoide? È un gruppo? -> [!example] Esercizio 5 (Pag 16-18 - Studio Struttura $\mathbb{Q}^2$) +> [!EXERCISE] Esercizio 5 (Pag 16-18 - Studio Struttura $\mathbb{Q}^2$) > Studiare la struttura $(\mathbb{Q}^2, *)$ dove $(x_1, x_2) * (y_1, y_2) = (x_1y_1 + x_2y_2, 3x_2y_2)$. > * Verificare se vale la proprietà associativa. > * Verificare se è commutativa. @@ -115,7 +115,7 @@ Sia $(S, *)$ una struttura con operazione binaria. Un elemento $a \in S$ è: > * È un semigruppo? Monoide? Gruppo? > * Considerare la stabilità del sottoinsieme $T = \mathbb{Q} \times \{0\}$. -> [!example] Esercizio 6 (Pag 19-20 - Studio Struttura $\mathbb{Q}^3$ e Anello) +> [!EXERCISE] Esercizio 6 (Pag 19-20 - Studio Struttura $\mathbb{Q}^3$ e Anello) > Studiare la struttura $(\mathbb{Q}^3, *)$ dove $(x_1, x_2, x_3) * (y_1, y_2, y_3) = (x_1y_1, x_2y_1 + x_3y_2, x_3y_3)$. > * Verificare se è associativa. > * Verificare se è commutativa. @@ -131,14 +131,14 @@ Sia $(S, *)$ una struttura con operazione binaria. Un elemento $a \in S$ è: > * $(Y + Z) * X = (Y * X) + (Z * X)$ ? > (dove $X=(x_1,x_2,x_3)$, $Y=(y_1,y_2,y_3)$, $Z=(z_1,z_2,z_3)$). -> [!example] Esercizio 7 (Pag 21 - Stabilità Sottoinsiemi $\mathbb{Z}$) +> [!EXERCISE] Esercizio 7 (Pag 21 - Stabilità Sottoinsiemi $\mathbb{Z}$) > Nella struttura $(\mathbb{Z}, *)$ con $a * b = a|b|$, verificare quali dei seguenti sottoinsiemi sono stabili: > * $P = \{ 2n \mid n \in \mathbb{Z} \}$ (Pari) > * $D = \{ 2n+1 \mid n \in \mathbb{Z} \}$ (Dispari) > * $S = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n < 0 \}$ (Negativi) > * $L = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n > 0 \}$ (Positivi) -> [!example] Esercizio 8 (Pag 22 - Studio Strutture $\mathbb{Z}$) +> [!EXERCISE] Esercizio 8 (Pag 22 - Studio Strutture $\mathbb{Z}$) > Studiare le strutture $(\mathbb{Z}, \perp)$ con $a \perp b = 2ab - a - b$ e $(\mathbb{Z}, \circ)$ con $a \circ b = a + b + 2ab$. > * Verificare associatività, commutatività. > * Cercare elemento neutro. @@ -276,7 +276,7 @@ Un esempio importante di gruppo non abeliano. --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 8 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 8 > * Abbiamo rivisto la **cancellabilità** e la sua relazione (non equivalenza) con l'invertibilità. > * Abbiamo definito la notazione per **multipli additivi e potenze moltiplicative** in anelli. > * Abbiamo dimostrato che $a \cdot 0_A = 0_A$. @@ -288,7 +288,7 @@ Un esempio importante di gruppo non abeliano. > * Abbiamo introdotto il **Gruppo Simmetrico $S_n$** (permutazioni), la notazione ciclica, la decomposizione in cicli disgiunti e il calcolo dell'inversa. > * Sono stati proposti numerosi **esercizi** per praticare questi concetti. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Prova a svolgere gli esercizi proposti, in particolare quelli sullo studio delle strutture e sulla verifica delle proprietà (anello, associatività, commutatività, neutro, inversi, divisori dello zero). > * Familiarizza con la notazione ciclica delle permutazioni. > * Il prossimo passo potrebbe essere approfondire le proprietà dei gruppi (sottogruppi, teorema di Lagrange) o degli anelli (ideali, anelli quoziente). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8.md" index 7c6f604..c05a5a4 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 8.md" @@ -105,7 +105,7 @@ ## 4. Esercizi e Strutture Algebriche Varie -> [!example] Esercizi per Casa (Associatività) +> [!EXERCISE] Esercizi per Casa (Associatività) > Verificare se l'operazione binaria $\star$ è associativa nei seguenti casi (controllare se $(a \star b) \star c = a \star (b \star c)$ per ogni $a, b, c$): > > 1. $(\mathbb{Z}, *)$ con $a * b = a + |b|$ @@ -128,7 +128,7 @@ * $T$ è **chiuso** rispetto a $+$ e $\cdot$ (somma/prodotto di costanti è costante). * $(T, +, \cdot)$ è un sottoanello, isomorfo a $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$. -> [!example] Esercizio per Casa (Struttura Algebrica) +> [!EXERCISE] Esercizio per Casa (Struttura Algebrica) > Studia la struttura $(\mathbb{Z}, *)$ dove: > $$ a * b = a + b + 4ab $$ > Verifica: @@ -191,7 +191,7 @@ * $g((x_1, x_2) + (y_1, y_2)) = g(x_1+y_1, x_2+y_2) = \begin{pmatrix} x_1+y_1 & x_2+y_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. * $g(x_1, x_2) + g(y_1, y_2) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+y_1 & x_2+y_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. **SÌ, è omomorfismo.** -> [!example] Esercizi per Casa (Operazioni e Omomorfismi) +> [!EXERCISE] Esercizi per Casa (Operazioni e Omomorfismi) > Definisci le seguenti operazioni su $\mathbb{Z}$: > * $a \perp b = 2ab - a - b$ > * $a \circ b = a + b + 2ab$ @@ -266,7 +266,7 @@ --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 8 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 8 > * Definito **Semigruppo** e **Elemento Cancellabile**, con esempi. > * Definito **Monoide** e **Elemento Invertibile**, visto che Invertibile $\implies$ Cancellabile (ma non viceversa). > * Richiamato **Anello** e definito **Divisori dello Zero**, collegandoli alla non-cancellabilità. @@ -275,7 +275,7 @@ > * Definizioni rapide di **Dominio Integrità**, **Corpo**, **Campo**, **Spazio Vettoriale**. > * Introdotto il **Gruppo Simmetrico $S_n$** (permutazioni), la **notazione ciclica**, il teorema di **decomposizione in cicli disgiunti** e il calcolo dell'**inversa**. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Assicurati di saper distinguere Semigruppo, Monoide, Gruppo, Anello, Dominio, Campo. > * Esercitati con la cancellabilità e i divisori dello zero. > * Prendi confidenza con la notazione ciclica delle permutazioni e la loro composizione/inversione. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 9.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 9.md" index 7a5b139..7b7899b 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 9.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Lezione 9.md" @@ -217,7 +217,7 @@ Torniamo alle relazioni, ma ora definite su un singolo insieme $A$. --- -> [!abstract] Riepilogo Veloce Lezione 9 +> [!SUMMARY] Riepilogo Veloce Lezione 9 > * Le **Tavole di Cayley** aiutano a visualizzare operazioni su insiemi finiti e a verificarne le proprietà (commutatività, neutro, inversi, cancellabilità). > * In strutture finite, **cancellabilità $\iff$ iniettività** della mappa di moltiplicazione. > * Un elemento **nilpotente** $a \neq 0$ ($a^n=0$) è sempre un **divisore dello zero**. @@ -225,6 +225,6 @@ Torniamo alle relazioni, ma ora definite su un singolo insieme $A$. > * In $\mathbb{Z}$, abbiamo definito **MCD**, **mcm** e **numeri primi**. > * Abbiamo introdotto le **relazioni binarie** su un insieme $A$ e le loro proprietà fondamentali: riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, asimmetrica, antisimmetrica, transitiva. -> [!tip] Prossimi Passi +> [!TIP] Prossimi Passi > * Rivedi le definizioni delle proprietà delle relazioni binarie. Prova a classificarne altre (es. "<", ">", "essere fratello di", "essere antenato di"). > * Le combinazioni di queste proprietà daranno origine a strutture importanti: relazioni di equivalenza (riflessiva, simmetrica, transitiva) e relazioni d'ordine (riflessiva, antisimmetrica, transitiva). \ No newline at end of file diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Teoremi.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Teoremi.md" index d20c047..4920e24 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Teoremi.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Corso Celentani 2025 (inc. Grafi e Polinomi)/Lezioni/Teoremi.md" @@ -33,28 +33,28 @@ ### Connettivi Logici -> [!info] Negazione +> [!note] Negazione > $\neg P$ è vera quando $P$ è falsa, e viceversa. -> [!info] Congiunzione +> [!note] Congiunzione > $P \wedge Q$ è vera solo quando **entrambe** $P$ e $Q$ sono vere. -> [!info] Disgiunzione Inclusiva +> [!note] Disgiunzione Inclusiva > $P \vee Q$ è falsa solo quando **entrambe** $P$ e $Q$ sono false. -> [!info] Implicazione +> [!note] Implicazione > $P \Rightarrow Q$ è falsa solo quando $P$ è vera e $Q$ è falsa. -> [!info] Bicondizionale +> [!note] Bicondizionale > $P \Leftrightarrow Q$ è vera quando $P$ e $Q$ hanno lo **stesso valore di verità**. ### Tautologia e Contraddizione -> [!info] Tautologia +> [!note] Tautologia > Proposizione composta **sempre vera**, qualunque siano i valori di verità delle componenti. > Esempio: $P \vee \neg P$. -> [!info] Contraddizione +> [!note] Contraddizione > Proposizione composta **sempre falsa**. > Esempio: $P \wedge \neg P$. @@ -70,43 +70,43 @@ ### XOR, NAND, NOR -> [!info] XOR (Disgiunzione Esclusiva) +> [!note] XOR (Disgiunzione Esclusiva) > $$a \oplus b \;\Longleftrightarrow\; (\neg a \wedge b) \vee (a \wedge \neg b)$$ -> [!info] NAND / NOR +> [!note] NAND / NOR > Sono **funzionalmente completi**: ogni connettivo logico può essere espresso usando solo NAND (o solo NOR). ### Predicati e Quantificatori -> [!info] Predicato +> [!note] Predicato > Proprietà o relazione con variabili; una **formula ben formata** (FBF) diventa proposizione quando le variabili vengono sostituite. -> [!info] Quantificatore Universale +> [!note] Quantificatore Universale > $\forall x\, P(x)$: «per ogni $x$, vale $P(x)$». -> [!info] Quantificatore Esistenziale +> [!note] Quantificatore Esistenziale > $\exists x\, P(x)$: «esiste almeno un $x$ tale che $P(x)$». -> [!info] Quantificatore Esistenziale Unico +> [!note] Quantificatore Esistenziale Unico > $$\exists!\, x\, P(x) \;\Longleftrightarrow\; \exists x\, P(x) \;\wedge\; \forall x\,\forall y\,\bigl(P(x) \wedge P(y) \Rightarrow x = y\bigr)$$ ### Variabili Libere e Vincolate -> [!info] Variabile Vincolata +> [!note] Variabile Vincolata > Una variabile che compare nel raggio d'azione di un quantificatore. Altrimenti è **libera**. Una formula senza variabili libere è detta **chiusa** (è una proposizione). ### Insiemi -> [!info] Insieme +> [!note] Insieme > Collezione di oggetti distinti, detti **elementi**. Si scrive $a \in A$ se $a$ appartiene ad $A$. -> [!info] Insieme Vuoto +> [!note] Insieme Vuoto > $\emptyset$ — l'insieme privo di elementi. -> [!info] Sottoinsieme +> [!note] Sottoinsieme > $A \subseteq B \;\Longleftrightarrow\; \forall x\,(x \in A \Rightarrow x \in B)$. -> [!info] Prodotto Cartesiano +> [!note] Prodotto Cartesiano > $$A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \wedge b \in B\}$$ ### Operazioni su Insiemi @@ -121,10 +121,10 @@ ### Relazione e Funzione -> [!info] Relazione +> [!note] Relazione > $\rho \subseteq A \times B$ — un sottoinsieme del prodotto cartesiano. -> [!info] Funzione +> [!note] Funzione > $f: A \to B$ è una relazione tale che $\forall a \in A,\; \exists!\, b \in B$ con $(a, b) \in G_f$. > $A$ è il **dominio**, $B$ il **codominio**. @@ -134,31 +134,31 @@ ### Proprietà dei Quantificatori -> [!info] Negazione dei Quantificatori (De Morgan Generalizzato) +> [!note] Negazione dei Quantificatori (De Morgan Generalizzato) > $$\neg(\forall x\, P(x)) \;\Longleftrightarrow\; \exists x\,(\neg P(x))$$ > $$\neg(\exists x\, P(x)) \;\Longleftrightarrow\; \forall x\,(\neg P(x))$$ -> [!info] Ordine dei Quantificatori +> [!note] Ordine dei Quantificatori > $$\exists y\,\forall x\, \varphi(x,y) \;\Longrightarrow\; \forall x\,\exists y\, \varphi(x,y)$$ > Il viceversa **non** vale in generale. ### Immagine e Controimmagine -> [!info] Immagine di un Sottoinsieme +> [!note] Immagine di un Sottoinsieme > $$\vec{f}(X) = \{f(x) \mid x \in X\} \subseteq B$$ -> [!info] Controimmagine +> [!note] Controimmagine > $$\overleftarrow{f}(Y) = \{x \in A \mid f(x) \in Y\} \subseteq A$$ ### Funzione Iniettiva -> [!info] Iniettività +> [!note] Iniettività > $f: A \to B$ è **iniettiva** se: > $$\forall x_1, x_2 \in A:\; f(x_1) = f(x_2) \;\Longrightarrow\; x_1 = x_2$$ ### Partizione -> [!info] Partizione +> [!note] Partizione > Una famiglia $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(S)$ è una **partizione** di $S$ se: > 1. $\forall X \in \mathcal{F},\; X \neq \emptyset$ > 2. $\forall X, Y \in \mathcal{F},\; X \neq Y \Rightarrow X \cap Y = \emptyset$ @@ -170,32 +170,32 @@ ### Funzione Suriettiva -> [!info] Suriettività +> [!note] Suriettività > $f: A \to B$ è **suriettiva** se: > $$\forall b \in B,\; \exists a \in A:\; f(a) = b$$ ### Funzione Caratteristica -> [!info] Funzione Caratteristica +> [!note] Funzione Caratteristica > Sia $A \subseteq S$. La funzione $\chi_A: S \to \{0, 1\}$ è definita da: > $$\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in A \\ 0 & \text{se } x \notin A \end{cases}$$ ### Uguaglianza di Funzioni -> [!info] Uguaglianza +> [!note] Uguaglianza > $f = g$ se e solo se hanno lo **stesso dominio**, lo **stesso codominio** e la **stessa legge**: $f(x) = g(x)$ per ogni $x$. ### Restrizione e Prolungamento -> [!info] Restrizione +> [!note] Restrizione > Sia $C \subseteq A$. La **restrizione** di $f: A \to B$ a $C$ è $f|_C: C \to B$ con $f|_C(x) = f(x)$. -> [!info] Prolungamento (Estensione) +> [!note] Prolungamento (Estensione) > $f: A \to B$ **estende** $g: C \to B$ se $C \subseteq A$ e $f(x) = g(x)$ per ogni $x \in C$. ### Funzione Identità -> [!info] Identità +> [!note] Identità > $\mathrm{id}_A: A \to A$ definita da $\mathrm{id}_A(a) = a$. È sempre **biettiva**. --- @@ -204,42 +204,42 @@ ### Insieme delle Parti -> [!info] Insieme delle Parti +> [!note] Insieme delle Parti > $$\mathcal{P}(S) = \{X \mid X \subseteq S\}$$ ### Funzione Biettiva -> [!info] Biettività +> [!note] Biettività > $f: A \to B$ è **biettiva** se è **iniettiva e suriettiva**: > $$\forall b \in B,\; |\overleftarrow{f}(\{b\})| = 1$$ ### Equipotenza e Cardinalità -> [!info] Equipotenza +> [!note] Equipotenza > $|A| = |B|$ se e solo se esiste una **biiezione** $f: A \to B$. ### Composizione di Funzioni -> [!info] Composizione +> [!note] Composizione > Date $f: A \to B$ e $g: B \to C$: > $$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$ > La composizione **non è commutativa**, ma è **associativa**. ### Funzione Invertibile -> [!info] Invertibilità +> [!note] Invertibilità > $f: A \to B$ è **invertibile** se esiste $f^{-1}: B \to A$ tale che $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A$ e $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B$. > $$f \text{ invertibile} \;\Longleftrightarrow\; f \text{ biettiva}$$ ### Operazione e Struttura Algebrica -> [!info] Operazione $n$-aria +> [!note] Operazione $n$-aria > $f: A^n \to A$. Per $n = 2$: **operazione binaria interna**. -> [!info] Struttura Algebrica +> [!note] Struttura Algebrica > $(S, \mathcal{O})$ dove $S$ è un insieme non vuoto e $\mathcal{O}$ è una famiglia di operazioni su $S$. -> [!info] Associatività +> [!note] Associatività > $$\forall a, b, c \in S:\; (a * b) * c = a * (b * c)$$ --- @@ -248,37 +248,37 @@ ### Teorema di Invertibilità -> [!info] Teorema +> [!important] Teorema > $f: A \to B$ è invertibile se e solo se $f$ è biettiva. L'inversa è unica. ### Inversa Sinistra e Destra -> [!info] Inversa Sinistra +> [!note] Inversa Sinistra > $g \circ f = \mathrm{id}_A$. Esiste $\Longleftrightarrow$ $f$ è **iniettiva**. -> [!info] Inversa Destra +> [!note] Inversa Destra > $f \circ h = \mathrm{id}_B$. Esiste $\Longleftrightarrow$ $f$ è **suriettiva**. ### Matrici -> [!info] Matrice $m \times n$ +> [!note] Matrice $m \times n$ > Tabella rettangolare di $m$ righe e $n$ colonne di elementi di un anello. > **Trasposta:** $(A^T)_{ij} = A_{ji}$. ### Semigruppo -> [!info] Semigruppo +> [!note] Semigruppo > $(S, *)$ dove $*$ è un'operazione binaria **associativa**. ### Elemento Neutro -> [!info] Elemento Neutro +> [!note] Elemento Neutro > $u \in S$ tale che $\forall a \in S:\; a * u = u * a = a$. > Se esiste, è **unico**. ### Monoide -> [!info] Monoide +> [!note] Monoide > **Semigruppo con elemento neutro**: $(S, *, u)$. > > Esempi: @@ -292,14 +292,14 @@ ### Prodotto di Matrici -> [!info] Prodotto Matriciale +> [!note] Prodotto Matriciale > Date $A \in M_{m \times p}$ e $B \in M_{p \times n}$: > $$c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}$$ > Non commutativo; associativo; la matrice identità $I_n$ è l'elemento neutro. ### Elemento Invertibile (Simmetrico) -> [!info] Elemento Invertibile +> [!note] Elemento Invertibile > In un monoide $(S, *, u)$, $a$ è **invertibile** se: > $$\exists\, a' \in S:\; a * a' = a' * a = u$$ > L'inverso è **unico**. Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile. @@ -311,26 +311,26 @@ ### Gruppo degli Invertibili -> [!info] $U(S)$ — Gruppo degli Invertibili +> [!note] $U(S)$ — Gruppo degli Invertibili > L'insieme degli elementi invertibili di un monoide $(S, *, u)$ è **chiuso** per $*$ e forma un **gruppo** $(U(S), *)$. > > Esempi: $U(\mathbb{N},+) = \{0\}$, $\;U(\mathbb{Z}, \cdot) = \{1,-1\}$, $\;U(\mathbb{Q}, \cdot) = \mathbb{Q}^*$, $\;U(A^A, \circ) = S_A$. ### Parte Stabile (Chiusa) -> [!info] Parte Stabile +> [!note] Parte Stabile > $H \subseteq S$ è **stabile** (o chiusa) per $*$ se: > $$\forall h, k \in H:\; h * k \in H$$ ### Gruppo -> [!info] Gruppo +> [!note] Gruppo > $(G, *)$ è un **gruppo** se: > 1. $*$ è **associativa** > 2. Esiste un **elemento neutro** $u$ > 3. Ogni elemento ha un **inverso**: $\forall a \in G,\; \exists\, a^{-1} \in G$ -> [!info] Gruppo Abeliano +> [!note] Gruppo Abeliano > Gruppo in cui $*$ è **commutativa**: $a * b = b * a$. --- @@ -339,31 +339,31 @@ ### Inversa di una Matrice $2 \times 2$ -> [!info] Inversa $2 \times 2$ +> [!note] Inversa $2 \times 2$ > Sia $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ con $\det(A) = ad - bc \neq 0$: > $$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ ### Anello -> [!info] Anello +> [!note] Anello > $(A, +, \cdot)$ è un **anello** se: > 1. $(A, +)$ è un **gruppo abeliano** > 2. $(A, \cdot)$ è un **semigruppo** > 3. Valgono le **proprietà distributive** (sinistra e destra): > $$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \qquad (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$$ -> [!info] Anello Commutativo +> [!note] Anello Commutativo > $a \cdot b = b \cdot a$ per ogni $a, b$. -> [!info] Anello Unitario +> [!note] Anello Unitario > Esiste un'unità $1_A$ tale che $a \cdot 1_A = 1_A \cdot a = a$. -> [!info] Anello Booleano +> [!note] Anello Booleano > Anello con $a \cdot a = a$ per ogni $a$. Esempio: $(\mathcal{P}(S), \triangle, \cap)$. ### Caratteristica di un Anello -> [!info] Caratteristica +> [!note] Caratteristica > $$\mathrm{char}(A) = \min\{m > 0 \mid \underbrace{1_A + \cdots + 1_A}_{m} = 0_A\}$$ > Se tale $m$ non esiste, $\mathrm{char}(A) = 0$. > @@ -371,7 +371,7 @@ ### Elemento Cancellabile -> [!info] Cancellabilità +> [!note] Cancellabilità > $a$ è **cancellabile a sinistra** se $a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b = c$. > $a$ è **cancellabile a destra** se $b \cdot a = c \cdot a \Rightarrow b = c$. > **Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile** (il viceversa non vale in generale). @@ -383,7 +383,7 @@ ### Divisore dello Zero -> [!info] Divisore dello Zero +> [!note] Divisore dello Zero > $a \neq 0_A$ è **divisore dello zero** se $\exists\, b \neq 0_A:\; a \cdot b = 0_A$. > $$a \neq 0 \text{ è divisore dello zero} \;\Longleftrightarrow\; a \text{ non è cancellabile}$$ @@ -400,31 +400,31 @@ ### Omomorfismo -> [!info] Omomorfismo +> [!note] Omomorfismo > $f: (S, *) \to (T, \perp)$ è un **omomorfismo** se: > $$f(a * b) = f(a) \perp f(b) \quad \forall a, b \in S$$ ### Dominio d'Integrità -> [!info] Dominio d'Integrità +> [!note] Dominio d'Integrità > Anello **commutativo**, **unitario** (con $1_A \neq 0_A$), **privo di divisori dello zero**. > Esempi: $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$. ### Corpo e Campo -> [!info] Corpo +> [!note] Corpo > Anello unitario $(K, +, \cdot)$ con $1_K \neq 0_K$ e $U(K) = K \setminus \{0_K\}$ > (ogni elemento non nullo è invertibile). -> [!info] Campo +> [!note] Campo > **Corpo commutativo**. Campo $\Longrightarrow$ Dominio d'integrità. -> [!info] Teorema di Wedderburn +> [!important] Teorema di Wedderburn > Ogni **corpo finito** è un **campo**. ### Spazio Vettoriale -> [!info] Spazio Vettoriale +> [!note] Spazio Vettoriale > $(V, +)$ gruppo abeliano su un campo $(K, +, \cdot)$ con operazione esterna $\cdot: K \times V \to V$ che soddisfa: > 1. $\lambda(\mu v) = (\lambda\mu)v$ > 2. $(\lambda + \mu)v = \lambda v + \mu v$ @@ -433,12 +433,12 @@ ### Gruppo Simmetrico -> [!info] Gruppo Simmetrico $S_n$ +> [!note] Gruppo Simmetrico $S_n$ > L'insieme di tutte le permutazioni di $\{1, 2, \ldots, n\}$ con l'operazione di composizione. > $$|S_n| = n!$$ > Non abeliano per $n \geq 3$. -> [!info] Notazione Ciclica +> [!note] Notazione Ciclica > Ogni permutazione si decompone in **cicli disgiunti** in modo unico (a meno dell'ordine). --- @@ -447,56 +447,56 @@ ### Tavole di Cayley -> [!info] Proprietà visibili dalle Tavole +> [!note] Proprietà visibili dalle Tavole > - **Commutatività** $\Longleftrightarrow$ tabella simmetrica rispetto alla diagonale > - **Cancellabilità** $\Longleftrightarrow$ nessuna ripetizione nelle righe e colonne -> [!info] Cancellabilità in Strutture Finite +> [!important] Cancellabilità in Strutture Finite > In un magma **finito** $(S, *)$, un elemento $a$ è **cancellabile** se e solo se la funzione $x \mapsto a * x$ è **iniettiva** (e quindi biettiva, essendo $S$ finito). ### Elemento Nilpotente -> [!info] Nilpotente +> [!note] Nilpotente > $a \in A$ è **nilpotente** se $\exists\, n \geq 1:\; a^n = 0_A$. > **Nilpotente non nullo $\Longrightarrow$ Divisore dello zero.** ### Divisibilità -> [!info] Divisibilità +> [!note] Divisibilità > $$b \mid a \;\Longleftrightarrow\; \exists c:\; a = b \cdot c$$ > $\mathrm{div}(a)$: insieme dei divisori di $a$. $\;\mathrm{mult}(b)$: insieme dei multipli di $b$. ### Elementi Associati -> [!info] Associati +> [!note] Associati > $x \sim y \;\Longleftrightarrow\; \exists\, u \in U(A):\; x = u \cdot y$. > È una **relazione di equivalenza**. ### Divisori Banali e Propri -> [!info] Divisori Banali e Propri +> [!note] Divisori Banali e Propri > Sia $a \in A$ un anello unitario. > - I **divisori banali** di $a$ sono gli elementi **associati** a $1$ (cioè gli invertibili $U(A)$) e gli associati ad $a$ stesso. > - Un **divisore proprio** è un divisore di $a$ che non è né banale né invertibile. ### MCD e mcm -> [!info] Massimo Comun Divisore +> [!note] Massimo Comun Divisore > $e = \mathrm{MCD}(a, b)$ se: > 1. $e \mid a$ e $e \mid b$ > 2. $\forall x:\; (x \mid a \;\wedge\; x \mid b) \Rightarrow x \mid e$ -> [!info] Minimo Comune Multiplo +> [!note] Minimo Comune Multiplo > $m = \mathrm{mcm}(a, b)$ se: > 1. $a \mid m$ e $b \mid m$ > 2. $\forall x:\; (a \mid x \;\wedge\; b \mid x) \Rightarrow m \mid x$ ### Numero Primo -> [!info] Primo +> [!note] Primo > $p$ è **primo** se $p \notin U(\mathbb{Z})$ e $\mathrm{div}(p) = \{1, -1, p, -p\}$. -> [!info] Lemma di Euclide +> [!important] Lemma di Euclide > Se $p$ è primo e $p \mid ab$, allora $p \mid a$ oppure $p \mid b$. > [!tip] Dimostrazione — Lemma di Euclide @@ -510,7 +510,7 @@ ### Relazioni Binarie — Proprietà -> [!info] Proprietà di una Relazione $R \subseteq A \times A$ +> [!note] Proprietà di una Relazione $R \subseteq A \times A$ > | Proprietà | Definizione | > |:----------|:-----------| > | **Riflessiva** | $\forall x \in A,\; xRx$ | @@ -526,22 +526,22 @@ ### Insieme Ben Ordinato -> [!info] Ben Ordinato +> [!note] Ben Ordinato > $(S, \leq)$ è **ben ordinato** se ogni sottoinsieme non vuoto ammette un **minimo**. > Ben ordinato $\Longrightarrow$ totalmente ordinato. > Esempio: $(\mathbb{N}, \leq)$. ### Principio di Induzione -> [!info] Forma I (Standard) +> [!note] Forma I (Standard) > Se $P(\bar{n})$ è vera e $\forall n \geq \bar{n}:\; P(n) \Rightarrow P(n+1)$, allora $P(n)$ è vera $\forall n \geq \bar{n}$. -> [!info] Forma II (Forte) +> [!note] Forma II (Forte) > Se $P(\bar{n})$ è vera e $\forall n > \bar{n}:\; \bigl[\forall i\;(\bar{n} \leq i < n \Rightarrow P(i))\bigr] \Rightarrow P(n)$, allora $P(n)$ è vera $\forall n \geq \bar{n}$. ### Divisione Euclidea -> [!info] Teorema della Divisione Euclidea +> [!important] Teorema della Divisione Euclidea > $\forall\, m \in \mathbb{Z},\; n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\},\; \exists!\, q, r \in \mathbb{Z}:$ > $$m = n \cdot q + r, \qquad 0 \leq r < |n|$$ @@ -558,7 +558,7 @@ ### Identità di Bézout -> [!info] Identità di Bézout +> [!important] Identità di Bézout > $$\mathrm{MCD}(a, b) = a \cdot x + b \cdot y \quad \text{per opportuni } x, y \in \mathbb{Z}$$ > Corollario: $a, b$ coprimi $\Longleftrightarrow$ $\exists\, x, y:\; ax + by = 1$. @@ -574,7 +574,7 @@ ### Relazione d'Equivalenza -> [!info] Equivalenza +> [!note] Equivalenza > Una relazione $R$ su $A$ è di **equivalenza** se è: > 1. **Riflessiva** > 2. **Simmetrica** @@ -582,7 +582,7 @@ ### Relazione d'Ordine -> [!info] Ordine (Parziale) +> [!note] Ordine (Parziale) > Una relazione su $A$ è d'**ordine** se è riflessiva, **antisimmetrica** e transitiva. > È **totale** se $\forall x, y:\; xRy \vee yRx$. @@ -592,23 +592,23 @@ ### Algoritmo di Euclide -> [!info] Algoritmo di Euclide +> [!note] Algoritmo di Euclide > Calcola $\mathrm{MCD}(a, b)$ tramite divisioni successive: si divide ripetutamente il dividendo per il resto, finché il resto è $0$. L'ultimo resto non nullo è il MCD. ### Algoritmo Esteso di Euclide -> [!info] Algoritmo Esteso +> [!note] Algoritmo Esteso > Risalendo le divisioni dell'Algoritmo di Euclide, si trovano i **coefficienti di Bézout** $x, y$ tali che $ax + by = \mathrm{MCD}(a, b)$. ### Teorema Fondamentale dell'Aritmetica -> [!info] FTA +> [!important] FTA > Ogni intero $n \geq 2$ si scrive in modo **unico** (a meno dell'ordine) come prodotto di numeri primi: > $$n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$ ### Classi di Equivalenza -> [!info] Classe di Equivalenza +> [!note] Classe di Equivalenza > $$[a]_R = \{x \in S \mid x \mathrel{R} a\}$$ > Proprietà: > - Ogni classe è **non vuota** ($a \in [a]$) @@ -617,11 +617,11 @@ ### Insieme Quoziente -> [!info] Insieme Quoziente +> [!note] Insieme Quoziente > $$S / R = \{[a]_R \mid a \in S\}$$ > L'insieme di tutte le classi di equivalenza. -> [!info] Teorema +> [!important] Teorema > Esiste una corrispondenza biunivoca tra relazioni di equivalenza su $S$ e partizioni di $S$. > [!tip] Dimostrazione — Equivalenza $\longleftrightarrow$ Partizioni @@ -645,7 +645,7 @@ ### Relazione di Equivalenza Indotta da Funzione -> [!info] Equivalenza indotta +> [!note] Equivalenza indotta > Data $f: S \to T$, si definisce $x \mathrel{R_f} y \;\Longleftrightarrow\; f(x) = f(y)$. > Questa è una relazione di equivalenza su $S$. @@ -656,7 +656,7 @@ ### Applicazione Quoziente (Fattorizzazione) -> [!info] Fattorizzazione +> [!note] Fattorizzazione > Data $f: S \to T$ e la relazione $R_f$, l'**applicazione quoziente** è: > $$\bar{f}: S/R_f \to T, \qquad \bar{f}([a]) = f(a)$$ > È **ben definita** e **iniettiva**. Vale $f = \bar{f} \circ \pi$ (dove $\pi$ è la proiezione canonica). @@ -668,14 +668,14 @@ ### Congruenza (Compatibilità) -> [!info] Congruenza +> [!note] Congruenza > Una relazione di equivalenza $R$ su $(S, \perp)$ è una **congruenza** se: > $$a \mathrel{R} c \;\wedge\; b \mathrel{R} d \;\Longrightarrow\; (a \perp b) \mathrel{R} (c \perp d)$$ > Questo rende l'operazione quoziente **ben definita**. ### Congruenza Modulo $m$ -> [!info] Congruenza Modulo $m$ +> [!note] Congruenza Modulo $m$ > $$a \equiv b \pmod{m} \;\Longleftrightarrow\; m \mid (a - b)$$ > Equivalentemente: $a$ e $b$ hanno lo **stesso resto** nella divisione per $m$. > @@ -683,7 +683,7 @@ > - $m = 0$: la congruenza è l'**uguaglianza** > - $m = 1$: la relazione è **totale** (sempre vera) -> [!info] Compatibilità con $+$ e $\cdot$ +> [!note] Compatibilità con $+$ e $\cdot$ > Se $a \equiv c$ e $b \equiv d$ $\pmod{m}$, allora: > $$a + b \equiv c + d \pmod{m} \qquad a \cdot b \equiv c \cdot d \pmod{m}$$ @@ -694,7 +694,7 @@ > > **Prodotto:** $ab = (c + mh)(d + mk) = cd + m(ck + hd + mhk)$, dunque $ab - cd = m(ck + hd + mhk)$ e $m \mid (ab - cd)$. $\square$ -> [!info] Anello $\mathbb{Z}_m$ +> [!note] Anello $\mathbb{Z}_m$ > L'insieme quoziente $\mathbb{Z}_m = \{[0]_m, [1]_m, \ldots, [m-1]_m\}$ con: > $$[a] + [b] = [a + b], \qquad [a] \cdot [b] = [a \cdot b]$$ > è un **anello commutativo unitario**. @@ -705,7 +705,7 @@ ### $\mathbb{Z}_m$ è un Campo -> [!info] Teorema +> [!important] Teorema > $(\mathbb{Z}_m, +, \cdot)$ è un **campo** se e solo se $m$ è un numero **primo**. > [!tip] Dimostrazione — $\mathbb{Z}_m$ campo $\Longleftrightarrow$ $m$ primo @@ -715,7 +715,7 @@ ### Caratteristica di $\mathbb{Z}_m$ -> [!info] Caratteristica +> [!note] Caratteristica > $$\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m) = m$$ > [!tip] Dimostrazione — $\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m) = m$ @@ -724,13 +724,13 @@ ### Invertibili e Divisori dello Zero in $\mathbb{Z}_m$ -> [!info] Invertibili +> [!note] Invertibili > $[a]_m$ è **invertibile** in $\mathbb{Z}_m$ $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, m) = 1$. -> [!info] Divisori dello Zero +> [!note] Divisori dello Zero > $[a]_m \neq [0]_m$ è **divisore dello zero** in $\mathbb{Z}_m$ $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, m) > 1$. -> [!info] Dicotomia +> [!note] Dicotomia > In $\mathbb{Z}_m$, ogni $[a] \neq [0]$ è **o invertibile o divisore dello zero**. > [!tip] Dimostrazione — Invertibili e Divisori dello Zero in $\mathbb{Z}_m$ @@ -750,12 +750,12 @@ ### Elementi Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ -> [!info] Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ +> [!note] Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ > Sia $m = p_1^{\alpha_1} \cdots p_t^{\alpha_t}$. Allora $[a]_m$ è nilpotente se e solo se $a$ è multiplo di $\mathrm{rad}(m) = p_1 \cdot p_2 \cdots p_t$. ### Equazioni Congruenziali -> [!info] Teorema di Risolubilità +> [!important] Teorema di Risolubilità > L'equazione $ax \equiv b \pmod{m}$ ha soluzione $\;\Longleftrightarrow\;$ $d \mid b$, dove $d = \mathrm{MCD}(a, m)$. > Se ha soluzione, ci sono esattamente **$d$ soluzioni distinte** modulo $m$. > Se $d = 1$, la soluzione unica è $x \equiv a^{-1} b \pmod{m}$. @@ -766,13 +766,13 @@ ### Elemento Idempotente -> [!info] Idempotente in $\mathbb{Z}_m$ +> [!note] Idempotente in $\mathbb{Z}_m$ > $[a]_m$ è **idempotente** se $[a]^2 = [a]$, cioè $m \mid a(a-1)$. > Sempre idempotenti: $[0]$ e $[1]$. ### Criteri di Divisibilità (via Aritmetica Modulare) -> [!info] Formula Generale +> [!note] Formula Generale > Sia $n = c_k \cdot 10^k + \cdots + c_1 \cdot 10 + c_0$. Allora: > $$n \equiv \sum_{i=0}^{k} c_i \cdot (10^i \bmod m) \pmod{m}$$ @@ -789,12 +789,12 @@ ### Corollario: $\mathbb{Z}_n$ Dominio d'Integrità -> [!info] Dominio +> [!note] Dominio > $\mathbb{Z}_n$ è un **dominio d'integrità** $\;\Longleftrightarrow\;$ $n$ è primo $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathbb{Z}_n$ è un campo. ### Anello Prodotto -> [!info] Anello Prodotto $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ +> [!note] Anello Prodotto $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ > Operazioni **componente per componente**: > $$(\bar{a}, \tilde{b}) + (\bar{c}, \tilde{d}) = (\overline{a+c},\, \widetilde{b+d})$$ > $$(\bar{a}, \tilde{b}) \cdot (\bar{c}, \tilde{d}) = (\overline{a \cdot c},\, \widetilde{b \cdot d})$$ @@ -803,7 +803,7 @@ ### Caratteristica del Prodotto -> [!info] Caratteristica dell'Anello Prodotto +> [!note] Caratteristica dell'Anello Prodotto > $$\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) = \mathrm{mcm}(\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m),\, \mathrm{char}(\mathbb{Z}_n)) = \mathrm{mcm}(m, n)$$ --- @@ -812,13 +812,13 @@ ### Equazione Diofantea Lineare -> [!info] Equazione Diofantea +> [!note] Equazione Diofantea > $ax + by = c$ con $a, b, c \in \mathbb{Z}$, soluzioni $x, y \in \mathbb{Z}$. > Ha soluzione $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, b) \mid c$. ### Funzione Totiente di Eulero -> [!info] Funzione $\varphi(n)$ +> [!note] Funzione $\varphi(n)$ > $$\varphi(n) = |U(\mathbb{Z}_n)| = |\{k \in \{0, \ldots, n-1\} \mid \mathrm{MCD}(k, n) = 1\}|$$ > > Proprietà: @@ -828,23 +828,23 @@ ### Teorema di Fermat-Eulero -> [!info] Fermat-Eulero +> [!important] Fermat-Eulero > Se $\mathrm{MCD}(a, n) = 1$, allora: > $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$$ -> [!info] Piccolo Teorema di Fermat +> [!important] Piccolo Teorema di Fermat > Se $p$ è primo e $p \nmid a$: > $$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$ ### Coefficiente Binomiale -> [!info] Coefficiente Binomiale +> [!note] Coefficiente Binomiale > $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \qquad \text{per } 0 \leq k \leq n$$ > Simmetria: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$. ### Identità di Pascal -> [!info] Identità di Pascal +> [!important] Identità di Pascal > $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$ > [!tip] Dimostrazione — Identità di Pascal @@ -854,7 +854,7 @@ ### Somma dei Coefficienti Binomiali -> [!info] Somma +> [!note] Somma > $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$ > [!tip] Dimostrazione — $|\mathcal{P}(S)| = 2^{|S|}$ (per induzione) @@ -866,7 +866,7 @@ ### Applicazioni Iniettive -> [!info] Conteggio +> [!note] Conteggio > Il numero di applicazioni iniettive $f: S \to T$ con $|S| = n$, $|T| = m$, $n \leq m$: > $$\frac{m!}{(m-n)!}$$ @@ -879,7 +879,7 @@ ### Binomio di Newton -> [!info] Binomio di Newton +> [!important] Binomio di Newton > $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k$$ > [!tip] Dimostrazione — Binomio di Newton (per induzione su $n$) @@ -899,7 +899,7 @@ ### Relazione d'Ordine Largo -> [!info] Ordine Largo +> [!note] Ordine Largo > $\mathcal{R}$ su $S$ è d'**ordine** se è: > 1. **Riflessiva** > 2. **Antisimmetrica** @@ -907,7 +907,7 @@ ### Relazione d'Ordine Stretto -> [!info] Ordine Stretto +> [!note] Ordine Stretto > $\mathcal{R}'$ su $S$ è d'**ordine stretto** se è: > 1. **Antiriflessiva** > 2. **Transitiva** @@ -916,49 +916,49 @@ ### Corrispondenza Largo ↔ Stretto -> [!info] Corrispondenza +> [!note] Corrispondenza > $$x < y \;\Longleftrightarrow\; (x \leq y \;\wedge\; x \neq y)$$ > $$x \leq y \;\Longleftrightarrow\; (x < y \;\vee\; x = y)$$ ### Ordine Totale -> [!info] Ordine Totale +> [!note] Ordine Totale > $\forall x, y \in S:\; x \leq y \;\vee\; y \leq x$ (ogni coppia è confrontabile). ### Copertura -> [!info] Copertura +> [!note] Copertura > $b$ **copre** $a$ se $a < b$ e $\nexists\, c:\; a < c < b$. ### Diagramma di Hasse -> [!info] Diagramma di Hasse +> [!note] Diagramma di Hasse > Rappresentazione grafica di un poset finito: si disegnano solo le relazioni di **copertura**, con l'elemento maggiore in alto. ### Elemento Minimo / Massimo -> [!info] Minimo e Massimo +> [!note] Minimo e Massimo > - $a$ è **minimo** se $a \leq x$ per ogni $x \in S$. Se esiste, è **unico**. > - $a$ è **massimo** se $x \leq a$ per ogni $x \in S$. Se esiste, è **unico**. ### Elemento Minimale / Massimale -> [!info] Minimale e Massimale +> [!note] Minimale e Massimale > - $a$ è **minimale** se $\nexists\, x:\; x < a$. > - $a$ è **massimale** se $\nexists\, x:\; a < x$. > - Minimo $\Longrightarrow$ unico minimale. Ma un minimale unico **non** è necessariamente il minimo. -> [!info] Teorema (Poset Finiti) +> [!important] Teorema (Poset Finiti) > Ogni insieme **finito non vuoto** parzialmente ordinato possiede almeno un elemento **minimale** e almeno un elemento **massimale**. ### Minoranti, Maggioranti, Inf, Sup -> [!info] Minorante e Maggiorante +> [!note] Minorante e Maggiorante > Sia $X \subseteq S$: > - **Minorante** di $X$: $a \leq x\;\forall x \in X$ > - **Maggiorante** di $X$: $x \leq a\;\forall x \in X$ -> [!info] Infimo e Supremo +> [!note] Infimo e Supremo > - $\inf(X) = \max(\text{minoranti di } X)$ > - $\sup(X) = \min(\text{maggioranti di } X)$ > @@ -970,13 +970,13 @@ ### Divisibilità su $\mathbb{N}^*$ -> [!info] Divisibilità come Ordine +> [!note] Divisibilità come Ordine > $(\mathbb{N}^*, \mid)$ è un **ordine parziale**. > $(\mathbb{Z}, \mid)$ **non** è un ordine (non è antisimmetrica: $2 \mid {-2}$ e ${-2} \mid 2$ ma $2 \neq -2$). ### Ordine Indotto da Funzione -> [!info] Ordine Indotto +> [!note] Ordine Indotto > Data $f: S \to T$ e $(T, \leq_T)$ ordinato: > $$a \leq_f b \;\Longleftrightarrow\; (a = b) \;\vee\; (f(a) <_T f(b))$$ > Questa è una relazione d'ordine su $S$. @@ -987,14 +987,14 @@ ### Reticolo (Definizione tramite Ordine) -> [!info] Reticolo +> [!note] Reticolo > Un poset $(L, \leq)$ è un **reticolo** se per ogni $a, b \in L$ esistono: > - $\inf\{a, b\} = a \wedge b$ (**meet**) > - $\sup\{a, b\} = a \vee b$ (**join**) ### Reticolo (Definizione Algebrica) -> [!info] Reticolo (algebrico) +> [!note] Reticolo (algebrico) > $(L, \wedge, \vee)$ è un **reticolo** se $\wedge$ e $\vee$ soddisfano: > 1. **Associatività**: $(a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)$, $\;(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)$ > 2. **Commutatività**: $a \wedge b = b \wedge a$, $\;a \vee b = b \vee a$ @@ -1002,13 +1002,13 @@ ### Idempotenza (derivata) -> [!info] Idempotenza +> [!note] Idempotenza > Dalle leggi di assorbimento: > $$a \wedge a = a, \qquad a \vee a = a$$ ### Equivalenza tra le Due Definizioni -> [!info] Teorema +> [!important] Teorema > Le due definizioni sono equivalenti. La relazione d'ordine si recupera da: > $$a \leq b \;\Longleftrightarrow\; a \wedge b = a \;\Longleftrightarrow\; a \vee b = b$$ @@ -1023,15 +1023,15 @@ ### Esempio Fondamentale -> [!info] $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ è un Reticolo +> [!note] $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ è un Reticolo > Con $A \wedge B = A \cap B$ e $A \vee B = A \cup B$. ### Catena -> [!info] Catena +> [!note] Catena > Un sottoinsieme $C \subseteq S$ di un insieme parzialmente ordinato $(S, \leq)$ è una **catena** se è **totalmente ordinato**: > $$\forall x, y \in C:\; x \leq y \;\vee\; y \leq x$$ -> [!info] Catena Massimale +> [!note] Catena Massimale > Una catena $C$ in $(S, \leq)$ è **massimale** se non può essere estesa: non esiste alcun elemento $s \in S \setminus C$ tale che $C \cup \{s\}$ sia ancora una catena. --- @@ -1039,29 +1039,29 @@ ### Reticolo Limitato -> [!info] Reticolo Limitato +> [!note] Reticolo Limitato > Un reticolo $L$ è **limitato** se possiede: > - Elemento **minimo** $0_L$: $\;0_L \leq a\;\forall a$, ossia $a \vee 0_L = a$ > - Elemento **massimo** $1_L$: $\;a \leq 1_L\;\forall a$, ossia $a \wedge 1_L = a$ > > **Ogni reticolo finito è limitato.** -> [!info] Insieme Totalmente Ordinato ⇒ Reticolo +> [!important] Insieme Totalmente Ordinato ⇒ Reticolo > Se $(S, \leq)$ è un insieme **totalmente ordinato**, allora è un **reticolo**. > Per ogni $a, b \in S$: se $a \leq b$, allora $a \wedge b = a$ e $a \vee b = b$. -> [!info] Reticolo Finito ⇒ Limitato +> [!important] Reticolo Finito ⇒ Limitato > Ogni reticolo **finito** è **limitato**: possiede sempre un elemento minimo $0_L$ e un elemento massimo $1_L$. ### Sottoreticolo -> [!info] Sottoreticolo +> [!note] Sottoreticolo > $A \subseteq L$ non vuoto è un **sottoreticolo** se è chiuso per $\wedge$ e $\vee$: > $$\forall x, y \in A:\; x \wedge y \in A \;\wedge\; x \vee y \in A$$ ### Isomorfismo di Reticoli -> [!info] Isomorfismo di Poset / Reticoli +> [!note] Isomorfismo di Poset / Reticoli > $f: L \to M$ biettiva è un **isomorfismo** se: > $$a \leq_L b \;\Longleftrightarrow\; f(a) \leq_M f(b)$$ > Equivalentemente, preserva $\wedge$ e $\vee$: @@ -1069,13 +1069,13 @@ ### Reticolo Complementato -> [!info] Complementato +> [!note] Complementato > Un reticolo **limitato** è **complementato** se per ogni $a \in L$ esiste almeno un $\bar{a} \in L$ tale che: > $$a \wedge \bar{a} = 0_L \qquad \text{e} \qquad a \vee \bar{a} = 1_L$$ ### Reticolo Prodotto -> [!info] Reticolo Prodotto +> [!note] Reticolo Prodotto > Dati $(L_1, \leq_1)$ e $(L_2, \leq_2)$ reticoli, $L_1 \times L_2$ è un reticolo con: > $$(a, b) \leq (c, d) \;\Longleftrightarrow\; a \leq_1 c \;\wedge\; b \leq_2 d$$ > $$(a, b) \wedge (c, d) = (a \wedge_1 c,\; b \wedge_2 d)$$ @@ -1083,7 +1083,7 @@ ### Reticolo dei Divisori -> [!info] Reticolo $(\mathbb{D}_n, \mid)$ +> [!note] Reticolo $(\mathbb{D}_n, \mid)$ > L’insieme dei divisori positivi di $n$, ordinato per divisibilità, forma un **reticolo limitato**: > - $a \wedge b = \mathrm{MCD}(a, b)$ > - $a \vee b = \mathrm{mcm}(a, b)$ @@ -1095,32 +1095,32 @@ ### Sottoanello -> [!info] Sottoanello +> [!note] Sottoanello > Sia $(A, +, \cdot)$ un anello e $B \subseteq A$, $B \neq \emptyset$. > $(B, +, \cdot)$ è un **sottoanello** se $B$ è chiuso per **sottrazione** e **moltiplicazione**: > $$\forall b_1, b_2 \in B:\; b_1 - b_2 \in B \;\wedge\; b_1 \cdot b_2 \in B$$ ### Principio di Dualità per Reticoli -> [!info] Principio di Dualità +> [!important] Principio di Dualità > Se un enunciato vale per **tutti** i reticoli, anche l'enunciato **duale** vale, ottenuto scambiando: > $$\leq \;\longleftrightarrow\; \geq, \qquad \wedge \;\longleftrightarrow\; \vee, \qquad 0_L \;\longleftrightarrow\; 1_L$$ ### Reticolo Distributivo -> [!info] Distributivo +> [!note] Distributivo > Un reticolo è **distributivo** se: > $$a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$$ > $$a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)$$ > (Le due leggi sono equivalenti per dualità.) -> [!info] Teorema ($M_3$, $N_5$) +> [!important] Teorema ($M_3$, $N_5$) > Un reticolo è distributivo $\;\Longleftrightarrow\;$ **non contiene** sottoreticoli isomorfi a $M_3$ (diamante) o $N_5$ (pentagono). -> [!info] Reticolo Pentagonale $N_5$ +> [!note] Reticolo Pentagonale $N_5$ > Il reticolo con 5 elementi $\{0, a, b, c, 1\}$ dove $0 < a < b < 1$ e $0 < c < 1$ con $c$ non confrontabile con $a$ e $b$. **Non è distributivo** né modulare. -> [!info] Reticolo Diamante $M_3$ +> [!note] Reticolo Diamante $M_3$ > Il reticolo con 5 elementi $\{0, a, b, c, 1\}$ dove $a, b, c$ sono mutuamente non confrontabili e $0 < a, b, c < 1$. **Non è distributivo** (ma è modulare). > [!tip] Dimostrazione — $M_3$ e $N_5$ non sono distributivi @@ -1136,7 +1136,7 @@ ### Unicità del Complemento -> [!info] Proposizione +> [!important] Proposizione > In un reticolo **distributivo e limitato**, se un elemento ha un complemento, questo è **unico**. > [!tip] Dimostrazione — Unicità del Complemento @@ -1146,18 +1146,18 @@ ### Reticolo Booleano -> [!info] Reticolo Booleano +> [!note] Reticolo Booleano > Un reticolo è **booleano** se è **distributivo** e **complementato**. > > Esempio fondamentale: $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$. -> [!info] Teorema di Rappresentazione +> [!important] Teorema di Rappresentazione > Ogni reticolo booleano **finito** è isomorfo a $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ per qualche insieme finito $S$. > Pertanto $|L| = 2^n$. ### Algebra di Boole -> [!info] Algebra di Boole +> [!note] Algebra di Boole > $(A, \wedge, \vee, ', 0, 1)$ dove $\wedge, \vee$ sono binarie, $'$ è unaria, e valgono: > 1. **Associatività** di $\wedge$ e $\vee$ > 2. **Commutatività** di $\wedge$ e $\vee$ @@ -1166,12 +1166,12 @@ > 5. **Elementi neutri**: $a \wedge 1 = a$, $\;a \vee 0 = a$ > 6. **Complemento**: $a \wedge a' = 0$, $\;a \vee a' = 1$ -> [!info] Teorema di Stone +> [!important] Teorema di Stone > Ogni algebra di Boole **finita** è isomorfa a $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup, {}^c, \emptyset, S)$. ### Anello Booleano -> [!info] Anello Booleano +> [!note] Anello Booleano > Un anello $(A, +, \cdot)$ è **booleano** se $a^2 = a$ per ogni $a \in A$. > > Proprietà: @@ -1190,7 +1190,7 @@ ### Da Reticolo Booleano ad Anello Booleano -> [!info] Costruzione +> [!note] Costruzione > Dato un reticolo booleano $(L, \wedge, \vee, ', 0, 1)$, si definisce l'anello $(L, +, \cdot)$: > - **Prodotto:** $a \cdot b = a \wedge b$ > - **Somma:** $a + b = (a \wedge b') \vee (b \wedge a')$ (differenza simmetrica) diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Definizioni Algebra.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Definizioni Algebra.md" index 67bba0e..dcf0496 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Definizioni Algebra.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Definizioni Algebra.md" @@ -36,28 +36,28 @@ cssclasses: ### Connettivi Logici -> [!info] Negazione +> [!note] Negazione > $\neg P$ è vera quando $P$ è falsa, e viceversa. -> [!info] Congiunzione +> [!note] Congiunzione > $P \wedge Q$ è vera solo quando **entrambe** $P$ e $Q$ sono vere. -> [!info] Disgiunzione Inclusiva +> [!note] Disgiunzione Inclusiva > $P \vee Q$ è falsa solo quando **entrambe** $P$ e $Q$ sono false. -> [!info] Implicazione +> [!note] Implicazione > $P \Rightarrow Q$ è falsa solo quando $P$ è vera e $Q$ è falsa. -> [!info] Bicondizionale +> [!note] Bicondizionale > $P \Leftrightarrow Q$ è vera quando $P$ e $Q$ hanno lo **stesso valore di verità**. ### Tautologia e Contraddizione -> [!info] Tautologia +> [!note] Tautologia > Proposizione composta **sempre vera**, qualunque siano i valori di verità delle componenti. > Esempio: $P \vee \neg P$. -> [!info] Contraddizione +> [!note] Contraddizione > Proposizione composta **sempre falsa**. > Esempio: $P \wedge \neg P$. @@ -73,41 +73,41 @@ cssclasses: ### XOR, NAND, NOR -> [!info] XOR (Disgiunzione Esclusiva) +> [!note] XOR (Disgiunzione Esclusiva) > $$a \oplus b \;\Longleftrightarrow\; (\neg a \wedge b) \vee (a \wedge \neg b)$$ -> [!info] NAND / NOR +> [!note] NAND / NOR > Sono **funzionalmente completi**: ogni connettivo logico può essere espresso usando solo NAND (o solo NOR). ### Predicati e Quantificatori -> [!info] Predicato +> [!note] Predicato > Proprietà o relazione con variabili; una **formula ben formata** (FBF) diventa proposizione quando le variabili vengono sostituite. -> [!info] Quantificatore Universale +> [!note] Quantificatore Universale > $\forall x\, P(x)$: «per ogni $x$, vale $P(x)$». -> [!info] Quantificatore Esistenziale +> [!note] Quantificatore Esistenziale > $\exists x\, P(x)$: «esiste almeno un $x$ tale che $P(x)$». -> [!info] Quantificatore Esistenziale Unico +> [!note] Quantificatore Esistenziale Unico > $$\exists!\, x\, P(x) \;\Longleftrightarrow\; \exists x\, P(x) \;\wedge\; \forall x\,\forall y\,\bigl(P(x) \wedge P(y) \Rightarrow x = y\bigr)$$ ### Variabili Libere e Vincolate -> [!info] Variabile Vincolata +> [!note] Variabile Vincolata > Una variabile che compare nel raggio d'azione di un quantificatore. Altrimenti è **libera**. Una formula senza variabili libere è detta **chiusa** (è una proposizione). ### Insiemi -> [!info] Insieme +> [!note] Insieme > Collezione di oggetti distinti, detti **elementi**. Si scrive $a \in A$ se $a$ appartiene ad $A$. -> [!info] Insieme Vuoto +> [!note] Insieme Vuoto > $\emptyset$ — l'insieme privo di elementi. -> [!info] Sottoinsieme +> [!note] Sottoinsieme > $A \subseteq B \;\Longleftrightarrow\; \forall x\,(x \in A \Rightarrow x \in B)$. -> [!info] Prodotto Cartesiano +> [!note] Prodotto Cartesiano > $$A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \wedge b \in B\}$$ ### Operazioni su Insiemi @@ -121,10 +121,10 @@ cssclasses: ### Relazione e Funzione -> [!info] Relazione opp. Corrispondenza +> [!note] Relazione opp. Corrispondenza > $\rho \subseteq A \times B$ — un sottoinsieme del prodotto cartesiano. -> [!info] Funzione +> [!note] Funzione > $f: A \to B$ è una relazione tale che $\forall a \in A,\; \exists!\, b \in B$ con $(a, b) \in G_f$. > $A$ è il **dominio**, $B$ il **codominio**. @@ -134,41 +134,41 @@ cssclasses: ### Proprietà dei Quantificatori -> [!info] Negazione dei Quantificatori (De Morgan Generalizzato) +> [!note] Negazione dei Quantificatori (De Morgan Generalizzato) > $$\neg(\forall x\, P(x)) \;\Longleftrightarrow\; \exists x\,(\neg P(x))$$ > $$\neg(\exists x\, P(x)) \;\Longleftrightarrow\; \forall x\,(\neg P(x))$$ -> [!info] Ordine dei Quantificatori +> [!note] Ordine dei Quantificatori > $$\exists y\,\forall x\, \varphi(x,y) \;\Longrightarrow\; \forall x\,\exists y\, \varphi(x,y)$$ > Il viceversa **non** vale in generale. ### Immagine e Controimmagine -> [!info] Immagine di un Sottoinsieme +> [!note] Immagine di un Sottoinsieme > Dato un sottoinsieme X ⊆ A, l'immagine di X tramite f è l'insieme di tutti gli elementi del codominio B che sono "raggiunti" da almeno un elemento di X. > $$\vec{f}(X) = \{f(x) \mid x \in X\} \subseteq B$$ -> [!info] Controimmagine +> [!note] Controimmagine > Dato un sottoinsieme Y ⊆ B, la controimmagine (o preimmagine) di Y tramite f è l'insieme di tutti gli elementi del dominio A le cui immagini cadono dentro Y . > $$\overleftarrow{f}(Y) = \{x \in A \mid f(x) \in Y\} \subseteq A$$ ### Funzione Iniettiva -> [!info] Iniettività +> [!note] Iniettività > $f: A \to B$ è **iniettiva** se: > $$\forall x_1, x_2 \in A:\; f(x_1) = f(x_2) \;\Longrightarrow\; x_1 = x_2$$ ->[!info] Caratterizzazione tramite Controimmagine +>[!note] Caratterizzazione tramite Controimmagine Una funzione f : A → B è iniettiva se e solo se per ogni elemento b del codominio B, la sua controimmagine $f^{-1}(\{b\})$ contiene al massimo un elemento. $$ f \text{ è iniettiva } \iff (\forall b \in B) \quad \bigl| f^{-1}(\{b\}) \bigr| \leq 1 $$ ### Partizione -> [!info] Partizione +> [!note] Partizione > Una famiglia $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(S)$ è una **partizione** di $S$ se: > 1. $\forall X \in \mathcal{F},\; X \neq \emptyset$ > 2. $\forall X, Y \in \mathcal{F},\; X \neq Y \Rightarrow X \cap Y = \emptyset$ > 3. $\bigcup \mathcal{F} = S$ -> [!info] Partizioni Banali: +> [!note] Partizioni Banali: $\mathcal{F}_1 = \{\{S\}\} = \{\{a, b, c\}\}$. (Un solo pezzo: l'insieme intero). $\mathcal{F}_2 = \{\{a\}, \{b\}, \{c\}\}$. (Ogni pezzo è un singolo elemento) @@ -178,44 +178,44 @@ $\mathcal{F}_2 = \{\{a\}, \{b\}, \{c\}\}$. (Ogni pezzo è un singolo elemento) ### Funzione Suriettiva -> [!info] Suriettività +> [!note] Suriettività > $f: A \to B$ è **suriettiva** se: > $$\forall b \in B,\; \exists a \in A:\; f(a) = b$$ ->[!info] Caratterizzazione tramite Controimmagine +>[!note] Caratterizzazione tramite Controimmagine Una funzione f : A → B è suriettiva se e solo se per ogni elemento b del codominio B, la sua controimmagine $f^{-1}(\{b\})$ contiene al minimo un elemento. $$ f \text{ è iniettiva } \iff (\forall b \in B) \quad \bigl| f^{-1}(\{b\}) \bigr| \geq 1 $$ ### App. Immagine e Anti-Immagine banali e Funzione Caratteristica -> [!info] Applicazioni immagine e anti-immagine banali +> [!nota] Applicazioni immagine e anti-immagine banali > Per ogni $f: A \to B$: > - $f(\varnothing)=\varnothing$. > - $f^{-1}(\varnothing)=\varnothing$. > - $f^{-1}(B)=A$. > - $f(A)=\operatorname{Im}(f)\subseteq B$ (e $f(A)=B$ sse $f$ è suriettiva). -> [!info] Funzione Caratteristica +> [!note] Funzione Caratteristica > Sia $A \subseteq S$. La funzione $\chi_A: S \to \{0, 1\}$ è definita da: > $$\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in A \\ 0 & \text{se } x \notin A \end{cases}$$ ### Uguaglianza di Funzioni -> [!info] Uguaglianza +> [!note] Uguaglianza > $f = g$ se e solo se hanno lo **stesso dominio**, lo **stesso codominio** e la **stessa legge**: $f(x) = g(x)$ per ogni $x$. ### Restrizione e Prolungamento -> [!info] Restrizione +> [!note] Restrizione > Sia $C \subseteq A$. La **restrizione** di $f: A \to B$ a $C$ è $f|_C: C \to B$ con $f|_C(x) = f(x)$. -> [!info] Prolungamento (Estensione) +> [!note] Prolungamento (Estensione) > $f: A \to B$ **estende** $g: C \to B$, se > - $C \subseteq A$ > - $f(x) = g(x)$ per ogni $x \in C$. ### Funzione(o Applicazione) Identità -> [!info] Identità +> [!note] Identità > $\mathrm{id}_A: A \to A$ definita da $\mathrm{id}_A(a) = a$. È sempre **biettiva**. --- @@ -224,11 +224,11 @@ $$ f \text{ è iniettiva } \iff (\forall b \in B) \quad \bigl| f^{-1}(\{b\}) \bi ### Funzione Biettiva -> [!info] Biettività +> [!note] Biettività > $f: A \to B$ è **biettiva** se è **iniettiva e suriettiva**: > $$\forall b \in B,\; |\overleftarrow{f}(\{b\})| = 1$$ ->[!info] Caratterizzazione tramite Controimmagine +>[!note] Caratterizzazione tramite Controimmagine > >f è biettiva ⟺ per ogni b ∈ B, la controimmagine f⁻¹({b}) è un singleton (contiene esattamente un elemento). > @@ -237,7 +237,7 @@ $$ f \text{ è iniettiva } \iff (\forall b \in B) \quad \bigl| f^{-1}(\{b\}) \bi > >Mettendole insieme: |f⁻¹({b})| = 1 -> [!info] Funzione biettiva $\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ +> [!note] Funzione biettiva $\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ >$$f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z},\qquad > f(n)= > \begin{cases} @@ -247,35 +247,35 @@ $$ f \text{ è iniettiva } \iff (\forall b \in B) \quad \bigl| f^{-1}(\{b\}) \bi > (con $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$). ### Equipotenza $\iff \exists f$ Biettiva ->[!info] Equipotenza $\iff \exists f$ Biettiva +>[!note] Equipotenza $\iff \exists f$ Biettiva >$|A| \gt |B| \to \nexists f iniettiva \atop |B| \gt |A| \to \nexists f suriettiva$ $\rbrace \to |A| = |B| \iff \exists f biettiva$ ### Composizione di Funzioni e proprietà -> [!info] Composizione +> [!note] Composizione > Date $f: A \to B$ e $g: B \to C$: > $$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$ > $$(g \circ f) : A \to C$$ ->[!info] Proprietà +>[!note] Proprietà >- Associativa = $(h \circ g) \circ f = h\circ(g\circ f)$ >- Non commutativa = $g \circ f \not= f \circ g$ ### Corrispondenza Complementare ed Inversa ->[!info] Corrispondenza Complementare +>[!note] Corrispondenza Complementare Data una relazione $\varphi \subseteq A \times B$, $\varphi' = (A \times B) \setminus \varphi$. ->[!info] Corrispondenza Inversa +>[!note] Corrispondenza Inversa Data una relazione $\varphi \subseteq A \times B$, $\varphi^{-1} = \{ (b, a) \in B \times A : (a, b) \in \varphi \}$. ### Funzione Inversa ->[!info] Funzione Invertibile +>[!note] Funzione Invertibile >Una funzione f : A → B $\iff \exists$ f⁻¹ : B → A tale che: >1. f⁻¹ ∘ f = idₐ (Comporre f e poi f⁻¹ riporta all'identità sul dominio originale A) >2. f ∘ f⁻¹ = idᵦ (Comporre f⁻¹ e poi f riporta all'identità sul codominio originale B) ->[!info] Teorema Fondamentale: Invertibilità +>[!important] Teorema Fondamentale: Invertibilità >Una funzione $f$ è completamente invertibile $\iff$ biettiva. > >**Dimostrazione** @@ -287,15 +287,15 @@ $\varphi^{-1} = \{ (b, a) \in B \times A : (a, b) \in \varphi \}$. > >Possiamo definire $f^{-1}(b) = a$, che soddisfa le condizioni $f^{-1} \circ f = \text{id}_A$ e $f \circ f^{-1} = \text{id}_B$. -> [!info] Inversa Sinistra +> [!note] Inversa Sinistra > $g \circ f = \mathrm{id}_A$. Esiste $\Longleftrightarrow$ $f$ è **iniettiva**. -> [!info] Inversa Destra +> [!note] Inversa Destra > $f \circ h = \mathrm{id}_B$. Esiste $\Longleftrightarrow$ $f$ è **suriettiva**. ### Operazione $n$-aria ->[!info] Operazione $n$-aria +>[!note] Operazione $n$-aria >Una operazione $n$-aria è una funzione $f : A^n \to A$, dove $A^n = A \times A \times \cdots \times A$ ($n$ volte). >- $n=1 \to$ "Unaria interna" >- $n=2 \to$ "Binaria interna" @@ -305,36 +305,36 @@ $\varphi^{-1} = \{ (b, a) \in B \times A : (a, b) \in \varphi \}$. ## *Lezione 5* — Matrici, Semigruppo, Monoide ### Strutture Algebriche -> [!info] Struttura Algebrica +> [!note] Struttura Algebrica > $(S, \mathcal{O})$ dove $S$ è un insieme non vuoto e $\mathcal{O}$ è una famiglia di operazioni su $S$ (Interne opp. Esterne). #### Matrici -> [!info] Matrice $m \times n$ +> [!note] Matrice $m \times n$ > Tabella rettangolare di $m$ righe e $n$ colonne di elementi di un anello. > **Trasposta:** $(A^T)_{ij} = A_{ji}$. #### Magma ->[!info] Magma +>[!note] Magma >$(S,*)$, con $*$ operazione binaria interna #### Associatività -> [!info] Associatività +> [!note] Associatività > $$\forall a, b, c \in S:\; (a * b) * c = a * (b * c)$$ #### Semigruppo -> [!info] Semigruppo +> [!note] Semigruppo > $(S, *)$ dove $*$ è un'operazione binaria **associativa**. #### Elemento Neutro -> [!info] Elemento Neutro +> [!note] Elemento Neutro > $u \in S$ tale che $\forall a \in S:\; a * u = u * a = a$. > Se esiste, è **unico**. ->[!info] Proposizione: Unicità elemento neutro +>[!note] Proposizione: Unicità elemento neutro > Se in un semigruppo $(S, ∗)$ esiste un elemento neutro "$u$", allora > esso è unico. > - Dimostrazione: @@ -344,7 +344,7 @@ Consideriamo $u_2$. Poiché $u_1$ è neutro (in particolare a sinistra), $u_1 Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_2$. #### Monoide -> [!info] Monoide +> [!note] Monoide > **Semigruppo con elemento neutro**: $(S, *, u)$. > > Esempi: @@ -358,7 +358,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Prodotto di Matrici -> [!info] Prodotto Matriciale +> [!note] Prodotto Matriciale > Date $A \in M_{m \times p}$ e $B \in M_{p \times n}$: > $$c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}$$ > Non commutativo; associativo; la matrice identità $I_n$ è l'elemento neutro. @@ -366,7 +366,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Elemento Invertibile (Simmetrico) -> [!info] Elemento Invertibile opp. Simmetrizzabile +> [!note] Elemento Invertibile opp. Simmetrizzabile > In un monoide $(S, *, u)$, $a \in S$ è **invertibile** se: > $$\exists\, a' \in S:\; a * a' = a' * a = u$$ > L'inverso è **unico**. Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile. @@ -378,14 +378,14 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Gruppo degli Invertibili -> [!info] $U(S)$ — Gruppo degli Invertibili +> [!note] $U(S)$ — Gruppo degli Invertibili > L'insieme degli elementi invertibili di un monoide $(S, *, u)$ è **chiuso** per $*$ e forma un **gruppo** $(U(S), *)$. > > Esempi: $U(\mathbb{N},+) = \{0\}$, $\;U(\mathbb{Z}, \cdot) = \{1,-1\}$, $\;U(\mathbb{Q}, \cdot) = \mathbb{Q}^*$, $\;U(A^A, \circ) = S_A$. ### Parte Stabile (Chiusa) -> [!info] Parte Stabile +> [!note] Parte Stabile > $H \subseteq S$ è **stabile** (o **chiusa**) per $*$ se: > $$\forall h, k \in H:\; h * k \in H$$ > @@ -395,13 +395,13 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > - L'elemento neutro di $H$ sarà lo stesso $u$. ### Gruppo -> [!info] Gruppo +> [!note] Gruppo > $(G, *)$ è un **gruppo** se: > 1. $*$ è **associativa** > 2. Esiste un **elemento neutro** $u$ > 3. Ogni elemento ha un **inverso**: $\forall a \in G,\; \exists\, a^{-1} \in G$ -> [!info] Gruppo Abeliano +> [!note] Gruppo Abeliano > Gruppo in cui $*$ è **commutativa**: $a * b = b * a$. --- @@ -410,33 +410,33 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Inversa di una Matrice $2 \times 2$ -> [!info] Inversa $2 \times 2$ +> [!note] Inversa $2 \times 2$ > Sia $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ con $\det(A) = ad - bc \neq 0$: > $$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ ### Anello -> [!info] Anello +> [!note] Anello > $(A, +, \cdot)$ è un **anello** se: > 1. $(A, +)$ è un **gruppo abeliano** > 2. $(A, \cdot)$ è un **semigruppo** > 3. Valgono le **proprietà distributive** (sinistra e destra): > $$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \qquad (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$$ -> [!info] Anello Commutativo +> [!note] Anello Commutativo > $(S,\cdot)$ commutativo > $a \cdot b = b \cdot a$ per ogni $a, b$. -> [!info] Anello Unitario +> [!note] Anello Unitario > $(S,\cdot)$ monoide > Esiste un'unità $1_A$ tale che $a \cdot 1_A = 1_A \cdot a = a$. -> [!info] Anello Booleano +> [!note] Anello Booleano > $(S,\cdot) idempotenza prodotto$ > Anello con $a \cdot a = a$ per ogni $a$. Esempio: $(\mathcal{P}(S), \triangle, \cap)$. ### Caratteristica di un Anello Unitario -> [!info] Caratteristica +> [!note] Caratteristica > $$\mathrm{char}(A) = \min\{m > 0 \mid \underbrace{1_A + \cdots + 1_A}_{m} = 0_A\}$$ > Se tale $m$ non esiste, $\mathrm{char}(A) = 0$. > @@ -444,7 +444,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Elemento Cancellabile -> [!info] Cancellabilità +> [!note] Cancellabilità > $a$ è **cancellabile a sinistra** se $a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b = c$. > $a$ è **cancellabile a destra** se $b \cdot a = c \cdot a \Rightarrow b = c$. > **Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile** (il viceversa non vale in generale). @@ -457,7 +457,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Divisore dello Zero -> [!info] Divisore dello Zero +> [!note] Divisore dello Zero > $a \neq 0_A$ è **divisore dello zero** se $\exists\, b \neq 0_A:\; a \cdot b = 0_A$. > $$a \neq 0 \text{ è divisore dello zero} \;\Longleftrightarrow\; a \text{ non è cancellabile}$$ @@ -476,12 +476,12 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Omomorfismo -> [!info] Omomorfismo +> [!note] Omomorfismo > $f: (S, *) \to (T, \perp)$ è un **omomorfismo** se: > $$f(a * b) = f(a) \perp f(b) \quad \forall a, b \in S$$ ### Dominio d'Integrità e campi -> [!info] Dominio d'Integrità +> [!note] Dominio d'Integrità > Un anello $(A, +, \cdot)$ è un **dominio d'integrità** se: > - È **commutativo** > - È **unitario** (con $1_A \neq 0_A$) @@ -489,13 +489,13 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > > **Esempi:** $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$. -> [!info] Corpo +> [!note] Corpo > Un anello $(K, +, \cdot)$ è un **corpo** se: > - È **unitario** (con $1_K \neq 0_K$) > - $(K^*, \cdot)$ è un **gruppo** (dove $K^* = K \setminus \{0_K\}$) > Equivalentemente: $\mathcal{U}(K^*) = K \setminus \{0_K\}$, ossia ogni elemento non nullo è invertibile/simmetrizzabile. -> [!info] Campo +> [!note] Campo > Un **campo** è un **corpo commutativo**, ossia: > - È un corpo > - La moltiplicazione "$\cdot$" è **commutativa** @@ -510,7 +510,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ >QUINDI >- Cancellabile $\implies \nexists$ Divisori dello zero -> [!info] Teorema di Wedderburn +> [!important] Teorema di Wedderburn > Ogni **corpo finito** è anche un **campo**. > - Spiegazione: > Il teorema dimostra che se l'insieme degli elementi è finito, è matematicamente impossibile costruire una struttura dove valga l'invertibilità senza che valga anche la commutatività @@ -521,7 +521,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Spazio Vettoriale -> [!info] Spazio Vettoriale +> [!note] Spazio Vettoriale > Sia $K$ un campo. Un **$K$-spazio vettoriale** è una struttura $(V, +, \cdot_{\text{ext}})$ dove: > > 1. $(V, +)$ è un **gruppo abeliano** (vettori, somma vettoriale, vettore nullo $0_V$) @@ -534,7 +534,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Gruppo Simmetrico -> [!info] Gruppo Simmetrico $S_n$ +> [!note] Gruppo Simmetrico $S_n$ > Sia $S$ un insieme con $|S| = n$ (spesso $S = \{1, 2, \ldots, n\}$). > > **$\mathcal{B}(S)$** = insieme delle permutazioni (biiezioni) di $S$. @@ -543,10 +543,10 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > - $|S_n| = n!$ > - Non abeliano per $n \geq 3$ -> [!info] Notazione Ciclica +> [!note] Notazione Ciclica > Un **ciclo** $(c_1c_2\cdots c_k)$: $\sigma(c_i) = c_{i+1}$, $\sigma(c_k) = c_1$, $\sigma(x) = x$ altrimenti. -> [!info] **Teorema di Scomposizione Canonica (Permutazioni)** +> [!important] **Teorema di Scomposizione Canonica (Permutazioni)** > > - *Enunciato* > Ogni permutazione $\sigma \in S_n$ diversa dall'identità si può scrivere come prodotto di cicli disgiunti. Tale scomposizione è **unica a meno dell'ordine** con cui i cicli compaiono nel prodotto. @@ -564,7 +564,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > - *Esempio* > $$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 7 & 1 & 5 & 6 & 3 & 9 & 8 \end{pmatrix} = (124)(37)(89)$$ -> [!info] Inversa di Cicli +> [!note] Inversa di Cicli > **Ciclo:** $(c_1c_2\cdots c_k)^{-1} = (c_1c_kc_{k-1}\cdots c_2)$ > > **Esempio:** $(1743)^{-1} = (1347)$ @@ -574,38 +574,38 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Tavole di Cayley -> [!info] Proprietà visibili dalle Tavole +> [!note] Proprietà visibili dalle Tavole > - **Commutatività** $\Longleftrightarrow$ tabella simmetrica rispetto alla diagonale > - **Cancellabilità** $\Longleftrightarrow$ nessuna ripetizione nelle righe e colonne > - **Elemento Neutro** $\Longleftrightarrow$ c'è una riga ed una colonna con elementi uguali agli indici > - **Simmetrizzabili** $\Longleftrightarrow$ l'operazione $*$ restituisce l'elemento neutro -> [!info] Cancellabilità in Strutture Finite +> [!important] Cancellabilità in Strutture Finite > In un magma **finito** $(S, *)$, un elemento $a$ è **cancellabile** se e solo se la funzione $x \mapsto a * x$ è **iniettiva** (e quindi biettiva, essendo $S$ finito). ### Elemento Nilpotente -> [!info] Nilpotente +> [!note] Nilpotente > $a \in A$ è **nilpotente** se $\exists\, n \geq 1:\; a^n = 0_A$. > **Nilpotente non nullo $\Longrightarrow$ Divisore dello zero.** ### Divisibilità -> [!info] Divisibilità +> [!note] Divisibilità > $$b \mid a \;\Longleftrightarrow\; \exists c:\; a = b \cdot c$$ > - $\mathrm{div}(a)$: insieme dei divisori di $a$. > - $\mathrm{mult}(b)$: insieme dei multipli di $b$. ### Elementi Associati -> [!info] Associati +> [!note] Associati > > Sia $x,y \in A$ un anello commutativo unitario. > $x \sim y \;\Longleftrightarrow\; \exists\, u \in U(A):\; x = u \cdot y$. > È una **relazione di equivalenza**. ### Divisori Banali e Propri -> [!info] Divisori Banali e Propri +> [!note] Divisori Banali e Propri > Sia $a \in A$ un anello unitario. > - I **divisori banali** di $a$ sono gli elementi **associati** a $1$ (cioè gli invertibili $U(A)$) e gli associati ad $a$ stesso. > - Un **divisore proprio** è un divisore di $a$ che non è né banale né invertibile. @@ -613,22 +613,22 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### MCD e mcm -> [!info] Massimo Comun Divisore +> [!note] Massimo Comun Divisore > $e = \mathrm{MCD}(a, b)$ se: > 1. $e \mid a$ e $e \mid b$ > 2. $\forall x:\; (x \mid a \;\wedge\; x \mid b) \Rightarrow x \mid e$ -> [!info] Minimo Comune Multiplo +> [!note] Minimo Comune Multiplo > $m = \mathrm{mcm}(a, b)$ se: > 1. $a \mid m$ e $b \mid m$ > 2. $\forall x:\; (a \mid x \;\wedge\; b \mid x) \Rightarrow m \mid x$ ### Numero Primo -> [!info] Primo +> [!note] Primo > $p$ è **primo** se $p \notin U(\mathbb{Z})$ e $\mathrm{div}(p) = \{1, -1, p, -p\}$. -> [!info] Lemma di Euclide +> [!important] Lemma di Euclide > Se $p$ è primo e $p \mid ab$, allora $p \mid a$ oppure $p \mid b$. > [!tip] Dimostrazione — Lemma di Euclide @@ -641,7 +641,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > Quindi $p \mid (pxb + aby) = b$. $\square$ ### Aritmentica in $\mathbb{Z}$ -> [!info] Aritmetica in $\mathbb{Z}$ +> [!note] Aritmetica in $\mathbb{Z}$ > > $\mathbb{Z}$ è un **dominio d'integrità** speciale con proprietà aritmetiche fondamentali: > @@ -661,14 +661,14 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Relazioni Binarie — Proprietà -> [!info] 9.12 — Relazione Binaria su $A$ +> [!note] 9.12 — Relazione Binaria su $A$ > Una **relazione binaria** $R$ su $A$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A \times A$. > > Formalmente: $R = (A \times A, G)$ dove $G \subseteq A \times A$ è il **grafo**. > > Scriviamo: $aRb \Leftrightarrow (a, b) \in G$ -> [!info] Relazione Banali +> [!note] Relazione Banali > - **Relazione Totale**: > $G = A \times A$ > $\forall a, b \in A: \, aRb$ @@ -677,7 +677,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > $G = \text{Diag}(A) = \{(a, a) \mid a \in A\}$ > $aRb \Leftrightarrow a = b$ -> [!info] Proprietà di una Relazione $R \subseteq A \times A$ +> [!note] Proprietà di una Relazione $R \subseteq A \times A$ > | Proprietà | Definizione | > |:----------|:-----------| > | **Riflessiva** | $\forall x \in A,\; xRx$ | @@ -693,7 +693,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Insieme Ben Ordinato -> [!warning] Anticipazione: +> [!caution] Anticipazione: > ##### Insieme Parzialmente Ordinato (POSet: Partial Order Set) > Un **insieme parzialmente ordinato** è una coppia $(S, \leq)$ dove $\leq$ è una relazione che soddisfa $\forall a, b, c \in S$: > @@ -706,7 +706,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ > ##### Quindi: > Ben Ordinato $\subset$ Totalmente Ordinato $\subset$ Parzialmente Ordinato (Poset) -> [!info] Ben Ordinato +> [!note] Ben Ordinato > $(S, \leq)$ è **ben ordinato** se ogni sottoinsieme non vuoto ammette un **minimo**. > Ben ordinato $\Longrightarrow$ totalmente ordinato. > Esempio: $(\mathbb{N}, \leq)$. @@ -714,15 +714,15 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Principio di Induzione Si basa sul fatto che $(N, ≤)$ è ben ordinato -> [!info] Forma I (Standard) +> [!note] Forma I (Standard) > Se $P(\bar{n})$ è vera e $\forall n \geq \bar{n}:\; P(n) \Rightarrow P(n+1)$, allora $P(n)$ è vera $\forall n \geq \bar{n}$. -> [!info] Forma II (Forte) +> [!note] Forma II (Forte) > Se $P(\bar{n})$ è vera e $\forall n > \bar{n}:\; \bigl[\forall i\;(\bar{n} \leq i < n \Rightarrow P(i))\bigr] \Rightarrow P(n)$, allora $P(n)$ è vera $\forall n \geq \bar{n}$. ### Divisione Euclidea -> [!info] Teorema della Divisione Euclidea +> [!important] Teorema della Divisione Euclidea > $\forall\, m, n \in \mathbb{Z},\; n \not= 0,\; \exists!\, q, r \in \mathbb{Z}:$ > $$m = n \cdot q + r, \qquad 0 \leq r < |n|$$ @@ -740,7 +740,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Identità di Bézout -> [!info] Identità di Bézout +> [!important] Identità di Bézout > $$\mathrm{MCD}(a, b) = a \cdot x + b \cdot y \quad \text{per opportuni } x, y \in \mathbb{Z}$$ > Corollario: $a, b$ coprimi $\Longleftrightarrow$ $\exists\, x, y:\; ax + by = 1$. @@ -771,7 +771,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Relazione d'Equivalenza -> [!info] Equivalenza +> [!note] Equivalenza > Una relazione binaria $R$ su $A$ è di **equivalenza** se è: > 1. **Riflessiva** > 2. **Simmetrica** @@ -779,7 +779,7 @@ Mettendo insieme le due uguaglianze: $u_1 = u_1 ∗ u_2 = u_2$. Quindi $u_1 = u_ ### Relazione d'Ordine come accennato... -> [!info] Ordine (Parziale) +> [!note] Ordine (Parziale) > Una relazione su $A$ è d'**ordine** se è : > - riflessiva, > - **antisimmetrica** @@ -788,7 +788,7 @@ come accennato... ### Grafo ->[!info] Definizione di garfo +>[!note] Definizione di garfo >Una relazione su A è un **grafo** se è: >- Antiriflessivo >- Simmetrico @@ -799,18 +799,18 @@ come accennato... ### Algoritmo di Euclide -> [!info] Algoritmo di Euclide +> [!note] Algoritmo di Euclide > Calcola $\mathrm{MCD}(a, b)$ tramite divisioni successive: si divide ripetutamente il dividendo per il resto, finché il resto è $r = 0$. L'ultimo resto non nullo è il MCD. > $$MCD(a,b) = MCD(b,r)$$ ### Algoritmo Esteso di Euclide -> [!info] Algoritmo Esteso +> [!note] Algoritmo Esteso > Risalendo le divisioni dell'Algoritmo di Euclide, si trovano i **coefficienti di Bézout** $x, y$ tali che $ax + by = \mathrm{MCD}(a, b)$. ### Lemma D'Euclide -> [!info] Lemma di Euclide +> [!important] Lemma di Euclide > Se $p$ è un numero primo e $p \mid ab$, allora $p \mid a$ oppure $p \mid b$. > > **Dimostrazione (Idea):** Se $p \nmid a$, allora MCD$(p, a) = 1$. Per Bézout, @@ -818,7 +818,7 @@ come accennato... > Moltiplichiamo per $b$: $pxb + ayb = b$. Poiché $p \mid pxb$ e $p \mid ayb$ (dato che $p \mid ab$), allora $p$ divide la loro somma, cioè $p \mid b$. ### Teorema Fondamentale dell'Aritmetica -> [!info] FTA +> [!important] FTA > Ogni intero $n \geq 2$ si scrive in modo **unico** (a meno dell'ordine) come prodotto di numeri primi: > $$n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$ >- **Unicità della Fattorizzazione :** @@ -829,7 +829,7 @@ allora: $(m = n)$ (stesso numero di fattori), e $(p_i = q_i)\,\space \forall i$ > - **Ruolo del Lemma di Euclide :** Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: se un primo $p \mid (a\cdot b), \implies p\mid a \lor p\mid b$ -> [!info] Dimostrazione Th. Fondamenta della aritmetica +> [!important] Dimostrazione Th. Fondamenta della aritmetica > - Parte 1: Esistenza della fattorizzazione > > **Per induzione su $n$:** @@ -874,7 +874,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Classi di Equivalenza -> [!info] Classe di Equivalenza +> [!note] Classe di Equivalenza > $$[a]_R = \{x \in S \mid x \mathrel{R} a\}$$ > Proprietà: > - Ogni classe è **non vuota** ($a \in [a]$) @@ -883,7 +883,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Insieme Quoziente -> [!info] Insieme Quoziente +> [!note] Insieme Quoziente > $$S / R = \{[a]_R \mid a \in S\}$$ > L'insieme di tutte le classi di equivalenza disgiunte. @@ -893,7 +893,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ## *Lezione 12* — Equivalenza ↔ Partizioni, Congruenza, Anello $\mathbb{Z}_m$ ### Th. Fondamentale sulle relazioni di equivalenza -> [!info] Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza +> [!important] Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza > > Sia $S \neq \varnothing$. Esiste una corrispondenza biunivoca tra: > - L'insieme di tutte le **relazioni di equivalenza** su $S$ @@ -904,7 +904,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: > - Se $\mathcal{F}$ è una partizione, allora $x R_{\mathcal{F}} y \Leftrightarrow \exists A \in \mathcal{F}: x, y \in A$ è una relazione di equivalenza > - Queste costruzioni sono una l'inversa dell'altra -> [!info] Dimostrazione: Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza +> [!important] Dimostrazione: Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza > > ### Parte i) Relazione $\Rightarrow$ Partizione > @@ -967,7 +967,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Relazione di Equivalenza Indotta da Funzione -> [!info] Relazione di Equivalenza indotta da una Funzione +> [!note] Relazione di Equivalenza indotta da una Funzione > > Siano $S, T$ insiemi non vuoti e $f : S \to T$ una funzione. > @@ -985,7 +985,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Applicazione Quoziente (Fattorizzazione) -> [!info] Fattorizzazione +> [!note] Fattorizzazione > Data $f: S \to T$ e la relazione $R_f$, l'**applicazione quoziente** è: > $$\bar{f}: S/R_f \to T, \qquad \bar{f}([a]) = f(a)$$ > È **ben definita** e **iniettiva**. Vale $f = \bar{f} \circ \pi$ (dove $\pi$ è la proiezione canonica). @@ -997,7 +997,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Congruenza (Compatibilità) -> [!info] Congruenza (Relazione di Equivalenza Compatibile) +> [!note] Congruenza (Relazione di Equivalenza Compatibile) > > Sia $(S, \bot)$ una struttura con un'operazione binaria $\bot$. Una relazione di equivalenza $R$ su $S$ si dice **congruenza** (o **compatibile**) rispetto a $\bot$ se: > @@ -1016,7 +1016,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: > > La struttura quoziente $(S/R, \bot_R)$ eredita le proprietà algebriche di $(S, \bot)$. -> [!warning] Operazione "Ben definita" +> [!attention] Operazione "Ben definita" > > Se scegliamo altri rappresentanti $[a]_R = [c]_R$ (cioè $aRc$) e $[b]_R = [d]_R$ (cioè $bRd$), il risultato non deve cambiare: > $$[a \bot b]_R \text{ deve essere uguale a } [c \bot d]_R$$ @@ -1030,7 +1030,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: > Quindi l'operazione $\bot_R$ su $S/R$ è **ben definita**. ### Congruenza Modulo $m$ -> [!info] Congruenza Modulo $m$ +> [!note] Congruenza Modulo $m$ > $$a \equiv b \pmod{m} \;\Longleftrightarrow\; m \mid (a - b)$$ > Equivalentemente: $a$ e $b$ hanno lo **stesso resto** nella divisione per $m$. > @@ -1038,7 +1038,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: > - $m = 0$: la congruenza è l'**uguaglianza** > - $m = 1$: la relazione è **totale** (sempre vera) -> [!info] Compatibilità con $+$ e $\cdot$ +> [!note] Compatibilità con $+$ e $\cdot$ > Se $a \equiv c$ e $b \equiv d$ $\pmod{m}$, allora: > $$a + b \equiv c + d \pmod{m} \qquad a \cdot b \equiv c \cdot d \pmod{m}$$ > >[!tip] Dimostrazione — Compatibilità @@ -1048,7 +1048,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: >> >> **Prodotto:** $ab = (c + mh)(d + mk) = cd + m(ck + hd + mhk)$, dunque $ab - cd = m(ck + hd + mhk)$ e $m \mid (ab - cd)$. $\square$ -> [!info] Anello $\mathbb{Z}_m$ +> [!note] Anello $\mathbb{Z}_m$ > L'insieme quoziente $\mathbb{Z}_m = \{[0]_m, [1]_m, \ldots, [m-1]_m\}$ con: > $$[a] + [b] = [a + b], \qquad [a] \cdot [b] = [a \cdot b]$$ > è un **anello commutativo unitario**. @@ -1059,7 +1059,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### $\mathbb{Z}_m$ è un Campo -> [!info] Teorema +> [!important] Teorema > $(\mathbb{Z}_m, +, \cdot)$ è un **campo** se e solo se $m$ è un numero **primo**. > [!tip] Dimostrazione — $\mathbb{Z}_m$ campo: $\Longleftrightarrow$ $m$ primo @@ -1071,7 +1071,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Caratteristica di $\mathbb{Z}_m$ -> [!info] Caratteristica +> [!note] Caratteristica > $$\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m) = m$$ @@ -1081,13 +1081,13 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Invertibili e Divisori dello Zero in $\mathbb{Z}_m$ -> [!info] Invertibili +> [!note] Invertibili > $[a]_m$ è **invertibile** in $\mathbb{Z}_m$ $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, m) = 1$. -> [!info] Divisori dello Zero +> [!note] Divisori dello Zero > $[a]_m \neq [0]_m$ è **divisore dello zero** in $\mathbb{Z}_m$ $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, m) > 1$. -> [!info] Dicotomia +> [!note] Dicotomia > In $\mathbb{Z}_m$, ogni $[a] \neq [0]$ è **o invertibile o divisore dello zero**. > [!tip] Dimostrazione — Invertibili e Divisori dello Zero in $\mathbb{Z}_m$ @@ -1113,12 +1113,12 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Elementi Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ -> [!info] Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ +> [!note] Nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ > Sia $m = p_1^{\alpha_1} \cdots p_t^{\alpha_t}$. Allora $[a]_m$ è nilpotente $\iff$ ogni divisore primo di $m$ divide anche $a$. ### Equazioni Congruenziali -> [!info] Teorema di Risolubilità +> [!important] Teorema di Risolubilità > L'equazione $ax \equiv b \pmod{m}$ ha soluzione $\;\Longleftrightarrow\;$ $d \mid b$, dove $d = \mathrm{MCD}(a, m)$. > Se ha soluzione, ci sono esattamente **$d$ soluzioni distinte** modulo $m$. > Se $d = 1$, la soluzione unica è $x \equiv a^{-1} b \pmod{m}$. @@ -1129,13 +1129,13 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Elemento Idempotente -> [!info] Idempotente in $\mathbb{Z}_m$ +> [!note] Idempotente in $\mathbb{Z}_m$ > $[a]_m$ è **idempotente** se $[a]^2 = [a]$, cioè $m \mid a(a-1)$. > Sempre idempotenti: $[0]$ e $[1]$. ### Criteri di Divisibilità (via Aritmetica Modulare) -> [!info] Formula Generale +> [!note] Formula Generale > Sia $n = c_k \cdot 10^k + \cdots + c_1 \cdot 10 + c_0$. Allora: > $$n \equiv \sum_{i=0}^{k} c_i \cdot (10^i \bmod m) \pmod{m}$$ | Divisore | Criterio | @@ -1151,19 +1151,19 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ### Corollario: $\mathbb{Z}_n$ Dominio d'Integrità $\mathbb{Z}_n$ equivale a $\mathbb{Z}_m$ ma con $n \not= m$ -> [!info] Dominio +> [!note] Dominio > $\mathbb{Z}_n$ è un **dominio d'integrità** $\;\Longleftrightarrow\;$ $n$ è primo $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathbb{Z}_n$ è un campo. ### Anello Prodotto -> [!info] **Definizione** +> [!note] **Definizione** > L'anello prodotto $R \times S = \{(r,s) \mid r \in R, s \in S\}$ con operazioni componente per componente: > - $(r_1,s_1) + (r_2,s_2) = (r_1+r_2, s_1+s_2)$ > - $(r_1,s_1) \cdot (r_2,s_2) = (r_1 \cdot r_2, s_1 \cdot s_2)$ > - Zero: $\mathbf{0} = (0_R, 0_S)$ > - Unità: $\mathbf{1} = (1_R, 1_S)$ (se $R,S$ unitari) -> [!info] **Proprietà Fondamentali** +> [!note] **Proprietà Fondamentali** > > | Proprietà | Risultato | > |---|---| @@ -1174,7 +1174,7 @@ $\mathbb{Z}_n$ equivale a $\mathbb{Z}_m$ ma con $n \not= m$ > | **Caratteristica** | $\mathrm{char}(R \times S) = \mathrm{mcm}(\mathrm{char}(R), \mathrm{char}(S))$ | > | **Campo** | Se $F,K$ campi ⟹ $F \times K$ **NON è campo** (ha divisori dello zero) | -> [!info] **Teorema Cinese dei Resti (TCR)** +> [!note] **Teorema Cinese dei Resti (TCR)** > $$\mathbb{Z}_{mn} \cong \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{MCD}(m,n) = 1$$ > > **Isomorfismo:** $\phi([a]_{mn}) = ([a]_m, [a]_n)$ @@ -1183,14 +1183,14 @@ $\mathbb{Z}_n$ equivale a $\mathbb{Z}_m$ ma con $n \not= m$ > > **Esempio:** $\mathbb{Z}_{15} \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5$ (poiché $\gcd(3,5)=1$) -> [!info] **Riassunto Critico** +> [!note] **Riassunto Critico** > - ✓ Operazioni componente per componente funzionano perfettamente > - ✗ Divisori dello zero sempre presenti (perdita proprietà integralità) > - ✗ Non è mai un campo anche se fattori sono campi > - ✓ TCR consente di fattorizzare calcoli complessi quando fattori sono coprimi > - ✓ Invertibili sono il prodotto cartesiano di invertibili -> [!info] Caratteristica dell'Anello Prodotto +> [!note] Caratteristica dell'Anello Prodotto > $$\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) = \mathrm{mcm}(\mathrm{char}(\mathbb{Z}_m),\, \mathrm{char}(\mathbb{Z}_n)) = \mathrm{mcm}(m, n)$$ --- @@ -1198,13 +1198,13 @@ $\mathbb{Z}_n$ equivale a $\mathbb{Z}_m$ ma con $n \not= m$ ### Equazione Diofantea Lineare -> [!info] Equazione Diofantea +> [!note] Equazione Diofantea > $ax + by = c$ con $a, b, c \in \mathbb{Z}$, soluzioni $x, y \in \mathbb{Z}$. > Ha soluzione $\;\Longleftrightarrow\;$ $\mathrm{MCD}(a, b) \mid c$. ### Funzione Totiente di Eulero -> [!info] Funzione $\varphi(n)$ +> [!note] Funzione $\varphi(n)$ > $$\varphi(n) = |U(\mathbb{Z}_n)| = |\{k \in \{0, \ldots, n-1\} \mid \mathrm{MCD}(k, n) = 1\}|$$ > > Proprietà: @@ -1214,15 +1214,15 @@ $\mathbb{Z}_n$ equivale a $\mathbb{Z}_m$ ma con $n \not= m$ ### Teorema di Fermat-Eulero -> [!info] Fermat-Eulero +> [!important] Fermat-Eulero > Se $\mathrm{MCD}(a, n) = 1$, allora: > $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$$ ->> [!info] Piccolo Teorema di Fermat +>> [!important] Piccolo Teorema di Fermat >> Se $p$ è primo e $p \nmid a$: >> $$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$ ### Coefficiente Binomiale Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme di oggetti, senza considerare l'ordine e senza ripetizioni. -> [!info] **Fattoriale e Coefficiente Binomiale** +> [!note] **Fattoriale e Coefficiente Binomiale** > > >[!info] **Fattoriale:** $n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$ per $n \geq 1$; $0! = 1$ > @@ -1239,7 +1239,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Identità di Pascal -> [!info] Identità di Pascal +> [!important] Identità di Pascal > $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$ > [!tip] Dimostrazione — Identità di Pascal > $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k+1)!}$$ @@ -1248,7 +1248,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Somma dei Coefficienti Binomiali -> [!info] Somma +> [!note] Somma > $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$ >> [!tip] Dimostrazione — $|\mathcal{P}(S)| = 2^{|S|}$ (per induzione) >> *Base:* $n = 0$: $|\mathcal{P}(\emptyset)| = |\{\emptyset\}| = 1 = 2^0$. @@ -1259,7 +1259,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Applicazioni Iniettive -> [!info] Conteggio +> [!note] Conteggio > Il numero di applicazioni iniettive $f: S \to T$ con $|S| = n$, $|T| = m$, $n \leq m$: > $$\frac{m!}{(m-n)!}$$ >> [!tip] Dimostrazione — Conteggio applicazioni iniettive (per induzione su $n$) @@ -1271,7 +1271,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Binomio di Newton -> [!info] Binomio di Newton +> [!important] Binomio di Newton > $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k$$ > [!tip] Dimostrazione — Binomio di Newton (per induzione su $n$) > *Base:* $n = 0$: $(a+b)^0 = 1 = \binom{0}{0} a^0 b^0$. @@ -1293,13 +1293,13 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Insieme Parzialmente Ordinato (POSet) -> [!info] Insieme Parzialmente Ordinato +> [!note] Insieme Parzialmente Ordinato > Un **insieme parzialmente ordinato** (POSet) è una coppia $(S, \leq)$ dove $\leq$ è una relazione d'ordine su $S$. > Se l'ordine è totale, si parla di **insieme totalmente ordinato**. ### Ordine Largo -> [!info] Relazione d'Ordine (Largo, Parziale) +> [!note] Relazione d'Ordine (Largo, Parziale) > Una relazione $\leq$ su $S$ è d'**ordine** se è: > 1. **Riflessiva:** $\forall x \in S,\; x \leq x$ > 2. **Antisimmetrica:** $\forall x, y \in S,\; (x \leq y \wedge y \leq x) \Rightarrow x = y$ @@ -1307,7 +1307,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Ordine Stretto -> [!info] Ordine Stretto +> [!note] Ordine Stretto > Una relazione $<$ su $S$ è d'**ordine stretto** se è: > 1. **Antiriflessiva:** $\forall x \in S,\; x \not< x$ > 2. **Transitiva:** $\forall x, y, z \in S,\; (x < y \wedge y < z) \Rightarrow x < z$ @@ -1319,13 +1319,13 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Corrispondenza Largo ↔ Stretto -> [!info] Relazione tra Ordine Largo e Stretto +> [!note] Relazione tra Ordine Largo e Stretto > Esiste una corrispondenza biunivoca tra ordine largo e stretto sullo stesso insieme: > $$x < y \;\Longleftrightarrow\; (x \leq y \;\wedge\; x \neq y)$$ > $$x \leq y \;\Longleftrightarrow\; (x < y \;\vee\; x = y)$$ ### Ordine Totale -> [!info] Ordine Totale (o Lineare) +> [!note] Ordine Totale (o Lineare) > Un ordine $\leq$ su $S$ è **totale** se ogni coppia di elementi è **confrontabile**: > $$\forall x, y \in S:\; x \leq y \;\vee\; y \leq x$$ > Se un ordine non è totale, è detto **parziale**. @@ -1336,7 +1336,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Elemento Minimo e Massimo -> [!info] Minimo e Massimo +> [!note] Minimo e Massimo > Sia $(S, \leq)$ un insieme ordinato: > - $a$ è **minimo** se $a \leq x$ per ogni $x \in S$. Se esiste, è **unico**. > - $a$ è **massimo** se $x \leq a$ per ogni $x \in S$. Se esiste, è **unico**. @@ -1350,31 +1350,31 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Elemento Minimale e Massimale -> [!info] Minimale e Massimale +> [!note] Minimale e Massimale > Sia $(S, \leq)$ un insieme ordinato: > - $a$ è **minimale** se non esiste $x \in S$ con $x < a$. Equivalentemente: $\forall x \in S,\; (x \leq a \Rightarrow x = a)$. > - $a$ è **massimale** se non esiste $x \in S$ con $a < x$. Equivalentemente: $\forall x \in S,\; (a \leq x \Rightarrow x = a)$. -> [!info] Relazione tra Minimo e Minimale +> [!note] Relazione tra Minimo e Minimale > - Minimo $\Rightarrow$ unico elemento minimale > - Un minimale unico **non è necessariamente** il minimo > - In un ordine **totale**, minimale $\Longleftrightarrow$ minimo -> [!info] Teorema — Poset Finiti +> [!important] Teorema — Poset Finiti > Ogni insieme **finito non vuoto** parzialmente ordinato possiede almeno un elemento **minimale** e almeno un elemento **massimale**. > > **Controesempio per insiemi infiniti:** $(\mathbb{Z}, \leq)$ non ha né minimali né massimali. ### Copertura (Successore Immediato) -> [!info] Copertura +> [!note] Copertura > Sia $(S, \leq)$ un poset. L'elemento $b$ **copre** $a$ se: > $$a < b \;\wedge\; \nexists\, c \in S:\; a < c < b$$ > Cioè $b$ è "immediatamente sopra" $a$ nell'ordine (è il successore immediato). ### Diagramma di Hasse -> [!info] Diagramma di Hasse +> [!note] Diagramma di Hasse > Rappresentazione grafica di un poset finito $(S, \leq)$: > - Vertici: elementi di $S$ > - Archi: solo le relazioni di **copertura** @@ -1383,7 +1383,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Insieme Ben Ordinato -> [!info] Ben Ordinato +> [!note] Ben Ordinato > $(S, \leq)$ è **ben ordinato** se ogni sottoinsieme non vuoto $X \subseteq S$ ammette un **minimo**. > - Ben ordinato $\Rightarrow$ totalmente ordinato > - **Esempio:** $(\mathbb{N}, \leq)$ @@ -1391,7 +1391,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Minoranti e Maggioranti -> [!info] Minorante e Maggiorante +> [!note] Minorante e Maggiorante > Sia $(S, \leq)$ un poset e $X \subseteq S$: > - $a \in S$ è un **minorante** di $X$ se $a \leq x$ per ogni $x \in X$ > - $a \in S$ è un **maggiorante** di $X$ se $x \leq a$ per ogni $x \in X$ @@ -1400,19 +1400,19 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Infimo e Supremo -> [!info] Infimo +> [!note] Infimo > $$\inf(X) = \max(\text{minoranti di } X)$$ > Il **più grande** tra i minoranti di $X$ (se esiste). -> [!info] Supremo +> [!note] Supremo > $$\sup(X) = \min(\text{maggioranti di } X)$$ > Il **più piccolo** tra i maggioranti di $X$ (se esiste). -> [!info] Relazione con Minimo e Massimo +> [!note] Relazione con Minimo e Massimo > - Se $\min(X)$ esiste, allora $\inf(X) = \min(X)$ > - Se $\max(X)$ esiste, allora $\sup(X) = \max(X)$ -> [!info] Esempio Fondamentale: $(\mathbb{N}^*, \mid)$ +> [!note] Esempio Fondamentale: $(\mathbb{N}^*, \mid)$ > Per $X = \{60, 54\}$: > - **Minoranti** = divisori comuni = $\{1, 2, 3, 6\}$ > - **Infimo** = massimo dei minoranti = $6 = \mathrm{MCD}(60, 54)$ @@ -1442,7 +1442,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Divisibilità come Relazione d'Ordine -> [!info] Divisibilità su $\mathbb{N}^*$ +> [!note] Divisibilità su $\mathbb{N}^*$ > La relazione di divisibilità "$\mid$" su $\mathbb{N}^*$ è una **relazione d'ordine parziale(Largo)**: > 1. **Riflessiva:** $a \mid a$ per ogni $a \in \mathbb{N}^*$ > 2. **Antisimmetrica:** Se $a \mid b$ e $b \mid a$ con $a, b > 0$, allora $a = b$ @@ -1454,7 +1454,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme > - Minimo: $\min(\mathbb{N}^*, \mid) = 1$ > - Massimo: non esiste -> [!info] Divisibilità su $\mathbb{Z}$ — Non è un Ordine +> [!note] Divisibilità su $\mathbb{Z}$ — Non è un Ordine > La relazione "$\mid$" su $\mathbb{Z}$ **non** è una relazione d'ordine perché **non è antisimmetrica**. > > **Controesempio:** $2 \mid (-2)$ e $(-2) \mid 2$, ma $2 \neq -2$. @@ -1462,7 +1462,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Ordine Indotto da una Funzione -> [!info] Ordine Indotto +> [!note] Ordine Indotto > Sia $f: S \to T$ una funzione e $(T, \leq_T)$ un insieme ordinato. Su $S$ definiamo la relazione: > $$a \leq_f b \;\Longleftrightarrow\; (a = b) \;\vee\; (f(a) <_T f(b))$$ > Questa è una **relazione d'ordine** su $S$. @@ -1480,7 +1480,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme > - Se $a \neq b$ e $b \neq c$: allora $f(a) <_T f(b) <_T f(c)$, da cui $f(a) <_T f(c)$ e $a \leq_f c$. > $\square$ -> [!warning] TIPS: +> [!attention] TIPS: > Nota come l'ordine indotto definisce la relazione nello stesso modo come la: > $$\text{ordine Largo} \implies (a=b) \lor \text{ordine stretto}$$ --- @@ -1489,14 +1489,14 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Reticolo (Definizione tramite Ordine) -> [!info] Reticolo +> [!note] Reticolo > Un poset $(L, \leq)$ è un **reticolo** se per ogni coppia $a, b \in L$ esistono: > - $\inf\{a, b\} = a \wedge b$ (**meet**, infimo di due elementi) > - $\sup\{a, b\} = a \vee b$ (**join**, supremo di due elementi) ### Reticolo (Definizione Algebrica) -> [!info] Reticolo (struttura algebrica) +> [!note] Reticolo (struttura algebrica) > Una struttura $(L, \wedge, \vee)$ è un **reticolo** se $\wedge$ e $\vee$ sono operazioni binarie che soddisfano: > 1. **Associatività:** > - $(a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)$ @@ -1510,7 +1510,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Idempotenza (Conseguenza) -> [!info] Idempotenza +> [!note] Idempotenza > Dalle leggi di assorbimento derivano le **proprietà di idempotenza**: > $$a \wedge a = a \qquad \qquad a \vee a = a$$ >> [!tip] Dimostrazione — Idempotenza @@ -1520,7 +1520,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Equivalenza tra le Due Definizioni -> [!info] Teorema — Equivalenza Ordine ↔ Algebrica +> [!important] Teorema — Equivalenza Ordine ↔ Algebrica > Le due definizioni di reticolo sono **equivalenti**. La relazione d'ordine si recupera da: > $$a \leq b \;\Longleftrightarrow\; a \wedge b = a \;\Longleftrightarrow\; a \vee b = b$$ >> [!tip] Dimostrazione — Algebrico ⟹ Ordine @@ -1543,7 +1543,7 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Esempio Fondamentale -> [!info] L'Insieme delle Parti è un Reticolo +> [!note] L'Insieme delle Parti è un Reticolo > La struttura $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ è un **reticolo** con: > - $A \wedge B = A \cap B$ (infimo = intersezione) > - $A \vee B = A \cup B$ (supremo = unione) @@ -1552,15 +1552,15 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Catena -> [!info] Catena +> [!note] Catena > Un sottoinsieme $C \subseteq S$ di un insieme ordinato $(S, \leq)$ è una **catena** se è **totalmente ordinato**: > $$\forall x, y \in C:\; x \leq y \;\vee\; y \leq x$$ ->> [!info] Catena Massimale +>> [!note] Catena Massimale >> Una catena $C$ in $(S, \leq)$ è **massimale** se **non può essere estesa**: non esiste alcun elemento $s \in S \setminus C$ tale che $C \cup \{s\}$ sia ancora una catena. ### Poset che Non è un Reticolo -> [!info] Esempio — Poset Privo di Infimo o Supremo +> [!note] Esempio — Poset Privo di Infimo o Supremo > Consideriamo il poset $P = \{0, a, b, c, d, 1\}$ con ordine: > $$0 < a, b \quad \text{e} \quad a, b < c, d \quad \text{e} \quad c, d < 1$$ > dove $c$ e $d$ **non sono confrontabili**. @@ -1574,22 +1574,22 @@ Rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere elementi da un insieme ### Reticolo Limitato -> [!info] Reticolo Limitato +> [!note] Reticolo Limitato > Un reticolo $(L, \leq)$ è **limitato** se possiede: > - Un **elemento minimo** $0_L$: $0_L \leq a$ per ogni $a \in L$ > - Un **elemento massimo** $1_L$: $a \leq 1_L$ per ogni $a \in L$ > > Equivalentemente (in notazione algebrica): $a \vee 0_L = a$ e $a \wedge 1_L = a$ per ogni $a$. -> [!info] Teorema — Reticoli Finiti Sono Limitati +> [!important] Teorema — Reticoli Finiti Sono Limitati > Ogni reticolo **finito** è **limitato**: possiede sempre un elemento minimo e un elemento massimo. -> [!info] Corollario — Insieme Totalmente Ordinato è un Reticolo +> [!important] Corollario — Insieme Totalmente Ordinato è un Reticolo > Se $(S, \leq)$ è un insieme **totalmente ordinato**, allora è un **reticolo**. Per ogni $a, b \in S$: > $$a \wedge b = \min\{a, b\} \qquad \quad a \vee b = \max\{a, b\}$$ #### Esempi di Reticoli Limitati -> [!info] Esempi Comuni +> [!note] Esempi Comuni > - $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$: elemento minimo $0_L = \emptyset$, massimo $1_L = S$ > - $(\mathbb{D}_n, \mid)$ (divisori di $n$): elemento minimo $0_L = 1$, massimo $1_L = n$ > - $(\mathbb{N}^*, \mid)$: limitato **inferiormente** (minimo = 1), ma **non** limitato superiormente. Non è un reticolo limitato. @@ -1605,12 +1605,12 @@ graph TD ### Sottoreticolo -> [!info] Sottoreticolo +> [!note] Sottoreticolo > Un sottoinsieme non vuoto $A \subseteq L$ di un reticolo $(L, \wedge, \vee)$ è un **sottoreticolo** se è **chiuso** per $\wedge$ e $\vee$: > $$\forall x, y \in A:\; x \wedge y \in A \;\wedge\; x \vee y \in A$$ > In tal caso, $(A, \wedge|_A, \vee|_A)$ è esso stesso un reticolo. -> [!info] Esempi e Non-Esempi +> [!note] Esempi e Non-Esempi > - Ogni singolo elemento $\{a\}$ è un **sottoreticolo banale**. > - $\{a, b\}$ è un sottoreticolo $\iff$ $a$ e $b$ sono **confrontabili** (uno è $\leq$ all'altro). > - In $(\mathbb{D}_{36}, \mid)$: il sottoinsieme $L = \{1, 2, 3, 6, 36\}$ **è** un sottoreticolo. @@ -1618,7 +1618,7 @@ graph TD ### Isomorfismo di Reticoli -> [!info] Isomorfismo tra Poset e Reticoli +> [!note] Isomorfismo tra Poset e Reticoli > Una funzione biettiva $f: L \to M$ è un **isomorfismo** se **preserva l'ordine**: > $$a \leq_L b \;\Longleftrightarrow\; f(a) \leq_M f(b) \quad \forall a, b \in L$$ > @@ -1626,10 +1626,10 @@ graph TD > $$f(a \wedge b) = f(a) \wedge f(b) \qquad \quad f(a \vee b) = f(a) \vee f(b)$$ ### Elemento Complementato -> [!info] Complemento in un Reticolo Limitato +> [!note] Complemento in un Reticolo Limitato > In un reticolo **limitato** $(L, \leq, 0_L, 1_L)$, un elemento $a \in L$ ha un **complemento** $\bar{a}$ se: > $$a \wedge \bar{a} = 0_L \qquad \text{e} \qquad a \vee \bar{a} = 1_L$$ ->> [!info] Osservazione +>> [!note] Osservazione >> - Ogni elemento ha **al massimo** un complemento (l'inverso è unico). >> - Gli elementi $0_L$ e $1_L$ sono sempre complementari tra loro. @@ -1637,10 +1637,10 @@ graph TD ### Reticolo Complementato -> [!info] Reticolo Complementato +> [!note] Reticolo Complementato > Un reticolo **limitato** è **complementato** se **ogni** elemento possiede almeno un complemento. -> [!info] Esempio: $M_3$ (Diamante) è Complementato +> [!note] Esempio: $M_3$ (Diamante) è Complementato > Il reticolo $M_3 = \{0, a, b, c, 1\}$ con $a, b, c$ mutuamente non confrontabili e $0 < a, b, c < 1$: > - $a$ ha come complementi sia $b$ che $c$ (ad es., $a \wedge b = 0$ e $a \vee b = 1$) > - È un reticolo complementato (ma non distributivo). @@ -1656,7 +1656,7 @@ graph TD ``` ### Reticolo NON Complementato -> [!info] Esempio: Catena $0 < a < 1$ Non è Complementata +> [!note] Esempio: Catena $0 < a < 1$ Non è Complementata > La catena a 3 elementi $L = \{0, a, 1\}$ con $0 < a < 1$: > > Se $\bar{a}$ è il complemento di $a$, deve soddisfare $a \wedge \bar{a} = 0$ e $a \vee \bar{a} = 1$. @@ -1669,7 +1669,7 @@ graph TD ### Reticolo Prodotto -> [!info] Reticolo Prodotto +> [!note] Reticolo Prodotto > Dati due reticoli $(L_1, \leq_1)$ e $(L_2, \leq_2)$, il **prodotto cartesiano** $L_1 \times L_2$ è un reticolo con ordine e operazioni **componente per componente**: > > **Ordine:** $(a, b) \leq (c, d) \;\Longleftrightarrow\; a \leq_1 c \;\wedge\; b \leq_2 d$ @@ -1682,7 +1682,7 @@ graph TD ### Reticolo dei Divisori -> [!info] Reticolo $(\mathbb{D}_n, \mid \space)$ +> [!note] Reticolo $(\mathbb{D}_n, \mid \space)$ > L'insieme dei divisori positivi di $n$, ordinato per divisibilità, forma un **reticolo limitato**: > - **Infimo:** $a \wedge b = \mathrm{MCD}(a, b)$ > - **Supremo:** $a \vee b = \mathrm{mcm}(a, b)$ @@ -1695,7 +1695,7 @@ graph TD ### Principio di Dualità per Reticoli -> [!info] Principio di Dualità +> [!important] Principio di Dualità > Se un enunciato vale per **tutti** i reticoli, allora vale anche il suo **duale**, ottenuto scambiando simultaneamente: > $$\leq \;\longleftrightarrow\; \geq \qquad \wedge \;\longleftrightarrow\; \vee \qquad 0_L \;\longleftrightarrow\; 1_L$$ > @@ -1703,7 +1703,7 @@ graph TD ### Reticolo Distributivo -> [!info] Reticolo Distributivo +> [!note] Reticolo Distributivo > Un reticolo è **distributivo** se soddisfa la **distributività** del meet sul join: > $$a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$$ > @@ -1714,10 +1714,10 @@ graph TD ### Reticoli Non Distributivi: $M_3$ e $N_5$ -> [!info] Teorema — Caratterizzazione della Distributività +> [!important] Teorema — Caratterizzazione della Distributività > Un reticolo è distributivo se e soltanto se **non contiene** sottoreticoli isomorfi a $M_3$ (diamante) o $N_5$ (pentagono). -> [!info] Reticolo Diamante $M_3$ +> [!note] Reticolo Diamante $M_3$ > Il reticolo con 5 elementi $\{0, a, b, c, 1\}$ dove: > - $a, b, c$ sono mutuamente **non confrontabili** > - $0 < a, b, c < 1$ @@ -1733,7 +1733,7 @@ graph TD c --- 0((0)) ``` -> [!info] Reticolo Pentagonale $N_5$ +> [!note] Reticolo Pentagonale $N_5$ > Il reticolo con 5 elementi $\{0, a, b, c, 1\}$ dove: > - $0 < a < b < 1$ (una catena) > - $0 < c < 1$ con $c$ **non confrontabile** con $a$ e $b$ @@ -1768,7 +1768,7 @@ graph TD ### Unicità del Complemento in Reticoli Distributivi -> [!info] Teorema — Unicità del Complemento +> [!important] Teorema — Unicità del Complemento > In un reticolo **distributivo e limitato**, se un elemento ha un complemento, questo è **unico**. > [!tip] Dimostrazione — Unicità del Complemento @@ -1784,7 +1784,7 @@ graph TD ### Reticolo Booleano -> [!info] Reticolo Booleano +> [!note] Reticolo Booleano > Un reticolo è **booleano** se è **distributivo** e **complementato**. > > **Esempio fondamentale:** $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ con complemento $A^c = S \setminus A$. @@ -1794,7 +1794,7 @@ graph TD > - $M_3$ (è complementato ma non distributivo) > - $N_5$ (non è distributivo) -> [!info] Teorema di Rappresentazione +> [!important] Teorema di Rappresentazione > Ogni reticolo booleano **finito** è isomorfo a $(\mathcal{P}(S), \subseteq)$ per un opportuno insieme finito $S$. > > **Conseguenza:** Se $|L| = 2^n$, allora $L$ ha $n$ "atomi" (elementi minimali non zero). @@ -1817,7 +1817,7 @@ graph TD ### Algebra di Boole -> [!info] Algebra di Boole +> [!note] Algebra di Boole > Una struttura $(A, \wedge, \vee, ', 0, 1)$ è un'**algebra di Boole** se: > 1. **Associatività** di $\wedge$ e $\vee$ > 2. **Commutatività** di $\wedge$ e $\vee$ @@ -1828,12 +1828,12 @@ graph TD > > dove $'$ è un'operazione unaria (**complementazione**). -> [!info] Teorema di Rappresentazione di Stone +> [!important] Teorema di Rappresentazione di Stone > Ogni algebra di Boole **finita** è isomorfa a $(\mathcal{P}(S), \cap, \cup, {}^c, \emptyset, S)$ per un opportuno insieme $S$. ### Anello Booleano -> [!info] Anello Booleano +> [!note] Anello Booleano > Un anello $(A, +, \cdot)$ è **booleano** se $a^2 = a$ (idempotenza moltiplicativa) per ogni $a \in A$. > > **Proprietà caratteristiche:** @@ -1854,7 +1854,7 @@ graph TD ### Corrispondenza tra Reticoli Booleani e Anelli Booleani -> [!info] Da Reticolo Booleano ad Anello Booleano +> [!note] Da Reticolo Booleano ad Anello Booleano > Dato un reticolo booleano $(L, \wedge, \vee, ', 0, 1)$, si costruisce l'anello booleano $(L, +, \cdot)$ definendo: > - **Prodotto (meet):** $a \cdot b = a \wedge b$ > - **Somma (differenza simmetrica):** $a + b = (a \wedge b') \vee (b \wedge a')$ @@ -1870,7 +1870,7 @@ graph TD ## Introduzione -> [!info] Struttura Fondamentale +> [!note] Struttura Fondamentale > $(\mathbb{Z}_m, +, \cdot)$ è un **anello commutativo unitario** per ogni $m > 1$: > - **Unità moltiplicativa:** $\bar{1}$ > - **Elemento nullo (zero additivo):** $\bar{0}$ @@ -1883,12 +1883,12 @@ graph TD ### Definizione -> [!info] Divisore dello Zero +> [!note] Divisore dello Zero > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ con $\bar{a} \neq \bar{0}$ è un **divisore dello zero** se esiste $\bar{b} \in \mathbb{Z}_m$ con $\bar{b} \neq \bar{0}$ tale che: > $$\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{0}$$ ### Teorema Caratterizzante -> [!info] **TEOREMA — Caratterizzazione dei Divisori dello Zero** +> [!important] **TEOREMA — Caratterizzazione dei Divisori dello Zero** > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ (con $\bar{a} \neq \bar{0}$) è un divisore dello zero **se e solo se**: > $$\mathrm{MCD}(a, m) \neq 1$$ > @@ -1943,7 +1943,7 @@ graph TD #### Esempio Concreto -> [!info] **Esempio: $\bar{6} \in \mathbb{Z}_{15}$** +> [!note] **Esempio: $\bar{6} \in \mathbb{Z}_{15}$** > > **Dati:** $a = 6$, $m = 15$, $\mathrm{MCD}(6, 15) = 3 > 1$ ✓ > @@ -1962,7 +1962,7 @@ graph TD ### Definizione -> [!info] Elemento Invertibile +> [!note] Elemento Invertibile > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è **invertibile** (o **simmetrizzabile** rispetto al prodotto) se esiste $\bar{b} \in \mathbb{Z}_m$ tale che: > $$\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$$ > @@ -1970,7 +1970,7 @@ graph TD ### Teorema Caratterizzante -> [!info] **TEOREMA — Caratterizzazione degli Elementi Invertibili** +> [!important] **TEOREMA — Caratterizzazione degli Elementi Invertibili** > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è invertibile **se e solo se**: > $$\mathrm{MCD}(a, m) = 1$$ > @@ -2017,7 +2017,7 @@ graph TD ### L'Insieme degli Invertibili: $U(\mathbb{Z}_m)$ -> [!info] Gruppo Moltiplicativo degli Invertibili +> [!note] Gruppo Moltiplicativo degli Invertibili > L'insieme: > $$U(\mathbb{Z}_m) = \{\bar{a} \in \mathbb{Z}_m \mid \mathrm{MCD}(a, m) = 1\}$$ > @@ -2032,7 +2032,7 @@ graph TD #### La Funzione Toziente di Eulero -> [!info] Cardinalità di $U(\mathbb{Z}_m)$ — Funzione toziente +> [!note] Cardinalità di $U(\mathbb{Z}_m)$ — Funzione toziente > Il numero di elementi invertibili in $\mathbb{Z}_m$ è dato dalla **funzione toziente di Eulero**: > $$|U(\mathbb{Z}_m)| = \varphi(m)$$ > @@ -2040,7 +2040,7 @@ graph TD #### Formula Esplicita per $\varphi(m)$ -> [!info] Formula Moltiplicativa +> [!note] Formula Moltiplicativa > Se $m = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$, allora: > $$\varphi(m) = m \prod_{p \mid m} \left(1 - \frac{1}{p}\right) = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i-1}(p_i - 1)$$ #### Esempi di $\varphi(m)$ @@ -2054,7 +2054,7 @@ graph TD #### Esempio Concreto -> [!info] **Esempio: Elementi Invertibili in $\mathbb{Z}_{15}$** +> [!note] **Esempio: Elementi Invertibili in $\mathbb{Z}_{15}$** > > $15 = 3 \cdot 5$, quindi $\varphi(15) = 15 \cdot (1 - 1/3)(1 - 1/5) = 15 \cdot 2/3 \cdot 4/5 = 8$ > @@ -2077,7 +2077,7 @@ graph TD ### Teorema -> [!info] **TEOREMA — $\mathbb{Z}_p$ è un Campo** +> [!important] **TEOREMA — $\mathbb{Z}_p$ è un Campo** > Se $p$ è un numero **primo**, allora $(\mathbb{Z}_p, +, \cdot)$ è un **campo**. #### Dimostrazione @@ -2120,14 +2120,14 @@ graph TD #### Esempi -> [!info] **Esempi di Campi** +> [!note] **Esempi di Campi** > > - $\mathbb{Z}_2 = \{\bar{0}, \bar{1}\}$ è un campo (campo finito con 2 elementi, $\mathbb{F}_2$) > - $\mathbb{Z}_3 = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}\}$ è un campo > - $\mathbb{Z}_5 = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}\}$ è un campo > - $\mathbb{Z}_{11}, \mathbb{Z}_{13}, \mathbb{Z}_{17}, \ldots$ sono tutti campi -> [!info] **Contro-Esempi: Non-Campi** +> [!note] **Contro-Esempi: Non-Campi** > > - $\mathbb{Z}_4$: $\bar{2} \neq \bar{0}$ ma $\mathrm{MCD}(2, 4) = 2 \neq 1$, quindi $\bar{2}$ **non è invertibile** > - $\mathbb{Z}_6$: $\bar{2}, \bar{3}, \bar{4}$ non sono invertibili (hanno MCD > 1 con 6) @@ -2139,7 +2139,7 @@ graph TD ### Definizione -> [!info] Elemento Nilpotente +> [!note] Elemento Nilpotente > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è **nilpotente** se esiste un intero positivo $N$ tale che: > $$\bar{a}^N = \bar{0}$$ > @@ -2147,7 +2147,7 @@ graph TD ### Teorema Caratterizzante -> [!info] **TEOREMA — Caratterizzazione degli Elementi Nilpotenti** +> [!important] **TEOREMA — Caratterizzazione degli Elementi Nilpotenti** > Sia $m = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$ la fattorizzazione in primi distinti di $m$. > > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è nilpotente **se e solo se**: @@ -2157,7 +2157,7 @@ graph TD > $$\mathrm{rad}(m) = p_1 p_2 \cdots p_k \mid a$$ ### Radicale di un Numero -> [!info] Radicale +> [!note] Radicale > Il **radicale** di $m$ è il prodotto di tutti i fattori primi distinti di $m$: > $$\mathrm{rad}(m) = \prod_{p \mid m, \, p \text{ primo}} p$$ > @@ -2208,7 +2208,7 @@ graph TD #### Esempio Concreto -> [!info] **Esempio: Elementi Nilpotenti in $\mathbb{Z}_{12}$** +> [!note] **Esempio: Elementi Nilpotenti in $\mathbb{Z}_{12}$** > > $12 = 2^2 \cdot 3$, quindi $\mathrm{rad}(12) = 2 \cdot 3 = 6$ > @@ -2221,7 +2221,7 @@ graph TD ### Numero di Elementi Nilpotenti -> [!info] Cardinalità dell'Insieme dei Nilpotenti +> [!note] Cardinalità dell'Insieme dei Nilpotenti > Il numero di elementi nilpotenti in $\mathbb{Z}_m$ è: > $$\#\{\bar{a} \in \mathbb{Z}_m \mid \bar{a} \text{ nilpotente}\} = \frac{m}{\mathrm{rad}(m)}$$ > @@ -2233,7 +2233,7 @@ graph TD ### Definizione -> [!info] Elemento Idempotente +> [!note] Elemento Idempotente > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è **idempotente** se: > $$\bar{a}^2 = \bar{a}$$ > @@ -2241,19 +2241,19 @@ graph TD ### Caratterizzazione Algebrica -> [!info] Equivalenza Algebrica +> [!note] Equivalenza Algebrica > $\bar{a}$ è idempotente se e solo se: > $$a^2 \equiv a \pmod{m} \quad \Longleftrightarrow \quad m \mid (a^2 - a) \quad \Longleftrightarrow \quad m \mid a(a-1)$$ ### Elementi Idempotenti Banali -> [!info] Idempotenti Banali +> [!note] Idempotenti Banali > **Sempre** $\bar{0}$ e $\bar{1}$ sono idempotenti: > - $\bar{0}^2 = \bar{0} \cdot \bar{0} = \bar{0}$ ✓ > - $\bar{1}^2 = \bar{1} \cdot \bar{1} = \bar{1}$ ✓ ### Caratterizzazione Completa (Teorema Cinese dei Resti) -> [!info] **TEOREMA — Elementi Idempotenti** +> [!important] **TEOREMA — Elementi Idempotenti** > Un elemento $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$ è idempotente se e solo se: > $$a \equiv 0 \pmod{p^k} \quad \text{oppure} \quad a \equiv 1 \pmod{p^k}$$ > @@ -2263,7 +2263,7 @@ graph TD ### Numero di Elementi Idempotenti -> [!info] Cardinalità dell'Insieme degli Idempotenti +> [!note] Cardinalità dell'Insieme degli Idempotenti > Se $m = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$, il numero di elementi idempotenti è: > $$\#\{\bar{a} \in \mathbb{Z}_m \mid \bar{a}^2 = \bar{a}\} = 2^k$$ > @@ -2273,7 +2273,7 @@ graph TD ##### Esempio 1: $\mathbb{Z}_6$ -> [!info] **Elementi Idempotenti in $\mathbb{Z}_6$** +> [!note] **Elementi Idempotenti in $\mathbb{Z}_6$** > > $6 = 2 \cdot 3$ (2 fattori primi distinti), quindi ci sono $2^2 = 4$ idempotenti. > @@ -2289,7 +2289,7 @@ graph TD ##### Esempio 2: $\mathbb{Z}_{12}$ -> [!info] **Elementi Idempotenti in $\mathbb{Z}_{12}$** +> [!note] **Elementi Idempotenti in $\mathbb{Z}_{12}$** > > $12 = 2^2 \cdot 3$ (2 fattori primi distinti), quindi ci sono $2^2 = 4$ idempotenti. > @@ -2304,7 +2304,7 @@ graph TD ### Interpretazione Geometrica: Anello Prodotto -> [!info] Teorema Cinese dei Resti e Idempotenti +> [!note] Teorema Cinese dei Resti e Idempotenti > Se $m = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$, allora: > $$\mathbb{Z}_m \cong \mathbb{Z}_{p_1^{\alpha_1}} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_k^{\alpha_k}}$$ > @@ -2328,7 +2328,7 @@ graph TD ## Osservazione Finale: Relazioni tra le Proprietà -> [!info] **Implicazioni tra Proprietà** +> [!important] **Implicazioni tra Proprietà** > > 1. **Nilpotente ⟹ Divisore dello Zero** (eccetto lo zero) > - Se $\bar{a}^N = \bar{0}$, allora $\bar{a} \cdot \bar{a}^{N-1} = \bar{0}$ con $\bar{a}^{N-1} \neq \bar{0}$ (in genere) diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Dimostrazioni.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Dimostrazioni.md" index deda8ce..aaebbd6 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Dimostrazioni.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/Elenco Dimostrazioni.md" @@ -1,7 +1,7 @@ ## 4.9: Teorema Invertibilità di Funzioni ->[!info] Teorema Fondamentale: Invertibilità +>[!important] Teorema Fondamentale: Invertibilità >Una funzione $f$ è completamente invertibile $\iff$ biettiva. > >**Dimostrazione** @@ -16,7 +16,7 @@ ## 6.1: Elementi simmetrizzabili: se esiste il simmetrico è unico -> [!info] Elemento Invertibile opp. Simmetrizzabile +> [!note] Elemento Invertibile opp. Simmetrizzabile > In un monoide $(S, *, u)$, $a \in S$ è **invertibile** se: > $$\exists\, a' \in S:\; a * a' = a' * a = u$$ > L'inverso è **unico**. Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile. @@ -30,7 +30,7 @@ ## 7.6: Divisioni dello zero: mai cancellabili -> [!info] Divisore dello Zero +> [!note] Divisore dello Zero > $a \neq 0_A$ è **divisore dello zero** se $\exists\, b \neq 0_A:\; a \cdot b = 0_A$. > $$a \neq 0 \text{ è divisore dello zero} \;\Longleftrightarrow\; a \text{ non è cancellabile}$$ @@ -47,7 +47,7 @@ ## 8.1: Elementi simmetrizzabili $\implies$ elementi cancellabili -> [!info] Cancellabilità +> [!note] Cancellabilità > $a$ è **cancellabile a sinistra** se $a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b = c$. > $a$ è **cancellabile a destra** se $b \cdot a = c \cdot a \Rightarrow b = c$. > **Invertibile $\Longrightarrow$ Cancellabile** (il viceversa non vale in generale). @@ -62,7 +62,7 @@ ## 8.7: Teorema di Wedderburn -> [!info] Teorema di Wedderburn +> [!important] Teorema di Wedderburn > Ogni **corpo finito** è anche un **campo**. > - Spiegazione: > Il teorema dimostra che se l'insieme degli elementi è finito, è matematicamente impossibile costruire una struttura dove valga l'invertibilità senza che valga anche la commutatività @@ -73,7 +73,7 @@ ## 8.9: Teorema di scomposizione canonica di una permutazione -> [!info] **Teorema di Scomposizione Canonica (Permutazioni)** +> [!important] **Teorema di Scomposizione Canonica (Permutazioni)** > > - *Enunciato* > Ogni permutazione $\sigma \in S_n$ diversa dall'identità si può scrivere come prodotto di cicli disgiunti. Tale scomposizione è **unica a meno dell'ordine** con cui i cicli compaiono nel prodotto. @@ -93,7 +93,7 @@ ## 10.5: Teorema della divisione euclidea -> [!info] Teorema della Divisione Euclidea +> [!important] Teorema della Divisione Euclidea > $\forall\, m \in \mathbb{Z},\; n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\},\; \exists!\, q, r \in \mathbb{Z}:$ > $$m = n \cdot q + r, \qquad 0 \leq r < |n|$$ @@ -110,7 +110,7 @@ > Quindi $r_1 = r_2$ e $q_1 = q_2$. $\square$ ## 10.6: Teorema di Bézout -> [!info] Identità di Bézout +> [!important] Identità di Bézout > $$\mathrm{MCD}(a, b) = a \cdot x + b \cdot y \quad \text{per opportuni } x, y \in \mathbb{Z}$$ > Corollario: $a, b$ coprimi $\Longleftrightarrow$ $\exists\, x, y:\; ax + by = 1$. @@ -141,7 +141,7 @@ ## Teorema Fondamentale dell'Aritmetica -> [!info] FTA +> [!important] FTA > Ogni intero $n \geq 2$ si scrive in modo **unico** (a meno dell'ordine) come prodotto di numeri primi: > $$n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$ >- **Unicità della Fattorizzazione :** @@ -157,7 +157,7 @@ Il Lemma di Euclide è cruciale per dimostrare l'unicità della fattorizzazione: ## 11.2: Teorema su relazioni di equivalenza e partizioni -> [!info] Teorema: Equivalenza e Partizioni +> [!important] Teorema: Equivalenza e Partizioni > Esiste una corrispondenza biunivoca tra relazioni di equivalenza su $S$ e partizioni di $S$. > 1. Ogni relazione di equivalenza R su S induce una partizione di S (data dall'insieme quoziente S/R). > 2. Ogni partizione F di S induce una relazione di equivalenza RF su S, definita da: diff --git "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/FlashCards.md" "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/FlashCards.md" index dc9d95f..8a013c7 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/FlashCards.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/1\302\260 - Anno/ALGEBRA/FlashCards.md" @@ -435,14 +435,14 @@ Dato un reticolo booleano (L, ∧, ∨, ', 0, 1), si definisce (L, +, ·): Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (TFA) ? -> [!info] **Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (TFA)** +> [!important] **Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (TFA)** > > **Enunciato:** > Ogni intero $n \geq 2$ si scrive in modo **unico** (a meno dell'ordine) come prodotto di numeri primi: > $$n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$ > dove i $p_i$ sono primi distinti e gli $\alpha_i$ sono interi positivi. > ->> [!warning] **Dimostrazione (Idea Generale)** +>> [!attention] **Dimostrazione (Idea Generale)** >> >> ### Parte 1: Esistenza della fattorizzazione >> @@ -489,13 +489,13 @@ Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (TFA) Teorema Divisione euclidea ? -> [!info] **Teorema della Divisione Euclidea** +> [!important] **Teorema della Divisione Euclidea** > > **Enunciato:** > $\forall\, m, n \in \mathbb{Z},\; n \neq 0,\; \exists!\, q, r \in \mathbb{Z}:$ > $$m = n \cdot q + r, \qquad 0 \leq r < |n|$$ > ->> [!warning] **Dimostrazione** +>> [!attention] **Dimostrazione** >> >> **Esistenza** (per induzione forte su $m$): >> - *Base:* Se $0 \leq m < |n|$, basta prendere $q = 0$ e $r = m$. @@ -511,13 +511,13 @@ Teorema Divisione euclidea Teorema di Bézout ? -> [!info] **Identità di Bézout** +> [!important] **Identità di Bézout** > > **Enunciato:** > Per ogni coppia di interi $a, b$, esistono interi $x, y$ tali che: > $$\mathrm{MCD}(a, b) = a \cdot x + b \cdot y$$ > ->> [!warning] **Dimostrazione** +>> [!attention] **Dimostrazione** >> >> Sia $S = \{as + bt \mid s, t \in \mathbb{Z}, \, as + bt > 0\}$. >> @@ -547,12 +547,12 @@ Teorema di Bézout Applicazione Quoziente ? ->[!info] Fattorizzazione +>[!important] Fattorizzazione > Data $f: S \to T$ e la relazione $R_f$, l'**applicazione quoziente** è: > $$\bar{f}: S/R_f \to T, \qquad \bar{f}([a]) = f(a)$$ > È **ben definita** e **iniettiva**. Vale $f = \bar{f} \circ \pi$ (dove $\pi$ è la proiezione canonica). > ->> [!warning] Dimostrazione — Fattorizzazione (forse non necessaria) +>> [!attention] Dimostrazione — Fattorizzazione (forse non necessaria) >> **Ben definita:** Se $[a] = [b]$, allora $a \mathrel{R_f} b$, cioè $f(a) = f(b)$, dunque $\bar{f}([a]) = \bar{f}([b])$. >> >> **Iniettiva:** Se $\bar{f}([a]) = \bar{f}([b])$, allora $f(a) = f(b)$, dunque $a \mathrel{R_f} b$, cioè $[a] = [b]$. $\square$ @@ -561,14 +561,14 @@ Applicazione Quoziente Teorema fondamentale sulle relazioni d'equivalenza (Equivalenza $\iff$ Partizione) ? -> [!info] **Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza (Versione Ristretta)** +> [!important] **Teorema Fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza (Versione Ristretta)** > > **Enunciato:** > Sia $R$ una relazione di equivalenza su un insieme non vuoto $S$. Allora l'insieme quoziente $S/R$ è una **partizione** di $S$. > > Viceversa, ogni partizione di $S$ definisce una relazione di equivalenza. > ->> [!warning] **Dimostrazione** +>> [!attention] **Dimostrazione** >> >> ### Verso 1: Equivalenza $\Rightarrow$ Partizione >> diff --git a/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/%.*/02-04-26.md b/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/%.*/02-04-26.md index e2e4760..4cc499f 100644 --- a/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/%.*/02-04-26.md +++ b/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/%.*/02-04-26.md @@ -14,7 +14,7 @@ tags: %.* > **Orari:** BLOCCO 2, BLOCCO 6 > **Preparazione:** Nessuno -> [!info] +> [!important] > **Modalità d'esame:** Calibrazione completa con formule, diagrammi e codice. --- @@ -59,7 +59,7 @@ Il prof espone un esempio concreto: un processo ha un'ipotesi iniziale di 10 uni --- ### Avvertenze o affermazioni forti del prof: La previsione è basata su una media esponenziale che dà un peso alle stime passate e attuali -> [!tip] +> [!quote] > Il prof enfatizza che la media esponenziale attribuisce un peso maggiore alle stime recenti (determinato da alfa) e un peso minore a quelle passate. Se $\alpha = 1$, la previsione dipende solo dal tempo letto; se $\alpha = 0$, si basa solo sull'ipotesi iniziale. --- diff --git a/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/Test/04-04-26.md b/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/Test/04-04-26.md index 3841c51..9ade8a9 100644 --- a/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/Test/04-04-26.md +++ b/00 - Obsidian Notes/SbobbinatoreAi/Test/04-04-26.md @@ -29,7 +29,7 @@ $$ P(x, y) = \text{probabilità della coppia } (x, y), \quad \text{con } x \in \mathcal{X},\ y \in \mathcal{Y} $$ -> [!tip] +> [!quote] La somma di tutti i valori della PMF deve essere uguale a 1, poiché rappresenta la probabilità dell'evento certo. $$ @@ -64,7 +64,7 @@ stateDiagram-v2 Il passaggio da una variabile singola a due variabili richiede la definizione di una PMF congiunta perché la coppia di variabili aleatorie deve essere completamente caratterizzata da una distribuzione di probabilità. Questo è necessario per descrivere la relazione tra le due variabili e la loro interdipendenza. -> [!tip] +> [!quote] La PMF congiunta è necessaria anche quando le variabili non sono omogenee (come nel caso dell'altezza e del peso), poiché permette di modellare la loro interazione. ## Dettagli aggiuntivi @@ -455,7 +455,7 @@ mindmap Inoltre, il professor confronta la misura fisica (come la massa) con la misura probabilistica, spiegando che la densità è una caratteristica puntuale, simile alla densità di massa in fisica. La misura di probabilità su un intervallo è analoga alla misura di massa su un oggetto, ma normalizzata. Questo approccio permette di definire la densità come una "misura" della probabilità su intervalli, analogamente a come la massa è una misura fisica. ## Punti chiave della lezione -> [!abstract] +> [!summary] - Definizione e proprietà della PMF congiunta - Esempio di altezza e peso per illustrare la PMF congiunta - Spiegazione del teorema della media condizionale From 841b5ffb7ea32b6a1529094cd91ce2b421e2edb7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "copilot-swe-agent[bot]" <198982749+Copilot@users.noreply.github.com> Date: Thu, 16 Apr 2026 12:49:46 +0000 Subject: [PATCH 4/4] fix nested callouts: change [!tip] to [!quote] inside Parole del Professore (46 occurrences, 23 files) Agent-Logs-Url: https://github.com/Fede-7/Notes/sessions/1b88f354-81e6-4de4-9917-08a20cc83a78 Co-authored-by: Fede-7 <75255965+Fede-7@users.noreply.github.com> --- .../APA_Lezione9.md" | 2 +- .../Lezione 1.md" | 4 ++-- .../Lezione 5.md" | 2 +- .../Lezione 6.md" | 2 +- .../Lezione 7.md" | 2 +- .../Lezione 8.md" | 2 +- .../LP_Lezione8.md" | 2 +- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" | 2 +- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" | 16 ++++++++-------- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" | 2 +- .../Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" | 2 +- .../Lezione 1.md" | 2 +- .../Lezione 2.md" | 18 +++++++++--------- .../Lezione 3.md" | 10 +++++----- .../Lezione 5.md" | 6 +++--- .../Lezione 7.md" | 2 +- .../Lezione 8.md" | 2 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 0.md" | 2 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 1.md" | 2 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 2.md" | 2 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 5.md" | 2 +- .../Sistemi Operativi/Lezione 8.md" | 2 +- .../Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" | 4 ++-- 23 files changed, 46 insertions(+), 46 deletions(-) diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" index 1467dd4..b1f6c87 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/APA_Lezione9.md" @@ -194,7 +194,7 @@ usando la stima $\log_2(n!) = \Omega(n \log n)$ già dimostrata sopra. ## 8. Il significato del risultato > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Il fatto che voi non riusciate a trovare un algoritmo migliore non significa che non esista. O c'è un'argomentazione sufficientemente astratta che vi permette di quantificare su tutti i possibili modi di risolvere, oppure non avete modo di rispondere." La tecnica usata — astrarsi dalla struttura sintattica degli algoritmi e ragionare sulle classi di equivalenza definite dall'albero di decisione — è un esempio di **approccio information-theoretic**: si ragiona sul numero di output distinti che l'algoritmo deve essere in grado di produrre e si deduce il numero minimo di confronti necessari per discriminarli tutti. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" index ed26104..13edaa1 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 1.md" @@ -216,7 +216,7 @@ $$\frac{\log g(n) + \log c_1}{\log g(n)} \leq \frac{\log f(n)}{\log g(n)} \leq \ I due lati tendono entrambi a 1 (poiché $\log g(n) \to \infty$ e le costanti sommative diventano irrilevanti) → per il metodo dei limiti, il rapporto tende a una costante positiva → $\Theta$. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > *"Il punto chiave è questo: una costante moltiplicativa, prendendo il logaritmo, diventa una costante additiva, e le costanti additive sono irrilevanti rispetto a funzioni che crescono all'infinito. Con l'esponenziale è il contrario: una costante moltiplicativa nell'esponente diventa un fattore moltiplicativo esponenziale, e quello non è più trascurabile."* > [!info] Generalizzazione: torri di esponenziali @@ -305,7 +305,7 @@ cioè posso estendere la sottosequenza a destra in **tempo costante**, senza ric Abbassare ulteriormente da $O($n^2$)$ a $O(n)$ richiede di **non analizzare tutte le sottosequenze**, scartandone alcune con la garanzia formale che non possono contenere la soluzione ottima. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > *"Il numero di sottosequenze contigue è quadratico, quindi l'unico modo di abbassare rispetto al quadratico è non analizzare tutte le sottosequenze — devo avere un modo di scartarle con la certezza di non perdere quella buona."* --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" index 51e675d..5a6701b 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 5.md" @@ -79,7 +79,7 @@ $$T(n) = \sum_{i=2}^{n} T_{\text{findmax}}(i) = \sum_{i=2}^{n} \Theta(i) = \Thet Il problema di Selection Sort è che ogni chiamata a `find_max` parte da zero, dimenticando tutto quello che ha visto nelle chiamate precedenti. Eppure, durante la ricerca del massimo, l'algoritmo fa confronti e acquisisce informazioni sulle relazioni di ordine tra elementi — che vengono poi dimenticate. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Se il nostro algoritmo ricordasse le cose che ha già visto, potrebbe evitare di fare confronti inutili nelle ricerche successive. La prima ricerca del massimo sarà sempre $\Theta(n)$ — non c'è modo di evitarlo su input arbitrario. Ma le ricerche successive potrebbero costare molto meno, se disponessimo dell'informazione accumulata in precedenza." L'idea è mantenere una struttura dati che rappresenta un **ordinamento parziale** tra gli elementi: non sappiamo l'ordinamento totale, ma conosciamo alcune relazioni tra coppie. Questa struttura ha naturalmente forma di albero. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" index 1945893..211f043 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 6.md" @@ -43,7 +43,7 @@ Le stime superiori che avevamo dato erano: $O(n \log n)$ sia per `BuildHeap` che `BuildHeap` applica `Heapify` a tutti i nodi interni, ma la **gran parte delle chiamate** avviene su nodi che sono radici di sottoalberi di altezza molto bassa. I nodi profondi (vicini alle foglie) sono molti, ma i loro sottoalberi sono piccoli. I nodi vicini alla radice (con sottoalberi alti) sono pochi. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "La stragrande maggioranza delle chiamate Heapify vengono fatte su heap in cui H è molto basso." ### La struttura dell'analisi diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" index 04ecd9f..9717b31 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 7.md" @@ -119,7 +119,7 @@ Per il Teorema Master (caso 2): $T(n) = \Theta(n \log n)$. **Caso medio**: in media su tutti i possibili input, il tempo atteso è $\Theta(n \log n)$. Questo verrà dimostrato nelle lezioni successive. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Dovremo fare analisi di caso migliore, caso peggiore e eventualmente caso medio, analogamente a quanto fatto con InsertionSort." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" index fec0c48..de48573 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Analisi e progettazione di algoritmi/Lezione 8.md" @@ -71,7 +71,7 @@ Se QuickSort alterna livelli perfettamente bilanciati ($n/2, n/2$) e livelli com $$T(n) = \Theta(n \cdot 2 \log_2 n) = \Theta(n \log n)$$ > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Non è facile rovinare l'andamento del caso migliore in vari modi in cui ho provato ad avvicinarmi. Quindi sembra che questo algoritmo tendenzialmente si comporti sempre così." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" index 1a8add5..e4fe3a1 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/LP_Lezione8.md" @@ -118,7 +118,7 @@ flowchart LR 3. **Corpo del costruttore:** esegue ulteriori inizializzazioni. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Questo è un fattore di sicurezza. Se provate a usare un puntatore azzerato, vi darà fuori un'eccezione. È un compromesso vantaggioso tra sicurezza ed efficienza: la costruzione di oggetti è relativamente rara rispetto alle operazioni." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" index e83c35b..1f03d3c 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 0.md" @@ -43,7 +43,7 @@ Il corso si chiama "Linguaggi di Programmazione" al plurale per una ragione prec La risposta pratica non è conoscerli tutti, ma capire le **idee fondamentali** con cui i linguaggi vengono costruiti. Queste idee sono poche, stabili nel tempo, e non dipendono dalla sintassi di un linguaggio specifico. Quando emerge un linguaggio nuovo, lo si "scompatta" nelle sue idee costituenti e lo si impara per delta rispetto a ciò che si conosce già. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "L'obiettivo specifico è insegnare a imparare velocemente un nuovo linguaggio, astraendo quelle che sono le caratteristiche di base. Queste cambiano di rado: è tanto tempo che non ne vedo comparire una completamente nuova." ### Obiettivi del corso diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" index 8aeaf1d..1bb1c56 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 1.md" @@ -61,7 +61,7 @@ Quando si sceglie o si progetta un linguaggio, esistono diversi **criteri di val > Nel libro di Sterling e Shapiro si trova un codice Prolog che risolve il problema delle N regine (piazzare N regine su una scacchiera NxN senza che si attacchino) in circa **10 righe**. Tuttavia, comprendere quel codice richiede una conoscenza approfondita del paradigma logico e dell'unificazione. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Quel codice che risolve il problema delle N regine e lungo 10 righe, una roba di questo genere. Pero io, che sono un esperto in linguaggi di programmazione logica, ci sono cresciuto --- per capire come funzionava ci ho passato il pomeriggio. Quindi concisione non vuol dire necessariamente leggibilita." La semplicita puo anche significare **semplicita sintattica**: pochi costrutti, pochi modi di fare la stessa cosa, il che facilita l'apprendimento. @@ -91,7 +91,7 @@ L'espressivita misura quante cose un linguaggio puo esprimere e quanto facilment > Un linguaggio e **ortogonale** quando ha poche eccezioni alle proprie regole: e molto regolare, e dove si puo usare una categoria sintattica si possono usare tutte le sue istanziazioni. Dove trovo un identificatore, puo essere un identificatore qualsiasi; dove trovo una chiamata a funzione, puo essere una chiamata a qualsiasi funzione. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "I linguaggi moderni sono tutti molto ortogonali, perche vengono costruiti con grammatiche che dicono come ogni costrutto puo essere realizzato. Inizialmente, nel tempo di FORTRAN, i parser si scrivevano a mano e c'erano cose che si potevano usare in certi contesti ma non in altri." ### Portabilita e fattori esterni @@ -175,7 +175,7 @@ bool member(int x, list L) { ``` > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Questi due programmi hanno esattamente la stessa struttura. Cosa cambia? I blocchi con indentazione vs parentesi graffe, il terminatore punto-e-virgola, NOT vs punto esclamativo. Ma sono dettagli sintattici. Lo stesso paradigma vuol dire che lo stesso problema ha le stesse soluzioni algoritmiche." **Funzionale (pseudocodice / Lisp)**: @@ -195,7 +195,7 @@ function member(x, L): ``` > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Le parentesi di Lisp derivano dal fatto che e un linguaggio nato in accademia, dove si sono semplificati la vita nella costruzione del parser scegliendo questa sintassi molto semplice a liste. L'intenzione era metterci una sintassi piu amichevole all'esterno. Non e mai successo." **C in stile funzionale** (senza assegnamenti, con l'operatore ternario): @@ -235,13 +235,13 @@ Esempi di uso di `member` in Prolog: | `member(1, L)` | Quali liste contengono 1? | `L=[1 | _]; L=[_,1 | _]; ...` (infinite) | > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Lo stesso codice lo posso usare come funzione booleana, come generatore, come iteratore. Con poche righe si fa una semplice AI per giocare a Tris, dove lo stesso pezzo di codice lo uso per valutare strategie vincenti, per giocare, per esplorare le mosse successive." ### Conclusione sui paradigmi > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Imparato a risolvere il problema in un linguaggio, so risolverlo in qualunque linguaggio dello stesso paradigma. La curva di apprendimento si accelera molto: devo soltanto andarmi a vedere il manuale." Oltre al paradigma, contano anche: il **sistema di tipi**, la **gestione delle eccezioni**, il supporto alla **concorrenza**. @@ -300,7 +300,7 @@ Composizione di due funzioni: prima si trova la locazione (`env`), poi si legge > L'ambiente (`env`) e **immutabile** all'interno di un singolo contesto di esecuzione. Finche resto dentro una funzione, l'associazione nome-locazione non cambia. Cio che cambia e il **contenuto della memoria** (`mem`), modificato dagli assegnamenti. Quando si entra in un nuovo blocco o si fa una chiamata ricorsiva, si passa a un **ambiente diverso**. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Quando faccio una chiamata al fattoriale, `n` viene associato dall'ambiente direttamente a 4 e non cambia per tutta l'esecuzione di quel livello di ricorsione. Quando faccio la chiamata ricorsiva e dentro `n` diventa 3, quello e un altro `n` perche sta in un altro contesto, in un ambiente diverso." --- @@ -343,7 +343,7 @@ Nell'assegnamento `x = x + 1`: > `env` vuole un **nome** (un simbolo del codice sorgente). `mem` restituisce un **valore** (un dato a runtime). Scrivere `env(mem(...))` e sempre un errore concettuale: i due domini sono incompatibili. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Quando ci dovete ragionare, partite dall'inizio della catena dei puntatori, da quello esplicito che sta li col nome, e procedete incrementalmente." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" index 405b0d4..dbf454a 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 3.md" @@ -197,7 +197,7 @@ Il puntatore all'env non locale punta sempre al record immediatamente precedente | Usato da | Quasi tutti i linguaggi moderni | Primo LISP (poi sostituito da Scheme) | > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Scheme è praticamente uguale a LISP — stessa sintassi con tante parentesi — ma usa lo scoping statico proprio per eliminare l'incubo di predire il comportamento dei programmi con scope dinamico." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" index 1314850..2d29808 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Linguaggi di programmazione/Lezione 7.md" @@ -46,7 +46,7 @@ Le principali scelte di sicurezza del linguaggio sono: **Bytecode verifier**: prima di eseguire il bytecode, la JVM lo verifica. Questa verifica controlla che non vengano accedute zone di memoria non autorizzate, che lo stack non vada in overflow/underflow, e che non ci siano conversioni di tipo illegali. Anche un bytecode manipolato a mano (che aggira il compilatore) viene rilevato. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Se volete un sistema sicuro con codice mobile, non avete tante scelte." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" index 529d496..0a3190b 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 1.md" @@ -156,7 +156,7 @@ Questa definizione è matematicamente "zoppicante" per due motivi: Nonostante ciò, l'approccio frequentistico è preferito da questo docente per una ragione pratica: **rende le proprietà della probabilità intuitive**, derivandole direttamente dalle proprietà degli insiemi, senza bisogno di assiomi astratti da dimostrare separatamente. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Io do le carte napoletane, mi ha giocato a scopone, ho dieci carri per uno, poi la probabilità che gli do i sette carri... Con l'approccio teorico la gente cominciava a ragionare in percentuali assurde. Con quello frequentistico si ragiona automaticamente nel modo giusto." ### La probabilità come misura diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" index 7be0d1e..199cfd5 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 2.md" @@ -99,7 +99,7 @@ Usando la definizione di probabilità condizionata, $P(A \cap E_i) = P(A \mid E_ > La probabilità di un evento $A$ si puo scomporre condizionando rispetto a una partizione dello spazio dei campioni. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Questa legge, ragazzi, e importantissima. Si usa in tutti i calcoli probabilistici, in quasi tutti, perche a volte devo calcolare la probabilità di un evento ed e difficile, pero se mi metto in certe condizioni la devo scomporre in calcoli piu semplici. La useremo, la vedremo, ve la farò vedere negli esercizi." --- @@ -114,7 +114,7 @@ Tuttavia questa impostazione presenta due problemi fondamentali: 2. **Generalità non garantita:** non c'e a priori nessuna garanzia che le proprietà trovate sotto certe ipotesi valgano in generale. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Io vi ho promesso che vi avrei definito in modo piu rigoroso la probabilità. Tutto questo zoppica dal punto di vista non solo matematico, ma concettuale." --- @@ -170,7 +170,7 @@ Analogamente, $A \setminus B = A \cap B^c$: poiche $B^c \in \mathcal{E}$ (chiusu > L'insieme delle parti $2^\Omega$ e anch'esso un'algebra, ma e molto piu grande del necessario. Piu piccola di questi quattro elementi non e possibile. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Non vi fate mai spaventare dai paroloni della matematica." --- @@ -219,7 +219,7 @@ La terna $(\Omega, \mathcal{E}, P)$ prende il nome di **spazio di probabilità** > Come dice il professore: "i matematici pensano: io resto nel dominio di definizione dell'algebra." > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Vedete che noi abbiamo fatto tutto questo ambaradan. Dice, ma e tutta questa cosa complicata? Tu metti le tue prove, fatti la frequenza di successo... Tutto quello che abbiamo ricavato, qua non c'e niente. Io ti faccio vedere che tutto quello che tu hai ricavato prima, usando quella definizione, se volete, un po' farlocca di probabilità, io te lo ricavo come unica conseguenza degli assiomi di Kolmogorov." --- @@ -282,7 +282,7 @@ $$P(\emptyset) = P(\Omega^c) = 1 - P(\Omega) = 1 - 1 = 0$$ > L'insieme vuoto $\emptyset$ si chiama **evento impossibile**; lo spazio dei campioni $\Omega$ si chiama **evento certo**. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Riprendo il giro per dirvi quanto e pesante questo. Abbiamo trovato le cose prima, le abbiamo trovate in modo facile. Ora dimostrarle diventa un giochino, perche gia sappiamo il risultato che dobbiamo tirare." --- @@ -294,7 +294,7 @@ $$P(\emptyset) = P(\Omega^c) = 1 - P(\Omega) = 1 - 1 = 0$$ > $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "La nozione di indipendenza e fondamentale e moltissima statistica inferenziale si fonda su ipotesi di indipendenza, perche senza indipendenza una serie di convergenze [non valgono]. Voi avete dei grandi database, giocate quei file Excel per ricavarvi una serie di parametri globali. E ci sono delle ipotesi alla base: ipotesi di ergodicità, che a loro volta indicano ipotesi di indipendenza, per lo meno tra campioni sufficientemente lontani. Se no, la statistica descrittiva vale solo per quel campione di dati. Non e generalizzabile." ### Indipendenza dei complementari @@ -386,7 +386,7 @@ Questi $n$ eventi sono **disgiunti** (nel primo c'e $A_1$, nel secondo c'e $A_2$ $$\boxed{P(\text{esattamente uno}) = \sum_{i=1}^{n} p_i \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} (1 - p_j)}$$ > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "E solo logica, ragazzi, pero vi dico anche che questa logica non la dovete dimenticare, perche poi quando andiamo sulle variabili aleatorie e un po' piu numerica la cosa, pero dovete sempre ricordarvi questa logica. Dovete formulare opportunamente le proposizioni." --- @@ -541,7 +541,7 @@ hanno tutti un esito **binario**. Codificando opportunamente (testa $\to 0$, cro Il professore accenna al fatto che, per essere rigorosi, una variabile aleatoria deve essere un'**applicazione misurabile**: l'anti-immagine di ogni evento concernente $X$ deve essere un elemento della $\sigma$-algebra. Questa condizione garantisce che si possa calcolare la probabilità che $X$ assuma certi valori. Tuttavia, per il livello del corso, e sufficiente la definizione semplificata. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Queste cose le ho studiate perche mi sono servite per la mia ricerca, e manco sono sicuro che mi siano servite veramente perche il mio advisor di dottorato era sadico e mi metteva in mano certi libri. Pero se uno deve fare ricerca in questo campo, e bene che certe cose le faccia." ### Evento elementare nello spazio della variabile aleatoria @@ -603,7 +603,7 @@ dove $n_0$ e il numero di volte in cui esce $0$ e $n_1 = n - n_0$ e il numero di $$\bar{X}_n \xrightarrow{n \to \infty} 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = \frac{1}{2} \stackrel{\text{def}}{=} E[X]$$ > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Voi avete automaticamente detto, guarda, se io faccio $n$ prove, la meta delle volte mi viene $0$, la meta delle volte mi viene $1$. Voi ragionate inevitabilmente sulla frequenza di successo." > [!warning] Attenzione diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" index 21d9300..6a00d92 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 3.md" @@ -69,7 +69,7 @@ Questo limite è il **valore atteso** della variabile aleatoria. > La media statistica **non** coincide in generale con la media aritmetica dei valori dell'alfabeto. La media aritmetica pesa tutti i valori allo stesso modo ($1/M$ ciascuno); la media statistica è una **media pesata** con pesi $P_X(a_k)$. Solo quando la distribuzione è uniforme (tutti i valori equiprobabili) le due medie coincidono. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "La media statistica è il baricentro della distribuzione di probabilità: se mettete dei pesi sulle posizioni dell'asse reale, il baricentro cade dove c'è più massa di probabilità. È il numero verso cui converge la media campionaria quando fate tante prove." --- @@ -202,7 +202,7 @@ Quando l'alfabeto è $\mathcal{X} = \{1, 2, \ldots, M\}$ (i primi $M$ interi pos $$\sum_{k=1}^{M} k = \frac{M(M+1)}{2}$$ > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "La scoprì Gauss a sei anni, quando il maestro gli chiese di sommare i numeri da 1 a 100 pensando di tenerlo occupato per un'ora. Gauss scrisse l'ultimo numero accanto al primo, il penultimo accanto al secondo... e si accorse che ogni coppia faceva 101. Cinquanta coppie: $50 \times 101 = 5050$. Il maestro rimase a bocca aperta." **Dimostrazione.** Sia $S = 1 + 2 + \cdots + M$. Scriviamo la somma due volte, una in ordine crescente e una in ordine decrescente: @@ -276,7 +276,7 @@ $$\boxed{E[X] = \lambda}$$ La media della Poisson è esattamente il parametro $\lambda$: un risultato elegante che conferma l'interpretazione di $\lambda$ come tasso medio. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "La Poisson è la distribuzione delle cose rare: eventi che singolarmente sono poco probabili, ma che vengono osservati su un numero enorme di occasioni. Quante macchine passano al casello in un minuto? Quanti pacchetti arrivano al router in un millisecondo? Quante persone entrano all'ufficio postale in un'ora? Tutte Poisson." ### Applicazioni della distribuzione di Poisson @@ -422,7 +422,7 @@ $$P(T \mid S) + P(O \mid S) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1 \quad \checkmark$$ > Prima del lancio, la probabilità che il dado fosse truccato era $P(T) = 1/3 \approx 33\%$. Dopo aver osservato l'uscita del $6$, la probabilità è salita a $P(T \mid S) = 3/5 = 60\%$. L'osservazione ha **aggiornato** la nostra credenza: poiché il $6$ è molto più probabile con il dado truccato ($1/2$ vs $1/6$), la sua uscita è un'evidenza a favore dell'ipotesi "dado truccato". > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Bayes è questo: prima di vedere i dati avete un'opinione — la probabilità a priori. Poi vedete i dati e aggiornate l'opinione — ottenete la probabilità a posteriori. Se i dati sono coerenti con la vostra ipotesi, la probabilità sale; se non lo sono, scende. Questo è il cuore dell'inferenza statistica." --- @@ -480,7 +480,7 @@ Per questo motivo, nella pratica, accanto alla media si calcolano sempre altri i - La **varianza** (che vedremo nelle prossime lezioni): misura la dispersione dei dati attorno alla media. Se la varianza è alta, la media da sola è poco informativa. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Se uno mette la testa nel forno e i piedi nel congelatore, in media sta bene. Ecco perché la media da sola non basta: bisogna sempre guardare anche quanto i dati si disperdono attorno ad essa." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" index 7db9b21..95be62e 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 5.md" @@ -205,7 +205,7 @@ graph TD Le frecce indicano implicazioni. Convergenza con prob. 1 e convergenza in media quadratica sono entrambe **forti**, ma non si implicano a vicenda. Entrambe implicano la convergenza in probabilità (la più debole). > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "La probabilità è definita come il limite della frequenza di successo. Questo ha senso matematico rigoroso: la frequenza converge alla probabilità in media quadratica e in probabilità. La nostra definizione era corretta fin dall'inizio." ### Nota sul problema circolare @@ -213,7 +213,7 @@ Le frecce indicano implicazioni. Convergenza con prob. 1 e convergenza in media La definizione frequentistica richiede che le prove siano **indipendenti** — ma l'indipendenza è essa stessa un concetto probabilistico. L'approccio formale (assiomi di Kolmogorov) risolve questo problema: si definisce prima la probabilità assiomaticamente, poi si dimostra che la frequenza converge a essa. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Il professore Conte me lo contesta sempre: per definire la probabilità usi la frequenza, ma per dire che è una frequenza hai bisogno dell'indipendenza, che è un concetto probabilistico. È il cane che si morde la coda. In realtà non serve strettamente l'indipendenza: basta un'asintotica indipendenza." --- @@ -262,7 +262,7 @@ Per la roulette ($b = 36$, $a = 18/37$): $g(k) = 34 \cdot 2^{k-1} + 1$. > Se il limite di puntata $S \to \infty$ (patrimonio infinito, nessun limite), la martingala garantisce di vincere con probabilità 1 — ed è per questo che i casinò impongono un **limite massimo di puntata**. Con un qualunque limite finito $S$, il guadagno medio è negativo per il giocatore (il banco ha sempre un vantaggio statistico). > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Il guadagno medio per $S \to \infty$ diverge. Ma attenzione: fare il limite di $S$ al denominatore non è lo stesso che calcolare il guadagno con $S$ infinito. La convergenza è in probabilità, non puntuale. Questo è un esempio di convergenza in probabilità che non implica nulla sul limite dei valori attesi." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" index 9e494fb..d5112f1 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 7.md" @@ -142,7 +142,7 @@ $$H(X) = 4 \cdot \frac{1}{4} \log_2 4 = \log_2 4 = 2 \text{ bit}$$ Una variabile quaternaria equiprobabile porta 2 bit di informazione, coerentemente con il fatto che 4 valori si codificano con 2 bit binari. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Una variabile bistabile trasporta una quantità di informazione che è al più un bit." --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" index ca5ce3a..e8b0c3c 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Metodi Statistici dell' Informazione/Lezione 8.md" @@ -180,7 +180,7 @@ $$f_X(x) = \lim_{\delta x \to 0} \frac{P(x - \delta x/2 \leq X \leq x + \delta x > $f_X(x_0)$ non è la probabilità che $X = x_0$. La probabilità di un singolo punto è 0. La densità è la "concentrazione" di probabilità in un intorno di $x_0$: più è alta, più è probabile trovare $X$ vicino a $x_0$. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Chiamare il massimo della densità il 'valore più probabile' mi dà una pugnalata a sangue freddo. Il massimo della densità si chiama correttamente il valore modale." La teoria sarà ripresa in dettaglio nella prossima lezione, con il concetto di **funzione di distribuzione cumulativa (CDF)** e con tutti gli strumenti del caso continuo. diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" index bb52b4b..69896d6 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 0.md" @@ -296,7 +296,7 @@ Per evitare che un processo utente occupi la CPU indefinitamente: Il kernel assegna ad ogni processo uno **spazio di indirizzamento** con registro base e registro limite: $$\text{indirizzo fisico} = \text{base} + \text{indirizzo logico} \quad \text{se} \quad \text{indirizzo logico} \leq \text{limite}$$ > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > La CPU lavora con **indirizzi logici** (disaccoppiati dalla RAM fisica). I controlli di accesso sono eseguiti in **hardware** per motivi di velocità. Il SO "apparecchia la tavola", poi l'hardware fa i controlli. --- diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" index 218f14d..433a30f 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 1.md" @@ -132,7 +132,7 @@ Questo è ciò che il compilatore genera quando si compila una chiamata come `wr 7. Scrive il risultato in `rax` e ritorna al processo utente. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "È come se voi vi siete già messi d'accordo su dove stanno le chiavi di casa. Io ho lasciato le chiavi nel solito posto. Il kernel già sa in quali cassetti aprire per trovare i dati." > [!example] Esempio dall'alto: il comando `cp` diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" index 22d29c4..7b7eea0 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 2.md" @@ -150,7 +150,7 @@ Svantaggio: **overhead di comunicazione**. Ogni volta che un modulo deve comunic Approccio usato dai kernel moderni (Linux, Solaris, Windows). Il kernel ha un nucleo fisso a cui si possono agganciare/sganciare **moduli** dinamicamente, senza ricompilare. I moduli vengono linkati dentro il kernel → nessun overhead di message passing, ma comunque compartimentazione del codice. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "È simile al microkernel per l'idea di compartimentazione, ma senza il message passing. I moduli stanno dentro il kernel, si parlano direttamente." ### Sistemi Ibridi diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" index f4e1f88..633bf4e 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 5.md" @@ -120,7 +120,7 @@ Tutti gli user thread di un processo si mappano su **un unico kernel thread**. L - Nessun vero parallelismo su multicore. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Questo poteva avere un senso quando avevamo architetture single core. Adesso che sono architetture multicore non si utilizza questo tipo di mapping." ### One-to-one diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" index 900723e..4d1701d 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/Lezione 8.md" @@ -207,7 +207,7 @@ Ogni processo ha: **Selezione**: tra i processi eligibili, si sceglie quello con la **virtual deadline più ravvicinata** (EDF applicato alle deadline virtuali). > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Se quello di prima era orientato alla fairness pesata su priorità, questo nuovo è orientato alla reattività pesata, considerando priorità e deadline." ### Confronto CFS vs. EEVDF diff --git "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" index 35f8b88..a52027d 100644 --- "a/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" +++ "b/00 - Obsidian Notes/2\302\260 Anno/2\302\260 Semestre/Sistemi Operativi/SO_Lezione10.md" @@ -38,7 +38,7 @@ Gli algoritmi di scheduling possono essere valutati con approcci di diverso live > L'unico modo per valutare davvero un algoritmo di scheduling sofisticato è inserirlo nel kernel e osservarne il comportamento nel sistema completo. L'algoritmo vive in un ecosistema e interagisce con tutto il resto: un algoritmo teoricamente ottimo può risultare non performante in pratica. Ad esempio, l'EEVDF di Linux è stato proposto come lavoro scientifico diversi anni prima di essere integrato nel kernel, proprio per la cautela necessaria nel sostituire un algoritmo già in produzione. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Finché si trattano algoritmi molto semplici, si possono modellare in astratto, però poi per valutare effettivamente l'impatto reale bisogna immergerlo dentro il kernel." --- @@ -57,7 +57,7 @@ La soluzione con contatore esplicita il problema in modo ancora più chiaro: un > Supponiamo `counter = 5`. Il thread 1 legge 5 nel registro R1, aggiorna R1 a 6. Prima di scrivere in memoria, lo scheduler cede la parola al thread 2, che legge 5 nel registro R2, aggiorna R2 a 4, scrive 4 in memoria. Poi il thread 1 scrive 6. Il risultato finale è 6 invece di 5. Se avessero operato atomicamente, qualunque ordine avrebbe prodotto 5. > [!tip] Parole del Professore -> > [!tip] +> > [!quote] > > "Voi che cosa state ipotizzando, lanciando due thread? Che tutte queste siano operazioni atomiche. Se fossero atomiche, chi arriva prima, chi arriva dopo... non è un problema." Il problema si amplifica su sistemi **multicore** dove c'è parallelismo reale: i thread girano su core distinti e accedono a memoria condivisa contemporaneamente. In più, le cache possono introdurre ulteriori problemi di consistenza: una modifica tenuta in cache può non essere ancora propagata in memoria globale.