準則、Angelier 的參數化,以及由此而來的各項後果,比 README 更深入。
此處內容或出自已發表論文,或量測自原程式自身的輸出;
凡引用數字者,產生該數字的腳本都在 research/。
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INVDIR 的軸來自未正規化的張量，因此它為 σ₁/σ₂/σ₃ 指派的標籤不保證正確。 PSIDIR 的職責就是檢查並在必要時修正；但它並非每次都會實際改動任何東西， 而一個 run 屬於哪一種情況，決定了最終應該把哪一組數字當成答案。
在凍結的 INVDIR 軸上，正規化張量的三個特徵值為 cos ψ、cos(ψ+120°)、cos(ψ+240°)， 其中 ψ 取 PSIDIR 掃描收斂到的值。這三個值只有在 ψ 落在整圈的最後 60° （300° 到 360°）時才依大小排序，也就是與 INVDIR 原本設定的 σ₁ > σ₂ > σ₃ 順序一致。 其餘每個 60° 區間各對應另外五種排列之一。
- ψ 落在 [300°, 360°) →
AXES OK !。INVDIR 的 σ₁/σ₂/σ₃ 標籤維持不變。 Φ 一律會換成 PSIDIR 計算的值，但該 Φ 所屬的軸仍是 INVDIR 原本報告的那一組， 因此無論將此解歸給 INVDIR 或 PSIDIR，讀出來的都是同一組數字。 - ψ 落在其他區間 →
PERMUTATION。σ₁/σ₂/σ₃ 被重新指派到與 INVDIR 標籤 不同的凍結方向上。此時 INVDIR 印出的 Φ 與最終 PSIDIR 的 Φ 描述的是不同的 軸指派，而非同一組軸上的細微修正；這正是必須改讀 PSIDIR 數值、 不可再引用 INVDIR 數值的情況。pyTECTOR 遇到時一律標示：back-tilt 視窗的 摘要會印出PSIDIR ...: sigma1/2/3 are NOT INVDIR's labels， 底層旗標為permutation=True、psidir_flag='PERMUTATION'（見pytector.invdir.axis_order）。
以 archive 驗證：在 pyTECTOR 重現至 σ₁ 誤差 3° 以內的 56 個 run 中， 上述「300-360°」規則 56 次全部正確預測了檔案記錄的旗標。 其餘 6 個未命中的 run，本身連 INVDIR 解都未能重現， 因此那 6 筆檢驗的是重現程度，而非這條規則。
Angelier 本人的說明（Appendix IV）指出，這一步用於修正「資料方位變化不足」時， 未正規化的 INVDIR 階段會產生的「人為 σ₁/σ₃ 對調」，也就是斷層資料本身 對應力張量的約束不足、未正規化形式無法自行將軸置於正確位置的那些站點。 因此出現 PERMUTATION 並不代表解有問題，而正是 PSIDIR 被設計出來要處理的情形。
S4MIN（pytector.modern，代碼 S4MN）為同一個 S₄ 的精確最小值。
其採特徵分解參數化，故 λ 依定義恆為 √3/2，無須迭代，且搜尋為全域搜尋。
它在全部 92 個 archive 站均取得更低的 S₄，無一例外
（L12 為 0.2360 對 0.3018；0406-7 為 7.3201 對 7.6198）。
換言之，原程式並未達到其自身準則的最小值，因為 λ 停在未收斂之處。
以下內容並非逆向推測，而是他 1990 年論文 Section 4 與 Appendix IV 明確載明的。
λ 為該張量所能產生的最大剪應力。準則同時要求預測剪應力方向與實測滑動一致， 且其大小足以克服摩擦，λ 即為其目標值。
正規化的 A16 張量最大剪應力為常數，式 (14) 的張量則不然。原因他闡述得相當清楚： 對角線項帶有 ψ、非對角線項則無，因此轉動應力軸會改變應力大小。 他的結論是「軸的旋轉與應力大小在解析上不獨立」（1990, Section 4）， 並指出若非如此，λ 便僅是一個常數，完全無須調整。
他的處理方式即為該迭代：執行數趟，每趟將 λ 更新為前一趟解的最大剪應力。
(NO k) 計數的正是此項。
Angelier 亦明確指出 A16 形式更為理想：採用該形式時 λ 的調整完全不必要、 λ 恆等於 √3/2；他未採用的原因是無法對該式求出解析解，同時註明 「沒有理由認為不可能」（Appendix IV）。 PSIDIR 這最後一步即是在收尾階段套用一次 A16 形式，他自述為「為求穩妥而增設」， 用以修正未正規化形式在資料方位變化不足時所產生的 σ₁/σ₃ 人為對調。
因此 S4MIN 並非將 Angelier 的方法「現代化」，而正是他描述過、 意圖採用但當年無法實現的那個形式，只是改以數值方法達成。 兩種跑法的差距源自 1990 年的解析限制，而非地質判斷上的分歧。
Angelier 僅提及「數趟連續的決定」，未指明趟數，亦未主張收斂。以 archive 驗證： 92 站中有 72 站會發散。 0406-7 即為其中之一：若持續執行， λ 由 0.866 → 1.009 → 1.115 → … 至第 200 趟達 1.1 × 10⁹， S₄ 則由高於最小值 4 % 惡化至 78 %。L12 則會收斂，停在 λ = 2.2404、高於最小值 1.5 %。
其機制為正回饋：λ 增大即要求更大的剪應力， 求解器的因應方式是撐大未正規化的張量，而撐大後的張量最大剪應力又更大， 成為下一輪的 λ。
因此採使用者自選趟數而非「迭代至收斂」並非簡化處理； 在多數站點上，這是唯一能使結果保持有限的做法。 archive 的紀錄亦印證此點：62 站用 NO 1、25 站用 NO 2、五站用 3 至 5。
INFO1 印出三個數字，容易誤讀其中之一：
SOLUTION INVDIR (NO 1) LAMBDA= 0.68 <- INVDIR 實際採用的 λ
SOLUTION PSIDIR AXES OK !
LAMBDA= 0.87 TAUMAX= 0.80 <- PSIDIR：λ 依定義即為 √3/2，
故所有檔案皆印出 0.87
TAUMAX 亦非 √3/2。對特徵值為 cos(ψ + k·2π/3) 的正規化張量，其最大剪應力為
taumax = 3 / (4·√(Φ² − Φ + 1))
其值自 Φ = 0 或 1 時的 0.75 至 Φ = 0.5 時的 0.866。此式與 87 個 archive run 吻合至 0.005 以內，同時也驗證了整體理解無誤。
唯有第一個數字上升至與第三個數字相等，才代表收斂。 在具備這兩個數字的 88 個 run 中，差距中位數為 0.160，且無任何一筆落在 0.02 以內：
| TAUMAX − LAMBDA | 站數 |
|---|---|
| ≤ 0.02（收斂） | 0 |
| 0.02 到 0.05 | 4 |
| 0.05 到 0.15 | 31 |
| 超過 0.15 | 53 |
此處並非批評當年的執行方式：迭代在多數站點上會發散，停在 NO 1 或 NO 2 是正確的判斷。 其意義在於記錄下來的 λ 是一個停止點，而非一個解， 而 archive LAMBDA 這項功能存在的目的即為重現該停止點。
由此可知 INVDIR 與 S4MIN 的差距並非一個固定數字， 而取決於站點以及當年所採用的趟數：
| n ≥ 7（55 站） | n ≥ 15（10 站） | |
|---|---|---|
| 受約束的軸 | 中位 8.9°、p90 20.8° | 中位 4.8°、最大 12.5° |
| |ΔΦ| | 中位 0.074 | 中位 0.065 |
| S₄ 高於最小值 | 中位 27 % | 中位 6 % |
0406-7 的 4 % 屬於表現較佳的一端。 須注意 S₄ 的百分比在 n 較小時是不可靠的指標：張量有四個未知數， 因此僅有四至五筆資料時全域最小值會趨近於零，任何與之相比的比值都會失去意義。 應據以判讀的是軸與軸之間的夾角。
兩者的實際差距：僅檢視資料真正約束住的那根軸（Φ < 0.5 看 σ₁、Φ > 0.5 看 σ₃）， 在 n ≥ 7 的 55 站中，中位數 8.8°、p90 為 16.7°、最大 28.4°。 n ≥ 15 時收斂至中位數 4.8°、最大 12.5°，可見此分歧主要為樣本數效應， 而非方法本身的缺陷。 對照基準：INVD 自身在無雜訊合成資料上的偏差約 4°， 而 Angelier 引用的野外擦痕觀測誤差為 ±5-15°。 兩種跑法的差距落在此雜訊水準之內。
實務建議：以 INVDIR 為主，以維持與既有 run 及 TENSOR 系文獻的一致性； 並以 S4MIN 作為穩健性檢驗併陳。
將實測的軸經同一旋轉轉換後，繪於回轉後的圖上，以空心圈表示，並以虛線弧連接至星形。 理由在於：單獨檢視一張回轉後的圖，無法看出「傾轉」本身， 軸僅是位於不同位置，圖面上並無任何資訊指出其原始方位。
空心圈與星形不必然重合，且是否重合取決於所用方法。
- S4MIN 為精確等變。 S₄ 具旋轉不變性，因此其最小值隨資料一同旋轉。 由此可推論：回轉不可能改變 S4MIN 的 Φ 與 S₄， 傾轉檢驗的全部內容即在於「軸最終落於何處」。
- INVDIR 非等變。 式 (14) 將張量的對角線固定於地理座標下的 cos ψ、cos(ψ+2π/3)、cos(ψ+4π/3)。資料一經旋轉，該四參數族即成為另一個族， 對回轉後的資料重新計算，所搜尋的是不同的解空間。
此為 Angelier 方法本身的性質，而非本重建版的缺陷。 以原程式自身執行的十四組 archive 回轉配對驗證（經 Kabsch 擬合 < 2° 確認為同一批資料）： 將母站的軸經旋轉轉換後，與檔案中回轉版的計算結果相比， 中位差為 σ₁ 10.4°、σ₂ 24.3°、σ₃ 23.6°，最大達 88.7°。 差距最大的數筆多落在 Φ 接近 0 或 1、兩根軸近乎簡併的站點，但並非全部如此： 0214-5（13 筆、Φ 0.46 → 0.72）σ₁ 仍差 19.8°、σ₃ 差 22.8°。
對研究撰寫的意義：若僅採用 INVDIR，「回轉前後軸發生變化」有一部分反映的是
參數化的性質而非地質意義，因此「回轉後 σ₁₂₃ 回到水平／垂直」本身不足以作為證據。
較嚴謹的判準應採 S4MIN（其軸可證明僅為純旋轉），INVDIR 則保留作為與舊有 run
的連續性對照。視窗會同時列出兩者及其差距。相關測試見 tests/test_backtilt.py。
該做法預設斷層形成早於傾轉。若斷層是在傾轉過程中形成的， 則僅有部分傾轉發生於其後，將全部傾轉轉回即構成過度回轉， 會得到一個從未存在過的應力張量。
Tilt test 將旋轉自 0 掃描至 125 %，每一步皆執行反演，並繪出兩項診斷量：
| 診斷量 | 說明 |
|---|---|
| 平均 ANG、RUP、S₄ | 單一張量解釋資料的程度。最佳值落在 100 % 附近，表示斷層形成早於傾轉 |
| Andersonian 失配 | 90° 減去最陡那根軸的傾沒，故 0 代表一軸垂直、兩軸水平。同時判定應力體制：σ₁ 垂直為正斷、σ₂ 為平移、σ₃ 為逆衝 |
最佳解落在遠低於完全回轉之處，即為同傾轉斷層的特徵，程式會明確標示。 若兩項判準的差異超過旋轉量的 20 %，程式亦會提示， 因為該分歧須先釐清，兩項判準才具參考價值。兩者皆非證明，而是診斷指標。
實例：0404-4C-2 對一個虛構的參考面，兩項判準均隨回轉而變差， 最佳值落在 10 %，Andersonian 失配自 40.8° 升至 49.2°。 將該面轉回水平，會在無警示的情況下得到比原始資料更差的結果。
ψ 掃描原本每趟呼叫純量常式 4000 次，並疊加 120 步三分搜尋， 而 archive LAMBDA 又將整套流程重跑約九十次。實際上其中幾乎沒有一步與 ψ 相關： 僅對角線帶有 ψ，且為線性關係，因此 3×3 normal matrix 為資料集的常數， 每個 ψ 僅需對同一分解執行一次回代。PSIDIR 與 S4MIN 的起點掃描亦以特徵座標系 做同樣的化簡。
0406-7（29 筆）實測結果：
| 最佳化前 | 最佳化後 | |
|---|---|---|
| INVDIR 2 趟 | 0.975 s | 0.004 s |
| S4MIN 400 起點 | 0.208 s | 0.052 s |
| archive LAMBDA | 6.775 s | 0.063 s |
與被取代的常式差異為 1e-13。