diff --git a/.translate/state/ak2.md.yml b/.translate/state/ak2.md.yml new file mode 100644 index 00000000..800c3063 --- /dev/null +++ b/.translate/state/ak2.md.yml @@ -0,0 +1,6 @@ +source-sha: a1cd90c5ef6d6f05277318f47fe21eda60fa5e6b +synced-at: "2026-07-18" +model: claude-sonnet-5 +mode: RESYNC +section-count: 11 +tool-version: 0.17.0 diff --git a/lectures/ak2.md b/lectures/ak2.md index edd3c084..e0817cb7 100644 --- a/lectures/ak2.md +++ b/lectures/ak2.md @@ -9,6 +9,29 @@ kernelspec: display_name: Python 3 (ipykernel) language: python name: python3 +translation: + title: 代际交叠模型中的转型 + headings: + Introduction: 引言 + Setting: 设定 + Production: 生产 + Government: 政府 + Activities in Factor Markets: 要素市场中的活动 + Representative firm's problem: 代表性企业的问题 + Individuals' problems: 个体问题 + Individuals' problems::Initial old person: 初始老年人 + Individuals' problems::Young person: 年轻人 + Equilbrium: 均衡 + Next steps: 后续步骤 + Closed form solution: 封闭形式解 + Closed form solution::Steady states: 稳态 + Closed form solution::Implementation: 实现 + Closed form solution::Transitions: 转型 + 'Closed form solution::Experiment 1: Tax cut': 实验1：减税 + 'Closed form solution::Experiment 2: Government asset accumulation': 实验2：政府资产积累 + 'Closed form solution::Experiment 3: Temporary expenditure cut': 实验3：暂时性支出削减 + A computational strategy: 计算策略 + 'A computational strategy::Experiment 4: Unfunded Social Security System': 实验4：无基金的社会保障制度 --- # 代际交叠模型中的转型 @@ -64,7 +87,7 @@ Auerbach 和 Kotlikoff 使用计算机代码来计算他们的长寿人群模型 每个时期 $t \geq 0$，政府进行征税、支出、转移支付和借贷。 -在 $t=0$ 时刻，模型之外给定的初始条件为 +在模型之外、于时点 $t=0$ 设定的初始条件为 * $K_0$：由一个代表性的初始老年人在时点 $t=0$ 时带入的初始资本存量 * $D_0$：由一个代表性的老年人在时点 $t=0$ 持有并在 $t=0$ 到期的政府债务 @@ -145,7 +168,7 @@ $$ 或等价地 $$ -D_{t+1} = (1 + r_t) D_t + G_t - T_t +D_{t+1} = (1 + r_t) D_t + G_t - T_t . $$ (eq:govbudgetsequence) 其中，总税收净额（扣除转移支付）为 $T_t$，满足 @@ -262,7 +285,7 @@ $$ (eq:lagC) 其中 $\lambda$ 是跨期预算约束 {eq}`eq:onebudgetc` 的拉格朗日乘子。 -经过代数运算，由 {eq}`eq:onebudgetc` 和最大化 ${\mathcal L}$ 的一阶条件可得最优消费计划满足 +经过若干代数运算，跨期预算约束 {eq}`eq:onebudgetc` 以及关于 $C_{yt}, C_{o,t+1}$ 最大化 ${\mathcal L}$ 的一阶条件表明，最优消费计划满足 $$ \begin{aligned} @@ -271,7 +294,7 @@ C_{yt} & = \beta \Bigl[ W_t (1 - \tau_t) - \delta_{yt} - \frac{\delta_{ot}}{1 + \end{aligned} $$ (eq:optconsplan) -最小化拉格朗日函数 {eq}`eq:lagC` 关于 $\lambda$ 的一阶条件可恢复预算约束 {eq}`eq:onebudgetc`，进而利用 {eq}`eq:optconsplan` 得到最优储蓄计划 +最小化拉格朗日函数 {eq}`eq:lagC` 关于拉格朗日乘子 $\lambda$ 的一阶条件可恢复预算约束 {eq}`eq:onebudgetc`，进而利用 {eq}`eq:optconsplan` 得到最优储蓄计划 $$ A_{t+1} = (1-\beta) [ (1- \tau_t) W_t - \delta_{yt}] + \beta \frac{\delta_{ot}}{1 + r_{t+1}(1 - \tau_{t+1})} @@ -290,9 +313,11 @@ $$ (eq:optsavingsplan) ## 后续步骤 -为分析均衡结果，我们将研究 Auerbach 和 Kotlikoff (1987) {cite}`auerbach1987dynamic` 第2章的一个特例。 +为开启对均衡结果的分析，我们将研究 Auerbach 和 Kotlikoff (1987) {cite}`auerbach1987dynamic` 在第2章开篇所采用的特例模型。 -它可以手工求解，我们将在下一步展示这一点。 +它可以手工求解。 + +我们接下来就将这样做。 在我们推导出封闭形式解之后，我们将假定自己事先并不知道解，并据此计算均衡路径。 @@ -336,9 +361,10 @@ $$ (eq:steadystates) 这意味着 $$ -\hat{K} = \left[\left(1-\hat{\tau}\right)\left(1-\alpha\right)\left(1-\beta\right)\right]^{\frac{1}{1-\alpha}}, -\qquad -\hat{\tau} = \frac{\hat{G} + \hat{r} \hat{D}}{\hat{Y} + \hat{r} \hat{D}}. +\begin{aligned} +\hat{K} &= \left[\left(1-\hat{\tau}\right)\left(1-\alpha\right)\left(1-\beta\right)\right]^{\frac{1}{1-\alpha}} \\ +\hat{\tau} &= \frac{\hat{G} + \hat{r} \hat{D}}{\hat{Y} + \hat{r} \hat{D}} +\end{aligned} $$ 示例：考虑以下情况： @@ -349,11 +375,11 @@ $$ 由稳态公式可得 $$ -\hat{D} = 0, -\qquad -\hat{G} = 0.15 \hat{Y}, -\qquad -\hat{\tau} = 0.15. +\begin{aligned} +\hat{D} &= 0 \\ +\hat{G} &= 0.15 \hat{Y} \\ +\hat{\tau} &= 0.15 \\ +\end{aligned} $$ @@ -386,7 +412,7 @@ D_hat = 0. K_hat = ((1 - τ_hat) * (1 - α) * (1 - β)) ** (1 / (1 - α)) K_hat ``` -知道 $\hat K$ 后,我们可以计算其他变量的稳态值。 +知道 $\hat K$ 后,我们可以计算其他均衡量。 首先，定义一些 Python 辅助函数。 @@ -419,7 +445,7 @@ def K_to_C(K, D, τ, r, α, β): return Cy, Co ``` -我们可以使用这些辅助函数来获得 $\hat{K}$ 和 $\hat{r}$ 对应的稳态值 $\hat{Y}$、$\hat{r}$ 和 $\hat{W}$。 +我们可以使用这些辅助函数来获得与稳态值 $\hat{K}$ 和 $\hat{r}$ 相对应的稳态值 $\hat{Y}$、$\hat{r}$ 和 $\hat{W}$。 ```{code-cell} ipython3 Y_hat, r_hat, W_hat = K_to_Y(K_hat, α), K_to_r(K_hat, α), K_to_W(K_hat, α) @@ -476,7 +502,7 @@ init_ss = np.array([K_hat, Y_hat, Cy_hat, Co_hat, # 数量 接着，我们利用政府预算约束，计算唯一剩余的内生变量。 -在模拟转型路径时，有必要区分**状态变量**（如 $K_t,Y_t,D_t,W_t,r_t$）和**控制变量**（如 $C_{yt},C_{ot},\tau_{t},G_t$）。 +在模拟转型路径时，有必要区分**状态变量**（如时点 $t$ 的 $K_t,Y_t,D_t,W_t,r_t$）和**控制变量**（如 $C_{yt},C_{ot},\tau_{t},G_t$）。 ```{code-cell} ipython3 class ClosedFormTrans: @@ -637,14 +663,14 @@ closed = ClosedFormTrans(α, β) $$ \begin{aligned} -K_{t+1} &= K_{t}^{\alpha}\left(1-\tau_{t}\right)\left(1-\alpha\right)\left(1-\beta\right) - \bar{D}， \\ -\tau_{0} &= (1-\frac{1}{3}) \hat{\tau}， \\ -\bar{D} &= \hat{G} - \tau_0\hat{Y}， \\ -\quad\tau_{t} & =\frac{\hat{G}+r_{t} \bar{D}}{\hat{Y}+r_{t} \bar{D}}。 +K_{t+1} &= K_{t}^{\alpha}\left(1-\tau_{t}\right)\left(1-\alpha\right)\left(1-\beta\right) - \bar{D} \\ +\tau_{0} &= (1-\frac{1}{3}) \hat{\tau} \\ +\bar{D} &= \hat{G} - \tau_0\hat{Y} \\ +\quad\tau_{t} & =\frac{\hat{G}+r_{t} \bar{D}}{\hat{Y}+r_{t} \bar{D}} \end{aligned} $$ -我我们可以模拟 20 期的转型过程，之后经济将非常接近新的稳态。 +我们可以模拟 20 期的转型过程，之后经济将非常接近新的稳态。 第一步是准备一组刻画财政政策的政策变量序列。 @@ -695,8 +721,8 @@ fig, axs = plt.subplots(3, 3, figsize=(14, 10)) # 数量 for i, name in enumerate(['K', 'Y', 'Cy', 'Co']): ax = axs[i//3, i%3] - ax.plot(range(T+1), quant_seq1[:T+1, i], label=name+', 1/3') - ax.plot(range(T+1), quant_seq2[:T+1, i], label=name+', 0.2') + ax.plot(range(T+1), quant_seq1[:T+1, i], label=f'{name}, 1/3') + ax.plot(range(T+1), quant_seq2[:T+1, i], label=f'{name}, 0.2') ax.hlines(init_ss[i], 0, T+1, color='r', linestyle='--') ax.legend() ax.set_xlabel('t') @@ -704,8 +730,8 @@ for i, name in enumerate(['K', 'Y', 'Cy', 'Co']): # 价格 for i, name in enumerate(['W', 'r']): ax = axs[(i+4)//3, (i+4)%3] - ax.plot(range(T+1), price_seq1[:T+1, i], label=name+', 1/3') - ax.plot(range(T+1), price_seq2[:T+1, i], label=name+', 0.2') + ax.plot(range(T+1), price_seq1[:T+1, i], label=f'{name}, 1/3') + ax.plot(range(T+1), price_seq2[:T+1, i], label=f'{name}, 0.2') ax.hlines(init_ss[i+4], 0, T+1, color='r', linestyle='--') ax.legend() ax.set_xlabel('t') @@ -713,8 +739,8 @@ for i, name in enumerate(['W', 'r']): # 政策 for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']): ax = axs[(i+6)//3, (i+6)%3] - ax.plot(range(T+1), policy_seq1[:T+1, i], label=name+', 1/3') - ax.plot(range(T+1), policy_seq2[:T+1, i], label=name+', 0.2') + ax.plot(range(T+1), policy_seq1[:T+1, i], label=f'{name}, 1/3') + ax.plot(range(T+1), policy_seq2[:T+1, i], label=f'{name}, 0.2') ax.hlines(init_ss[i+6], 0, T+1, color='r', linestyle='--') ax.legend() ax.set_xlabel('t') @@ -727,7 +753,7 @@ for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']): 假设经济最初处于相同的稳态。 -现在政府承诺将其在公共服务与商品上的支出削减一半，并从 $t \geq 0$ 开始执行。 +现在政府承诺将其在公共服务与商品上的支出削减一半，并对所有 $t \geq 0$ 都保持这一削减。 政府设定的目标是保持相同的税率 $\tau_t=\hat{\tau}$，并通过时间推移逐步积累资产 $-D_t$。 @@ -767,7 +793,7 @@ plt.title('-D/K'); ### 实验3：暂时性支出削减 -我们接下来考察一种情形，即政府将支出削减一半并积累资产。 +我们接下来考察一种情形，即政府同样将支出削减一半并积累资产。 但在此实验中，政府只在 $t=0$ 时削减支出。 @@ -788,7 +814,7 @@ closed.plot() ``` 经济体很快收敛到一个新的稳态，在该稳态下，物质资本存量更高、利率更低、工资更高，且年轻人与老年人的消费水平均有所提高。 -尽管从 $t \geq 1$ 起，政府支出 $G_t$ 恢复到其较高的初始水平，但由于政府在临时削减支出期间积累了资产，从而获得了额外收入 $-r_t D_t$​，因此可以在更低的税率下维持预算平衡。 +尽管从 $t \geq 1$ 起，政府支出 $G_t$ 恢复到其较高的初始水平，但由于政府在临时削减支出期间积累了资产，从而获得了额外收入 $-r_t D_t$，因此可以在更低的税率下维持预算平衡。 与 {ref}`exp-expen-cut` 相似，转型期初期的老年人会因该政策冲击而受到损失。 @@ -809,7 +835,7 @@ closed.plot() * 该不动点确定了一个均衡。 -为引入这一映射，我们回到 {ref}`sec-equilibrium` 一节的概念。 +为引入这一寻求其不动点的映射，我们回到 {ref}`sec-equilibrium` 一节中引入的概念。 **定义:** 给定参数 $\{\alpha$, $\beta\}$，一个竞争性均衡由以下内容组成： @@ -817,7 +843,7 @@ closed.plot() * 最优消费序列 $\{C_{yt}, C_{ot}\}$ * 价格序列 $\{W_t, r_t\}$ * 资本存量和产出序列 $\{K_t, Y_t\}$ -* 税率、政府资产(债务)、政府购买与一次性税收/转移支付的序列 $\{\tau_t, D_t, G_t\, \delta_{yt}, \delta_{ot}\}$ +* 税率、政府资产(债务)、政府购买序列 $\{\tau_t, D_t, G_t\, \delta_{yt}, \delta_{ot}\}$ 并满足以下性质： @@ -828,7 +854,7 @@ closed.plot() 例如，在{ref}`exp-tax-cut`中，序列 $\{D_t\}_{t=0}^{T}$ 和 $\{G_t\}_{t=0}^{T}$ 是外生的。 -此外，我们假设一次性税收与转移支付序列 $\{\delta_{yt}, \delta_{ot}\}_{t=0}^{T}$ 也是外生的，且每个个体都知晓。 +此外，我们假设一次性税收 $\{\delta_{yt}, \delta_{ot}\}_{t=0}^{T}$ 是给定的，且模型中的每个个体都知晓。 我们可以按照以下步骤求解其他均衡序列 @@ -1077,7 +1103,7 @@ ak2.plot() ``` 接下来,我们引入一次性税收。 -让我们修改 {ref}`exp-tax-cut` 中的财政政策设定，假定政府同时对年轻人和老年人征收一次性税收 $\delta_{yt}=\delta_{ot}=0.005, t\geq0$。 +让我们修改 {ref}`exp-tax-cut` 中的财政政策设定，假定政府同时对年轻人和老年人提高一次性税收 $\delta_{yt}=\delta_{ot}=0.005, t\geq0$。 ```{code-cell} ipython3 δy_seq = np.ones(T+2) * 0.005 @@ -1143,7 +1169,7 @@ for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']): 我们可以使用代码来计算启动这个制度所引发的转型路径。 -最后，我们将其结果与 {ref}`exp-tax-cut` 进行比较。 +让我们将其结果与 {ref}`exp-tax-cut` 进行比较。 ```{code-cell} ipython3 δy_seq = np.ones(T+2) * Cy_hat * 0.1 @@ -1161,8 +1187,8 @@ fig, axs = plt.subplots(3, 3, figsize=(14, 10)) # 数量 for i, name in enumerate(['K', 'Y', 'Cy', 'Co']): ax = axs[i//3, i%3] - ax.plot(range(T+1), quant_seq3[:T+1, i], label=name+', 减税') - ax.plot(range(T+1), quant_seq5[:T+1, i], label=name+', 转移支付') + ax.plot(range(T+1), quant_seq3[:T+1, i], label=f'{name}, 减税') + ax.plot(range(T+1), quant_seq5[:T+1, i], label=f'{name}, 转移支付') ax.hlines(init_ss[i], 0, T+1, color='r', linestyle='--') ax.legend() ax.set_xlabel('t') @@ -1170,8 +1196,8 @@ for i, name in enumerate(['K', 'Y', 'Cy', 'Co']): # 价格 for i, name in enumerate(['W', 'r']): ax = axs[(i+4)//3, (i+4)%3] - ax.plot(range(T+1), price_seq3[:T+1, i], label=name+', 减税') - ax.plot(range(T+1), price_seq5[:T+1, i], label=name+', 转移支付') + ax.plot(range(T+1), price_seq3[:T+1, i], label=f'{name}, 减税') + ax.plot(range(T+1), price_seq5[:T+1, i], label=f'{name}, 转移支付') ax.hlines(init_ss[i+4], 0, T+1, color='r', linestyle='--') ax.legend() ax.set_xlabel('t') @@ -1179,13 +1205,13 @@ for i, name in enumerate(['W', 'r']): # 政策 for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']): ax = axs[(i+6)//3, (i+6)%3] - ax.plot(range(T+1), policy_seq3[:T+1, i], label=name+', 减税') - ax.plot(range(T+1), policy_seq5[:T+1, i], label=name+', 转移支付') + ax.plot(range(T+1), policy_seq3[:T+1, i], label=f'{name}, 减税') + ax.plot(range(T+1), policy_seq5[:T+1, i], label=f'{name}, 转移支付') ax.hlines(init_ss[i+6], 0, T+1, color='r', linestyle='--') ax.legend() ax.set_xlabel('t') ``` -在社会保障制度启动时，初始老年人尤其受益，因为他无需付出任何代价即可获得转移支付。 +在社会保障制度启动时，初始老年人尤其受益，因为他获得了转移支付却无需为此支付任何代价。 然而，从长期来看，年轻人与老年人的消费率都会下降，因为社会保障制度削弱了储蓄动机。