From 151d2c587c937f9a087b840c75fa2ee46b697779 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: nisha617 Date: Tue, 23 Sep 2025 23:17:25 +1000 Subject: [PATCH] Add files via upload --- lectures/optgrowth.md | 285 ++++++++++++++++++++---------------------- 1 file changed, 138 insertions(+), 147 deletions(-) diff --git a/lectures/optgrowth.md b/lectures/optgrowth.md index f7c0196e..81219fc9 100644 --- a/lectures/optgrowth.md +++ b/lectures/optgrowth.md @@ -26,34 +26,34 @@ kernelspec: ## 概述 -在本讲座中，我们将研究一个包含单个个体的简单最优增长模型。 +在本讲中，我们将研究一个简单的单个个体最优增长模型。 -该模型是标准的单部门无限期增长模型的一个版本，这在以下文献中有研究： +该模型是标准的单部门无限期增长模型的一种版本，常见于以下文献： -* {cite}`StokeyLucas1989`，第2章 -* {cite}`Ljungqvist2012`，第3.1节 -* [EDTC](http://johnstachurski.net/edtc.html)，第1章 +* {cite}`StokeyLucas1989`的第2章 +* {cite}`Ljungqvist2012`的第3.1节 +* [EDTC](http://johnstachurski.net/edtc.html)的第1章 -* {cite}`Sundaram1996`，第12章 +* {cite}`Sundaram1996`的第12章 -这是对我们之前研究的简单{doc}`蛋糕食用问题 `的扩展。 +它是我们之前讨论过的简单{doc}`吃蛋糕问题 `的扩展。 -这个扩展包括 +这一拓展包括： * 通过生产函数实现的非线性储蓄回报，以及 * 由于生产冲击导致的随机回报。 -尽管有这些添加，这个模型仍然相对简单。 +尽管增加了这些设定，该模型依然相对简单。 -我们将其视为通向更复杂模型的垫脚石。 +我们将其视为通向更复杂模型的“垫脚石”。 -我们使用动态规划和一系列数值技术来求解这个模型。 +我们将使用动态规划和一系列数值方法来求解该模型。 -在这第一节最优增长课程中，解决方法将是值函数迭代（VFI）。 +在这第一节最优增长的课程中，我们采用的方法是价值函数迭代（VFI）。 -虽然这第一节课中的代码运行较慢，但在接下来的几节课中，我们将使用各种技术来大幅提高执行速度。 +尽管本讲代码运行较慢，但在后续几讲中，我们会使用多种技术大幅提升执行速度。 -让我们从一些导入开始： +让我们从一些基本导入开始： ```{code-cell} ipython import matplotlib.pyplot as plt @@ -77,11 +77,11 @@ from scipy.optimize import minimize_scalar 这些产出可以被消费或投资。 -当商品被投资时，它会一比一地转化为资本。 +当产出被投资时，它会一比一地转化为资本。 -由此产生的资本存量，在此用 $k_{t+1}$ 表示，随后将用于生产。 +由此产生的资本存量，记为 $k_{t+1}$，将在下一期投入生产。 -生产是随机的，因为它还取决于在当前期末实现的冲击 $\xi_{t+1}$。 +生产过程是随机的，因为它还取决于在当期结束时实现的一个冲击 $\xi_{t+1}$。 下一期的产出为 @@ -103,23 +103,22 @@ k_{t+1} + c_t \leq y_t ### 假设和说明 -在接下来的内容中， +在接下来的设定中， * 序列 $\{\xi_t\}$ 被假定为独立同分布(IID)。 -* 每个 $\xi_t$ 的共同分布将用 $\phi$ 表示。 - -* 假设生产函数$f$是递增且连续的。 +* 每个 $\xi_t$ 的共同分布记为 $\phi$。 +* 假设生产函数 $f$ 是递增且连续的。 * 资本折旧并未明确表示，但可以被整合到生产函数中。 -虽然许多其他随机增长模型的处理方法使用$k_t$作为状态变量，我们将使用$y_t$。 +虽然许多其他随机增长模型的处理方法是将 $k_t$ 作为状态变量，我们采用 $y_t$ 作为状态变量。 -这将使我们能够处理随机模型的同时仅保持一个状态变量。 +这样做使我们能够在只有一个状态变量的情况下处理随机增长模型。 -我们在其他一些讲座中考虑了替代的状态和时序规范。 +在我们的其他讲义中，我们会考虑替代性的状态变量设定以及事件发生时点的不同选择。 -### 优化 +### 优化问题 -给定$y_0$，个体希望最大化 +给定初始状态 $y_0$，个体希望最大化 ```{math} :label: texs0_og2 @@ -135,56 +134,54 @@ k_{t+1} + c_t \leq y_t y_{t+1} = f(y_t - c_t) \xi_{t+1} \quad \text{和} \quad 0 \leq c_t \leq y_t -\quad \text{对所有} t +\quad \text{对所有 } t ``` 其中 -* $u$是有界、连续且严格递增的效用函数，且 -* $\beta \in (0, 1)$是贴现因子。 +* $u$ 是有界、连续且严格递增的效用函数，且 +* $\beta \in (0, 1)$ 是贴现因子。 -在{eq}`og_conse`中，我们假设资源约束{eq}`outcsdp0`是以等式形式成立的——这是合理的，因为$u$是严格递增的，在最优状态下不会浪费任何产出。 +在{eq}`og_conse`中，我们假设资源约束{eq}`outcsdp0`是以等式形式成立的——这是合理的，因为 $u$ 是严格递增的，在最优状态下不会浪费任何产出。 -总的来说，个体的目标是选择一个消费路径$c_0, c_1, c_2, \ldots$，该路径需要： +总的来说，个体的目标是选择一个消费路径 $c_0, c_1, c_2, \ldots$，使其： 1. 非负， -1. 在{eq}`outcsdp0`意义上可行， -1. 最优，即相对于所有其他可行的消费序列，最大化{eq}`texs0_og2`，以及 -1. *适应性*，即行动$c_t$只依赖于可观察的结果，而不依赖于未来的结果，如$\xi_{t+1}$。 +1. 满足资源约束{eq}`outcsdp0`， +1. 最优，即相对于所有其他可行的消费序列，所选路径使目标函数{eq}`texs0_og2`达到最大化，以及 +1. *适应性*，即行动 $c_t$ 只依赖于可观察的结果，而不依赖于未来的结果，如 $\xi_{t+1}$。 -在当前情况下： +在当前语境下： -* $y_t$被称为*状态*变量——它概括了每个时期开始时的"世界状态"。 -* $c_t$被称为*控制*变量——是个体在观察状态后每期选择的值。 +* $y_t$ 被称为*状态*变量——它刻画了每一期开始时的"世界状态"。 +* $c_t$ 被称为*控制*变量——它表示代理人在观察到状态之后所做出的消费决策。 ### 策略函数方法 ```{index} single: Optimal Growth; Policy Function Approach ``` -解决这个问题的一种方法是寻找最佳的**策略函数**。 +解决该问题的一种方法是寻找最佳的**策略函数**。 策略函数是一个从过去和现在的可观察变量映射到当前行动的函数。 -我们将特别关注**马尔可夫策略**，它是从当前状态 $y_t$ 映射到当前行动 $c_t$ 的函数。 - -对于像这样的动态规划问题（实际上对于任何[马尔可夫决策过程](https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_decision_process)），最优策略总是一个马尔可夫策略。 +我们特别关注**马尔可夫策略**，它是从当前状态 $y_t$ 映射到当前行动 $c_t$ 的函数。 -换句话说，当前状态 $y_t$ 为历史提供了一个[充分统计量](https://en.wikipedia.org/wiki/Sufficient_statistic)，用于做出当前的最优决策。 +对于像这样的动态规划问题（实际上对于任何[马尔可夫决策过程](https://baike.baidu.com/item/%E9%A9%AC%E5%B0%94%E5%8F%AF%E5%A4%AB%E5%86%B3%E7%AD%96%E8%BF%87%E7%A8%8B/5824810)），最优策略总是一个马尔可夫策略。 -这很直观，但如果你想要证明，可以在{cite}`StokeyLucas1989`（第4.1节）等教材中找到。 +换句话说，当前状态 $y_t$ 为历史提供了一个[充分统计量](https://baike.baidu.com/item/%E5%85%85%E5%88%86%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E9%87%8F/12715941)，使得在做出最优决策时，不需要依赖过去的历史。 -此后我们将专注于寻找最佳马尔可夫策略。 +这个结论相当直观，其证明可以参考{cite}`StokeyLucas1989`（第4.1节）。 -在我们的情况下，马尔可夫策略是一个函数 $\sigma \colon$ +在接下来的分析中，我们将专注于寻找最优的马尔可夫策略。 -\mathbb R_+ \to \mathbb R_+$，其中状态通过以下方式映射到行动 +在我们的情况下，马尔可夫策略是一个函数 $\sigma \colon \mathbb R_+ \to \mathbb R_+$，其含义是：将状态映射到行动，即 $$ c_t = \sigma(y_t) \quad \text{对所有 } t $$ -在下文中，如果 $\sigma$ 满足以下条件，我们称之为*可行消费策略* +我们称 $\sigma$ 为*可行消费策略*，当且仅当它满足 ```{math} :label: idp_fp_og2 @@ -194,11 +191,11 @@ $$ y \in \mathbb R_+ ``` -换句话说，可行消费策略是一个遵守资源约束的马尔可夫策略。 +换句话说，可行消费策略是满足资源约束的马尔可夫策略。 -所有可行消费策略的集合将用 $\Sigma$ 表示。 +所有可行消费策略的集合记为 $\Sigma$。 -每个 $\sigma \in \Sigma$ 都通过以下方式确定一个[连续状态马尔可夫过程](https://python-advanced.quantecon.org/stationary_densities.html) $\{y_t\}$ 来表示产出 +每个 $\sigma \in \Sigma$ 都决定了一个[连续状态马尔可夫过程](https://python-advanced.quantecon.org/stationary_densities.html) $\{y_t\}$ ，其动态为 ```{math} :label: firstp0_og2 @@ -207,9 +204,9 @@ y_{t+1} = f(y_t - \sigma(y_t)) \xi_{t+1}, \quad y_0 \text{ 给定} ``` -这是当我们选择并坚持策略 $\sigma$ 时产出的时间路径。 +这就描述了在选定并遵循策略 $\sigma$ 时，产出的时间路径。 -我们将这个过程代入目标函数得到 +将策略函数代入目标函数，可以得到 ```{math} :label: texss @@ -225,15 +222,15 @@ y_{t+1} = f(y_t - \sigma(y_t)) \xi_{t+1}, \right] ``` -这是永远遵循策略 $\sigma$ 的总期望现值，给定初始收入 $y_0$。 +这就是在给定初始收入 $y_0$ 时，永远遵循某一策略 $\sigma$ 的期望现值。 -目标是选择一个能使这个数值尽可能大的策略。 +目标是选择一个策略，使得该数值尽可能大。 -下一节将更正式地介绍这些概念。 +下一节将更正式地介绍这些思想。 ### 最优性 -与给定策略 $\sigma$ 相关的 $\sigma$ 是由以下映射定义的 +与给定策略 $\sigma$ 相关的 映射 $v_\sigma$ 定义为 ```{math} :label: vfcsdp00 @@ -254,15 +251,15 @@ v_{\sigma}(y) = v^*(y) := \sup_{\sigma \in \Sigma} \; v_{\sigma}(y) ``` -价值函数给出了在考虑所有可行策略后，从状态 $y$ 可以获得的最大价值。 +价值函数给出了在状态 $y$ 下，考虑所有可行策略后所能获得的最大价值。 如果一个策略 $\sigma \in \Sigma$ 在所有 $y \in \mathbb R_+$ 上都能达到 {eq}`vfcsdp0` 中的上确界，则称其为**最优**策略。 ### 贝尔曼方程 -在我们对效用函数和生产函数的假设下，在 {eq}`vfcsdp0` 中定义的值函数也满足一个**贝尔曼方程**。 +在我们对效用函数和生产函数的假设下，按照{eq}`vfcsdp0` 定义的价值函数也满足一个**贝尔曼方程**。 -对于这个问题，贝尔曼方程的形式为 +对于本问题，贝尔曼方程的形式为 ```{math} :label: fpb30 @@ -274,37 +271,36 @@ v(y) = \max_{0 \leq c \leq y} \qquad (y \in \mathbb R_+) ``` -这是一个关于 $v$ 的*泛函方程*。 +这是一个关于 $v$ 的*函数方程*。 -项 $\int v(f(y - c) z) \phi(dz)$ 可以理解为在以下条件下的预期下一期价值： +其中项 $\int v(f(y - c) z) \phi(dz)$ 可以理解为在以下条件下的下一期期望价值： * 使用 $v$ 来衡量价值 -* 状态为 $y$ -* 消费设定为 $c$ +* 当前状态为 $y$ +* 消费选择为 $c$ -如 [EDTC](http://johnstachurski.net/edtc.html) 定理10.1.11和其他多个文献所示： +如 [EDTC](http://johnstachurski.net/edtc.html) 的定理10.1.11和其他文献所示： -> *值函数* $v^*$ *满足贝尔曼方程* +> *价值函数* $v^*$ *满足贝尔曼方程* 换句话说，当 $v=v^*$ 时，{eq}`fpb30` 成立。 -直观上来说，从给定状态获得的最大价值可以通过以下两者的最优权衡得到： +直观上来说，从给定状态出发的最大价值可以通过在以下两者之间进行最优权衡获得： * 当前行动带来的即时回报，与 -* 该行动导致的未来状态的折现期望价值 +* 由该行动导致的未来状态所带来的贴现期望价值。 -贝尔曼方程很重要，因为它为我们提供了关于价值函数的更多信息。 +贝尔曼方程的重要性在于，它为我们提供了更多关于价值函数的信息。 -它还提示了一种计算价值函数的方法，我们将在下面讨论。 +它同时也是一种计算价值函数的方式，我们将在后续进一步讨论。 -### 贪婪策略 +### 逐期最优策略 -价值函数的主要重要性在于我们可以用它来计算最优策略。 +价值函数的主要意义在于：它可以帮助我们计算最优策略。 -具体细节如下。 +具体如下： -给定在 $\mathbb R_+$ 上的连续函数 $v$，如果对于每个 $y \in \mathbb R_+$， -$\sigma(y)$ 是以下问题的解，我们就说 $\sigma \in \Sigma$ 是 $v$-**贪婪**的： +设 $v$ 是 $\mathbb R_+$ 上的一个连续函数。我们称某一策略 $\sigma \in \Sigma$ 是 $v$-**逐期最优的**，如果对所有 $y \in \mathbb R_+$，$\sigma(y)$ 是下式的解： ```{math} :label: defgp20 @@ -315,29 +311,29 @@ $\sigma(y)$ 是以下问题的解，我们就说 $\sigma \in \Sigma$ 是 $v$-** \right\} ``` -换句话说，当 $v$ 被视为价值函数时，如果 $\sigma \in \Sigma$ 能够最优地权衡当前和未来回报，那么它就是 $v$-贪婪的。 +换句话说，当 $v$ 被视为价值函数时，如果 $\sigma \in \Sigma$ 能够最优地权衡当前和未来回报，那么它就是 $v$-逐期最优的。 -在我们的设定中，我们有以下关键结果 +在我们的设定中，有如下关键结果： -* 一个可行的消费政策是最优的，当且仅当它是$v^*$-贪婪的。 +* 一个可行的消费策略是最优的，当且仅当它是$v^*$-逐期最优的。 -这个直觉与贝尔曼方程的直觉类似，这在{eq}`fpb30`之后已经提供。 +这一结论的直观解释与贝尔曼方程的类似（参见{eq}`fpb30`之后的说明）。 参见[EDTC](http://johnstachurski.net/edtc.html)的定理10.1.11。 -因此，一旦我们对$v^*$有了很好的近似，我们就可以通过计算相应的贪婪策略来计算（近似）最优策略。 +因此，一旦我们得到了对 $v^*$ 的一个良好近似，就可以通过计算相应的逐期最优策略来获得（近似）最优策略。 -这样做的优势在于我们现在求解的是一个维度更低的优化问题。 +这样做的优势在于：我们现在解决的是一个低维优化问题，而不是原始的高维动态优化问题。 ### 贝尔曼算子 -那么，我们应该如何计算价值函数呢？ +那么，如何计算价值函数呢？ 一种方法是使用所谓的**贝尔曼算子**。 -（算子是一个将函数映射到函数的映射。） +（算子是一类将函数映射到函数的映射。） -贝尔曼算子用$T$表示，定义为 +贝尔曼算子记为 $T$，其定义为 ```{math} :label: fcbell20_optgrowth @@ -349,7 +345,7 @@ Tv(y) := \max_{0 \leq c \leq y} \qquad (y \in \mathbb R_+) ``` -换句话说，$T$ 将函数 $v$ 转换为由{eq}`fcbell20_optgrowth`定义的新函数 $Tv$。 +换句话说，$T$ 将函数 $v$ 映射为新的函数 $Tv$， 其形式由{eq}`fcbell20_optgrowth`给出。 根据构造，贝尔曼方程{eq}`fpb30`的解集*恰好等于* $T$ 的不动点集。 @@ -373,48 +369,47 @@ $$ ```{index} single: Dynamic Programming; Theory ``` -还可以证明，在上确界距离下，$T$ 是定义在 $\mathbb R_+$ 上的连续有界函数集上的压缩映射 +可以证明，算子 $T$ 在连续有界函数空间上是一个压缩映射，其度量是上确界距离： $$ \rho(g, h) = \sup_{y \geq 0} |g(y) - h(y)| $$ -参见 [EDTC](http://johnstachurski.net/edtc.html)，引理10.1.18。 +参见 [EDTC](http://johnstachurski.net/edtc.html)的引理10.1.18。 -因此，在这个集合中它有唯一的不动点，我们知道这就等于价值函数。 +因此，在该空间中，算子 $T$ 仅有一个不动点，而我们知道该不动点就是价值函数。 由此可知 * 值函数 $v^*$ 是有界且连续的。 -* 从任何有界且连续的 $v$ 开始，通过迭代应用 $T$ 生成的序列 $v, Tv, T^2v, \ldots$ 将一致收敛到 $v^*$。 +* 从任意有界且连续的 $v$ 开始，通过迭代应用 $T$ 生成的序列 $v, Tv, T^2v, \ldots$ 将一致收敛到 $v^*$。 -这种迭代方法被称为**值函数迭代**。 +这种迭代方法被称为**价值函数迭代**。 -我们还知道，一个可行策略是最优的，当且仅当它是 $v^*$-贪婪的。 +我们还知道：若某一可行消费策略是 $v^*$-逐期最优的，那么它就是最优策略。 -证明存在 $v^*$-贪婪策略并不太难 -（如果你遇到困难，可以参考 [EDTC](http://johnstachurski.net/edtc.html) 定理10.1.11）。 +[EDTC](http://johnstachurski.net/edtc.html) 的定理10.1.11）可以证明一个$v^*$-逐期最优策略是存在的。 因此，至少存在一个最优策略。 -我们现在的问题是如何计算它。 +我们的问题现在转变为：如何计算它。 ### {index}`无界效用 ` ```{index} single: Dynamic Programming; Unbounded Utility ``` -上述结果假设效用函数是有界的。 +前面所述结果都假设效用函数是有界的。 -在实践中，经济学家经常使用无界效用函数——我们也将这样做。 +但在实际研究中，经济学家往往使用无界效用函数 —— 我们也会如此。 -在无界设定下，存在各种最优性理论。 +在无界情形下，仍然存在一些最优性理论。 -遗憾的是,这些结论往往是针对具体情况的,而不是适用于广泛的应用场景。 +但遗憾的是，这些理论往往具有针对性，而不是适用于大范围应用。 -尽管如此,它们的主要结论通常与上述有界情况的结论一致(只要我们去掉"有界"这个词)。 +尽管如此，它们的主要结论通常与有界情形下的一致（只需去掉“有界”的限定）。 -可以参考 [EDTC](http://johnstachurski.net/edtc.html) 第12.2节、{cite}`Kamihigashi2012` 或 {cite}`MV2010`。 +可以参考，例如[EDTC](http://johnstachurski.net/edtc.html) 的第12.2节、{cite}`Kamihigashi2012` 或 {cite}`MV2010`。 ## 计算 @@ -427,29 +422,25 @@ $$ 这两点都很有帮助,但会牺牲一些运行速度 —— 当你运行代码时就会看到这一点。 -{doc}`后续 ` 我们将牺牲一些清晰性和灵活性,通过即时(JIT)编译来加速代码。 - -我们将使用的算法是拟合值函数迭代法,这是 +在{doc}`后续讲义 `在，我们会牺牲一些清晰性和灵活性，通过即时编译(JIT compilation)来加速代码。 -在前面的讲座中描述的{doc}`McCall模型`和{doc}`蛋糕食用问题`。 +本讲所用的算法是拟合价值函数迭代法，它在之前的{doc}`McCall模型`和{doc}`吃蛋糕问题`中已经介绍过。 -算法将是 +算法步骤如下： (fvi_alg)= -1. 从一组值$\{ v_1, \ldots, v_I \}$开始，这些值代表初始函数$v$在网格点$\{ y_1, \ldots, y_I \}$上的值。 -1. 基于这些数据点，通过线性插值在状态空间$\mathbb R_+$上构建函数$\hat v$。 -1. 通过重复求解{eq}`fcbell20_optgrowth`，获取并记录每个网格点$y_i$上的值$T \hat v(y_i)$。 -1. 除非满足某些停止条件，否则设置$\{ v_1, \ldots, v_I \} = \{ T \hat v(y_1), \ldots, T \hat v(y_I) \}$并返回步骤2。 +1. 从一组值 $\{ v_1, \ldots, v_I \}$ 开始，这些值代表初始函数 $v$ 在网格点 $\{ y_1, \ldots, y_I \}$ 上的取值。 +1. 基于这些数据点，通过线性插值在状态空间 $\mathbb R_+$ 上构建函数 $\hat v$。 +1. 通过重复求解{eq}`fcbell20_optgrowth`，获取并记录每个网格点 $y_i$ 上的值 $T \hat v(y_i)$。 +1. 除非满足某些停止条件，否则设置 $\{ v_1, \ldots, v_I \} = \{ T \hat v(y_1), \ldots, T \hat v(y_I) \}$ 并返回步骤2。 ### 标量最大化 为了最大化贝尔曼方程{eq}`fpb30`的右侧，我们将使用SciPy中的`minimize_scalar`程序。 -由于我们是在最大化而不是最小化，我们将利用这样一个事实：在区间$[a, b]$上$g$的最大值点是 +由于我们需要求最大值而不是最小值，因此会利用以下事实：在区间 $[a, b]$ 上函数 $g$ 的最大化等价于 $-g$ 的最小化。 -在相同区间上的 $-g$。 - -为此，并保持接口整洁，我们将把 `minimize_scalar` 封装在一个外部函数中，如下所示： +为此，并且为了保持接口的整洁，我们将把 `minimize_scalar` 封装在一个外部函数中，如下所示： ```{code-cell} ipython3 def maximize(g, a, b, args): @@ -472,13 +463,13 @@ def maximize(g, a, b, args): 我们暂且假设 $\phi$ 是 $\xi := \exp(\mu + s \zeta)$ 的分布，其中 -* $\zeta$ 是标准正态分布， -* $\mu$ 是冲击位置参数， -* $s$ 是冲击规模参数。 +* $\zeta$ 是标准正态分布随机变量， +* $\mu$ 是冲击的位置参数， +* $s$ 是冲击的尺度参数。 我们将这些和最优增长模型的其他基本要素存储在一个类中。 -下面定义的类结合了参数和一个实现贝尔曼方程{eq}`fpb30`右侧的方法。 +下面定义的类结合了参数，以及一个用于实现贝尔曼方程{eq}`fpb30`右侧的方法。 ```{code-cell} ipython3 class OptimalGrowthModel: @@ -488,7 +479,7 @@ class OptimalGrowthModel: f, # 生产函数 β=0.96, # 贴现因子 μ=0, # 冲击位置参数 - s=0.1, # 冲击规模参数 + s=0.1, # 冲击尺度参数 grid_max=4, grid_size=120, shock_size=250, @@ -517,32 +508,32 @@ class OptimalGrowthModel: 在倒数第二行中，我们使用线性插值。 -在最后一行中，{eq}`fcbell20_optgrowth`中的期望值通过[蒙特卡洛](https://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_integration)方法计算，使用以下近似： +在最后一行中，{eq}`fcbell20_optgrowth`中的期望值通过[蒙特卡洛法](https://baike.baidu.com/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%B3%95/1225057)计算，近似为： $$ \int v(f(y - c) z) \phi(dz) \approx \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n v(f(y - c) \xi_i) $$ -其中$\{\xi_i\}_{i=1}^n$是从$\phi$中独立同分布抽取的样本。 +其中 $\{\xi_i\}_{i=1}^n$ 是从$\phi$ 中独立同分布抽取的样本。 -蒙特卡洛并不总是计算积分最有效的数值方法，但在当前情况下确实具有一些理论优势。 +蒙特卡洛并不总是计算积分最有效的数值方法，但在当前设定下，它确实具有一些理论优势。 -（例如，它保持了贝尔曼算子的压缩映射性质 --- 参见{cite}`pal2013`。） +（例如，它保持了贝尔曼算子的压缩映射性质 -- 参见{cite}`pal2013`。） ### 贝尔曼算子 下面的函数实现了贝尔曼算子。 -（我们本可以将其作为`OptimalGrowthModel`类的方法添加，但对于这种数值计算工作，我们更倾向于使用小型类而不是单体类。） +（我们本可以将其作为`OptimalGrowthModel`类的一个方法，但对于这种数值计算工作，我们更倾向于使用小型类而不是大而全的单一类。） ```{code-cell} ipython3 def T(v, og): """ - 贝尔曼算子。更新值函数的猜测值， - 并同时计算v-贪婪策略。 + 贝尔曼算子。 + 更新值函数的猜测值，并同时计算v-逐期最优策略。 * og是OptimalGrowthModel的一个实例 - * v是表示值函数猜测的数组 + * v是表示价值函数猜测的数组 """ v_new = np.empty_like(v) @@ -566,11 +557,11 @@ def T(v, og): $$ f(k) = k^{\alpha} -\quad \text{和} \quad +\quad \text{且} \quad u(c) = \ln c $$ -对于这个特定问题，存在精确的解析解（参见{cite}`Ljungqvist2012`第3.1.2节），其中 +在这一特定问题中，可以得到一个精确的解析解（参见{cite}`Ljungqvist2012`第3.1.2节），其形式为 ```{math} :label: dpi_tv @@ -584,13 +575,13 @@ v^*(y) = \frac{1}{1 - \alpha \beta} \ln y ``` -和最优消费策略 +最优消费策略为 $$ \sigma^*(y) = (1 - \alpha \beta ) y $$ -有这些封闭形式的解是很有价值的，因为它让我们能够检验我们的代码在这个特定情况下是否正确。 +有这些封闭形式解的价值在于：它们使我们能够检验代码在这一具体情形下是否正确。 在Python中，上述函数可以表示为： @@ -608,9 +599,9 @@ def fcd(k): og = OptimalGrowthModel(u=np.log, f=fcd) ``` -现在让我们看看当我们将贝尔曼算子应用于这种情况下的精确解$v^*$时会发生什么。 +现在让我们看看当我们将贝尔曼算子应用于这种情况下的精确解 $v^*$ 时会发生什么。 -理论上，由于$v^*$是一个不动点，得到的函数应该仍然是$v^*$。 +理论上，由于 $v^*$ 是一个不动点，得到的函数应该仍然是 $v^*$。 在实践中，我们预计会有一些小的数值误差。 @@ -632,7 +623,7 @@ plt.show() 现在让我们看看从任意初始条件开始，如何用贝尔曼算子进行迭代。 -我们选择的初始条件是，有点随意地设定为 $v(y) = 5 \ln (y)$。 +我们随意地将初始条件设定为 $v(y) = 5 \ln (y)$。 ```{code-cell} ipython3 v = 5 * np.log(grid) # 初始条件 @@ -648,7 +639,7 @@ for i in range(n): ax.plot(grid, v, color=plt.cm.jet(i / n), lw=2, alpha=0.6) ax.plot(grid, v_star(grid, α, og.β, og.μ), 'k-', lw=2, - alpha=0.8, label='真实值函数') + alpha=0.8, label='真实的价值函数') ax.legend() ax.set(ylim=(-40, 10), xlim=(np.min(grid), np.max(grid))) @@ -658,9 +649,9 @@ plt.show() 图中显示了 1. 由拟合值迭代算法生成的前36个函数，颜色越热表示迭代次数越高 -1. 用黑色线条绘制的真实值函数$v^*$ +1. 用黑色线条绘制真实的价值函数 $v^*$ -迭代序列逐渐收敛于$v^*$。 +迭代序列逐渐收敛至 $v^*$。 我们显然正在接近目标。 @@ -678,16 +669,16 @@ plt.show() v_greedy, v_solution = solve_model(og) ``` -现在我们通过将结果与真实值进行对比绘图来检验： +现在我们通过将结果与真实值作图比较来检验其准确性： ```{code-cell} ipython3 fig, ax = plt.subplots() ax.plot(grid, v_solution, lw=2, alpha=0.6, - label='近似值函数') + label='近似的价值函数') ax.plot(grid, v_star(grid, α, og.β, og.μ), lw=2, - alpha=0.6, label='真实值函数') + alpha=0.6, label='真实的价值函数') ax.legend() ax.set_ylim(-35, -24) @@ -703,16 +694,16 @@ plt.show() 上面计算的策略`v_greedy`对应于一个近似最优策略。 -下图将其与精确解进行比较，如上所述，精确解为$\sigma(y) = (1 - \alpha \beta) y$ +下图将其与精确解进行比较，如上所述，精确解为 $\sigma(y) = (1 - \alpha \beta) y$ ```{code-cell} ipython3 fig, ax = plt.subplots() ax.plot(grid, v_greedy, lw=2, - alpha=0.6, label='approximate policy function') + alpha=0.6, label='近似的策略函数') ax.plot(grid, σ_star(grid, α, og.β), '--', - lw=2, alpha=0.6, label='true policy function') + lw=2, alpha=0.6, label='真实的策略函数') ax.legend() plt.show() @@ -726,13 +717,13 @@ plt.show() ```{exercise} :label: og_ex1 -在这类工作中，效用函数的常见选择是CRRA规格 +在这类模型中，效用函数的常见选择是CRRA形式 $$ u(c) = \frac{c^{1 - \gamma}} {1 - \gamma} $$ -保持其他默认设置（包括柯布-道格拉斯生产函数），用这个效用函数规格求解最优增长模型。 +保持其他默认设置（包括柯布-道格拉斯生产函数），用这个效用函数求解最优增长模型。 设定 $\gamma = 1.5$，计算并绘制最优策略的估计值。 @@ -743,7 +734,7 @@ $$ :class: dropdown ``` -这里我们设置模型。 +首先，设置模型。 ```{code-cell} ipython3 γ = 1.5 # 偏好参数 @@ -762,13 +753,13 @@ og = OptimalGrowthModel(u=u_crra, f=fcd) v_greedy, v_solution = solve_model(og) ``` -让我们绘制策略函数看看它的样子： +让我们绘制策略函数，看看它的样子： ```{code-cell} ipython3 fig, ax = plt.subplots() ax.plot(grid, v_greedy, lw=2, - alpha=0.6, label='近似最优策略') + alpha=0.6, label='近似的最优策略') ax.legend() plt.show() @@ -782,7 +773,7 @@ plt.show() 计时从初始条件 $v(y) = u(y)$ 开始，使用贝尔曼算子迭代20次所需的时间。 -使用前一个练习中的模型规格。 +使用前一个练习中的模型设置。 (和之前一样，我们会将这个数字与{doc}`下一讲`中更快的代码进行比较。) ```