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‎content/ULB - Sciences Informatiques/BA3/INFO-F310 - Algorithmique et Recherche Opérationnelle/1 - Programmation Linéaire/2 - Programmes Linéaires/corollaires.md‎

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55
- Maths
66
- Algo
77
---
8-
98
## Corollaire 1
10-
- Si l'ensemble convexe $P$ correspondant à l'ensemble de contraintes $\set{Ax = b, | x \geq 0}$ est non vide
11-
- → alors cet ensemble possède au moins un point extrème
12-
- preuve
13-
- déduction de [[théorème fondamental de programmation linéaire]] et [[théorème d'équivalence]]
149

15-
# Corollaire 2 (théorème)
16-
- S'il existe une solution optimale finie à un problème de programmation linéaire
17-
- → alors il existe une solution optimale finie qui est un point extrême du polyèdre $P$ caractérisant l'ensemble de contraintes
10+
> [!abstract] Corollaire 1
11+
> - Si l'ensemble convexe $P$ correspondant à l'ensemble de contraintes $\set{Ax = b, | x \geq 0}$ est non vide
12+
> - → alors cet ensemble possède au moins un point extrème
13+
> ### Preuve:
14+
> - Déduction de [[théorème fondamental de programmation linéaire]] et [[théorème d'équivalence]]
1815
19-
- considérons $\max \set{c^T x : x \in P}$
20-
- $P = \set{x \in \mathbb{R}^n | a_i^T x \leq b_i, i = 1,...,m}$
21-
- Face $F$ (de $P) := \set{x \in P | a'^T x = b'}$
22-
- si $F$ une face de $P$
23-
- → $\dim (F) \leq \dim (P) - 1$
24-
- une face de dimension responsable 0, 1,..., k, dim(P) - 1 = responsable sommet, arête, k-face, facette
25-
- _note : un point $x^*$ = point extrême de P $\leftrightarrow x^*$ est une face de dimension 0_
16+
> [!abstract] Corollaire 2 (théorème)
17+
> - S'il existe une solution optimale finie à un problème de programmation linéaire
18+
> - → alors il existe une solution optimale finie qui est un point extrême du polyèdre $P$ caractérisant l'ensemble de contraintes
19+
>
20+
> - considérons $\max \set{c^T x : x \in P}$
21+
> - $P = \set{x \in \mathbb{R}^n | a_i^T x \leq b_i, i = 1,...,m}$
22+
> - Face $F$ (de $P) := \set{x \in P | a'^T x = b'}$
23+
> - si $F$ une face de $P$
24+
> - → $\dim (F) \leq \dim (P) - 1$
25+
> - une face de dimension responsable 0, 1,..., k, dim(P) - 1 = responsable sommet, arête, k-face, facette
26+
> - _note : un point $x^*$ = point extrême de P $\leftrightarrow x^*$ est une face de dimension 0_
2627
27-
## analyse
28-
- Sup que le problème $\max \set{c^Tx : x \in P}$ admet une solution optimale finie
29-
- l'ensemble des solutions optimales $x^* = \max \set{c^T x : x \in P}$ définit une face non vide $F = \set{x \in P | a'^T x^* = b'}$ de $P$
30-
- si le rang de la matrice $A = n$
31-
- → alors $F$ contient une face de dimension 0
32-
- découle du théorème : si rang de $A$ est $n-k$ (ici $k = 0$), alors $P$ possède une face de dimension $k$ et ne contient aucune face de dimension inférieure
33-
- Puisque un point $x^*$ est un point extrême de $P \leftrightarrow x^*$ est une face de dimension 0, il en résulte que $F$ contient un point extrême de $P$
3428

35-
# corollaire (finitude)
36-
- l'ensemble de contraintes défini par $P = \set{x \in \mathbb{R}^n | Ax = b, x \geq 0}$ possède au moins au plus un nb fini de points extrêmes et chacun d'eux est fini
29+
> [!abstract] Analyse
30+
> - Sup que le problème $\max \set{c^Tx : x \in P}$ admet une solution optimale finie
31+
> - l'ensemble des solutions optimales $x^* = \max \set{c^T x : x \in P}$ définit une face non vide $F = \set{x \in P | a'^T x^* = b'}$ de $P$
32+
> - si le rang de la matrice $A = n$
33+
> - → alors $F$ contient une face de dimension 0
34+
> - découle du théorème : si rang de $A$ est $n-k$ (ici $k = 0$), alors $P$ possède une face de dimension $k$ et ne contient aucune face de dimension inférieure
35+
> - Puisque un point $x^*$ est un point extrême de $P \leftrightarrow x^*$ est une face de dimension 0, il en résulte que $F$ contient un point extrême de $P$
3736
38-
- preuve
39-
- il n'existe qu'un nb fini de solutions de base obtenues en sélectionnant $m$ vecteurs de base parmi les $n$ colonnes de la matrice $A$
40-
- les points extrêmes de $P$ définissent un sous-ensemble de ces solutions de base et doivent être finis
37+
> [!Abstract] corollaire (finitude)
38+
> - l'ensemble de contraintes défini par $P = \set{x \in \mathbb{R}^n | Ax = b, x \geq 0}$ possède au moins au plus un nb fini de points extrêmes et chacun d'eux est fini
39+
>
40+
> ### preuve
41+
> - il n'existe qu'un nb fini de solutions de base obtenues en sélectionnant $m$ vecteurs de base parmi les $n$ colonnes de la matrice $A$
42+
> - les points extrêmes de $P$ définissent un sous-ensemble de ces solutions de base et doivent être finis

‎content/ULB - Sciences Informatiques/BA3/INFO-F310 - Algorithmique et Recherche Opérationnelle/1 - Programmation Linéaire/2 - Programmes Linéaires/exemples/Problème de production de peinture.md‎

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@@ -5,7 +5,34 @@ tags:
55
- Algo
66
- Maths
77
---
8+
> [!info]+ Énoncé
9+
>
10+
> Une société produit de la peinture d'intérieur et d'extérieur à partir de deux composantes de base $M_1$ et $M_2$.
11+
> ![[000b468b8416918560278aee3cac5c1e.png]]
12+
>
13+
> - Demande maximum en peinture d'intérieur : 2 tonnes par jour
14+
> - La production en peinture d'intérieur ne peut dépasser que d'une tonne celle en peinture d'extérieur
15+
>
16+
> **Variables**
17+
>
18+
> - Variable $x_1 \geq 0$ : nombre de tonnes de peinture d'extérieur produite par jour
19+
> - Variable $x_2 \geq 0$ : nombre de tonnes de peinture d'intérieur produite par jour
20+
>
21+
> **Fonction objectif**
22+
>
23+
> À optimiser (maximiser le profit) :
24+
>
25+
> $$ \max z = 5x_1 + 4x_2 $$
26+
>
27+
> **Contraintes**
28+
>
29+
> $$ \begin{align} 6x_1 + 4x_2 &\leq 24 \ x_1 + 2x_2 &\leq 6 \ x_2 &\leq 2 \ x_2 - x_1 &\leq 1 \ x_1, x_2 &\geq 0 \end{align} $$
830
31+
> [!example]+ Exemple
32+
>
33+
> Une solution admissible est : $x_1 = 3, x_2 = 1$ (ce qui correspond à $z = 19$).
34+
>
35+
> L'objectif est de trouver la solution admissible optimale parmi l'infinité de solutions admissibles.
936
1037
> [!info] Énoncé
1138
> Une société produit de la peinture d’intérieur et d’extérieur a partir de deux composantes de base $M_1$ et $M_2$.

‎content/ULB - Sciences Informatiques/BA3/INFO-F310 - Algorithmique et Recherche Opérationnelle/1 - Programmation Linéaire/2 - Programmes Linéaires/exemples/problème diététique.md‎

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@@ -5,28 +5,32 @@ tags:
55
- Maths
66
- Algo
77
---
8+
## Énoncé
89

9-
## énoncé
10-
déterminer la compo, à coùut minimal, d'un aliment pour bétail qui est obtenu en mélangeant au plus deux prod (orge et arachide)
11-
- quantité nécessaire par portion = 400g
12-
- → aliment doit comporter au moins 30% de prot et au plus 5% de fibres
13-
14-
## données
15-
16-
| aliment (pour 1g) | prot | fibre | cout |
17-
| ----------------- | ---- | ----- | ----------- |
18-
| orge | 0.09 | 0.03 | 1.5(€ / kg) |
19-
| arachide | 0.6 | 0.06 | 4.5(€/kg) |
20-
21-
## variables
22-
- x1 : qtt orges (en grammes)
23-
- x2 : qtt d'arachides (en grammes)
24-
- → x1 + x2 : qtt totale
25-
26-
## fonction objectif
27-
$\min z = 0.0015x_1 + 0.0045x_2$
28-
- contraintes
29-
- $x_1 + x_2 \geq 400$
30-
- $0.09x_1 + 0.6x_2 \geq 0.3(x_1 + x_2)$
31-
- $0.02x_1 + 0.06x_2 \leq 0.05(x_1 + x_2)$
32-
- $x_1,x_2 \geq 0$
10+
> [!info]+ Énoncé
11+
>
12+
> Déterminer la composition, à coût minimal, d'un aliment pour bétail qui est obtenu en mélangeant au plus deux produits (orge et arachide).
13+
>
14+
> - Quantité nécessaire par portion = 400g
15+
> - L'aliment doit comporter au moins 30% de protéines et au plus 5% de fibres
16+
17+
## Données
18+
19+
|Aliment (pour 1g)|Protéines|Fibres|Coût (€/kg)|
20+
|---|---|---|---|
21+
|Orge|0.09|0.02|1.5|
22+
|Arachide|0.6|0.06|4.5|
23+
24+
## Variables
25+
26+
- $x_1$ : quantité d'orge (en grammes)
27+
- $x_2$ : quantité d'arachides (en grammes)
28+
- $x_1 + x_2$ : quantité totale
29+
30+
## Fonction objectif
31+
32+
$$ \min z = 0.0015x_1 + 0.0045x_2 $$
33+
34+
**Contraintes**
35+
36+
$$ \begin{align} x_1 + x_2 &\geq 400 \ 0.09x_1 + 0.6x_2 &\geq 0.3(x_1 + x_2) \ 0.02x_1 + 0.06x_2 &\leq 0.05(x_1 + x_2) \ x_1, x_2 &\geq 0 \end{align} $$

‎content/ULB - Sciences Informatiques/BA3/INFO-F310 - Algorithmique et Recherche Opérationnelle/1 - Programmation Linéaire/2 - Programmes Linéaires/forme canonique.md‎

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66
- Algo
77
---
88

9-
- prb à $n$ var ($x \in R^n$) sujet à $m$ contraintes ($b \in R^m$) et $A \in R^{m \times n}$
10-
- rep matricielle
11-
- maximize $c^Tx$
12-
- subject to $x \geq 0, Ax \leq b$
13-
- rep indicielle
14-
- maximize $\sum_{j=1}^n c_jx_j$
15-
- subject to $\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j \leq b_i, \forall i \in \set{1,...,m}$
16-
- $x_j \geq 0, \forall j \in \set{1,...,n}$
9+
> [!info]+ Définition
10+
>
11+
> Un problème d'optimisation linéaire à $n$ variables ($x \in \mathbb{R}^n$) sujet à $m$ contraintes ($b \in \mathbb{R}^m$) et $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ peut être exprimé sous **forme canonique**.
12+
>
13+
> **Représentation matricielle :**
14+
>
15+
> $$ \begin{align} &\text{maximize} \quad c^T x \\ &\text{subject to} \quad x \geq 0, \quad Ax \leq b \end{align} $$
16+
>
17+
> **Représentation indicielle :**
18+
>
19+
> $$ \begin{align} &\text{maximize} \quad \sum_{j=1}^n c_j x_j \\ &\text{subject to} \quad \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \leq b_i, \quad \forall i \in {1, \ldots, m} \ &x_j \geq 0, \quad \forall j \in {1, \ldots, n} \end{align} $$

‎content/ULB - Sciences Informatiques/BA3/INFO-F310 - Algorithmique et Recherche Opérationnelle/1 - Programmation Linéaire/2 - Programmes Linéaires/forme standard.md‎

Lines changed: 14 additions & 8 deletions
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@@ -5,12 +5,18 @@ tags:
55
- Maths
66
- Algo
77
---
8+
## Forme Standard
89

9-
- prb à $n$ var ($x \in R^n$) sujet à $m$ contraintes ($b \in R^m$) et $A \in R^{m \times n}$
10-
- rep matricielle
11-
- maximize (or minimize) $c^T x$
12-
- subject to $x \geq 0, Ax = b$
13-
- rep indicielle
14-
- maximize (or minimize) $\sum_{j=1}^n c_jx_j$
15-
- subject to $\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j = b_i, \forall i \in \set{1,...,m}$
16-
- $x_j \geq 0, \forall j \in \set{1,...,n}$
10+
> [!info]+ Définition
11+
>
12+
> Un problème d'optimisation linéaire à $n$ variables ($x \in \mathbb{R}^n$) sujet à $m$ contraintes ($b \in \mathbb{R}^m$) et $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ peut être exprimé sous **forme standard**.
13+
>
14+
> **Représentation matricielle :**
15+
>
16+
> $$
17+
> \begin{align} &\text{maximize (or minimize)} \quad c^T x \\ &\text{subject to} \quad x \geq 0, \quad Ax = b \end{align}
18+
> $$
19+
>
20+
> **Représentation indicielle :**
21+
>
22+
> $$ \begin{align} &\text{maximize (or minimize)} \quad \sum_{j=1}^n c_j x_j \\ &\text{subject to} \quad \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = b_i, \quad \forall i \in {1, \ldots, m} \ &x_j \geq 0, \quad \forall j \in {1, \ldots, n} \end{align} $$

‎content/ULB - Sciences Informatiques/BA3/INFO-F310 - Algorithmique et Recherche Opérationnelle/1 - Programmation Linéaire/2 - Programmes Linéaires/solution de base.md‎

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@@ -5,24 +5,44 @@ tags:
55
- Maths
66
- Algo
77
---
8+
# Solution de base
89

9-
# solution de base
10-
solution de base d'un programme linéaire : solution unique du sys de m équation à m inconnues obtenu en fixant (n-m) var à zéro
11-
- pourvu que mat $A_B \in R^{m \times m}$ du sys soit inv
10+
> [!info]+ Définition
11+
>
12+
> Une **solution de base** d'un programme linéaire est une solution unique du système de $m$ équations à $m$ inconnues obtenu en fixant $(n-m)$ variables à zéro, pourvu que la matrice $A_B \in \mathbb{R}^{m \times m}$ du système soit inversible.
13+
>
14+
> Dans une solution de base, les variables fixées à zéro sont appelées **variables hors-base** et les autres variables sont appelées **variables en base**.
1215
13-
→ dans sol de base, var fixées à zéro == variables **hors-base** et autres var = variables en-base
14-
## solution de base réalisable
15-
solution de base tq ttes les var prennent des valeurs non-nég = solution de base réalisable
16+
> [!info]+ Solution de base réalisable
17+
>
18+
> Une **solution de base réalisable** est une solution de base telle que toutes les variables prennent des valeurs non-négatives.
1619
17-
## solution de base dégénérée
18-
Si une ou plusieurs var de base d'une solution de base ont une valeur nulle, cette sol = solution de base dégénérée
20+
^503980
1921

20-
## solution de base réalisable dégénérée
21-
Si solution de base réalisable est également une soltuion de base dégénérée → solution de base réalisable dégénérée
22+
> [!info]+ Solution de base dégénérée
23+
>
24+
> Si une ou plusieurs variables de base d'une solution de base ont une valeur nulle, cette solution est appelée **solution de base dégénérée**.
2225
23-
## solution réalisable optimale
24-
sol réalisable satisfaisant au sys de contraintes et atteignant la val minimale de la fonction objectif
26+
^2d600c
2527

26-
## solution réalisable
27-
vecteur $x$ satisfaisant les contraintes $Ax = b, x \geq 0$ est dit réalisable (/ admissible) pour ces contraintes
28-
- → pour un sys de **m** eq à **n** inconnues ($m \lt n$ ) : infinité de solutions
28+
> [!info]+ Solution de base réalisable dégénérée
29+
>
30+
> Si une solution de base réalisable est également une solution de base dégénérée, on parle de **solution de base réalisable dégénérée**.
31+
32+
^199e43
33+
34+
> [!info]+ Solution réalisable optimale
35+
>
36+
> Une **solution réalisable optimale** est une solution réalisable satisfaisant le système de contraintes et atteignant la valeur minimale (ou maximale) de la fonction objectif.
37+
38+
^50a468
39+
40+
> [!info]+ Solution réalisable
41+
>
42+
> Un vecteur $x$ satisfaisant les contraintes $Ax = b, x \geq 0$ est dit **réalisable** (ou **admissible**) pour ces contraintes.
43+
44+
^af92a8
45+
46+
> [!tip]+ Remarque
47+
>
48+
> Pour un système de $m$ équations à $n$ inconnues ($m < n$), il existe une infinité de solutions.

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