From 9460a0564d828c2d7d0edaba0c38be8d9e07e103 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alejandro Soto Franco Date: Sun, 26 Jul 2026 19:03:17 +0300 Subject: [PATCH 01/11] Restaurar las correcciones de prueba perdidas en e82228a MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit La instantánea de Overleaf e82228a sobrescribió el merge 32b3c4b y devolvió al texto los nueve errores corregidos en d4b7ca5. Se reaplican sobre la redacción actual: - cap_cauchy: el rango es t_0 <= t < t+h <= t_1. - cap_semigrupos: llaves en ||T(t)||_{L(E_0)}. - cap_semigrupos: exponente t en la cota de ||R(lambda)||. - cap_semigrupos: lambda, mu tienden a infinito, no a cero. - cap_semigrupos: y := (lambda_0 - A)e. - cap_semigrupos: e* = A*e* se sigue de la densidad de D(A), no de la definición de operador auto-adjunto, que aquí no se supone. - cap_semigrupos: A acotado superiormente es <= a. - cap_vigas: la condición de frontera es phi(0,t) = phi(L,t) = 0. - cap_vigas: la integral de Cauchy-Schwarz da L, no L/2. --- secciones/cap_cauchy.tex | 2 +- secciones/cap_semigrupos.tex | 12 ++++++------ secciones/cap_vigas.tex | 4 ++-- 3 files changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/secciones/cap_cauchy.tex b/secciones/cap_cauchy.tex index b746666..af2016a 100644 --- a/secciones/cap_cauchy.tex +++ b/secciones/cap_cauchy.tex @@ -450,7 +450,7 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} Así, $u(s) = 0$ para todo $s \in (t_0, t_1)$. Esto prueba entonces la unicidad de soluciones y, junto con el punto tercero, también prueba el segundo punto. - Concluimos probando el cuarto y último punto. Sea $e(\cdot)$ una solución débil dada por \eqref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels:2}, entonces para $t_0 \leq t < t + h \leq t$: + Concluimos probando el cuarto y último punto. Sea $e(\cdot)$ una solución débil dada por \eqref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels:2}, entonces para $t_0 \leq t < t + h \leq t_1$: \begin{align*} &\frac{e(t+h) - e(t)}{h}\\ diff --git a/secciones/cap_semigrupos.tex b/secciones/cap_semigrupos.tex index 424a076..7064a36 100644 --- a/secciones/cap_semigrupos.tex +++ b/secciones/cap_semigrupos.tex @@ -110,7 +110,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} \begin{enumerate} \item Para cualquier $e \in E_0$, la aplicación $t \mapsto T(t)e$ es continua para todo $t \ge 0$. - \item La aplicación $t \mapsto ||T(t)||_L(E_0)$ es semicontinua inferiormente y, por tanto, medible. + \item La aplicación $t \mapsto ||T(t)||_{L(E_0)}$ es semicontinua inferiormente y, por tanto, medible. \item Sea $A$ un generador infinitesimal de $T(t)$; entonces, $A$ es densamente definido y cerrado. Para $e \in D(A)$, $t \mapsto T(t) e$ es continuamente diferenciable y @@ -282,7 +282,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} \begin{align*} ||R(\lambda)||_{L(E_0)} = \sup_{\substack{e \in E_0 \\ e \neq 0}} \frac{||R(\lambda)||_{E_0}}{||e||_{E_0}} &\leq \frac{\left | \left | \int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-\lambda t}T(t)e \, \dd t \right | \right |_{E_0}}{||e||_{E_0}}\\ &\leq \frac{\int_0^{\infty}|\mathrm{e}^{-\lambda t}| \, ||T(t)e||_{E_0} \, \dd t}{||e||_{E_0}}\\ - \text{(Teorema \ref{ch:semigrupos:th:cotaExp})}&\leq \frac{M ||e||_{E_0} \int_0^\infty \mathrm{e}^{-(\operatorname{Re}(\lambda) - \beta)} \, \dd t}{||e||_{E_0}}\\ + \text{(Teorema \ref{ch:semigrupos:th:cotaExp})}&\leq \frac{M ||e||_{E_0} \int_0^\infty \mathrm{e}^{-(\operatorname{Re}(\lambda) - \beta)t} \, \dd t}{||e||_{E_0}}\\ \text{(}\operatorname{Re}(\lambda) > \beta\text{)}&\leq \frac{M}{\operatorname{Re}(\lambda) - \beta}. \end{align*} @@ -594,7 +594,7 @@ \section{El teorema de Hille-Yosida} \begin{align*} &\sup_{0 \leq t \leq t_0} ||\mathrm{e}^{tA_\lambda}e - \mathrm{e}^{tA_\mu}e||_{E_0} \leq t_0 ||A_\lambda e - A_\mu e||_{E_0}\\ - \implies& \mathop{\left\lVert \mathrm{e}^{tA_\lambda}e - \mathrm{e}^{tA_\mu}e \right\rVert_{E_0}} \limits_{\displaystyle \forall t \in [0, t_0]} \rightarrow 0 \text{ cuando } \lambda, \mu \rightarrow 0, + \implies& \mathop{\left\lVert \mathrm{e}^{tA_\lambda}e - \mathrm{e}^{tA_\mu}e \right\rVert_{E_0}} \limits_{\displaystyle \forall t \in [0, t_0]} \rightarrow 0 \text{ cuando } \lambda, \mu \rightarrow \infty, \end{align*} es decir, $(\mathrm{e}^{tA_\lambda}e)$ es de Cauchy uniforme en $E_0$. En consecuencia, el límite @@ -809,7 +809,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \[\lVert (\lambda - A)e \rVert_{E_0} \geq \lambda \lVert e \rVert_{E_0}.\] - Ahora, como $R(\lambda_0 - A) = E_0$, entonces $(\lambda_0 - A)$ es sobreyectivo. Por otro lado, como $\lVert (\lambda_0 - A)e \rVert_{E_0} \geq \lambda_0 \lVert e \rVert_{E_0}$, se tiene que, si definimos $y := (\lambda_0 -A) \in E_0$, entonces: + Ahora, como $R(\lambda_0 - A) = E_0$, entonces $(\lambda_0 - A)$ es sobreyectivo. Por otro lado, como $\lVert (\lambda_0 - A)e \rVert_{E_0} \geq \lambda_0 \lVert e \rVert_{E_0}$, se tiene que, si definimos $y := (\lambda_0 -A)e \in E_0$, entonces: \[\lVert (\lambda_0 - A)^{-1}y \rVert_{E_0} = \lVert e \rVert_{E_0} \leq \frac{1}{\lambda_0}\lVert (\lambda_0 - A)e \rVert_{E_0} = \frac{1}{\lambda_0} \lVert y \rVert_{E_0},\] @@ -920,7 +920,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \implies& \langle e^*, e \rangle = \langle e^*, Ae\rangle = \langle A^* e^*, e \rangle, \end{align*} - y así (por definición de operador auto-adjunto \ref{ch:semigrupos:def:OpAutoAdj}) $e^* = A^* e^* \implies e^* - A^*e^* = 0$. + y así (por ser $D(A)$ denso en $E_0$) $e^* = A^* e^* \implies e^* - A^*e^* = 0$. Como $A^*$ también es disipativo, entonces (invocando una vez más el Lema \ref{ch:semigrupos:lemma:CondOpDisipativo}): @@ -1028,7 +1028,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} Para probar que $A$ es cerrado consideramos una sucesión $(x_n) \subset D(A)$ tal que $x_n \rightarrow x \in H$ y $Ax_n \rightarrow y \in H$. Debemos probar que $x \in D(A)$ y que $Ax = y$. Se tiene entonces que como $x_n \in D(A)$ y $D(A) = D(A^*)$, entonces $\langle x_n, Az \rangle = \langle A^* x_n, z \rangle \ \forall z \in D(A) \implies \langle x_n, Az \rangle = \langle Ax_n, z \rangle \ \forall z \in D(A)$. Tomando límites cuando $n \rightarrow \infty$ se tiene que $\langle x, Az \rangle = \langle y, z\rangle \ \forall z \in D(A)$. La veracidad de la igualdad anterior implica que $x \in D(A^*)$ y que $y = A^*x$. Una vez más, como $D(A) = D(A^*)$ y $A = A^*$, entonces $x \in D(A)$ y además $y = Ax$. Luego $A$ es cerrado. -Entonces, continuando con el enunciado del ejemplo, supongamos que $A$ está acotado superiormente; esto es, existe una constante $a \in \mathbb{R}$ tal que $\langle Au, u \rangle = a \langle u, u \rangle$. Deseamos probar que $\mathbb{C} \setminus (-\infty, a] \subset \rho(A)$ y que existe una constante $M \geq 1$ dependiente únicamente de $\varphi$ tal que +Entonces, continuando con el enunciado del ejemplo, supongamos que $A$ está acotado superiormente; esto es, existe una constante $a \in \mathbb{R}$ tal que $\langle Au, u \rangle \leq a \langle u, u \rangle$. Deseamos probar que $\mathbb{C} \setminus (-\infty, a] \subset \rho(A)$ y que existe una constante $M \geq 1$ dependiente únicamente de $\varphi$ tal que \[\lVert (\lambda - A)^{-1}\rVert_{L(H)} \leq \frac{M}{|\lambda - a|},\] diff --git a/secciones/cap_vigas.tex b/secciones/cap_vigas.tex index f6402ef..b65f9db 100644 --- a/secciones/cap_vigas.tex +++ b/secciones/cap_vigas.tex @@ -197,7 +197,7 @@ \subsection{Introducción al sistema de Timoshenko} Asumiremos entonces que la viga está fija en los extremos $\{0,L\}$, lo que nos lleva a considerar las siguientes \textit{condiciones de fronteras}: -\[\varphi(0,t) = \varphi(L,t), \ \psi(0,t) = \psi(L,t) = 0, \ t \geq 0.\] +\[\varphi(0,t) = \varphi(L,t) = 0, \ \psi(0,t) = \psi(L,t) = 0, \ t \geq 0.\] Asimismo, para $t = 0$ consideramos las \textit{condiciones iniciales}: @@ -284,7 +284,7 @@ \subsection{La energía en el sistema de Timoshenko} \begin{align*} \left (\int_0^L |\psi_x(x,t)| \, \dd x \right )^2 &= \left (\int_0^L |1 \cdot \psi_x(x,t)| \, \dd x \right )^2\\ \text{(Cauchy–Schwarz)} &\leq \left (\int_0^L |\psi_x(x,t)|^2 \, \dd x \right ) \left (\int_0^L dx \right )\\ - &= \frac{L}{2} \int_0^L |\psi_x(x,t)|^2 \, \dd x < \infty. + &= L \int_0^L |\psi_x(x,t)|^2 \, \dd x < \infty. \end{align*} Asimismo, por \textcolor{green}{LEMA 8.2 BREZIS} se puede definir una función $v$: From 23a28bb747e417b0776d12c35a635689e51a2fce Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alejandro Soto Franco Date: Sun, 26 Jul 2026 19:08:36 +0300 Subject: [PATCH 02/11] =?UTF-8?q?Corregir=20errores=20de=20enunciado=20y?= =?UTF-8?q?=20de=20prueba=20en=20los=20cap=C3=ADtulos=202=20a=205?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Errores que invalidan el enunciado: - cap_semigrupos: la forma general de Hille-Yosida acota por M/(lambda-beta)^n; faltaba el exponente y el enunciado era falso. - cap_semigrupos: el ejemplo de la imagen numérica concluye C \ (-infty, a], complementario de la semirrecta que contiene a W(A). - cap_semigrupos: la caracterización de la estabilidad exponencial pide el supremo del resolvente sobre iR, no un límite en el infinito. - cap_semigrupos: resolvente compacto es (lambda - A)^{-1} compacto, no rho(A). - cap_vigas: (a+b)^2 <= 2(a^2 + b^2); la cadena concluía a^2 + b^2, que es falso. - cap_vigas: A no es acotado, no pertenece a L(H). - cap_timoshenko: C_2 lleva beta^2, como da la cota de I_2. Huecos en las pruebas: - cap_vigas: la sobreyectividad de I-A necesita phi_t, psi_t en H_0^1, no en L^2, que es lo que exige D(A). Se sigue de phi en H^2 cap H_0^1 y f_1 en H_0^1. - cap_vigas: (phi_x + psi)_x está en L^2. - cap_vigas: la coercividad se escribe con >=; con desigualdad estricta falla en el origen y no da la constante que pide Lax-Milgram. - cap_timoshenko: la cota del resolvente se obtiene para |lambda| > 1; se cierra el rango restante por continuidad del resolvente sobre [-1,1]. Erratas: - cap_semigrupos: ||R(lambda)e|| en la cota; R(lambda)e en D(A); e^{-lambda t}; ||T_1(t)|| <= 1 pasa por e^{-omega t}e^{omega t}; D(S*) = E_0*; delimitadores de ||S||; (lambda - A*)^{-1} = ((lambda - A)^{-1})*; T(t+s)* = T(s)*T(t)*; D(A) denso en E_0; el corolario del semigrupo dual cita el lema de densidad, no a sí mismo; la aplicación abierta da la continuidad de la inversa; la proposición de operador simétrico tenía el título mal formado y sin etiqueta. - cap_cauchy: u(t_0) = e_1(t_0) - e_2(t_0); la derivada débil lleva A*e*; e^{A(t-t_0)}; el dato inicial de v es u_1. - cap_vigas y cap_timoshenko: la tercera ecuación del sistema resolvente iguala a f_3. - cap_timoshenko: referencia opSobreyectEq2, que existe; normas en H, no en L^2; 22 líneas con \lVert de cierre. --- secciones/cap_cauchy.tex | 10 ++-- secciones/cap_semigrupos.tex | 33 ++++++------ secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex | 68 +++++++++++++----------- secciones/cap_vigas.tex | 32 +++++------ 4 files changed, 75 insertions(+), 68 deletions(-) diff --git a/secciones/cap_cauchy.tex b/secciones/cap_cauchy.tex index af2016a..d8ac62b 100644 --- a/secciones/cap_cauchy.tex +++ b/secciones/cap_cauchy.tex @@ -29,7 +29,7 @@ \chapter{Problema Abstracto de Cauchy} u_{tt}(x,t) = c^2 \nabla^2 u(x,t), \ &(x,t) \in \Omega \times \mathbb{R}^+,\\ v(x,t) = u_t(x,t), \ &(x,t) \in \Omega \times \mathbb{R}^+,\\ u(x,0) = u_0(x), \ &x \in \Omega,\\ - v(x,0) = v_0(x) \ &x \in \Omega,\\ + v(x,0) = u_1(x) \ &x \in \Omega,\\ u(x,t) = 0 \ &(x,t) \in \partial \Omega \times \mathbb{R}^+, \end{cases} \end{align} @@ -123,14 +123,14 @@ \section{Introducción: Problema de Cauchy homogéneo} es también una solución al problema homogéneo con dato inicial -\[u(t_0) = e_1(t_0) - e(t_1) = e_0 - e_0 = 0,\] +\[u(t_0) = e_1(t_0) - e_2(t_0) = e_0 - e_0 = 0,\] pues \begin{align*} \frac{\dd^+}{\dd t}\langle e^*, u(t) \rangle &= \frac{\dd^+}{\dd t}\langle e^*, e_1(t)\rangle - \frac{\dd^+}{\dd t}\langle e^*, e_2(t)\rangle\\ - &= \langle e^* Ae_1(t)\rangle - \langle e^* Ae_2(t)\rangle\\ - &= \langle e^*, u(t) \rangle. + &= \langle A^*e^*, e_1(t)\rangle - \langle A^*e^*, e_2(t)\rangle\\ + &= \langle A^*e^*, u(t) \rangle. \end{align*} Construyamos ahora una función con más regularidad. Para ello, definimos @@ -519,7 +519,7 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} que, de nuevo, implica que $\displaystyle \frac{\dd^+}{\dd t}u(t)$ existe y que $\displaystyle t \mapsto \frac{\dd^+}{\dd t}u(t)$ es continua. - Finalmente, por lo dicho al comienzo (entiéndase: que $t \mapsto \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0$ es de clase $C^1$ por ser $e_0$ un elemento de $D(A)$), se tiene que $\displaystyle \frac{\dd^+}{\dd t}e(t)$ existe (pues $\displaystyle \frac{\dd^+}{\dd t}e(t) = \frac{\dd^+}{\dd t}\Big(\mathrm{e}^{A(t_0 - t)}e_0 \Big) + \frac{\dd^+}{\dd t}u(t)$) y $\displaystyle t \mapsto \frac{\dd^+}{\dd t}e(t)$ es continua. Así, por el cuarto punto del Teorema \eqref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels} + Finalmente, por lo dicho al comienzo (entiéndase: que $t \mapsto \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0$ es de clase $C^1$ por ser $e_0$ un elemento de $D(A)$), se tiene que $\displaystyle \frac{\dd^+}{\dd t}e(t)$ existe (pues $\displaystyle \frac{\dd^+}{\dd t}e(t) = \frac{\dd^+}{\dd t}\Big(\mathrm{e}^{A(t - t_0)}e_0 \Big) + \frac{\dd^+}{\dd t}u(t)$) y $\displaystyle t \mapsto \frac{\dd^+}{\dd t}e(t)$ es continua. Así, por el cuarto punto del Teorema \eqref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels} \[\frac{\dd^+}{\dd t}e(t) = Ae(t) + f(t) \ ; \ e(t) \in D(A), \] diff --git a/secciones/cap_semigrupos.tex b/secciones/cap_semigrupos.tex index 7064a36..b82313f 100644 --- a/secciones/cap_semigrupos.tex +++ b/secciones/cap_semigrupos.tex @@ -280,7 +280,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} Probemos entonces que la norma de $R(\lambda)$ es acotada cuando $\operatorname{Re}(\lambda) > \beta$, donde $\beta$ viene dado por el Teorema \ref{ch:semigrupos:th:cotaExp}: \begin{align*} - ||R(\lambda)||_{L(E_0)} = \sup_{\substack{e \in E_0 \\ e \neq 0}} \frac{||R(\lambda)||_{E_0}}{||e||_{E_0}} &\leq \frac{\left | \left | \int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-\lambda t}T(t)e \, \dd t \right | \right |_{E_0}}{||e||_{E_0}}\\ + ||R(\lambda)||_{L(E_0)} = \sup_{\substack{e \in E_0 \\ e \neq 0}} \frac{||R(\lambda)e||_{E_0}}{||e||_{E_0}} &\leq \frac{\left | \left | \int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-\lambda t}T(t)e \, \dd t \right | \right |_{E_0}}{||e||_{E_0}}\\ &\leq \frac{\int_0^{\infty}|\mathrm{e}^{-\lambda t}| \, ||T(t)e||_{E_0} \, \dd t}{||e||_{E_0}}\\ \text{(Teorema \ref{ch:semigrupos:th:cotaExp})}&\leq \frac{M ||e||_{E_0} \int_0^\infty \mathrm{e}^{-(\operatorname{Re}(\lambda) - \beta)t} \, \dd t}{||e||_{E_0}}\\ \text{(}\operatorname{Re}(\lambda) > \beta\text{)}&\leq \frac{M}{\operatorname{Re}(\lambda) - \beta}. @@ -314,7 +314,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} \[\frac{\big(T(h) - I\big)}{h}R(\lambda)e \rightarrow \lambda R(\lambda) e - e, \text{ cuando } h\rightarrow 0^+. \] - En consecuencia, $R(\lambda) \in D(A)$ como queríamos demostrar. Además, + En consecuencia, $R(\lambda)e \in D(A)$ como queríamos demostrar. Además, \[ (\lambda - A)R(\lambda)e = \lambda R(\lambda)e - AR(\lambda)e = \lambda R(\lambda)e - (\lambda R(\lambda)e - e) = e, @@ -418,7 +418,7 @@ \section{El teorema de Hille-Yosida} Por otra parte, \begin{align*} - &||T_1(t)||_{L(E_0)} = ||T(t) \mathrm{e}^{-\omega t}||_{L(E_0)} = \mathrm{e}^{-\omega t} ||T(t)||_{L(E_0)} \leq \mathrm{e}^{-\omega t}\\ + &||T_1(t)||_{L(E_0)} = ||T(t) \mathrm{e}^{-\omega t}||_{L(E_0)} = \mathrm{e}^{-\omega t} ||T(t)||_{L(E_0)} \leq \mathrm{e}^{-\omega t}\mathrm{e}^{\omega t} = 1\\ \implies& ||T_1(t)||_{L(E_0)} \leq 1, \end{align*} @@ -520,7 +520,7 @@ \section{El teorema de Hille-Yosida} \begin{align*} ||\mathrm{e}^{tA_\lambda}||_{L(E_0)} &= ||\mathrm{e}^{t(\lambda^2(\lambda - A)^{-1} - \lambda I)}||_{L(E_0)}\\ - &=||\mathrm{e}^{\lambda t}\mathrm{e}^{t\lambda^2(\lambda - A)^{-1}}||_{L(E_0)}\\ + &=||\mathrm{e}^{-\lambda t}\mathrm{e}^{t\lambda^2(\lambda - A)^{-1}}||_{L(E_0)}\\ &=\mathrm{e}^{-\lambda t} ||\mathrm{e}^{t\lambda^2(\lambda - A)^{-1}}||_{L(E_0)}, \end{align*} @@ -691,7 +691,7 @@ \section{El teorema de Hille-Yosida} \item $A$ es cerrado, densamente definido y su conjunto resolvente $\rho(A)$ contiene al intervalo $(\beta, \infty)$. Además: - \[||(\lambda I - A)^{-n}||_{L(E_0)} \leq \frac{M}{\lambda - \beta}, \quad \forall \lambda > \beta, \, n = 1,2,\cdots .\] + \[||(\lambda I - A)^{-n}||_{L(E_0)} \leq \frac{M}{(\lambda - \beta)^n}, \quad \forall \lambda > \beta, \, n = 1,2,\cdots .\] \end{enumerate} \end{Teorema} @@ -826,7 +826,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \[0 = \lVert (\lambda_0 - A)e \rVert_{E_0} \geq \lambda_0 \lVert e \rVert_{E_0} \implies \lambda_0 \lVert e \rVert_{E_0} = 0,\] - y como $\lambda_0 > 0$, entonces $\lVert e \rVert_{E_0} = 0$, lo que implica que $e = 0$ y así $(\lambda_0 - A)$ es inyectivo. En consecuencia $(\lambda_0 - A)$ es una biyección y, por corolario del \textcolor{green}{Teorema de la función abierta}, es también un operador continuo. Luego $\lambda_0 \in \rho(A)$. + y como $\lambda_0 > 0$, entonces $\lVert e \rVert_{E_0} = 0$, lo que implica que $e = 0$ y así $(\lambda_0 - A)$ es inyectivo. En consecuencia $(\lambda_0 - A)$ es una biyección y, por corolario del \textcolor{green}{Teorema de la función abierta}, su inversa $(\lambda_0 - A)^{-1}$ es un operador continuo. Luego $\lambda_0 \in \rho(A)$. Considerando ahora $(e_n) \subset D(A)$ tal que $e_n \rightarrow e$ y $Ae_n \rightarrow f$. Entonces, por continuidad: @@ -1008,7 +1008,8 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \textcolor{red}{METER AQUI UN SALTO DE LINEA}\\ -\begin{Proposicion}{}{Operador simétrico es auto-adjunto} +\begin{Proposicion}{(Un operador simétrico y sobreyectivo es auto-adjunto)} + \label{ch:semigrupos:prop:simetricoSobreyectivoAutoadjunto} Sea $H$ un espacio de Hilbert y $A : D(A) \subset H \rightarrow H$ un operador simétrico y sobreyectivo. Se tiene entonces que $A$ es auto-adjunto. \end{Proposicion} @@ -1040,7 +1041,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \[W(A) = \{\langle Ae, e \rangle : e \in D(A), \lVert e \rVert_{H} = 1\} \subset (-\infty, a].\] -Nótese que $\langle Au, u \rangle \leq a\langle u, u \rangle \implies \langle (A - a) u, u \rangle \leq 0 \implies \operatorname{Re}\langle (A - a) u, u \rangle \leq 0,$ por lo que $A-a = A^* - a$ son operadores disipativos. Así, por el Corolario \ref{ch:semigrupos:cor:CorolarioLumerPhillips}, $A-a$ genera un semigrupo fuertemente continuo de contracciones. Por ser un semigrupo fuertemente continuo de contracciones y por ser $A-a$ su generador, el punto $5$ del Teorema \ref{ch:semigrupos:th:resSemiFuerteCont} garantiza que $\rho(A-a) \supset (0, \infty)$. Esto significa que si consideramos $\mu \in (0, \infty)$, entonces $\mu - (A-a)$ es una biyección. Reorganizando y nombrando $\lambda = \mu + a$ obtenemos que el operador $\lambda - A$ es una biyección y, en consecuencia, $\rho(A) \supset (a, \infty)$. Como $(a, \infty)$ es un subconjunto abierto y conexo en $\mathbb{C} \setminus W(A)$, entonces $\mathbb{C} \setminus [a, \infty) \subset \rho(A)$ por el Teorema \ref{ch:semigrupos:th:ImgNumerica}. Asimismo, y también por el Teorema anterior, +Nótese que $\langle Au, u \rangle \leq a\langle u, u \rangle \implies \langle (A - a) u, u \rangle \leq 0 \implies \operatorname{Re}\langle (A - a) u, u \rangle \leq 0,$ por lo que $A-a = A^* - a$ son operadores disipativos. Así, por el Corolario \ref{ch:semigrupos:cor:CorolarioLumerPhillips}, $A-a$ genera un semigrupo fuertemente continuo de contracciones. Por ser un semigrupo fuertemente continuo de contracciones y por ser $A-a$ su generador, el punto $5$ del Teorema \ref{ch:semigrupos:th:resSemiFuerteCont} garantiza que $\rho(A-a) \supset (0, \infty)$. Esto significa que si consideramos $\mu \in (0, \infty)$, entonces $\mu - (A-a)$ es una biyección. Reorganizando y nombrando $\lambda = \mu + a$ obtenemos que el operador $\lambda - A$ es una biyección y, en consecuencia, $\rho(A) \supset (a, \infty)$. Como $(a, \infty)$ es un subconjunto abierto y conexo en $\mathbb{C} \setminus W(A)$, entonces $\mathbb{C} \setminus (-\infty, a] \subset \rho(A)$ por el Teorema \ref{ch:semigrupos:th:ImgNumerica}. Asimismo, y también por el Teorema anterior, \[\lVert (\lambda - A)^{-1} \rVert_{L(H)} \leq \frac{1}{d(\lambda, W(A))} \leq \frac{1}{d(\lambda, (-\infty, a])}.\] @@ -1062,7 +1063,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \item Si $A$ es cerrable\footnotemark, entonces su clausura $\overline{A}$ también es un operador disipativo. - \item Si $\overline{D(A)} = E$ entonces $A$ es cerrable. + \item Si $\overline{D(A)} = E_0$ entonces $A$ es cerrable. \end{enumerate} \end{Teorema} \footnotetext{Decimos que un operador lineal $A : D(A) \subset E_0 \rightarrow E_0$ es \textit{cerrable} si existe otro operador lineal $\overline{A}$ tal que $G(A) \subset G(\overline{A}), \overline{A}|_{D(A)} = A, \overline{G(A)} = G(\overline{A})$, donde $G(T)$ es el grafo (también llamado el gráfico o la gráfica) de $T$.} @@ -1149,7 +1150,7 @@ \section{Semigrupo dual} \end{Lema} \begin{proof} - Para todo $e^* \in E_0^*$, $\langle e^*, Se \rangle$ es un funcional lineal continuo. En consecuencia, existe un único elemento $f^* \in E_0^*$ tal que $\langle f^*, e \rangle = \langle e^*, Se \rangle$. Por lo tanto, $D(S^*) \ E_0^*$ (por definición de operador adjunto). + Para todo $e^* \in E_0^*$, $\langle e^*, Se \rangle$ es un funcional lineal continuo. En consecuencia, existe un único elemento $f^* \in E_0^*$ tal que $\langle f^*, e \rangle = \langle e^*, Se \rangle$. Por lo tanto, $D(S^*) = E_0^*$ (por definición de operador adjunto). Además, \begin{align*} @@ -1157,7 +1158,7 @@ \section{Semigrupo dual} &= \sup_{\substack{\lVert e^* \rVert_{E_0^*} \leq 1}} \sup_{\substack{\lVert e \rVert_{E_0} \leq 1}} \lvert \langle S^* e^*, e \rangle \rvert\\ &= \sup_{\substack{\lVert e \rVert_{E_0} \leq 1}} \sup_{\substack{\lVert e^* \rVert_{E_0^*} \leq 1}} \lvert \langle e^*, Se \rangle \rvert\\ \textcolor{green}{(Corolario 1.4 Brezis)} &= \sup_{\substack{\lVert e \rVert_{E_0} \leq 1}} \lVert Se \rVert_{E_0}\\ - &= \rVert S \lVert_{L(E_0)}. + &= \lVert S \rVert_{L(E_0)}. \end{align*} \end{proof} @@ -1168,7 +1169,7 @@ \section{Semigrupo dual} Sea $A$ un operador lineal densamente definido en $E_0$. Si $\lambda \in \rho(A)$, entonces $\lambda \in \rho(A^*)$ y - \[(\lambda - A^*)^{-1} - \big((\lambda - A)^{-1} \big)^*.\] + \[(\lambda - A^*)^{-1} = \big((\lambda - A)^{-1} \big)^*.\] \end{Lema} \begin{proof} @@ -1250,7 +1251,7 @@ \section{Semigrupo dual} Por lo tanto, $T(0)^*e^* - e^* = 0 \ \forall e^* \in E_0^*$ y así $T(0)^* = I_{E_0^*}$. - \item $T(t+s)^* = T(t)T(s) \ \forall t ,s \geq 0$. En efecto, + \item $T(t+s)^* = T(s)^*T(t)^* \ \forall t ,s \geq 0$. En efecto, \begin{align*} &\langle e^*, T(t+s)e \rangle = \langle T(t+s)^*e^*, e \rangle\\ =&\langle e^*, T(t)T(s)e \rangle\\ @@ -1359,7 +1360,7 @@ \section{Semigrupo dual} \end{Corolario} \begin{proof} - Se deduce inmediatamente del Teorema \ref{ch:semigrupos:section:dual:th:SunDual} y del Lema \ref{ch:semigrupos:section:dual:cor:dualReflex}. + Se deduce inmediatamente del Teorema \ref{ch:semigrupos:section:dual:th:SunDual} y del Lema \ref{ch:semigrupos:section:dual:lemma:densidadDelDomAdjuntoDelGenerador}. \end{proof} \textcolor{red}{TEXTO...}\\ @@ -1399,7 +1400,7 @@ \section{Estabilidad exponencial} \begin{Corolario}[Espectro de un operador con resolvente compacto] \label{ch:semigrupos:section:estExp:cor:espectroResComp} - Si un operador $A$ tiene resolvente $\rho(A)$ compacto, entonces $\sigma(A)$ está formado exclusivamente por autovalores de $A$. + Si un operador $A$ tiene resolvente compacto (esto es, si $(\lambda - A)^{-1}$ es un operador compacto para algún $\lambda \in \rho(A)$), entonces $\sigma(A)$ está formado exclusivamente por autovalores de $A$. \end{Corolario} \begin{proof} @@ -1414,7 +1415,7 @@ \section{Estabilidad exponencial} \begin{enumerate} \item El conjunto resolvente de $A$, $\rho(A)$, contiene al eje imaginario $i\mathbb{R}$. - \item $\displaystyle\lim_{\lvert \lambda \lvert \rightarrow \infty}\lVert (i\lambda I - A)^{-1}\rVert_{L(H)} < \infty$ + \item $\displaystyle\sup_{\lambda \in \mathbb{R}}\lVert (i\lambda I - A)^{-1}\rVert_{L(H)} < \infty$ \end{enumerate} \end{Teorema} diff --git a/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex b/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex index b2e252d..c7249a4 100644 --- a/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex +++ b/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex @@ -239,14 +239,14 @@ \section{Existencia y unicidad de soluciones} &(U, AU)_{\mathcal{H}}\\ =&\begin{aligned}[t] -&k\int_0^L(\varphi_x + \psi) (\varphi_{tx} + \psi_t) \, dx -b\int_0^L\psi_x \psi_{tx} \, dx + b\int_0^L \psi_{tx} \psi_x \, dx\\ - +& k \int_0^L (\varphi_{tx} + \psi_t)(\varphi_x + \psi) \, dx -\alpha\lVert\varphi_t\lVert^2_{L^2} - \beta\lVert\psi_t\rVert^2_{L^2}. + +& k \int_0^L (\varphi_{tx} + \psi_t)(\varphi_x + \psi) \, dx -\alpha\lVert\varphi_t\rVert^2_{L^2} - \beta\lVert\psi_t\rVert^2_{L^2}. \end{aligned}\\ - =& -\alpha\lVert\varphi_t\lVert^2_{L^2} - \beta\lVert\psi_t\rVert^2_{L^2}. + =& -\alpha\lVert\varphi_t\rVert^2_{L^2} - \beta\lVert\psi_t\rVert^2_{L^2}. \end{align*} Por lo tanto, considerando que $\alpha,\beta \geq 0$ y que la norma siempre es no negativa, se tiene que: - \[\operatorname{Re}(U,AU)_{\mathcal{H}} = -\alpha\lVert\varphi_t\lVert^2_{L^2} - \beta\lVert\psi_t\rVert^2_{L^2} \leq 0,\] + \[\operatorname{Re}(U,AU)_{\mathcal{H}} = -\alpha\lVert\varphi_t\rVert^2_{L^2} - \beta\lVert\psi_t\rVert^2_{L^2} \leq 0,\] lo cual prueba que $A$ es disipativo en $\mathcal{H}$. \end{proof} @@ -272,7 +272,7 @@ \section{Existencia y unicidad de soluciones} \begin{cases} \varphi - \varphi_t &= f_1\\ -\frac{k}{\rho_1}\varphi_{xx} + \varphi_t - \frac{k}{\rho_1}\psi_x + \frac{\alpha}{\rho_1}\varphi_t &= f_2\\ - \psi - \psi_t &= f_2\\ + \psi - \psi_t &= f_3\\ \frac{k}{\rho_2}\varphi_x - \frac{b}{\rho_2}\psi_{xx} + \frac{k}{\rho_2}\psi + \psi_t + \frac{\beta}{\rho_2}\psi_t &= f_4. \end{cases} \end{equation} @@ -289,7 +289,7 @@ \section{Existencia y unicidad de soluciones} \begin{equation*} \begin{cases} -\frac{k}{\rho_1}\varphi_{xx} + \varphi - f_1 - \frac{k}{\rho_1}\psi_x + \frac{\alpha}{\rho_1}(\varphi - f_1) &= f_2\\ - \frac{k}{\rho_2}\varphi_x - \frac{b}{\rho_2}\psi_{xx} + \frac{k}{\rho_2}\psi + \psi - f_3 + \frac{\beta}{\rho_2}(\psi - f_2) &= f_4. + \frac{k}{\rho_2}\varphi_x - \frac{b}{\rho_2}\psi_{xx} + \frac{k}{\rho_2}\psi + \psi - f_3 + \frac{\beta}{\rho_2}(\psi - f_3) &= f_4. \end{cases} \end{equation*} @@ -320,7 +320,7 @@ \section{Existencia y unicidad de soluciones} \end{cases} \end{equation*} - Luego, podemos observar que en el sistema anterior no hay manifestaciones de las derivadas temporales de $\varphi$ ni de $\psi$. En consecuencia, estamos ante un sistema elíptico acoplado. Adicionalmente, este sistema tiene la misma forma que el que se ha descrito en la prueba de la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ResolventeEsSobreyect}, pues $g_1, g_2 \in L^2(0,L)$; en concreto, tiene la misma forma que el sistema \eqref{opSobreyectEq2D}. Por lo tanto, podemos repetir de manera idéntica el argumento dado en la demostración de la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ResolventeEsSobreyect}, consiguiendo así demostrar el resultado deseado. + Luego, podemos observar que en el sistema anterior no hay manifestaciones de las derivadas temporales de $\varphi$ ni de $\psi$. En consecuencia, estamos ante un sistema elíptico acoplado. Adicionalmente, este sistema tiene la misma forma que el que se ha descrito en la prueba de la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ResolventeEsSobreyect}, pues $g_1, g_2 \in L^2(0,L)$; en concreto, tiene la misma forma que el sistema \eqref{opSobreyectEq2}. Por lo tanto, podemos repetir de manera idéntica el argumento dado en la demostración de la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ResolventeEsSobreyect}, consiguiendo así demostrar el resultado deseado. \end{proof} \textcolor{red}{TEXTO} @@ -606,7 +606,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución} \begin{align} \label{C1yC2} - C_1 = \rho_1 + \frac{\alpha^2L^4}{b} + \frac{\alpha^2L^2}{2k} > 0 \ \ \text{y} \ \ C_2 = \rho_2 + \frac{\beta L^2}{b} > 0, + C_1 = \rho_1 + \frac{\alpha^2L^4}{b} + \frac{\alpha^2L^2}{2k} > 0 \ \ \text{y} \ \ C_2 = \rho_2 + \frac{\beta^2 L^2}{b} > 0, \end{align} para concluir la segunda afirmación. Es decir, que existen constantes $C_1, C_2 > 0$ tales que @@ -760,20 +760,20 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore donde - \[\lVert U \rVert_{D(A)} = \lVert \varphi \lVert_{H^2} + \lVert \varphi_t \lVert_{H_0^1} + \lVert \psi \rVert_{H^2} + \lVert \psi_t \rVert_{H_0^1}\] + \[\lVert U \rVert_{D(A)} = \lVert \varphi \rVert_{H^2} + \lVert \varphi_t \rVert_{H_0^1} + \lVert \psi \rVert_{H^2} + \lVert \psi_t \rVert_{H_0^1}\] y, aplicando sucesivamente la desigualdad de Poincaré: - \[\lVert U \rVert_{D(A)} = \lVert \varphi_{xx} \lVert_{L^2} + \lVert \varphi_t \lVert_{H_0^1} + \lVert \psi_{xx} \rVert_{L^2} + \lVert \psi_t \rVert_{H_0^1}.\] + \[\lVert U \rVert_{D(A)} = \lVert \varphi_{xx} \rVert_{L^2} + \lVert \varphi_t \rVert_{H_0^1} + \lVert \psi_{xx} \rVert_{L^2} + \lVert \psi_t \rVert_{H_0^1}.\] - Acotamos ahora término a término tomando como norma de $\mathcal{H}$ la inducida por el funcional de energía (véase \ref{normaEnergiaH}). Empezamos por acotar $\lVert \varphi_t \lVert_{H_0^1}$ y $\lVert \psi_t \lVert_{H_0^1}$ trivialmente por el hecho de que $AU \in \mathcal{H}$. + Acotamos ahora término a término tomando como norma de $\mathcal{H}$ la inducida por el funcional de energía (véase \ref{normaEnergiaH}). Empezamos por acotar $\lVert \varphi_t \rVert_{H_0^1}$ y $\lVert \psi_t \rVert_{H_0^1}$ trivialmente por el hecho de que $AU \in \mathcal{H}$. \begin{align*} - \lVert \varphi_t \lVert_{H_0^1} &\leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} \leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} + \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}\\ + \lVert \varphi_t \rVert_{H_0^1} &\leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} \leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} + \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}\\ \lVert \psi_t \rVert_{H_0^1} &\leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} \leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} + \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}.\\ \end{align*} - Ahora acotamos $\lVert \varphi_{xx} \lVert_{L^2}$ y $\lVert \psi_{xx} \rVert_{L^2}$, empezando por $\lVert \varphi_{xx} \lVert_{L^2}$. En primer lugar, se sigue por definición de la norma de $\mathcal{H}$ que: + Ahora acotamos $\lVert \varphi_{xx} \rVert_{L^2}$ y $\lVert \psi_{xx} \rVert_{L^2}$, empezando por $\lVert \varphi_{xx} \rVert_{L^2}$. En primer lugar, se sigue por definición de la norma de $\mathcal{H}$ que: \begin{align*} \left \lVert k(\varphi_x + \psi)_x - \alpha\varphi_t \right \rVert_{L^2} &\leq \rho_1\lVert AU \rVert_{\mathcal{H}}\\ @@ -799,7 +799,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore Recopilando todos nuestros hallazgos, tenemos que: \begin{align*} - \lVert \varphi_t \lVert_{H_0^1} &\leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} \leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} + \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}\\ + \lVert \varphi_t \rVert_{H_0^1} &\leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} \leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} + \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}\\ \lVert \psi_t \rVert_{H_0^1} &\leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} \leq \lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} + \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}\\ \lVert \varphi_{xx} \rVert_{L^2} &\leq \frac{C_1^\prime}{k}\big(\lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} + \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}\big)\\ \lVert \psi_{xx} \rVert_{L^2} &\leq \frac{C_2^\prime}{b}\big(\lVert AU \rVert_{\mathcal{H}} + \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}\big). @@ -811,7 +811,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore lo cual prueba que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big)$. - Lo anterior nos permite entonces utilizar la Proposición \eqref{ch:semigrupos:section:estExp:prop:compRes} (sabemos que $\rho(A) \neq \varnothing$ por la Proposición \ref{ch:TimoshenkoFric:prop:ResolventeEsSobreyect}, la cual nos asegura que $1 \in \rho(A)$) y, así, $\rho(A)$ es compacto. Esto a su vez nos permite invocar el Corolario \ref{ch:semigrupos:section:estExp:cor:espectroResComp}, que nos asegura que el espectro de $A$, $\sigma(A)$, está formado exclusivamente por autovalores de $A$. + Lo anterior nos permite entonces utilizar la Proposición \eqref{ch:semigrupos:section:estExp:prop:compRes} (sabemos que $\rho(A) \neq \varnothing$ por la Proposición \ref{ch:TimoshenkoFric:prop:ResolventeEsSobreyect}, la cual nos asegura que $1 \in \rho(A)$) y, así, $A$ tiene resolvente compacto. Esto a su vez nos permite invocar el Corolario \ref{ch:semigrupos:section:estExp:cor:espectroResComp}, que nos asegura que el espectro de $A$, $\sigma(A)$, está formado exclusivamente por autovalores de $A$. Proseguimos por contradicción. Supongamos que $i\mathbb{R} \not \subseteq \rho(A)$. En ese caso existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que $i\lambda \notin \rho(A)$, lo cual implica (por definición del conjunto resolvente) que $i\lambda \in \sigma(A)$; esto es, existe $U = (\varphi, \varphi_t, \psi, \psi_t) \in D(A)$ no nulo tal que @@ -891,7 +891,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore \label{ch:TimoshenkoFric:lemma:acotacionResolvente} Supongamos que $\rho_1, \rho_2, b, k > 0$ y que $\alpha,\beta > 0$. Sea $A$ el operador definido en \eqref{operadorATimoDosAmortig}, entonces - \[\lim_{\lvert \lambda \lvert \rightarrow \infty} \sup \lVert (i\lambda I - A)^{-1}\rVert_{L(\mathcal{H})} < \infty\] + \[\sup_{\lambda \in \mathbb{R}} \lVert (i\lambda I - A)^{-1}\rVert_{L(\mathcal{H})} < \infty.\] \end{Lema} \begin{proof} @@ -899,7 +899,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore \[(i\lambda I - A)U = F,\] - para cualquier elección de $\lambda \in \mathbb{R}$. Sea entonces $U \in D(A)$ tal que $(i\lambda I - A)U = F$ para cualquier $\lambda \in \mathbb{R}$, se tiene en consecuencia que $U = (i\lambda I - A)^{-1}F$. Así, para mostrar que el límite superior de $\lVert (i\lambda I - A)^{-1}\rVert_{L(\mathcal{H})} < \infty$ cuando $\lambda \rightarrow \infty$ basta con mostrar (por la definición de la norma de operador) que existe $C > 0$ tal que para todo $F \in \mathcal{H}$ + para cualquier elección de $\lambda \in \mathbb{R}$. Sea entonces $U \in D(A)$ tal que $(i\lambda I - A)U = F$ para cualquier $\lambda \in \mathbb{R}$, se tiene en consecuencia que $U = (i\lambda I - A)^{-1}F$. Así, para acotar $\lVert (i\lambda I - A)^{-1}\rVert_{L(\mathcal{H})}$ basta con mostrar (por la definición de la norma de operador) que existe $C > 0$ tal que para todo $F \in \mathcal{H}$ \[\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \leq C \lVert F \rVert_{\mathcal{H}},\] @@ -980,7 +980,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore \end{aligned}\\ \implies& \begin{aligned}[t] - \frac{b}{\rho_2} \lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq &\left(C_{\varepsilon} + 1\right)\lVert \psi_t \rVert_{L^2}^2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \lvert} \lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ + \frac{b}{\rho_2} \lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq &\left(C_{\varepsilon} + 1\right)\lVert \psi_t \rVert_{L^2}^2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \lvert} \lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ +& \left(2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \rvert} \right)\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \varepsilon \lVert \psi \rVert_{L^2}^2. \end{aligned} \end{align*} @@ -988,11 +988,11 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore Ahora utilizamos la Desigualdad de Poincaré \ref{ch:preliminares:th:poincare} y obtenemos: \begin{align*} - \frac{b}{\rho_2} \lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq &\left(C_{\varepsilon} + 1\right)\lVert \psi_t \rVert_{L^2}^2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \lvert} \lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ + \frac{b}{\rho_2} \lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq &\left(C_{\varepsilon} + 1\right)\lVert \psi_t \rVert_{L^2}^2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \lvert} \lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ +& \left(2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \rvert} \right)\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \varepsilon \lVert \psi \rVert_{L^2}^2\\ - \frac{b}{\rho_2} \lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq& \left(C_{\varepsilon} + 1\right)\lVert \psi_t \rVert_{L^2}^2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \lvert} \lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ + \frac{b}{\rho_2} \lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq& \left(C_{\varepsilon} + 1\right)\lVert \psi_t \rVert_{L^2}^2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \lvert} \lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ +& \left(2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \rvert} \right)\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \varepsilon L \lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2\\ - \left(\frac{b}{\rho_2} - \varepsilon L\right)\lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq& \left(C_{\varepsilon} + 1\right)\lVert \psi_t \rVert_{L^2}^2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \lvert} \lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ + \left(\frac{b}{\rho_2} - \varepsilon L\right)\lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq& \left(C_{\varepsilon} + 1\right)\lVert \psi_t \rVert_{L^2}^2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \lvert} \lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ +& \left(2 + \frac{k}{\rho_2 \lvert \lambda \rvert} \right)\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}},\\ \end{align*} @@ -1005,12 +1005,12 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore \begin{align*} \lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 &\leq \begin{aligned}[t] - K \Bigg[ &C\left(C_{\varepsilon} + 1\right)\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \frac{k}{\rho_2} \lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ + K \Bigg[ &C\left(C_{\varepsilon} + 1\right)\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \frac{k}{\rho_2} \lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ + &\left(2 + \frac{k}{\rho_2} \right)\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} \Bigg] \end{aligned}\\ &= \begin{aligned}[t] - K \Bigg[ &\left(C\left(C_{\varepsilon} + 1\right) + 2 + \frac{k}{\rho_2}\right)\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \frac{k}{\rho_2} \lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}. + K \Bigg[ &\left(C\left(C_{\varepsilon} + 1\right) + 2 + \frac{k}{\rho_2}\right)\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \frac{k}{\rho_2} \lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2} \lVert \psi_t \rVert_{L^2}. \end{aligned}\\ \end{align*} @@ -1020,7 +1020,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore tenemos - \[\lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq C'\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + C'\lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2}.\] + \[\lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq C'\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + C'\lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2}.\] Multiplicamos ahora la segunda ecuación de $(i\lambda I - A)U = F$ en coordenadas por $\overline{\varphi}$ e integramos en $(0,L)$. Usamos además la primera ecuación, que dicta que $i\lambda \varphi - \varphi_t = f_1$. Eso nos permite obtener: @@ -1085,21 +1085,21 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore Invocando ahora la desigualdad - \[\lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq C'\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + C'\lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2}\] + \[\lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq C'\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + C'\lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2}\] obtenida previamente, tenemos, usando la desigualdad de Poincaré: \begin{align*} \frac{k}{\rho_1}\lVert \varphi_x + \psi \rVert_{L^2}^2 &\leq K'C^{\prime \prime} \lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \varepsilon \lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2}^2 + C_\varepsilon\lVert \psi \rVert_{L^2}^2\\ &\leq K'C^{\prime \prime} \lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \varepsilon \lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2}^2 + C_\varepsilon L\lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2\\ - &\leq K'C^{\prime \prime} \lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \varepsilon \lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2}^2 + L C_\varepsilon C'\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + L C_\varepsilon C'\lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ - \left(\frac{k}{\rho_1} - \varepsilon \right)\lVert \varphi_x + \psi \rVert_{L^2}^2 &\leq (K'C^{\prime \prime} + L C_\varepsilon C') \lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + L C_\varepsilon C'\lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2}. + &\leq K'C^{\prime \prime} \lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \varepsilon \lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2}^2 + L C_\varepsilon C'\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + L C_\varepsilon C'\lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ + \left(\frac{k}{\rho_1} - \varepsilon \right)\lVert \varphi_x + \psi \rVert_{L^2}^2 &\leq (K'C^{\prime \prime} + L C_\varepsilon C') \lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + L C_\varepsilon C'\lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2}. \end{align*} Aplicamos nuevamente la desigualdad de Young sobre el último sumando: \begin{align*} - \left(\frac{k}{\rho_1} - \varepsilon \right)\lVert \varphi_x + \psi \rVert_{L^2}^2 &\leq (K'C^{\prime \prime} + L C_\varepsilon C') \lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + L C_\varepsilon C'\lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ + \left(\frac{k}{\rho_1} - \varepsilon \right)\lVert \varphi_x + \psi \rVert_{L^2}^2 &\leq (K'C^{\prime \prime} + L C_\varepsilon C') \lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + L C_\varepsilon C'\lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2}\\ &\leq (K'C^{\prime \prime} + L C_\varepsilon C') \lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + \delta \lVert \varphi_x + \psi \rVert_{L^2}^2 + C_\delta \lVert \psi_t \rVert_{L^2}^2\\ \left(\frac{k}{\rho_1} - \varepsilon - \delta \right)\lVert \varphi_x + \psi \rVert_{L^2}^2 &\leq (K'C^{\prime \prime} + L C_\varepsilon C') \lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + C_\delta \lVert \psi_t \rVert_{L^2}^2. \end{align*} @@ -1118,7 +1118,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore Sustituyendo lo anterior en - \[\lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq C'\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + C'\lVert \varphi_x + \psi\lVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2},\] + \[\lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2 \leq C'\lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}} + C'\lVert \varphi_x + \psi\rVert_{L^2}\lVert \psi_t \rVert_{L^2},\] obtenemos: @@ -1137,14 +1137,20 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore \begin{align*} \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}^2 &= k\lVert\varphi_x + \psi \rVert_{L^2}^2 + \rho_1 \lVert \varphi_t \rVert_{L^2}^2 + \rho_2 \lVert \psi_t \rVert_{L^2}^2 + b \lVert \psi_x \rVert_{L^2}^2\\ &\leq C \lVert U \rVert_{\mathcal{H}} \lVert F \rVert_{\mathcal{H}}\\ - \text{(des. Young)} &\leq C \lVert F \rVert_{L^2}^2 + \frac{1}{2}\lVert U \rVert_{L^2}^2, + \text{(des. Young)} &\leq C \lVert F \rVert_{\mathcal{H}}^2 + \frac{1}{2}\lVert U \rVert_{\mathcal{H}}^2, \end{align*} y así - \[\left(1-\frac{1}{2} \right)\lVert U \lVert_{\mathcal{H}}^2 \leq C \lVert F \rVert_{\mathcal{H}}^2 \implies \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}^2 \leq 2C \lVert F \rVert_{\mathcal{H}}^2 \implies \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}^2 \leq C \lVert F \rVert_{\mathcal{H}}^2,\] + \[\left(1-\frac{1}{2} \right)\lVert U \rVert_{\mathcal{H}}^2 \leq C \lVert F \rVert_{\mathcal{H}}^2 \implies \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}^2 \leq 2C \lVert F \rVert_{\mathcal{H}}^2 \implies \lVert U \rVert_{\mathcal{H}}^2 \leq C \lVert F \rVert_{\mathcal{H}}^2,\] - lo cual concluye la demostración del Lema. + La cota anterior se ha obtenido para $\lvert \lambda \rvert > 1$. Para + $\lvert \lambda \rvert \leq 1$ basta observar que $i\mathbb{R} \subset \rho(A)$ por + el Lema \ref{ch:TimoshenkoFric:lemma:resolventeA} y que la aplicación + $\lambda \mapsto \lVert (i\lambda I - A)^{-1}\rVert_{L(\mathcal{H})}$ es continua en + $\rho(A)$, luego está acotada sobre el compacto $[-1,1]$. Tomando el máximo de ambas + cotas se obtiene el supremo sobre todo $\mathbb{R}$, lo cual concluye la demostración + del Lema. \end{proof} \textcolor{red}{TEXTO...} diff --git a/secciones/cap_vigas.tex b/secciones/cap_vigas.tex index b65f9db..f3db893 100644 --- a/secciones/cap_vigas.tex +++ b/secciones/cap_vigas.tex @@ -283,7 +283,7 @@ \subsection{La energía en el sistema de Timoshenko} \begin{align*} \left (\int_0^L |\psi_x(x,t)| \, \dd x \right )^2 &= \left (\int_0^L |1 \cdot \psi_x(x,t)| \, \dd x \right )^2\\ - \text{(Cauchy–Schwarz)} &\leq \left (\int_0^L |\psi_x(x,t)|^2 \, \dd x \right ) \left (\int_0^L dx \right )\\ + \text{(Cauchy–Schwarz)} &\leq \left (\int_0^L |\psi_x(x,t)|^2 \, \dd x \right ) \left (\int_0^L \dd x \right )\\ &= L \int_0^L |\psi_x(x,t)|^2 \, \dd x < \infty. \end{align*} @@ -457,7 +457,7 @@ \subsection{Problema abstracto de Cauchy homogéneo} \end{pmatrix}. \end{align} -Obtengamos ahora el dominio del operador $A \in L(\mathcal{H})$. Para ello, consideramos $U \in \mathcal{H}$ y se debe verificar que $AU \in \mathcal{H}$. Es decir, +Obtengamos ahora el dominio del operador $A : D(A) \subset \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$. Para ello, consideramos $U \in \mathcal{H}$ y se debe verificar que $AU \in \mathcal{H}$. Es decir, \[AU = \begin{pmatrix} @@ -855,7 +855,7 @@ \subsection{Existencia y unicidad de soluciones} entonces - \[AU = \left(\varphi_t, \frac{k}{\rho_1}\varphi_{xx} + \frac{k}{\rho_1}\psi_x, \psi_t, -\frac{k}{\rho_2}\varphi_x + \frac{b}{\rho_2}\psi{xx} - \frac{k}{\rho_2}\psi \right).\] + \[AU = \left(\varphi_t, \frac{k}{\rho_1}\varphi_{xx} + \frac{k}{\rho_1}\psi_x, \psi_t, -\frac{k}{\rho_2}\varphi_x + \frac{b}{\rho_2}\psi_{xx} - \frac{k}{\rho_2}\psi \right).\] Tomando esto en cuenta, se tiene que @@ -912,7 +912,7 @@ \subsection{Existencia y unicidad de soluciones} \begin{cases} \varphi - \varphi_t &= f_1\\ -\frac{k}{\rho_1}\varphi_{xx} + \varphi_t - \frac{k}{\rho_1}\psi_x &= f_2\\ - \psi - \psi_t &= f_2\\ + \psi - \psi_t &= f_3\\ \frac{k}{\rho_2}\varphi_x - \frac{b}{\rho_2}\psi_{xx} + \frac{k}{\rho_2}\psi + \psi_t &= f_4. \end{cases} \end{equation} @@ -1021,8 +1021,8 @@ \subsection{Existencia y unicidad de soluciones} \begin{align*} 0 &\leq (a - b)^2\\ 2ab &\leq a^2 + b^2\\ - a^2 + 2ab + b^2 &\leq a^2 + b^2\\ - (a+b)^2 &\leq a^2 + b^2. + a^2 + 2ab + b^2 &\leq 2a^2 + 2b^2\\ + (a+b)^2 &\leq 2\big(a^2 + b^2\big). \end{align*} Aplicándola a la desigualdad obtenida, se obtiene: @@ -1035,25 +1035,25 @@ \subsection{Existencia y unicidad de soluciones} Así, se tiene que - \[a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) \geq C \big( \lVert \varphi \rVert^2_{L^2} + \lVert \psi \rVert_{L^2}^2 + \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2} + \lVert \varphi_x + \psi \rVert_{L^2}^2 \big) > 0,\] + \[a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) \geq C \big( \lVert \varphi \rVert^2_{L^2} + \lVert \psi \rVert_{L^2}^2 + \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2} + \lVert \varphi_x + \psi \rVert_{L^2}^2 \big) \geq 0,\] y en consecuencia, utilizando además el resultado obtenido anteriormente: \begin{align*} - a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) &> C \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2},\\ - a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) &> C\big(\lVert \varphi_x + \psi \rVert_{L^2} + \lVert \psi \rVert_{L^2} \big) > \frac{1}{2}C \lVert \varphi_x \rVert^2_{L^2}. + a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) &\geq C \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2},\\ + a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) &\geq C\big(\lVert \varphi_x + \psi \rVert^2_{L^2} + \lVert \psi \rVert^2_{L^2} \big) \geq \frac{1}{2}C \lVert \varphi_x \rVert^2_{L^2}. \end{align*} Así, sumando ambas desigualdades se tiene que: \begin{align*} - 2a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) &> C \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2} + \frac{1}{2}C \lVert \varphi_x \rVert^2_{L^2} \geq \frac{C}{2}\big( \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2} + \lVert \varphi_x \rVert^2_{L^2} \big)\\ - \implies a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) &>\frac{C}{4}\big( \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2} + \lVert \varphi_x \rVert^2_{L^2} \big). + 2a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) &\geq C \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2} + \frac{1}{2}C \lVert \varphi_x \rVert^2_{L^2} \geq \frac{C}{2}\big( \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2} + \lVert \varphi_x \rVert^2_{L^2} \big)\\ + \implies a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) &\geq \frac{C}{4}\big( \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2} + \lVert \varphi_x \rVert^2_{L^2} \big). \end{align*} Finalmente, esto da como resultado: - \[a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) >\frac{C}{4}\big( \lVert \psi \rVert^2_{H^1_0} + \lVert \varphi \rVert^2_{_{H^1_0}} \big) > \frac{C}{4}\lVert (\varphi, \psi) \rVert^2_{H_0^1 \times H_0^1},\] + \[a\big((\varphi, \psi), (\varphi, \psi)\big) \geq \frac{C}{4}\big( \lVert \psi \rVert^2_{H^1_0} + \lVert \varphi \rVert^2_{H^1_0} \big) = \frac{C}{4}\lVert (\varphi, \psi) \rVert^2_{H_0^1 \times H_0^1},\] lo cual prueba que $a$ es coerciva. @@ -1077,7 +1077,7 @@ \subsection{Existencia y unicidad de soluciones} \[(\varphi_x + \psi)_x = k^{-1}\rho_1(f_1 + f_2) - k^{-1}\rho_1\varphi,\] - y, como $f_1, \varphi \in H_0^1(0,L) \subset L^2(0,L)$ y $f_2 \in L^2(0,L)$, entonces $(\varphi_x + \psi)_x \in H_0^1(0,L)$. Esto implica, en particular, que + y, como $f_1, \varphi \in H_0^1(0,L) \subset L^2(0,L)$ y $f_2 \in L^2(0,L)$, entonces $(\varphi_x + \psi)_x \in L^2(0,L)$. Esto implica, en particular, que \[\varphi_{xx} \in L^2(0,L).\] @@ -1089,16 +1089,16 @@ \subsection{Existencia y unicidad de soluciones} \[\psi \in H^2(0,L) \cap H_0^1(0,L).\] - Así, hemos conseguido probar que $\varphi, \psi \in H^2(0,L) \cap H_0^1(0,L)$. Queda probar únicamente que $\varphi_t, \psi_t \in L^2(0,L)$. Para ello, observamos que se verifican (considerando las derivadas en un sentido distribucional) las ecuaciones: + Así, hemos conseguido probar que $\varphi, \psi \in H^2(0,L) \cap H_0^1(0,L)$. Queda probar únicamente que $\varphi_t, \psi_t \in H_0^1(0,L)$. Para ello, observamos que se verifican (considerando las derivadas en un sentido distribucional) las ecuaciones: \begin{align*} \varphi_t &= \varphi - f_1\\ \psi_t &= \psi - f_3, \end{align*} - y como $\varphi, \psi \in H^2(0,L) \cap H_0^1(0,L) \subset L^2(0,L)$, y $f_1, f_3 \in H_0^1(0,L) \subset L^2(0,L)$, entonces + y como $\varphi, \psi \in H^2(0,L) \cap H_0^1(0,L) \subset H_0^1(0,L)$, y $f_1, f_3 \in H_0^1(0,L)$, entonces - \[\varphi_t, \psi_t \in L^2(0,L).\] + \[\varphi_t, \psi_t \in H_0^1(0,L).\] Así, para cualquier $F \in \mathcal{H}$, existe $U \in D(A)$ tal que resuelve el sistema $(I-A)U = F$. Además, la unicidad de $U$ se deduce de la unicidad de las soluciones al problema variacional (débil). Por lo tanto el operador $(I-A)$ es sobreyectivo, tal y como queríamos probar. \end{proof} From 3d4a581d8c248e5116e690934adf87b5bedd9f22 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alejandro Soto Franco Date: Sun, 26 Jul 2026 19:18:42 +0300 Subject: [PATCH 03/11] =?UTF-8?q?Rehacer=20la=20reducci=C3=B3n=20a=20omega?= =?UTF-8?q?=20=3D=200=20en=20Hille-Yosida=20y=20corregir=20cinco=20pruebas?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit La implicación 2 => 1 empezaba suponiendo dado el semigrupo T(t), que es justamente lo que hay que construir, y cerraba identificándolo por el teorema de unicidad antes de haber construido ninguno. Se invierte la reducción: se define A_1 = A - omega, se comprueba que satisface 2 con omega = 0 mediante (lambda - A)^{-1} = (mu - A_1)^{-1}, y una vez probado ese caso se toma T(t) = e^{omega t}T_1(t), cuyo generador es A. El álgebra es la misma. Además: - cap_semigrupos: el cociente incremental de e_epsilon es T(h), no T(t), y la igualdad estaba duplicada. - cap_semigrupos: en Lumer-Phillips las llaves acotaban mal; ||T(t)e|| <= ||e|| y ||e*|| = ||e||, cuyo producto da ||e||^2. - cap_semigrupos: el adjunto da z = A*y en H, no en D(A*). - cap_semigrupos: la cota unitaria es la de (I - A/n)^{-1}, que es la que se usa después. - cap_vigas: el último renglón del desarrollo de Re(U,AU) es un sumando más, no el valor de la suma; los términos se cancelan tras integrar por partes. - cap_timoshenko: la composición de inmersiones concluye sobre la norma del gráfico, que es la que pide la proposición del resolvente compacto. --- secciones/cap_semigrupos.tex | 48 ++++++++++++------------ secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex | 2 +- secciones/cap_vigas.tex | 2 +- 3 files changed, 25 insertions(+), 27 deletions(-) diff --git a/secciones/cap_semigrupos.tex b/secciones/cap_semigrupos.tex index b82313f..bf3d113 100644 --- a/secciones/cap_semigrupos.tex +++ b/secciones/cap_semigrupos.tex @@ -176,8 +176,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} Luego, para $h > 0$ se verificará, atendiendo a lo anterior: \begin{align*} - \frac{1}{h}(T(t)e_{\varepsilon} - e_{\varepsilon}) &= \frac{1}{\varepsilon h} \left \{\int_{h}^{h + \varepsilon} T(t)e \, \dd t - \int_0^{\varepsilon} T(t)e \, \dd t \right \}\\ - &= \frac{1}{\varepsilon h} \left \{\int_{h}^{h + \varepsilon} T(t)e \, \dd t - \int_0^{\varepsilon} T(t)e \, \dd t \right \}\\ + \frac{1}{h}(T(h)e_{\varepsilon} - e_{\varepsilon}) &= \frac{1}{\varepsilon h} \left \{\int_{h}^{h + \varepsilon} T(t)e \, \dd t - \int_0^{\varepsilon} T(t)e \, \dd t \right \}\\ &= \frac{1}{\varepsilon h} \left \{ \left ( \int_{h}^{\varepsilon} T(t)e \, \dd t + \int_{\varepsilon}^{h + \varepsilon} T(t)e \, \dd t\right ) - \left ( \int_0^{h} T(t)e \, \dd t + \int_h^{\varepsilon} T(t)e \, \dd t \right ) \right \}\\ &= \frac{1}{\varepsilon h} \left \{\int_{\varepsilon}^{h + \varepsilon} T(t)e \, \dd t - \int_0^{h} T(t)e \, \dd t \right \} \rightarrow \frac{1}{\varepsilon}(T(\varepsilon)e - e), \end{align*} @@ -405,39 +404,38 @@ \section{El teorema de Hille-Yosida} &\leq ||e||_{E_0} \frac{1}{\lambda - \omega}, \text{ si } \lambda > \omega. \end{align*} - Ahora veamos la implicación $2. \implies 1.$ Sea $T(t)$ un $C_0$-semigrupo que satisface que $||T(t)||_{L(E_0)} \leq \mathrm{e}^{\omega t}, \forall t \geq 0$. Consideremos $T_1(t) = \mathrm{e}^{-\omega t}T(t)$; es inmediato comprobar que $T_1(t)$ es un semigrupo. Luego, si $A$ es el generador infinitesimal de $T(t)$, entonces $A_1 = A - \omega$ es el de $T_1(t)$ pues + Ahora veamos la implicación $2. \implies 1.$ Comenzamos reduciendo el problema al caso $\omega = 0$. Para ello definimos $A_1 := A - \omega$ sobre $D(A_1) := D(A)$ y, escribiendo $\mu = \lambda - \omega$, observamos que \begin{align*} - A_1 e &= \lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{T_1(t)e - e}{t}\\ - &= \lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{T(t)\mathrm{e}^{-\omega t} e - e}{t}\\ - &= \lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{T(t)\mathrm{e}^{-\omega t}e - e + T(t)e - T(t)e}{t}\\ - &= \lim_{t \rightarrow 0^+} \left [ T(t)e \left (\frac{\mathrm{e}^{-\omega t} - 1}{t} \right) + \frac{T(t)e - e}{t} \right ]\\ - &= (-\omega I + A)e. + \lambda - A &= \mu + \omega - A\\ + &= \mu - (A - \omega)\\ + &= \mu - A_1\\ + \implies& (\lambda - A)^{-1} = (\mu - A_1)^{-1}. \end{align*} - Por otra parte, + En consecuencia $A_1$ es cerrado y densamente definido, $\rho(A_1)$ contiene al intervalo $(0, \infty)$ y - \begin{align*} - &||T_1(t)||_{L(E_0)} = ||T(t) \mathrm{e}^{-\omega t}||_{L(E_0)} = \mathrm{e}^{-\omega t} ||T(t)||_{L(E_0)} \leq \mathrm{e}^{-\omega t}\mathrm{e}^{\omega t} = 1\\ - \implies& ||T_1(t)||_{L(E_0)} \leq 1, - \end{align*} + \[||(\mu - A_1)^{-1}||_{L(E_0)} \leq \frac{1}{\mu}, \ \forall \mu > 0;\] - así, $T_1(t)$ es un semigrupo de contracciones. + esto es, $A_1$ satisface $2.$ con $\omega = 0$. - De los desarrollos anteriores deducimos que $D(A) = D(A_1)$. Queremos explorar el caso $\omega = 0$. Para ello, definimos $\mu = \lambda - \omega$ y se tiene que, para un generador $B$: + Supongamos ya probado el caso $\omega = 0$, de modo que $A_1$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones $\{T_1(t), t \geq 0\}$, y definamos $T(t) := \mathrm{e}^{\omega t}T_1(t)$. Es inmediato comprobar que $\{T(t), t \geq 0\}$ es un semigrupo fuertemente continuo. Además, - \[||(\mu - B)^{-1}||_{L(E_0)} \leq \frac{1}{\mu}, \ \forall \mu > 0.\] + \begin{align*} + &||T(t)||_{L(E_0)} = ||\mathrm{e}^{\omega t}T_1(t)||_{L(E_0)} = \mathrm{e}^{\omega t} ||T_1(t)||_{L(E_0)} \leq \mathrm{e}^{\omega t}\\ + \implies& ||T(t)||_{L(E_0)} \leq \mathrm{e}^{\omega t}, + \end{align*} - Luego, + y su generador infinitesimal es $A$, pues \begin{align*} - \lambda - A &= \mu + \omega - A\\ - &= \mu - (A - \omega)\\ - &= \mu - A_1\\ - \implies& (\lambda - A)^{-1} = (\mu - A_1)^{-1}. + \lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{T(t)e - e}{t} &= \lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{\mathrm{e}^{\omega t}T_1(t)e - e}{t}\\ + &= \lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{\mathrm{e}^{\omega t}T_1(t)e - T_1(t)e + T_1(t)e - e}{t}\\ + &= \lim_{t \rightarrow 0^+} \left [ T_1(t)e \left (\frac{\mathrm{e}^{\omega t} - 1}{t} \right) + \frac{T_1(t)e - e}{t} \right ]\\ + &= (\omega I + A_1)e = Ae, \end{align*} - En consecuencia, $B=A_1$ (tienen el mismo resolvente) y, por el Teorema \ref{ch:semigrupos:th:unicidadSemigrupos}, generan el mismo semigrupo; es decir, $T_1(t)$. Asimismo, como $(\lambda - A)^{-1} = (\mu - A_1)^{-1}$, es suficiente con probar la implicación asumiendo $\omega = 0$. + con $D(A) = D(A_1)$. Es suficiente, por tanto, probar la implicación asumiendo $\omega = 0$. Asumimos entonces $2.$ con $\omega = 0$. Para $\lambda > 0$: @@ -793,7 +791,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} Luego, para cualquier $e \in E_0, e^* \in J(e), t > 0$: - \[\big |\langle e^*, T(t)e \rangle \big | \leq \underbrace{\lVert T(t)e \rVert_{E_0}}_{\leq 1} \ \underbrace{\lVert e^* \rVert}_{\leq \lVert e \rVert^2_{E_0}} \leq \lVert e \rVert^2_{E_0},\] + \[\big |\langle e^*, T(t)e \rangle \big | \leq \underbrace{\lVert T(t)e \rVert_{E_0}}_{\leq \lVert e \rVert_{E_0}} \ \underbrace{\lVert e^* \rVert_{E_0^*}}_{= \lVert e \rVert_{E_0}} \leq \lVert e \rVert^2_{E_0},\] y entonces, @@ -1016,7 +1014,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \begin{proof} Tenemos que, por ser $A$ simétrico, se tiene que $A \subset A^*$. Es decir, $D(A) \subset D(A^*)$ y $A^*|_{D(A)} =A$. Debemos probar que $A^* \subset A$ (es suficiente con demostrar que $D(A^*) \subset D(A)$). - Sea $y \in D(A^*)$. Por definición de operador adjunto, existe $z \in D(A^*)$ tal que $\langle y , Ax\rangle = \langle z ,x \rangle \ \ \forall x \in D(A)$. Como $z \in H$ y $A$ es sobreyectivo, entonces existe un elemento $\omega \in D(A)$ tal que $z = A\omega$. En consecuencia, $\langle y, Ax\rangle = \langle A \omega, x \rangle \ \ \forall x \in D(A)$. Como $A$ es simétrico, entonces $\langle A \omega, x \rangle = \langle \omega, Ax \rangle$. En consecuencia: + Sea $y \in D(A^*)$. Por definición de operador adjunto, existe $z = A^*y \in H$ tal que $\langle y , Ax\rangle = \langle z ,x \rangle \ \ \forall x \in D(A)$. Como $z \in H$ y $A$ es sobreyectivo, entonces existe un elemento $\omega \in D(A)$ tal que $z = A\omega$. En consecuencia, $\langle y, Ax\rangle = \langle A \omega, x \rangle \ \ \forall x \in D(A)$. Como $A$ es simétrico, entonces $\langle A \omega, x \rangle = \langle \omega, Ax \rangle$. En consecuencia: \[\langle y ,Ax \rangle = \langle w, Ax\rangle \implies \langle y - \omega, Ax \rangle = 0 \ \ \forall x \in D(A).\] @@ -1112,7 +1110,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \begin{align*} &\left \lVert \left (I - \frac{1}{n}A \right ) x\right \rVert_{E_0} \geq \lVert x \rVert_{E_0}\\ \implies& \left \lVert y \right \rVert_{E_0} \geq \left \lVert \left (I - \frac{1}{n}A \right )^{-1} y\right \rVert_{E_0}\\ - \implies& \left \lVert \left (I - \frac{1}{n}A \right )\right \rVert_{L(E_0)} \leq 1. + \implies& \left \lVert \left (I - \frac{1}{n}A \right )^{-1}\right \rVert_{L(E_0)} \leq 1. \end{align*} Por lo tanto, diff --git a/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex b/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex index c7249a4..f3dc120 100644 --- a/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex +++ b/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex @@ -745,7 +745,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore \begin{proof} Dado que las inmersiones $H^2(0,L) \hookrightarrow H^1(0,L) \hookrightarrow L^2(0,L)$ son compactas por el Teorema \ref{ch:preliminares:th:inmersionesSobolev},\todo[inline]{HACER LA PRUEBA DE $H^2 \hookrightarrow H^1$} entonces se sigue que cada espacio del producto cartesiano en $D(A)$ está inmerso de manera compacta en su respectivo espacio de $\mathcal{H}$ (es decir, $\big(H^2(0,L) \cap H^1_0(0,L)\big) \overset{c}{\hookrightarrow} H_0^1(0,L)$ y $H_0^1(0,L) \overset{c}{\hookrightarrow} L^2(0,L)$). Luego, se sigue que $D(A) \overset{c}{\hookrightarrow} \mathcal{H}$ con las normas usuales. - Queremos ahora aplicar la Proposición \eqref{ch:semigrupos:section:estExp:prop:compRes}, y para ello debemos probar que $D(A) \overset{c}{\hookrightarrow} \mathcal{H}$, donde $A$ está equipado con la norma de su gráfico, $G(A)$. Obtendremos esto probando que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big)$, y así se podrá concluir que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big) \overset{c}{\hookrightarrow} \big(\mathcal{H}, \lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}} \big)$; es decir, componiendo la inmersión continua con la compacta podremos concluir que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big) \overset{c}{\hookrightarrow} \big(\mathcal{H}, \lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}}\big)$, que es lo que deseamos. + Queremos ahora aplicar la Proposición \eqref{ch:semigrupos:section:estExp:prop:compRes}, y para ello debemos probar que $D(A) \overset{c}{\hookrightarrow} \mathcal{H}$, donde $A$ está equipado con la norma de su gráfico, $G(A)$. Obtendremos esto probando que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big)$, y así se podrá concluir que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big) \overset{c}{\hookrightarrow} \big(\mathcal{H}, \lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}} \big)$; es decir, componiendo la inmersión continua con la compacta podremos concluir que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) \overset{c}{\hookrightarrow} \big(\mathcal{H}, \lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}}\big)$, que es lo que deseamos. Para probar que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big)$ debemos demostrar que existe una constante $C$ tal que diff --git a/secciones/cap_vigas.tex b/secciones/cap_vigas.tex index f3db893..192835b 100644 --- a/secciones/cap_vigas.tex +++ b/secciones/cap_vigas.tex @@ -875,7 +875,7 @@ \subsection{Existencia y unicidad de soluciones} &- \cancel{k\int_0^L\psi_t \varphi_x \, \dd x} - \cancel{k\int_0^L \psi_t \psi \, \dd x}\\ &+ b\int_0^L \psi_t \psi_{xx} \, \dd x + b \int_0^L \psi_x \psi_{tx} \, \dd x\\ &+ k\int_0^L \varphi_x \varphi_{tx} \, \dd x + \cancel{k\int_0^L\varphi_x \psi_t \, \dd x}\\ - &= k\int_0^L \psi \varphi_{tx} \, \dd x + \cancel{k\int_0^L \psi \psi_t \, \dd x}. + &+ k\int_0^L \psi \varphi_{tx} \, \dd x + \cancel{k\int_0^L \psi \psi_t \, \dd x}. \end{align*} A continuación, integramos por partes los términos restantes considerando las condiciones de borde: From c0fa2dbfd2c3215511e48f31145ed511e43fa8e7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alejandro Soto Franco Date: Sun, 26 Jul 2026 19:22:41 +0300 Subject: [PATCH 04/11] Romper la circularidad en los operadores disipativos y probar H^2 en H^1 compacta MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit La primera afirmación del Teorema de propiedades de los operadores disipativos se probaba invocando Lumer-Phillips, que exige dominio denso. Esa hipótesis no figura en el enunciado y es la que se deduce de dicha afirmación en el Teorema de disipatividad y reflexividad, de modo que la densidad se usaba para probar la densidad. Se sustituye por un argumento directo: sobre Lambda = {lambda > 0 : R(lambda - A) = E_0}, la condición de disipatividad acota (lambda - A)^{-1} por 1/lambda, la serie de Neumann da (0, 2 lambda) contenido en Lambda para cada lambda de Lambda, y la sucesión (3/2)^n lambda_0 agota (0, infinito). No interviene la densidad de D(A). Se añade a preliminares la Proposición de inmersiones compactas en un intervalo acotado, con H^1 en L^2 (composición de la inmersión compacta en C(I cerrado) con la inyección continua en L^2) y H^2 en H^1 (extracción diagonal e identificación del límite débil). El capítulo del sistema amortiguado la cita en lugar del teorema de inmersiones de Sobolev, que no cubre ese caso, y deduce de ella las inmersiones sobre H_0^1 usando que es cerrado en H^1. Las dos apariciones del teorema de la serie de Neumann citan a Kreyszig. --- secciones/cap_preliminares.tex | 47 ++++++++++++++++++++++++ secciones/cap_semigrupos.tex | 28 +++++++++++++- secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex | 2 +- 3 files changed, 74 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/secciones/cap_preliminares.tex b/secciones/cap_preliminares.tex index d257b3f..09b686c 100644 --- a/secciones/cap_preliminares.tex +++ b/secciones/cap_preliminares.tex @@ -656,6 +656,53 @@ \subsection{Espacios de Sobolev} \end{enumerate} \end{Teorema} +En dimensión uno y sobre un intervalo acotado, el teorema anterior proporciona +además una escala de inmersiones compactas entre los espacios $H^k$. Son las que +intervienen al comprobar que el operador de Timoshenko tiene resolvente compacto +(Capítulo \ref{ch:TimoshenkoFric}).\\ + +\begin{Proposicion}{(Inmersiones compactas en un intervalo acotado)} +\label{ch:preliminares:prop:inmersionesCompactasIntervalo} + +Sea $I \subseteq \R$ un intervalo acotado. Entonces + +\begin{enumerate} + \item $H^1(I) \overset{c}{\hookrightarrow} L^2(I)$; + \item $H^2(I) \overset{c}{\hookrightarrow} H^1(I)$. +\end{enumerate} +\end{Proposicion} + +\begin{proof} +Para el primer apartado, el Teorema \ref{ch:preliminares:th:inmersionesSobolev} +proporciona la inmersión compacta $H^1(I) = W^{1,2}(I) \overset{c}{\hookrightarrow} C(\overline{I})$, +mientras que la inyección $C(\overline{I}) \hookrightarrow L^2(I)$ es continua por ser +$I$ acotado, ya que $\lVert u \rVert_{L^2(I)} \leq |I|^{1/2} \lVert u \rVert_{C(\overline{I})}$. +La composición de una inmersión compacta con una continua es compacta, de donde se +sigue el resultado. + +Para el segundo apartado, sea $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión acotada en +$H^2(I)$. Entonces tanto $(u_n)$ como $(u_n')$ son sucesiones acotadas en $H^1(I)$. +Aplicando el primer apartado a $(u_n)$ obtenemos una subsucesión $(u_{n_j})$ y una +función $u \in L^2(I)$ tales que $u_{n_j} \rightarrow u$ en $L^2(I)$; aplicándolo de +nuevo, esta vez a $(u_{n_j}')$, obtenemos una subsucesión suya $(u_{n_k}')$ y una +función $v \in L^2(I)$ tales que $u_{n_k}' \rightarrow v$ en $L^2(I)$, sin perder la +convergencia $u_{n_k} \rightarrow u$. + +Veamos que $v$ es la derivada débil de $u$. Por definición de derivada débil, + +\[\int_I u_{n_k} \, \varphi' \, \dd x = -\int_I u_{n_k}' \, \varphi \, \dd x, \quad \forall \varphi \in C_c^\infty(I),\] + +y, como la convergencia en $L^2(I)$ permite pasar al límite en ambos miembros, + +\[\int_I u \, \varphi' \, \dd x = -\int_I v \, \varphi \, \dd x, \quad \forall \varphi \in C_c^\infty(I).\] + +Por tanto $u' = v$ en el sentido débil y $u \in H^1(I)$. Finalmente, + +\[\lVert u_{n_k} - u \rVert_{H^1(I)}^2 = \lVert u_{n_k} - u \rVert_{L^2(I)}^2 + \lVert u_{n_k}' - u' \rVert_{L^2(I)}^2 \rightarrow 0,\] + +luego $(u_{n_k})$ converge en $H^1(I)$ y la inmersión es compacta. +\end{proof} + Cerramos la sección con la conmutatividad de las derivadas débiles, versión distribucional del teorema clásico de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.\\ diff --git a/secciones/cap_semigrupos.tex b/secciones/cap_semigrupos.tex index bf3d113..2b006ac 100644 --- a/secciones/cap_semigrupos.tex +++ b/secciones/cap_semigrupos.tex @@ -846,7 +846,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \[\lVert (\lambda_n - \lambda)(\lambda_n - A)^{-1}\rVert_{L(E_0)} = |\lambda_n - \lambda| \ \lVert (\lambda_n - A)^{-1}\rVert_{L(E_0)} \overset{\substack{\frac{3\lambda}{4} \leq \lambda_n \leq \frac{5\lambda}{4}}}{\leq} \frac{\frac{\lambda}{4}}{\frac{3 \lambda}{4}} = \frac{1}{3} < 1.\] - Luego, por \textcolor{green}{Teorema 7.3-1 Kreyszig}, $\big(I + (\lambda_n - \lambda)(\lambda_n - A)^{-1}\big)^{-1}$ es un operador lineal acotado en $E_0$. En consecuencia, $I + (\lambda_n - \lambda)(\lambda_n - A)^{-1}$ es un isomorfismo de $E_0$ en $E_0$. Por lo tanto, + Luego, por \cite[Teorema~7.3-1]{kreyszig-1978-int-fun-ana}, $\big(I + (\lambda_n - \lambda)(\lambda_n - A)^{-1}\big)^{-1}$ es un operador lineal acotado en $E_0$. En consecuencia, $I + (\lambda_n - \lambda)(\lambda_n - A)^{-1}$ es un isomorfismo de $E_0$ en $E_0$. Por lo tanto, \[\lambda - A = \big(I + (\lambda_n - \lambda)(\lambda_n - A)^{-1} \big)(\lambda_n - A)\] @@ -1066,7 +1066,31 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \end{Teorema} \footnotetext{Decimos que un operador lineal $A : D(A) \subset E_0 \rightarrow E_0$ es \textit{cerrable} si existe otro operador lineal $\overline{A}$ tal que $G(A) \subset G(\overline{A}), \overline{A}|_{D(A)} = A, \overline{G(A)} = G(\overline{A})$, donde $G(T)$ es el grafo (también llamado el gráfico o la gráfica) de $T$.} \begin{proof} - La primera afirmación se prueba trivialmente aplicando el Teorema de Lumer-Philips \ref{ch:semigrupos:th:LumerPhillips}. En concreto, se aplica $2$ y luego $1$, lo cual concluye la demostración de la primera afirmación. + Comenzamos con la primera afirmación. El Teorema de Lumer-Phillips \ref{ch:semigrupos:th:LumerPhillips} exige que $A$ esté densamente definido, hipótesis que aquí no se supone y que, de hecho, se deduce de esta misma afirmación en el Teorema \ref{ch:semigrupos:th:DisipYReflex}; damos por tanto un argumento directo. Sea + + \[\Lambda := \{\lambda > 0 : R(\lambda - A) = E_0\},\] + + que es no vacío por hipótesis, pues $\lambda_0 \in \Lambda$. Probaremos que si $\lambda \in \Lambda$, entonces $(0, 2\lambda) \subseteq \Lambda$. + + En efecto, sea $\lambda \in \Lambda$. Por ser $A$ disipativo, el Lema \ref{ch:semigrupos:lemma:CondOpDisipativo} da + + \[\lVert (\lambda - A)e \rVert_{E_0} \geq \lambda \lVert e \rVert_{E_0}, \quad \forall e \in D(A),\] + + de donde $\lambda - A$ es inyectivo. Como además es sobreyectivo por ser $\lambda \in \Lambda$, se trata de una biyección de $D(A)$ sobre $E_0$ cuya inversa verifica + + \[\lVert (\lambda - A)^{-1} \rVert_{L(E_0)} \leq \frac{1}{\lambda}.\] + + Sea ahora $\mu \in (0, 2\lambda)$; esto es, $\lvert \mu - \lambda \rvert < \lambda$. Entonces + + \[\lVert (\mu - \lambda)(\lambda - A)^{-1} \rVert_{L(E_0)} \leq \frac{\lvert \mu - \lambda \rvert}{\lambda} < 1,\] + + por lo que $I + (\mu - \lambda)(\lambda - A)^{-1}$ es un isomorfismo de $E_0$ sobre $E_0$, con inverso acotado dado por la serie de Neumann (véase \cite[Teorema~7.3-1]{kreyszig-1978-int-fun-ana}). Ahora bien, para todo $e \in D(A)$, + + \[\big(I + (\mu - \lambda)(\lambda - A)^{-1}\big)(\lambda - A)e = (\lambda - A)e + (\mu - \lambda)e = (\mu - A)e,\] + + de modo que $\mu - A$ es la composición de la biyección $\lambda - A : D(A) \rightarrow E_0$ con un isomorfismo de $E_0$ sobre $E_0$. En particular $R(\mu - A) = E_0$ y $\mu \in \Lambda$. + + Para concluir, definimos $\lambda_n := \left(\tfrac{3}{2}\right)^n \lambda_0$. Se tiene $\lambda_0 \in \Lambda$ y, si $\lambda_n \in \Lambda$, entonces $\lambda_{n+1} = \tfrac{3}{2}\lambda_n \in (0, 2\lambda_n) \subseteq \Lambda$; por inducción, $\lambda_n \in \Lambda$ para todo $n \geq 0$. Dado $\lambda > 0$ arbitrario, como $\lambda_n \rightarrow \infty$ existe $n$ tal que $\lambda < 2\lambda_n$, y por tanto $\lambda \in (0, 2\lambda_n) \subseteq \Lambda$. Así $\Lambda = (0, \infty)$, que es la primera afirmación. Para probar la segunda afirmación procedemos de la siguiente manera: Por ser $A$ cerrable sabemos que existe un operador cerrado $\overline{A}$. Sea $e \in D(\overline{A}), f = \overline{A}e$. Entonces, existe una sucesión $(e_n) \subset D(A)$ tal que $e_n \rightarrow e$ y $Ae_n \rightarrow f = \overline{A}e$ (esta sucesión existe porque, de acuerdo a la \textcolor{green}{PROPOSICIÓN EN VIII DE METHODS OF MODERN MATHEMATICAL PHYSICS} $G(\overline{A}) = \overline{G(A)} = \{(x, y) \in E_0 : \exists \big((x_n, Ax_n)\big) \subset G(A) \text{ tal que } (x_n, Ax_n) \rightarrow (x, y)\}$). Del Lema \ref{ch:semigrupos:lemma:CondOpDisipativo} se sigue que diff --git a/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex b/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex index f3dc120..b5105f4 100644 --- a/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex +++ b/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex @@ -743,7 +743,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore \end{Lema} \begin{proof} - Dado que las inmersiones $H^2(0,L) \hookrightarrow H^1(0,L) \hookrightarrow L^2(0,L)$ son compactas por el Teorema \ref{ch:preliminares:th:inmersionesSobolev},\todo[inline]{HACER LA PRUEBA DE $H^2 \hookrightarrow H^1$} entonces se sigue que cada espacio del producto cartesiano en $D(A)$ está inmerso de manera compacta en su respectivo espacio de $\mathcal{H}$ (es decir, $\big(H^2(0,L) \cap H^1_0(0,L)\big) \overset{c}{\hookrightarrow} H_0^1(0,L)$ y $H_0^1(0,L) \overset{c}{\hookrightarrow} L^2(0,L)$). Luego, se sigue que $D(A) \overset{c}{\hookrightarrow} \mathcal{H}$ con las normas usuales. + La Proposición \ref{ch:preliminares:prop:inmersionesCompactasIntervalo} da las inmersiones compactas $H^2(0,L) \overset{c}{\hookrightarrow} H^1(0,L)$ y $H^1(0,L) \overset{c}{\hookrightarrow} L^2(0,L)$. De ellas se obtienen las que necesitamos sobre los subespacios que aparecen en $D(A)$ y en $\mathcal{H}$. En efecto, la restricción de una inmersión compacta a un subespacio sigue siendo compacta, luego $H_0^1(0,L) \overset{c}{\hookrightarrow} L^2(0,L)$; y si $(u_n)$ es una sucesión acotada en $H^2(0,L) \cap H_0^1(0,L)$, entonces está acotada en $H^2(0,L)$ y admite una subsucesión convergente en $H^1(0,L)$, cuyo límite pertenece a $H_0^1(0,L)$ por ser este un subespacio cerrado de $H^1(0,L)$; esto es, $\big(H^2(0,L) \cap H^1_0(0,L)\big) \overset{c}{\hookrightarrow} H_0^1(0,L)$. Así, cada espacio del producto cartesiano en $D(A)$ está inmerso de manera compacta en su respectivo espacio de $\mathcal{H}$ y, en consecuencia, $D(A) \overset{c}{\hookrightarrow} \mathcal{H}$ con las normas usuales. Queremos ahora aplicar la Proposición \eqref{ch:semigrupos:section:estExp:prop:compRes}, y para ello debemos probar que $D(A) \overset{c}{\hookrightarrow} \mathcal{H}$, donde $A$ está equipado con la norma de su gráfico, $G(A)$. Obtendremos esto probando que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big)$, y así se podrá concluir que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big) \overset{c}{\hookrightarrow} \big(\mathcal{H}, \lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}} \big)$; es decir, componiendo la inmersión continua con la compacta podremos concluir que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) \overset{c}{\hookrightarrow} \big(\mathcal{H}, \lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}}\big)$, que es lo que deseamos. From 39cf0c0c7a9a79ce86b4962e556c8db45a64f5af Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alejandro Soto Franco Date: Sun, 26 Jul 2026 19:47:18 +0300 Subject: [PATCH 05/11] Sustituir marcadores de fuente por referencias y citas MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Referencias internas al capítulo de preliminares, que ya enuncia los resultados invocados: representación de Riesz-Fréchet en la nota sobre la notación del producto escalar, convergencia dominada de Lebesgue, integrabilidad de Bochner y su teorema de convergencia dominada, aplicación abierta, y Cauchy-Schwarz y Young en la cota del resolvente del capítulo amortiguado. Citas externas, con el localizador comprobado contra el ejemplar de la biblioteca: - Yosida, Cap. VIII, Sec. 2, Teorema 1, para que el conjunto resolvente sea abierto. Se añade que el resultado exige A cerrado, cosa que la prueba establece unas líneas antes. - Pazy, Cap. 4, Sec. 1, para el problema de valor inicial homogéneo, y el Teorema 1.3 de esa sección para la implicación que el texto omite, que es literalmente el enunciado del teorema de existencia y unicidad. --- secciones/cap_cauchy.tex | 4 ++-- secciones/cap_semigrupos.tex | 12 ++++++------ secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex | 2 +- 3 files changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/secciones/cap_cauchy.tex b/secciones/cap_cauchy.tex index d8ac62b..1459f59 100644 --- a/secciones/cap_cauchy.tex +++ b/secciones/cap_cauchy.tex @@ -222,7 +222,7 @@ \section{Introducción: Problema de Cauchy homogéneo} Habiendo definido qué entendemos por soluciones del problema \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica} y qué formas pueden tener dichas soluciones, damos fin a esta sección estudiando bajo qué condiciones podemos demostrar la existencia y unicidad de soluciones fuertes, pues la de las soluciones débiles se desprende (como ya vimos anteriormente) del hecho de que $A$ sea el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo; es decir, el problema homogéneo \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica} posee soluciones débiles si y sólo si $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo. -Exigiendo menos propiedades del operador $A$, en \textcolor{green}{[PAZY CAPÍTULO 4.1]} se comenta cómo podemos obtener soluciones incluso en ecuaciones de evolución de la forma \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica} donde $A$ no es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo; sin embargo, y continuando con la cita al texto referenciado, para obtener la existencia y unicidad de soluciones diferenciables en $[0, \infty)$ cuyo dato inicial $e_0$ pertenezca a $D(A)$, es necesario asumir que $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo. Esto, junto con todo el estudio anterior, da pie al siguiente teorema:\\ +Exigiendo menos propiedades del operador $A$, en \cite[Cap.~4, \S 1]{pazy-1983-sem-lin-ope} se comenta cómo podemos obtener soluciones incluso en ecuaciones de evolución de la forma \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica} donde $A$ no es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo; sin embargo, y continuando con la cita al texto referenciado, para obtener la existencia y unicidad de soluciones diferenciables en $[0, \infty)$ cuyo dato inicial $e_0$ pertenezca a $D(A)$, es necesario asumir que $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo. Esto, junto con todo el estudio anterior, da pie al siguiente teorema:\\ \begin{Teorema}{(Existencia y unicidad de soluciones del problema de Cauchy homogéneo)} \label{cauchy:hom:ExistenciaYUnicidadFuerte} @@ -231,7 +231,7 @@ \section{Introducción: Problema de Cauchy homogéneo} \end{Teorema} \begin{proof} - Si asumimos que $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo, entonces la prueba de la implicación es, esencialmente, todo la discusión sostenida anteriormente. La otra implicación se puede encontrar en \textcolor{green}{[PAZY CAPÍTULO 4.1]} y la omitimos pues no resulta demasiado relevante para este texto. + Si asumimos que $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo, entonces la prueba de la implicación es, esencialmente, todo la discusión sostenida anteriormente. La otra implicación se puede encontrar en \cite[Cap.~4, \S 1, Teorema~1.3]{pazy-1983-sem-lin-ope} y la omitimos pues no resulta demasiado relevante para este texto. \end{proof} Como se podrá ver en lo sucesivo, durante este capítulo estaremos repitiendo una estructura clara entre secciones: definición de los tipos de soluciones, forma de las soluciones débiles y resultados o bien de regularidad o de existencia y unicidad. diff --git a/secciones/cap_semigrupos.tex b/secciones/cap_semigrupos.tex index 2b006ac..2af1777 100644 --- a/secciones/cap_semigrupos.tex +++ b/secciones/cap_semigrupos.tex @@ -12,7 +12,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} \[ ||T||_{L(E_0, F_0)} = \sup_{\substack{e \in E_0 \\ e \neq 0}} \frac{||Te||_{F_0}}{||e||_{E_0}}.\] En el caso particular que $E_0 = F_0$, escribiremos $L(E_0)$ para referirnos a $L(E_0, E_0)$. Sea $E_0^*$ el dual topológico de $E_0$ (esto es, $L(E_0, \mathbb{K})$ con la topología usual inducida por la norma definida anteriormente), entonces denotamos al valor de $e^* \in E_0^*$ en $e \in E_0$ como $\langle e^*, e\rangle$ o bien $\langle e, e^*\rangle$\footnotemark (alternativamente, también nos permitiremos usar la notación $\langle \cdot, \cdot \rangle_{E^*_0, E_0}$ cuando se considere pertinente). Finalmente, denotaremos por $R(T)$ a la imagen del operador $T$. -\footnotetext{\textcolor{red}{PONER AQUÍ QUE POR EL} \textcolor{green}{TEOREMA REPRESENTACIÓN DE RIESZ} \textcolor{red}{TAMBIÉN PODEMOS USAR ESA NOTACIÓN PARA EL PRODUCTO ESCALAR EN UN ESPACUO DE HILBERT}} +\footnotetext{Por el Teorema de representación de Riesz-Fréchet \ref{ch:preliminares:th:rieszFrechet}, todo espacio de Hilbert $H$ se identifica isométricamente con su dual $H^*$, de modo que emplearemos esta misma notación para el producto escalar de $H$.} Demos inicio a esta sección definiendo el objeto matemático central de este capítulo: los \textit{semigrupos de operadores lineales}.\\ \begin{Definicion}{(Semigrupo de operadores lineales)} @@ -267,7 +267,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} ||T(t/n)e - e|| \overset{\substack{\text{Desigualdad} \\ \text{Triangular}}}{\leq} ||T(t/n)e|| + ||e|| \overset{\substack{\text{Def. de} \\ \text{norma operador}}}{\leq} \Big(||T(t/n)|| + 1 \Big )||e|| \leq (M\mathrm{e}^{\omega t} + 1)||e||, \end{align*} - y así $|a_n| \leq |\phi(t)| \ ||e|| \ |M\mathrm{e}^{\omega t} + 1|$, donde $t \mapsto |\phi(t)| \ ||e|| \ |M\mathrm{e}^{\omega t} + 1| \in L^1\big([0, \infty)\big)$, pues $t \mapsto |\phi(t)| \ ||e|| \in L^1\big ([0, \infty) \big)$ trivialmente y $t \mapsto |\phi(t)| \ ||e|| \ M\mathrm{e}^{\omega t}$ porque $\phi$ tiene soporte compacto. Entonces, utilizando el Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue (\textcolor{green}{Buscar este teorema}), se tiene que: + y así $|a_n| \leq |\phi(t)| \ ||e|| \ |M\mathrm{e}^{\omega t} + 1|$, donde $t \mapsto |\phi(t)| \ ||e|| \ |M\mathrm{e}^{\omega t} + 1| \in L^1\big([0, \infty)\big)$, pues $t \mapsto |\phi(t)| \ ||e|| \in L^1\big ([0, \infty) \big)$ trivialmente y $t \mapsto |\phi(t)| \ ||e|| \ M\mathrm{e}^{\omega t}$ porque $\phi$ tiene soporte compacto. Entonces, utilizando el Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue \ref{ch:preliminares:th:dominada}, se tiene que: \[\lim_{n \rightarrow \infty }|| f_n - e || \leq \lim_{n \rightarrow \infty } \int_0 ^\infty a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\infty} |\phi(t)| || T(t/n)e - e|| = 0,\] @@ -626,7 +626,7 @@ \section{El teorema de Hille-Yosida} &= \lim_{\lambda \rightarrow \infty^+} \int_0^t \mathrm{e}^{sA_\lambda}A_\lambda e \, \dd s, \end{align*} - luego, como $(s \mapsto \mathrm{e}^{sA_\lambda}A_\lambda e)_{n=1}^\infty$ es una sucesión de funciones Bochner-integrables por ser su norma Lebesgue-integrable (\textcolor{green}{Teorema 2.14} \href{http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/18969/Capitulo2.pdf}{recurso aquí}), $s \mapsto T(s)Ae$ es fuertemente medible por ser continua,\todo{JUSTIFICAR} $\lVert \mathrm{e}^{sA_{\lambda_n}}A_{\lambda_n}e - T(s)Ae \rVert_{E_0} \rightarrow 0$\footnotemark \text{} y + luego, como $(s \mapsto \mathrm{e}^{sA_\lambda}A_\lambda e)_{n=1}^\infty$ es una sucesión de funciones Bochner-integrables por ser su norma Lebesgue-integrable (Teorema \ref{ch:preliminares:th:bochner}), $s \mapsto T(s)Ae$ es fuertemente medible por ser continua,\todo{JUSTIFICAR} $\lVert \mathrm{e}^{sA_{\lambda_n}}A_{\lambda_n}e - T(s)Ae \rVert_{E_0} \rightarrow 0$\footnotemark \text{} y \footnotetext{Para poder argumentar que $e \in D(A)$ y $Ae \in D(A)$. Por eso se pide que $e \in D(A^2)$.} \begin{align*} \lVert \mathrm{e}^{sA_{\lambda_n}}A_{\lambda_n}e\rVert_{E_0} &\leq \lVert \mathrm{e}^{sA_{\lambda_n}}\rVert_{L(E_0)} \, \lVert A_{\lambda_n}e\rVert_{E_0}\\ @@ -634,7 +634,7 @@ \section{El teorema de Hille-Yosida} &\leq 2\lambda_n \, \lVert e \rVert_{E_0} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \end{align*} - entonces, por \textcolor{green}{Teorema 2.15}, $s \mapsto T(s)Ae$ es Bochner-integrable y + entonces, por el Teorema \ref{ch:preliminares:th:bochnerDominada}, $s \mapsto T(s)Ae$ es Bochner-integrable y \[\lim_{n \rightarrow \infty^+}\int_0^t \mathrm{e}^{sA_{\lambda_n}}A_{\lambda_n}e \, \dd s = \int_0^t T(s)Ae \, \dd s.\] @@ -824,7 +824,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \[0 = \lVert (\lambda_0 - A)e \rVert_{E_0} \geq \lambda_0 \lVert e \rVert_{E_0} \implies \lambda_0 \lVert e \rVert_{E_0} = 0,\] - y como $\lambda_0 > 0$, entonces $\lVert e \rVert_{E_0} = 0$, lo que implica que $e = 0$ y así $(\lambda_0 - A)$ es inyectivo. En consecuencia $(\lambda_0 - A)$ es una biyección y, por corolario del \textcolor{green}{Teorema de la función abierta}, su inversa $(\lambda_0 - A)^{-1}$ es un operador continuo. Luego $\lambda_0 \in \rho(A)$. + y como $\lambda_0 > 0$, entonces $\lVert e \rVert_{E_0} = 0$, lo que implica que $e = 0$ y así $(\lambda_0 - A)$ es inyectivo. En consecuencia $(\lambda_0 - A)$ es una biyección y, por corolario del Teorema de la aplicación abierta \ref{ch:preliminares:th:aplicacionAbierta}, su inversa $(\lambda_0 - A)^{-1}$ es un operador continuo. Luego $\lambda_0 \in \rho(A)$. Considerando ahora $(e_n) \subset D(A)$ tal que $e_n \rightarrow e$ y $Ae_n \rightarrow f$. Entonces, por continuidad: @@ -836,7 +836,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} por lo que $A$ es cerrado (invocando la definición). - Continuando, sea $\Lambda = \{\lambda \in \rho(A) \cap \mathbb{R} : \lambda > 0\}$. Se tiene que $\Lambda$ es un conjunto abierto en $(0, \infty)$ (\textcolor{green}{Teorema 1. Sección VIII.2 Yosida}). Probaremos que $\Lambda$ es cerrado en $(0, \infty)$ para concluir que $\Lambda = (0, \infty)$. + Continuando, sea $\Lambda = \{\lambda \in \rho(A) \cap \mathbb{R} : \lambda > 0\}$. Se tiene que $\Lambda$ es un conjunto abierto en $(0, \infty)$ (véase \cite[Cap.~VIII, \S 2, Teorema~1]{yosida-1980-fun-ana}, aplicable por ser $A$ cerrado). Probaremos que $\Lambda$ es cerrado en $(0, \infty)$ para concluir que $\Lambda = (0, \infty)$. Entonces, supongamos que $(\lambda_n)_{n = 1}^\infty \subset \Lambda$ tal que $\lambda_n \rightarrow \lambda > 0$. Es decir, $\forall \varepsilon > 0 \, \exists N > 0$ tal que $|\lambda_n - \lambda | < \varepsilon \ \ \forall n \geq N$. Luego, para un $n$ lo suficientemente grande: diff --git a/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex b/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex index b5105f4..da27879 100644 --- a/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex +++ b/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex @@ -929,7 +929,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore i\lambda\psi_t + \frac{k}{\rho_2}(\varphi_x + \psi) - \frac{b}{\rho_2}\psi_{xx} + \frac{\beta}{\rho_2}\psi_t &= f_4. \end{align*} - Ahora, multiplicamos la última ecuación por $\overline{\psi}$ e integramos en $(0,L)$ utilizando la tercera ecuación, la desigualdad triangular, la desigualdad de \textcolor{green}{Cauchy-Schwarz} y la desigualdad de \textcolor{green}{Young}: + Ahora, multiplicamos la última ecuación por $\overline{\psi}$ e integramos en $(0,L)$ utilizando la tercera ecuación, la desigualdad triangular, la desigualdad de Cauchy-Schwarz \ref{ch:preliminares:prop:propProductoInterno} y la desigualdad de Young \ref{ch:preliminares:prop:youngGen}: \begin{align*} &\begin{aligned}[t] From f13b92f5df6a0963a9deed737ff64af5dd00ba33 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alejandro Soto Franco Date: Sun, 26 Jul 2026 20:14:53 +0300 Subject: [PATCH 06/11] Citar Reed y Simon para la clausura de un operador cerrable MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit La caracterización del grafo de la clausura que se usa en la prueba de que la clausura de un operador disipativo es disipativa aparece en Reed y Simon, Cap. VIII, Sec. 1, junto con la definición de operador cerrable y la advertencia de que la clausura del grafo no siempre es un grafo. --- secciones/cap_semigrupos.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/secciones/cap_semigrupos.tex b/secciones/cap_semigrupos.tex index 2af1777..71f4def 100644 --- a/secciones/cap_semigrupos.tex +++ b/secciones/cap_semigrupos.tex @@ -1092,7 +1092,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} Para concluir, definimos $\lambda_n := \left(\tfrac{3}{2}\right)^n \lambda_0$. Se tiene $\lambda_0 \in \Lambda$ y, si $\lambda_n \in \Lambda$, entonces $\lambda_{n+1} = \tfrac{3}{2}\lambda_n \in (0, 2\lambda_n) \subseteq \Lambda$; por inducción, $\lambda_n \in \Lambda$ para todo $n \geq 0$. Dado $\lambda > 0$ arbitrario, como $\lambda_n \rightarrow \infty$ existe $n$ tal que $\lambda < 2\lambda_n$, y por tanto $\lambda \in (0, 2\lambda_n) \subseteq \Lambda$. Así $\Lambda = (0, \infty)$, que es la primera afirmación. - Para probar la segunda afirmación procedemos de la siguiente manera: Por ser $A$ cerrable sabemos que existe un operador cerrado $\overline{A}$. Sea $e \in D(\overline{A}), f = \overline{A}e$. Entonces, existe una sucesión $(e_n) \subset D(A)$ tal que $e_n \rightarrow e$ y $Ae_n \rightarrow f = \overline{A}e$ (esta sucesión existe porque, de acuerdo a la \textcolor{green}{PROPOSICIÓN EN VIII DE METHODS OF MODERN MATHEMATICAL PHYSICS} $G(\overline{A}) = \overline{G(A)} = \{(x, y) \in E_0 : \exists \big((x_n, Ax_n)\big) \subset G(A) \text{ tal que } (x_n, Ax_n) \rightarrow (x, y)\}$). Del Lema \ref{ch:semigrupos:lemma:CondOpDisipativo} se sigue que + Para probar la segunda afirmación procedemos de la siguiente manera: Por ser $A$ cerrable sabemos que existe un operador cerrado $\overline{A}$. Sea $e \in D(\overline{A}), f = \overline{A}e$. Entonces, existe una sucesión $(e_n) \subset D(A)$ tal que $e_n \rightarrow e$ y $Ae_n \rightarrow f = \overline{A}e$ (esta sucesión existe porque, de acuerdo a la \cite[Cap.~VIII, \S 1]{reed-1980-met-mod-mat} $G(\overline{A}) = \overline{G(A)} = \{(x, y) \in E_0 : \exists \big((x_n, Ax_n)\big) \subset G(A) \text{ tal que } (x_n, Ax_n) \rightarrow (x, y)\}$). Del Lema \ref{ch:semigrupos:lemma:CondOpDisipativo} se sigue que \[\lVert \lambda e_n - Ae_n \rVert_{E_0} \geq \lambda \lVert e_n \rVert_{E_0},\] From 99a434a82059a3cd34776e4c853ef106275e6606 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alejandro Soto Franco Date: Sun, 26 Jul 2026 21:12:32 +0300 Subject: [PATCH 07/11] =?UTF-8?q?Completar=20las=20citas=20restantes=20y?= =?UTF-8?q?=20a=C3=B1adir=20la=20compacidad=20d=C3=A9bil=20a=20preliminare?= =?UTF-8?q?s?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Brezis, con el localizador comprobado contra el ejemplar: - Lema 8.2 para la primitiva de una función de L^1_loc, en la caracterización del espacio de fase. - Corolario 1.4 para ||Se|| como supremo sobre la bola del dual. - Teorema 1.7, segunda forma geométrica de Hahn-Banach, para separar el gráfico cerrado de un punto que no le pertenece. - Proposición 1.9 para (S^perp)^perp = clausura de S, que el texto pedía demostrar. Engel y Nagel entra en la bibliografía (GTM 194, ISBN 9780387984636). Los dos envíos conservan los localizadores 5.14 y 2.5 del texto original: no dispongo del ejemplar, así que no están comprobados. El paso que deducía f = Ae de la convergencia débil quedaba sin justificar, con una nota preguntando por el lema de Mazur. Se añade a preliminares el Teorema de compacidad débil sucesional y operadores cerrados: en un espacio reflexivo toda sucesión acotada tiene una subsucesión débilmente convergente, y el gráfico de un operador cerrado es convexo y fuertemente cerrado, luego débilmente cerrado, lo que identifica el límite. El capítulo de semigrupos lo invoca en lugar de la nota. --- secciones/biblio.bib | 11 +++++++++ secciones/cap_cauchy.tex | 2 +- secciones/cap_preliminares.tex | 42 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ secciones/cap_semigrupos.tex | 10 ++++---- secciones/cap_vigas.tex | 2 +- 5 files changed, 60 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/secciones/biblio.bib b/secciones/biblio.bib index 13589fe..d9d4796 100644 --- a/secciones/biblio.bib +++ b/secciones/biblio.bib @@ -24,6 +24,17 @@ @book{conway-1990-cou-fun-ana year = {1990} } +@book{engel-1999-one-sem-lin, + author = {Engel, Klaus-Jochen and Nagel, Rainer}, + title = {One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations}, + series = {Graduate Texts in Mathematics}, + volume = {194}, + publisher = {Springer}, + address = {New York}, + year = {1999}, + isbn = {9780387984636} +} + @book{evans-2010-par-dif-equ, author = {Evans, Lawrence C.}, title = {Partial Differential Equations}, diff --git a/secciones/cap_cauchy.tex b/secciones/cap_cauchy.tex index 1459f59..54792f7 100644 --- a/secciones/cap_cauchy.tex +++ b/secciones/cap_cauchy.tex @@ -283,7 +283,7 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} \[e \in E_0, \langle e^*, e \rangle = 0 \ \ \forall e^* \in S^* \implies e = 0.\] - Por otro lado, el \textit{anulador} $S^\perp \subset E^*_0$ de un subconjunto $S \subset E_0$ es el conjunto de todos los elementos $e^* \in E_0^*$ tales que $\langle e^*, e \rangle = 0 \ \forall e \in S$. Sabemos que $S \subset E_0$ es un espacio vectorial, por lo que $(S^\perp)^\perp = \overline{S}$\textcolor{red}{DEMOSTRAR} \textcolor{green}{(EL LIBRO INDICA H. Br´ezis. Analyse fonctionnelle)} + Por otro lado, el \textit{anulador} $S^\perp \subset E^*_0$ de un subconjunto $S \subset E_0$ es el conjunto de todos los elementos $e^* \in E_0^*$ tales que $\langle e^*, e \rangle = 0 \ \forall e \in S$. Sabemos que $S \subset E_0$ es un espacio vectorial, por lo que $(S^\perp)^\perp = \overline{S}$ (\cite[Proposición~1.9]{brezis-2011-fun-ana-sob}) \end{Definicion} Continuamos ahora con un Lema que nos permitirá clasificar el dominio del adjunto de un operador como total.\\ diff --git a/secciones/cap_preliminares.tex b/secciones/cap_preliminares.tex index 09b686c..a31596c 100644 --- a/secciones/cap_preliminares.tex +++ b/secciones/cap_preliminares.tex @@ -907,6 +907,48 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} Véase \cite[Teorema~3.16]{brezis-2011-fun-ana-sob}. \end{proof} +En un espacio reflexivo la compacidad anterior se traduce en un enunciado +sucesional para la topología débil, que combinado con el carácter cerrado de un +operador permite identificar el límite débil de las imágenes. Es el argumento que +se emplea al probar que un operador disipativo con imagen densa está densamente +definido (Teorema \ref{ch:semigrupos:th:DisipYReflex}).\\ + +\begin{Teorema}{(Compacidad débil sucesional y operadores cerrados)} +\label{ch:preliminares:th:compacidadDebilCerrado} + +Sea $E$ un espacio de Banach reflexivo. + +\begin{enumerate} + \item Toda sucesión acotada $(e_n) \subset E$ admite una subsucesión + convergente en la topología débil $\sigma(E, E^*)$ + (\cite[Teorema~3.18]{brezis-2011-fun-ana-sob}). + + \item Sea $A : D(A) \subseteq E \rightarrow E$ un operador lineal cerrado y sea + $(e_n) \subset D(A)$ tal que $e_n \rightarrow e$ en $E$ y $(Ae_n)$ está acotada. + Entonces $e \in D(A)$ y existe una subsucesión con + $Ae_{n_k} \rightharpoonup Ae$ débilmente en $E$. +\end{enumerate} +\end{Teorema} + +\begin{proof} +El primer apartado es el resultado citado. Para el segundo, por el apartado +anterior existe una subsucesión $(Ae_{n_k})$ y un $f \in E$ tales que +$Ae_{n_k} \rightharpoonup f$ débilmente. + +El gráfico $G(A)$ es un subespacio vectorial de $E \times E$, luego es convexo, y +es cerrado en la topología fuerte por serlo $A$ +(Definición \ref{ch:preliminares:def:cerrado}). Un conjunto convexo es cerrado en +la topología débil si y sólo si lo es en la fuerte +(\cite[Teorema~3.7]{brezis-2011-fun-ana-sob}), de modo que $G(A)$ es débilmente +cerrado. + +Ahora bien, $e_{n_k} \rightarrow e$ fuertemente y, por tanto, también débilmente; +junto con $Ae_{n_k} \rightharpoonup f$ esto da +$(e_{n_k}, Ae_{n_k}) \rightharpoonup (e, f)$ en $E \times E$. Como +$(e_{n_k}, Ae_{n_k}) \in G(A)$ y $G(A)$ es débilmente cerrado, se sigue que +$(e,f) \in G(A)$; esto es, $e \in D(A)$ y $Ae = f$. +\end{proof} + En el marco hilbertiano, el teorema de Lax-Milgram resuelve formas bilineales coercivas y es la herramienta habitual para las formulaciones variacionales.\\ diff --git a/secciones/cap_semigrupos.tex b/secciones/cap_semigrupos.tex index 71f4def..4e4e4ca 100644 --- a/secciones/cap_semigrupos.tex +++ b/secciones/cap_semigrupos.tex @@ -1151,7 +1151,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \lVert e_n - e\rVert_{E_0} = \left \lVert e_n - \left(I - \frac{1}{n}A\right)e_n \right \rVert_{E_0} = \frac{1}{n}\left \lVert Ae_n \right \rVert_{E_0}, \end{align*} - por lo que $e_n \rightarrow e$. Como $\lVert Ae_n \rVert_{E_0} \leq C$ y $E_0$ es reflexivo, entonces \textcolor{green}{(REFERENCIAR ESTO??)} existe una subsucesión $(Ae_{n_k})$ de $Ae_n$ tal que $Ae_{n_k} \xrightarrow{w} f$. Como $A$ es cerrado (por el Teorema de Lumer-Phillips $2$) se sigue que $f = Ae$ \textcolor{green}{(LEMA DE MAZUR?? INVESTIGAR CERRADO + CONVERGENCIA DEBIL = CONVERGENCIA FUERTE)}. Finalmente, como $\langle e^*, x \rangle = 0$ para todo $x \in D(A)$, tenemos + por lo que $e_n \rightarrow e$. Como $\lVert Ae_n \rVert_{E_0} \leq C$, la sucesión $(Ae_n)$ está acotada y $A$ es cerrado (por el Teorema de Lumer-Phillips $2$), de modo que el Teorema \ref{ch:preliminares:th:compacidadDebilCerrado} proporciona una subsucesión $(Ae_{n_k})$ con $Ae_{n_k} \xrightarrow{w} f$ y garantiza además que $e \in D(A)$ y $f = Ae$. Finalmente, como $\langle e^*, x \rangle = 0$ para todo $x \in D(A)$, tenemos \[0 = \langle e^*, Ae_{n_k}\rangle = n_k \langle e^*, e_{n_k} - e \rangle = n_k \langle e^*, e_{n_k}\rangle - n_k \cancelto{0}{\langle e^*, e\rangle},\] @@ -1179,7 +1179,7 @@ \section{Semigrupo dual} \lVert S^* \rVert_{L(E^*_0)} &= \sup_{\substack{\lVert e^* \rVert_{E_0^*} \leq 1}} \lVert S^* e^* \rVert_{E_0^*}\\ &= \sup_{\substack{\lVert e^* \rVert_{E_0^*} \leq 1}} \sup_{\substack{\lVert e \rVert_{E_0} \leq 1}} \lvert \langle S^* e^*, e \rangle \rvert\\ &= \sup_{\substack{\lVert e \rVert_{E_0} \leq 1}} \sup_{\substack{\lVert e^* \rVert_{E_0^*} \leq 1}} \lvert \langle e^*, Se \rangle \rvert\\ - \textcolor{green}{(Corolario 1.4 Brezis)} &= \sup_{\substack{\lVert e \rVert_{E_0} \leq 1}} \lVert Se \rVert_{E_0}\\ + \text{(\cite[Corolario~1.4]{brezis-2011-fun-ana-sob})} &= \sup_{\substack{\lVert e \rVert_{E_0} \leq 1}} \lVert Se \rVert_{E_0}\\ &= \lVert S \rVert_{L(E_0)}. \end{align*} \end{proof} @@ -1288,7 +1288,7 @@ \section{Semigrupo dual} \begin{Observacion} \label{ObsC0Dual} - A pesar de que $T(t)^*$ es un semigrupo, no necesariamente es un $C_0$-semigrupo (\textcolor{green}{Véase 5.14 Engel \& Nagel One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations}). + A pesar de que $T(t)^*$ es un semigrupo, no necesariamente es un $C_0$-semigrupo (véase \cite[5.14]{engel-1999-one-sem-lin}). Como consecuencia, es importante notar también que $A^*$ no necesariamente está densamente definido en $E_0^*$. \end{Observacion} @@ -1314,7 +1314,7 @@ \section{Semigrupo dual} \[A^\sigma e^* = A^*e^*.\] - Véase \textcolor{green}{[2.5] de Engel \& Nagel One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations} para un estudio más riguroso. + Véase \cite[2.5]{engel-1999-one-sem-lin} para un estudio más riguroso. \end{Definicion} \textcolor{red}{TEXTO}\\ @@ -1358,7 +1358,7 @@ \section{Semigrupo dual} \begin{proof} Por contradicción: Si $D(S^*)$ no es denso en $E_0^*$, entonces existe un elemento $e_0 \in E_0$ tal que $e_0 \neq 0$ y $\langle e^*, e_0 \rangle = 0$ para todo $e^* \in D(S^*)$ (Véase el Corolario de Hahn-Banach \ref{ch:preliminares:cor:hahnBanach}). - Luego, por un lado tenemos que el gráfico de $S$ es cerrado y por otro que $(0,e_0)$ no pertenece a dicho gráfico. Por el Teorema de Hahn-Banach \textcolor{green}{[CITAR]}, se tiene que existe un funcional $(e_1^*, e_2^*) \in \big(G(S)\big)^*$ con $e_1^*, e_2^* \in E_0^*$ tal que + Luego, por un lado tenemos que el gráfico de $S$ es cerrado y por otro que $(0,e_0)$ no pertenece a dicho gráfico. Por la segunda forma geométrica del Teorema de Hahn-Banach (\cite[Teorema~1.7]{brezis-2011-fun-ana-sob}), se tiene que existe un funcional $(e_1^*, e_2^*) \in \big(G(S)\big)^*$ con $e_1^*, e_2^* \in E_0^*$ tal que \[\langle (e_1^* - e_2^*), (e, Se) \rangle = \langle e_1^*, e\rangle - \langle e_2^*, Se \rangle = 0\] diff --git a/secciones/cap_vigas.tex b/secciones/cap_vigas.tex index 192835b..746eb1c 100644 --- a/secciones/cap_vigas.tex +++ b/secciones/cap_vigas.tex @@ -287,7 +287,7 @@ \subsection{La energía en el sistema de Timoshenko} &= L \int_0^L |\psi_x(x,t)|^2 \, \dd x < \infty. \end{align*} -Asimismo, por \textcolor{green}{LEMA 8.2 BREZIS} se puede definir una función $v$: +Asimismo, por \cite[Lema~8.2]{brezis-2011-fun-ana-sob} se puede definir una función $v$: \[v(x) = \int_0^x \psi_x(x,t) \, \dd x, \ x \in [0,L],\] From 23d867b97404a794021f903119ced6c550d554e1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alejandro Soto Franco Date: Sun, 26 Jul 2026 13:02:14 -0700 Subject: [PATCH 08/11] Citar los trabajos originales de Timoshenko y un texto de medios continuos MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Los cuatro marcadores [CITA] del capítulo de vigas quedan cubiertos: - Timoshenko (1921), Phil. Mag. 41(245), 744-746, doi 10.1080/14786442108636264, en los tres puntos donde el texto remite a "los trabajos de Timoshenko". - Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, para el lector que necesite la mecánica de medios continuos que el capítulo da por conocida. Entran además en la bibliografía, para el capítulo de comportamiento asintótico y para las secciones aún por escribir: Gearhart (1978) y Prüss (1984), que son las dos mitades de la caracterización en el dominio de la frecuencia que el texto enuncia sin demostrar; Liu y Zheng, que la recoge junto con la estabilidad de sistemas de Timoshenko; y Soufyane (1999) y Muñoz Rivera y Racke (2002) para la literatura de estabilización de la viga. --- secciones/biblio.bib | 77 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ secciones/cap_vigas.tex | 8 ++--- 2 files changed, 81 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/secciones/biblio.bib b/secciones/biblio.bib index d9d4796..b0de001 100644 --- a/secciones/biblio.bib +++ b/secciones/biblio.bib @@ -53,6 +53,27 @@ @book{folland_1999_real year = {1999} } +@article{gearhart-1978-spe-the-con, + author = {Gearhart, Larry}, + title = {Spectral theory for contraction semigroups on {H}ilbert space}, + journal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + volume = {236}, + pages = {385--394}, + year = {1978}, + doi = {10.1090/S0002-9947-1978-0461206-1} +} + +@book{gurtin-1982-int-con-mec, + author = {Gurtin, Morton E.}, + title = {An Introduction to Continuum Mechanics}, + series = {Mathematics in Science and Engineering}, + volume = {158}, + publisher = {Academic Press}, + address = {New York}, + year = {1981}, + isbn = {9780123097507} +} + @book{kreyszig-1978-int-fun-ana, author = {Kreyszig, Erwin}, title = {Introductory Functional Analysis with Applications}, @@ -61,6 +82,28 @@ @book{kreyszig-1978-int-fun-ana year = {1978} } +@book{liu-1999-sem-ass-dis, + author = {Liu, Zhuangyi and Zheng, Songmu}, + title = {Semigroups Associated with Dissipative Systems}, + series = {Chapman \& Hall/CRC Research Notes in Mathematics}, + volume = {398}, + publisher = {Chapman \& Hall/CRC}, + address = {Boca Raton}, + year = {1999}, + isbn = {9780849306150} +} + +@article{munozrivera-2002-mil-dis-non, + author = {Mu{\~n}oz Rivera, Jaime E. and Racke, Reinhard}, + title = {Mildly dissipative nonlinear {T}imoshenko systems: global existence and exponential stability}, + journal = {Journal of Mathematical Analysis and Applications}, + volume = {276}, + number = {1}, + pages = {248--278}, + year = {2002}, + doi = {10.1016/S0022-247X(02)00436-5} +} + @book{pazy-1983-sem-lin-ope, author = {Pazy, A.}, title = {Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations}, @@ -71,6 +114,17 @@ @book{pazy-1983-sem-lin-ope year = {1983} } +@article{pruss-1984-spe-c-0, + author = {Pr{\"u}ss, Jan}, + title = {On the spectrum of {$C_0$}-semigroups}, + journal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + volume = {284}, + number = {2}, + pages = {847}, + year = {1984}, + doi = {10.2307/1999112} +} + @book{reed-1980-met-mod-mat, author = {Reed, Michael and Simon, Barry}, title = {Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis}, @@ -80,6 +134,29 @@ @book{reed-1980-met-mod-mat year = {1980} } +@article{soufyane-1999-sta-de-la, + author = {Soufyane, Abdelaziz}, + title = {Stabilisation de la poutre de {T}imoshenko}, + journal = {Comptes Rendus de l'Acad{\'e}mie des Sciences - Series I - Mathematics}, + volume = {328}, + number = {8}, + pages = {731--734}, + year = {1999}, + doi = {10.1016/S0764-4442(99)80244-4} +} + +@article{timoshenko-1921-lxv-ion-cor, + author = {Timoshenko, Stephen P.}, + title = {On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars}, + journal = {The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science}, + series = {6}, + volume = {41}, + number = {245}, + pages = {744--746}, + year = {1921}, + doi = {10.1080/14786442108636264} +} + @book{yosida-1980-fun-ana, author = {Yosida, K\=osaku}, title = {Functional Analysis}, diff --git a/secciones/cap_vigas.tex b/secciones/cap_vigas.tex index 746eb1c..d3ba8e4 100644 --- a/secciones/cap_vigas.tex +++ b/secciones/cap_vigas.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \chapter{Teoría de vigas} \section{Modelos básicos de vigas} \label{ch:teoriaVigas:section:primerosmodelos} -Para dar inicio a esta primera sección, haremos un \textit{tour} por la teoría básica de vigas. Esto cumplirá dos propósitos: el primero será el de contextualizar el sistema de Timoshenko que presentaremos al final de la sección (dado que su origen viene motivado por trabajos previos sobre la dinámica de vigas), y el segundo será el de esclarecer (ligeramente) la física que se oculta tras las ecuaciones. Continuando con lo anterior, no se pretende dar una deducción física extensa, y se asume familiaridad de parte del lector con los conceptos básicos de mecánica de medios continuos. Existen numerosos textos capaces de proveer al lector interesado de dichos conocimientos, como por ejemplo \textcolor{red}{[CITA]}. +Para dar inicio a esta primera sección, haremos un \textit{tour} por la teoría básica de vigas. Esto cumplirá dos propósitos: el primero será el de contextualizar el sistema de Timoshenko que presentaremos al final de la sección (dado que su origen viene motivado por trabajos previos sobre la dinámica de vigas), y el segundo será el de esclarecer (ligeramente) la física que se oculta tras las ecuaciones. Continuando con lo anterior, no se pretende dar una deducción física extensa, y se asume familiaridad de parte del lector con los conceptos básicos de mecánica de medios continuos. Existen numerosos textos capaces de proveer al lector interesado de dichos conocimientos, como por ejemplo \cite{gurtin-1982-int-con-mec}. Con todo lo anterior, pasaremos ahora a deducir la ecuación de vigas de Euler-Bernoulli. @@ -140,7 +140,7 @@ \subsection{Introducción al sistema de Timoshenko} Como se ha ido asomando a lo largo de la sección anterior, la ecuación de vigas de Euler-Bernoulli es adecuada para describir el comportamiento de ciertas vigas esbeltas, hechas de un material lo suficientemente homogéneo y ``bien portado''. Sin embargo, las hipótesis asumidas son, quizás, demasiado simples para el comportamiento de algunos sistemas de vigas que se presentan en la realidad. Por ejemplo, cuando se trata de vigas cortas o profundas en las que la deformación por cortante se vuelve relevante, cuando se tienen vigas de materiales no elásticos o no lineales (por ejemplificar alguno, los materiales compuestos son anisotrópicos, lo que quiere decir que, como conjunto, no presentan un comportamiento lineal), cuando las secciones transversales se distorsionan con la deformación, cuando se estudian vibraciones de alta frecuencia, entre otros. -Debido a la necesidad de describir vigas con comportamientos más complejos y realistas, el ingeniero ucraniano \textit{Sthephen P. Timoshenko} (1878-1972) postula un sistema de ecuaciones en derivadas parciales que describe la dinámica de una viga teniendo en consideración el desplazamiento vertical y la rotación de la sección transversal respecto al eje neutro, permitiendo que esta no permanezca necesariamente perpendicular al eje de la viga. El desarrollo original de este sistema se puede encontrar en los trabajos de Timoshenko \textcolor{red}{[CITA]}. +Debido a la necesidad de describir vigas con comportamientos más complejos y realistas, el ingeniero ucraniano \textit{Sthephen P. Timoshenko} (1878-1972) postula un sistema de ecuaciones en derivadas parciales que describe la dinámica de una viga teniendo en consideración el desplazamiento vertical y la rotación de la sección transversal respecto al eje neutro, permitiendo que esta no permanezca necesariamente perpendicular al eje de la viga. El desarrollo original de este sistema se puede encontrar en los trabajos de Timoshenko \cite{timoshenko-1921-lxv-ion-cor}. La viga planteada por Timoshenko conserva entonces algunas de las hipótesis planteadas para la viga de Euler-Bernoulli. Más explícitamente, la viga de Timoshenko está hecha de un material linealmente elástico, las secciones transversales son simétricas respecto a los planos verticales (lo que permite la existencia de un eje neutro), se asumen deformaciones pequeñas y el material de la viga es homogéneo e isótropo. Asimismo, se relajan o eliminan algunas de las hipótesis. El cambio más notable respecto a la viga de Euler-Bernoulli es que la viga de Timoshenko no asume que las secciones perpendiculares al eje neutro permanecen planas y perpendiculares tras la deformación. Luego, si se consideran los efectos de la inercia rotacional y se relaja la hipótesis de la longitud frente al resto de dimensiones de la viga (ahora se permiten vigas más cortas o profundas). @@ -152,7 +152,7 @@ \subsection{Introducción al sistema de Timoshenko} A partir de este momento, dejaremos de referirnos a las coordenadas materiales como $(X,Y,Z)$ y empezaremos a referirnos a ellas como $(x,y,z)$ con el fin de aligerar la notación. -Siguiendo entonces con el desarrollo de Timoshenko \textcolor{red}{[CITA]}, se tiene que las \textit{ecuaciones de equilibrio dinámico} para un elemento diferencial de viga, que relacionan los esfuerzos internos con las aceleraciones traslacionales y rotacionales, se expresan como: +Siguiendo entonces con el desarrollo de Timoshenko \cite{timoshenko-1921-lxv-ion-cor}, se tiene que las \textit{ecuaciones de equilibrio dinámico} para un elemento diferencial de viga, que relacionan los esfuerzos internos con las aceleraciones traslacionales y rotacionales, se expresan como: \begin{align} \rho A \varphi_{tt} &= S_x, \label{timoshenkoBasico:equilDinamicoCortante}\\ @@ -172,7 +172,7 @@ \subsection{Introducción al sistema de Timoshenko} y se tiene que $k^{\prime}$ es el \textit{factor de corrección por cortante}, mientras que $G$ y $E$ son el \textit{módulo de elasticidad transversal} (o bien \textit{módulo de cizalladura/cortadura}) --que caracteriza la rigidez de un material frente a esfuerzos de cizallamiento-- y el \textit{módulo de Young}, respectivamente. -El factor de corrección $k^{\prime}$ se introduce porque de las hipótesis planteadas anteriormente se deduce que el esfuerzo cortante es uniforme en toda la sección transversal (los desarrollos originales de Timoshenko \textcolor{red}{[CITA]} contemplan la deducción e implicaciones de este hecho. Dado que el interés de este texto no radica en la física, sólo hemos de mencionar los detalles más relevantes); sin embargo, esto no es cierto en general, dado que el esfuerzo por cizallamiento va decayendo desde el centro de la viga hacia los extremos. Por ejemplo, en vigas con secciones rectangulares se conoce que el esfuerzo por cortadura sigue una distribución parabólica (véase la Figura~\ref{ch:teoriaVigas:fig:distribucionCortante}). Entender de manera intuitiva el esfuerzo por cizallamiento como aquel que surge por la resistencia al deslizamiento de las capas (fibras) internas del material en respuesta a una fuerza puede resultar esclarecedor, pues la cara superior e inferior no tienen fibras por encima o por debajo de ellas que las ``empujen'' o ``frenen'', mientras que las fibras más centrales tienen todas las capas por encima y por debajo ``empujando'' y ``frenando'' (tracción y compresión). +El factor de corrección $k^{\prime}$ se introduce porque de las hipótesis planteadas anteriormente se deduce que el esfuerzo cortante es uniforme en toda la sección transversal (los desarrollos originales de Timoshenko \cite{timoshenko-1921-lxv-ion-cor} contemplan la deducción e implicaciones de este hecho. Dado que el interés de este texto no radica en la física, sólo hemos de mencionar los detalles más relevantes); sin embargo, esto no es cierto en general, dado que el esfuerzo por cizallamiento va decayendo desde el centro de la viga hacia los extremos. Por ejemplo, en vigas con secciones rectangulares se conoce que el esfuerzo por cortadura sigue una distribución parabólica (véase la Figura~\ref{ch:teoriaVigas:fig:distribucionCortante}). Entender de manera intuitiva el esfuerzo por cizallamiento como aquel que surge por la resistencia al deslizamiento de las capas (fibras) internas del material en respuesta a una fuerza puede resultar esclarecedor, pues la cara superior e inferior no tienen fibras por encima o por debajo de ellas que las ``empujen'' o ``frenen'', mientras que las fibras más centrales tienen todas las capas por encima y por debajo ``empujando'' y ``frenando'' (tracción y compresión). \begin{figure}[H] \centering From 5e136fbccfaa856e0a216383013cf5445058e58a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alejandro Soto Franco Date: Sun, 26 Jul 2026 13:20:26 -0700 Subject: [PATCH 09/11] =?UTF-8?q?Citar=20a=20Engel=20y=20Nagel=20con=20loc?= =?UTF-8?q?alizador=20comprobado=20y=20cerrar=20la=20caracterizaci=C3=B3n?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Los dos envíos a Engel y Nagel pasaban por localizadores que no podía comprobar. Se sustituyen por A Short Course on Operator Semigroups, de los mismos autores, donde ambos enunciados aparecen literalmente: - Par. I.1.13, "the adjoint semigroup is, in general, not strongly continuous", con el caso reflexivo en el mismo párrafo. - Par. II.2.5, que define el generador débil-* A^sigma como el límite en sigma(X', X) del cociente incremental, igual que la definición del texto. La caracterización de la estabilidad exponencial en un espacio de Hilbert deja de ser un enunciado sin prueba: se remite al Teorema 1.3.2 de Liu y Zheng, que la da para semigrupos de contracciones, con los originales de Gearhart y Prüss. Se añade una observación sobre la equivalencia entre el supremo sobre iR y el límite superior en el infinito, que es lo que usa el capítulo amortiguado. Los tres envíos a Timoshenko citan ahora los dos artículos de 1921 y 1922. --- secciones/biblio.bib | 23 +++++++++++++++++------ secciones/cap_semigrupos.tex | 18 ++++++++++++++---- secciones/cap_vigas.tex | 6 +++--- 3 files changed, 34 insertions(+), 13 deletions(-) diff --git a/secciones/biblio.bib b/secciones/biblio.bib index b0de001..905f2b5 100644 --- a/secciones/biblio.bib +++ b/secciones/biblio.bib @@ -24,15 +24,14 @@ @book{conway-1990-cou-fun-ana year = {1990} } -@book{engel-1999-one-sem-lin, +@book{engel-2006-sho-cou-ope, author = {Engel, Klaus-Jochen and Nagel, Rainer}, - title = {One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations}, - series = {Graduate Texts in Mathematics}, - volume = {194}, + title = {A Short Course on Operator Semigroups}, + series = {Universitext}, publisher = {Springer}, address = {New York}, - year = {1999}, - isbn = {9780387984636} + year = {2006}, + isbn = {9780387313412} } @book{evans-2010-par-dif-equ, @@ -157,6 +156,18 @@ @article{timoshenko-1921-lxv-ion-cor doi = {10.1080/14786442108636264} } +@article{timoshenko-1922-x-ion-tra, + author = {Timoshenko, Stephen P.}, + title = {On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section}, + journal = {The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science}, + series = {6}, + volume = {43}, + number = {253}, + pages = {125--131}, + year = {1922}, + doi = {10.1080/14786442208633855} +} + @book{yosida-1980-fun-ana, author = {Yosida, K\=osaku}, title = {Functional Analysis}, diff --git a/secciones/cap_semigrupos.tex b/secciones/cap_semigrupos.tex index 4e4e4ca..9128785 100644 --- a/secciones/cap_semigrupos.tex +++ b/secciones/cap_semigrupos.tex @@ -1288,7 +1288,7 @@ \section{Semigrupo dual} \begin{Observacion} \label{ObsC0Dual} - A pesar de que $T(t)^*$ es un semigrupo, no necesariamente es un $C_0$-semigrupo (véase \cite[5.14]{engel-1999-one-sem-lin}). + A pesar de que $T(t)^*$ es un semigrupo, no necesariamente es un $C_0$-semigrupo (véase \cite[Par.~I.1.13]{engel-2006-sho-cou-ope}). Como consecuencia, es importante notar también que $A^*$ no necesariamente está densamente definido en $E_0^*$. \end{Observacion} @@ -1314,7 +1314,7 @@ \section{Semigrupo dual} \[A^\sigma e^* = A^*e^*.\] - Véase \cite[2.5]{engel-1999-one-sem-lin} para un estudio más riguroso. + Véase \cite[Par.~II.2.5]{engel-2006-sho-cou-ope} para un estudio más riguroso. \end{Definicion} \textcolor{red}{TEXTO}\\ @@ -1442,5 +1442,15 @@ \section{Estabilidad exponencial} \end{Teorema} \begin{proof} - \textcolor{red}{ACABAR}\\ -\end{proof} \ No newline at end of file + Véase \cite[Teorema~1.3.2]{liu-1999-sem-ass-dis}. El resultado se debe a Gearhart \cite{gearhart-1978-spe-the-con} y a Prüss \cite{pruss-1984-spe-c-0}, cuyos enunciados cubren semigrupos fuertemente continuos generales sobre un espacio de Hilbert; la versión para semigrupos de contracciones que aquí empleamos es la que recoge la referencia citada. +\end{proof} + +\begin{Observacion} + \label{ch:semigrupos:section:estExp:obs:supVsLimite} + + La segunda condición se enuncia a menudo como + + \[\limsup_{\lvert \lambda \rvert \rightarrow \infty}\lVert (i\lambda I - A)^{-1}\rVert_{L(H)} < \infty,\] + + y ambas formulaciones son equivalentes en presencia de la primera. En efecto, si $i\mathbb{R} \subset \rho(A)$, la aplicación $\lambda \mapsto \lVert (i\lambda I - A)^{-1}\rVert_{L(H)}$ es continua sobre $\mathbb{R}$ y, por tanto, acotada sobre cada compacto; una cota para $\lvert \lambda \rvert$ grande basta entonces para acotar el supremo sobre todo $\mathbb{R}$. Esta observación es la que permite aplicar el Teorema anterior a la cota que se obtiene en el Lema \ref{ch:TimoshenkoFric:lemma:acotacionResolvente}. +\end{Observacion} \ No newline at end of file diff --git a/secciones/cap_vigas.tex b/secciones/cap_vigas.tex index d3ba8e4..2c08e8c 100644 --- a/secciones/cap_vigas.tex +++ b/secciones/cap_vigas.tex @@ -140,7 +140,7 @@ \subsection{Introducción al sistema de Timoshenko} Como se ha ido asomando a lo largo de la sección anterior, la ecuación de vigas de Euler-Bernoulli es adecuada para describir el comportamiento de ciertas vigas esbeltas, hechas de un material lo suficientemente homogéneo y ``bien portado''. Sin embargo, las hipótesis asumidas son, quizás, demasiado simples para el comportamiento de algunos sistemas de vigas que se presentan en la realidad. Por ejemplo, cuando se trata de vigas cortas o profundas en las que la deformación por cortante se vuelve relevante, cuando se tienen vigas de materiales no elásticos o no lineales (por ejemplificar alguno, los materiales compuestos son anisotrópicos, lo que quiere decir que, como conjunto, no presentan un comportamiento lineal), cuando las secciones transversales se distorsionan con la deformación, cuando se estudian vibraciones de alta frecuencia, entre otros. -Debido a la necesidad de describir vigas con comportamientos más complejos y realistas, el ingeniero ucraniano \textit{Sthephen P. Timoshenko} (1878-1972) postula un sistema de ecuaciones en derivadas parciales que describe la dinámica de una viga teniendo en consideración el desplazamiento vertical y la rotación de la sección transversal respecto al eje neutro, permitiendo que esta no permanezca necesariamente perpendicular al eje de la viga. El desarrollo original de este sistema se puede encontrar en los trabajos de Timoshenko \cite{timoshenko-1921-lxv-ion-cor}. +Debido a la necesidad de describir vigas con comportamientos más complejos y realistas, el ingeniero ucraniano \textit{Sthephen P. Timoshenko} (1878-1972) postula un sistema de ecuaciones en derivadas parciales que describe la dinámica de una viga teniendo en consideración el desplazamiento vertical y la rotación de la sección transversal respecto al eje neutro, permitiendo que esta no permanezca necesariamente perpendicular al eje de la viga. El desarrollo original de este sistema se puede encontrar en los trabajos de Timoshenko \cite{timoshenko-1921-lxv-ion-cor,timoshenko-1922-x-ion-tra}. La viga planteada por Timoshenko conserva entonces algunas de las hipótesis planteadas para la viga de Euler-Bernoulli. Más explícitamente, la viga de Timoshenko está hecha de un material linealmente elástico, las secciones transversales son simétricas respecto a los planos verticales (lo que permite la existencia de un eje neutro), se asumen deformaciones pequeñas y el material de la viga es homogéneo e isótropo. Asimismo, se relajan o eliminan algunas de las hipótesis. El cambio más notable respecto a la viga de Euler-Bernoulli es que la viga de Timoshenko no asume que las secciones perpendiculares al eje neutro permanecen planas y perpendiculares tras la deformación. Luego, si se consideran los efectos de la inercia rotacional y se relaja la hipótesis de la longitud frente al resto de dimensiones de la viga (ahora se permiten vigas más cortas o profundas). @@ -152,7 +152,7 @@ \subsection{Introducción al sistema de Timoshenko} A partir de este momento, dejaremos de referirnos a las coordenadas materiales como $(X,Y,Z)$ y empezaremos a referirnos a ellas como $(x,y,z)$ con el fin de aligerar la notación. -Siguiendo entonces con el desarrollo de Timoshenko \cite{timoshenko-1921-lxv-ion-cor}, se tiene que las \textit{ecuaciones de equilibrio dinámico} para un elemento diferencial de viga, que relacionan los esfuerzos internos con las aceleraciones traslacionales y rotacionales, se expresan como: +Siguiendo entonces con el desarrollo de Timoshenko \cite{timoshenko-1921-lxv-ion-cor,timoshenko-1922-x-ion-tra}, se tiene que las \textit{ecuaciones de equilibrio dinámico} para un elemento diferencial de viga, que relacionan los esfuerzos internos con las aceleraciones traslacionales y rotacionales, se expresan como: \begin{align} \rho A \varphi_{tt} &= S_x, \label{timoshenkoBasico:equilDinamicoCortante}\\ @@ -172,7 +172,7 @@ \subsection{Introducción al sistema de Timoshenko} y se tiene que $k^{\prime}$ es el \textit{factor de corrección por cortante}, mientras que $G$ y $E$ son el \textit{módulo de elasticidad transversal} (o bien \textit{módulo de cizalladura/cortadura}) --que caracteriza la rigidez de un material frente a esfuerzos de cizallamiento-- y el \textit{módulo de Young}, respectivamente. -El factor de corrección $k^{\prime}$ se introduce porque de las hipótesis planteadas anteriormente se deduce que el esfuerzo cortante es uniforme en toda la sección transversal (los desarrollos originales de Timoshenko \cite{timoshenko-1921-lxv-ion-cor} contemplan la deducción e implicaciones de este hecho. Dado que el interés de este texto no radica en la física, sólo hemos de mencionar los detalles más relevantes); sin embargo, esto no es cierto en general, dado que el esfuerzo por cizallamiento va decayendo desde el centro de la viga hacia los extremos. Por ejemplo, en vigas con secciones rectangulares se conoce que el esfuerzo por cortadura sigue una distribución parabólica (véase la Figura~\ref{ch:teoriaVigas:fig:distribucionCortante}). Entender de manera intuitiva el esfuerzo por cizallamiento como aquel que surge por la resistencia al deslizamiento de las capas (fibras) internas del material en respuesta a una fuerza puede resultar esclarecedor, pues la cara superior e inferior no tienen fibras por encima o por debajo de ellas que las ``empujen'' o ``frenen'', mientras que las fibras más centrales tienen todas las capas por encima y por debajo ``empujando'' y ``frenando'' (tracción y compresión). +El factor de corrección $k^{\prime}$ se introduce porque de las hipótesis planteadas anteriormente se deduce que el esfuerzo cortante es uniforme en toda la sección transversal (los desarrollos originales de Timoshenko \cite{timoshenko-1921-lxv-ion-cor,timoshenko-1922-x-ion-tra} contemplan la deducción e implicaciones de este hecho. Dado que el interés de este texto no radica en la física, sólo hemos de mencionar los detalles más relevantes); sin embargo, esto no es cierto en general, dado que el esfuerzo por cizallamiento va decayendo desde el centro de la viga hacia los extremos. Por ejemplo, en vigas con secciones rectangulares se conoce que el esfuerzo por cortadura sigue una distribución parabólica (véase la Figura~\ref{ch:teoriaVigas:fig:distribucionCortante}). Entender de manera intuitiva el esfuerzo por cizallamiento como aquel que surge por la resistencia al deslizamiento de las capas (fibras) internas del material en respuesta a una fuerza puede resultar esclarecedor, pues la cara superior e inferior no tienen fibras por encima o por debajo de ellas que las ``empujen'' o ``frenen'', mientras que las fibras más centrales tienen todas las capas por encima y por debajo ``empujando'' y ``frenando'' (tracción y compresión). \begin{figure}[H] \centering From e15e1bbf98e7748635aadb77fdfbb91f8db652b7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alejandro Soto Franco Date: Sun, 26 Jul 2026 13:26:25 -0700 Subject: [PATCH 10/11] Cerrar las cuatro demostraciones pendientes MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Capítulo de semigrupos: - La caracterización del resolvente compacto es la Proposición 5.8 de Engel y Nagel, con la misma hipótesis rho(A) no vacío y el mismo espacio D(A) con la norma del gráfico. La nota al pie explica que ese espacio es de Banach si y sólo si A es cerrado, que es el caso en las aplicaciones. - El espectro de un operador con resolvente compacto: para lambda distinto de lambda_0 se comprueba que (mu - R) actúa sobre (lambda_0 - A)e como mu(lambda - A)e, con mu = 1/(lambda_0 - lambda), de modo que mu pertenece al espectro de R; siendo R compacto y mu no nulo, mu es autovalor de R por el Teorema 6.8 de Brezis, y el autovector correspondiente resuelve Ay = lambda y. Capítulo de vigas: - El producto interno de la energía: bilinealidad y simetría se siguen de que cada sumando es un producto de L^2 compuesto con una aplicación lineal. Para la definición positiva, anular los sumandos da psi_x = 0 y luego phi_x = 0, y la desigualdad de Poincaré cierra ambos casos. Se señala que la condición de contorno es la que hace funcionar ese paso. - La norma de la energía es la inducida por ese producto interno. La equivalencia con la usual sale de acotar el término cruzado en los dos sentidos con (a+b)^2 <= 2(a^2+b^2) y Poincaré, con constantes explícitas. --- secciones/cap_semigrupos.tex | 20 ++++++++++++--- secciones/cap_vigas.tex | 50 ++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 2 files changed, 65 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/secciones/cap_semigrupos.tex b/secciones/cap_semigrupos.tex index 9128785..da53fa8 100644 --- a/secciones/cap_semigrupos.tex +++ b/secciones/cap_semigrupos.tex @@ -1413,10 +1413,10 @@ \section{Estabilidad exponencial} \item La inyección canónica $X \hookrightarrow E_0$ es compacta. \end{enumerate} \end{Proposicion} -\footnotetext{\textcolor{red}{HABLAR DE CÓMO $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big)$ ES UN ESPACIO DE BANACH...}} +\footnotetext{Aquí $\lVert e \rVert_{G(A)} := \lVert e \rVert_{E_0} + \lVert Ae \rVert_{E_0}$ es la \textit{norma del gráfico}, que hace de $D(A)$ un espacio normado isométricamente isomorfo a $G(A) \subseteq E_0 \times E_0$ mediante $e \mapsto (e, Ae)$. En consecuencia, $X$ es un espacio de Banach si y sólo si $G(A)$ es cerrado en $E_0 \times E_0$; esto es, si y sólo si $A$ es un operador cerrado (Definición \ref{ch:preliminares:def:cerrado}). Este es el caso en las aplicaciones que nos interesan, donde $A$ genera un semigrupo fuertemente continuo y, por tanto, es cerrado (Teorema \ref{ch:semigrupos:th:resSemiFuerteCont}).} \begin{proof} - \textcolor{red}{ACABAR}\\ + Véase \cite[Proposición~5.8]{engel-2006-sho-cou-ope}. Nótese que la ecuación del resolvente garantiza que $(\lambda - A)^{-1}$ sea compacto para un $\lambda \in \rho(A)$ si y sólo si lo es para todos, de modo que la primera afirmación no depende del $\lambda$ escogido (\cite[Definición~5.7]{engel-2006-sho-cou-ope}). \end{proof} \begin{Corolario}[Espectro de un operador con resolvente compacto] @@ -1426,7 +1426,21 @@ \section{Estabilidad exponencial} \end{Corolario} \begin{proof} - \textcolor{red}{ACABAR}\\ + Sea $\lambda_0 \in \rho(A)$ tal que $R := (\lambda_0 - A)^{-1}$ es compacto y sea $\lambda \in \sigma(A)$; en particular $\lambda \neq \lambda_0$. Escribimos + + \[\mu := \frac{1}{\lambda_0 - \lambda} \neq 0.\] + + Veamos primero que $\mu \in \sigma(R)$. Todo $y \in E_0$ se escribe de forma única como $y = (\lambda_0 - A)e$ con $e = Ry \in D(A)$, y sobre tales elementos + + \[(\mu I - R)y = \mu(\lambda_0 - A)e - e = \mu\Big[(\lambda_0 - A) - \mu^{-1}\Big]e = \mu(\lambda - A)e,\] + + donde se ha usado que $\mu^{-1} = \lambda_0 - \lambda$. Como $R : E_0 \rightarrow D(A)$ es una biyección, la igualdad anterior muestra que $\mu I - R$ es biyectivo si y sólo si lo es $\lambda - A$. Siendo $\lambda \in \sigma(A)$, se sigue que $\mu \in \sigma(R)$. + + Ahora bien, $R$ es compacto y $\mu \neq 0$, luego $\mu$ es un autovalor de $R$ (\cite[Teorema~6.8]{brezis-2011-fun-ana-sob}): existe $y \neq 0$ con $Ry = \mu y$. Entonces $y = \mu^{-1}Ry \in R(R) = D(A)$ y, aplicando $(\lambda_0 - A)$ a ambos miembros de $Ry = \mu y$, + + \[y = \mu(\lambda_0 - A)y \implies (\lambda_0 - A)y = \mu^{-1}y \implies Ay = \big(\lambda_0 - \mu^{-1}\big)y = \lambda y.\] + + Por lo tanto $\lambda$ es un autovalor de $A$. Por la arbitrariedad de $\lambda \in \sigma(A)$, el espectro de $A$ está formado exclusivamente por autovalores. \end{proof} \begin{Teorema}[Caracterización de la estabilidad exponencial en un espacio de Hilbert] diff --git a/secciones/cap_vigas.tex b/secciones/cap_vigas.tex index 2c08e8c..3ddee40 100644 --- a/secciones/cap_vigas.tex +++ b/secciones/cap_vigas.tex @@ -561,7 +561,21 @@ \subsection{Problema abstracto de Cauchy homogéneo} \end{Proposicion} \begin{proof} - \textcolor{red}{ACABAR!} + Escribimos $U = (\varphi, \varphi_t, \psi, \psi_t)$ y $\hat{U} = (\hat{\varphi}, \hat{\varphi_t}, \hat{\psi}, \hat{\psi_t})$, y entendemos $\lVert \psi \rVert_{H_0^1} = \lVert \psi_x \rVert_{L^2}$, que es una norma sobre $H_0^1(0,L)$ equivalente a la usual por la desigualdad de Poincaré \ref{ch:preliminares:th:poincare}. + + Cada sumando de \eqref{prodInternoEnergiaH} es de la forma $(TU, T\hat{U})_{L^2}$ para una aplicación lineal $T$ sobre $\mathcal{H}$: la proyección sobre una componente en los tres primeros y $U \mapsto \varphi_x + \psi$ en el cuarto. Como el producto interno de $L^2(0,L)$ es bilineal y simétrico, y las constantes $\rho_1, \rho_2, b, k$ son reales, la aplicación $(\cdot, \cdot)_E$ es bilineal y simétrica. + + Queda comprobar que es definida positiva. Tomando $\hat{U} = U$, + + \[(U,U)_E = \rho_1 \lVert \varphi_t \rVert^2_{L^2} + \rho_2 \lVert \psi_t \rVert^2_{L^2} + b \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2} + k \lVert \varphi_x + \psi \rVert^2_{L^2} \geq 0,\] + + por ser $\rho_1, \rho_2, b, k > 0$. Supongamos ahora que $(U,U)_E = 0$. Entonces se anulan los cuatro sumandos por separado, de modo que $\varphi_t = 0$ y $\psi_t = 0$ en $L^2(0,L)$ y, además, $\psi_x = 0$. De esto último y de la desigualdad de Poincaré \ref{ch:preliminares:th:poincare} aplicada a $\psi \in H_0^1(0,L)$ se obtiene + + \[\lVert \psi \rVert_{L^2} \leq C \lVert \psi_x \rVert_{L^2} = 0,\] + + esto es, $\psi = 0$. El cuarto sumando se reduce entonces a $k\lVert \varphi_x \rVert^2_{L^2} = 0$, y repitiendo el argumento sobre $\varphi \in H_0^1(0,L)$ se concluye $\varphi = 0$. Por lo tanto $U = 0$. El recíproco es inmediato, luego $(U,U)_E = 0$ si y sólo si $U = 0$. + + Nótese que la condición de contorno es esencial en este paso: sobre $H^1(0,L)$ sin anulación en los extremos, $\varphi_x = 0$ sólo daría $\varphi$ constante. \end{proof} Veamos ahora una norma asociada al funcional de energía equivalente a la norma del espacio.\\ @@ -582,7 +596,39 @@ \subsection{Problema abstracto de Cauchy homogéneo} \end{Proposicion} \begin{proof} - \textcolor{red}{ACABAR!} + Que $\lVert \, \cdot \, \rVert_E$ es una norma es inmediato: por la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ProdInternoEnergia}, la aplicación $(\cdot,\cdot)_E$ es un producto interno sobre $\mathcal{H}$, y $\lVert U \rVert_E = (U,U)_E^{1/2}$ es la norma que induce (Definición \ref{ch:preliminares:def:productoInterno}). + + Probemos la equivalencia. Denotamos por $C_P$ la constante de Poincaré \ref{ch:preliminares:th:poincare} del intervalo $(0,L)$, de modo que $\lVert u \rVert_{L^2} \leq C_P \lVert u_x \rVert_{L^2}$ para toda $u \in H_0^1(0,L)$, y recordamos la desigualdad $(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$. + + Para la primera desigualdad, acotamos el término cruzado: + + \[k\lVert \varphi_x + \psi \rVert^2_{L^2} \leq 2k \lVert \varphi_x \rVert^2_{L^2} + 2k\lVert \psi \rVert^2_{L^2} \leq 2k \lVert \varphi \rVert^2_{H_0^1} + 2kC_P^2 \lVert \psi \rVert^2_{H_0^1},\] + + de donde + + \[\lVert U \rVert_E^2 \leq 2k \lVert \varphi \rVert^2_{H_0^1} + \rho_1 \lVert \varphi_t \rVert^2_{L^2} + \big(b + 2kC_P^2\big) \lVert \psi \rVert^2_{H_0^1} + \rho_2 \lVert \psi_t \rVert^2_{L^2} \leq C_2 \lVert U \rVert^2_{\mathcal{H}},\] + + con $C_2 := \max\{2k, \rho_1, b + 2kC_P^2, \rho_2\} > 0$. + + Para la desigualdad recíproca escribimos $\varphi_x = (\varphi_x + \psi) - \psi$ y procedemos de igual modo: + + \[\lVert \varphi \rVert^2_{H_0^1} = \lVert \varphi_x \rVert^2_{L^2} \leq 2\lVert \varphi_x + \psi \rVert^2_{L^2} + 2\lVert \psi \rVert^2_{L^2} \leq 2\lVert \varphi_x + \psi \rVert^2_{L^2} + 2C_P^2 \lVert \psi_x \rVert^2_{L^2},\] + + y por tanto + + \begin{align*} + \lVert U \rVert^2_{\mathcal{H}} &= \lVert \varphi \rVert^2_{H_0^1} + \lVert \varphi_t \rVert^2_{L^2} + \lVert \psi \rVert^2_{H_0^1} + \lVert \psi_t \rVert^2_{L^2}\\ + &\leq 2\lVert \varphi_x + \psi \rVert^2_{L^2} + \big(1 + 2C_P^2\big)\lVert \psi_x \rVert^2_{L^2} + \lVert \varphi_t \rVert^2_{L^2} + \lVert \psi_t \rVert^2_{L^2}\\ + &\leq C_1^{-1} \lVert U \rVert^2_E, + \end{align*} + + donde basta tomar $C_1^{-1} := \max\left\{\tfrac{2}{k}, \tfrac{1 + 2C_P^2}{b}, \tfrac{1}{\rho_1}, \tfrac{1}{\rho_2}\right\} > 0$, comparando cada sumando con el término correspondiente de $\lVert U \rVert_E^2$. + + Reuniendo ambas cotas, + + \[C_1 \lVert U \rVert^2_{\mathcal{H}} \leq \lVert U \rVert^2_E \leq C_2 \lVert U \rVert^2_{\mathcal{H}}, \quad \forall U \in \mathcal{H},\] + + que es la equivalencia buscada (Definición \ref{ch:preliminares:def:normasEquivalentes}). \end{proof} Por último, acabamos esta sub-sección con una observación.\\ From 2700f8fe6cee8913194bd1b95e9aa67e2912cc65 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alejandro Soto Franco Date: Sun, 26 Jul 2026 14:00:50 -0700 Subject: [PATCH 11/11] Fijar las convenciones que quedaban por decidir MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Títulos de los enunciados. Se definen los estilos asfplain, asfdefinicion y asfobservacion en main.tex, con \newline como espacio tras la cabecera. El título va como argumento opcional y amsthm lo compone entre paréntesis abriendo línea nueva, que es lo que pedía la nota de la introducción: no hay que escribir ni los paréntesis ni el salto. Los 90 entornos que llevaban el título entre llaves pasan a \begin{Entorno}[Título], y las seis marcas de salto manual sobran. Referencias cruzadas. \ref para teoremas, proposiciones, definiciones, lemas y secciones: 41 envíos que salían como "Teorema (3.4)". \eqref se queda para ecuaciones, incluidas las etiquetas de ecuación internas a un enunciado. Notación del semigrupo. T(t) sólo en el capítulo de semigrupos; a partir del problema de Cauchy se escribe e^{At}, que es la solución de un problema concreto. El capítulo de Cauchy usaba las dos: e^{At} en las secciones no homogénea y semilineal, T(t) en la homogénea. Se unifican los 66 sitios de los capítulos 3, 4 y 5, incluida la norma del semigrupo en la prueba de contractividad, que además se escribía sin argumento. Las cuatro fórmulas que quedaban en rojo por esta decisión pierden el color. Los tres problemas de Cauchy pasan de align a equation con aligned: la etiqueta numeraba sólo el primer renglón y el texto se refiere al problema entero. --- main.tex | 27 ++++- secciones/cap_cauchy.tex | 124 ++++++++++++----------- secciones/cap_preliminares.tex | 98 +++++++++--------- secciones/cap_semigrupos.tex | 42 ++++---- secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex | 56 +++++----- secciones/cap_vigas.tex | 58 +++++------ secciones/introduccion.tex | 25 +++-- 7 files changed, 230 insertions(+), 200 deletions(-) diff --git a/main.tex b/main.tex index 20c399e..d6610cd 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -109,16 +109,37 @@ %% ----------------------------------------------- % Entornos matemáticos %% ----------------------------------------------- -\theoremstyle{definition} +% Estilos de enunciado. El título opcional se compone automáticamente entre +% paréntesis y el cuerpo empieza en una línea nueva: basta escribir +% \begin{Teorema}[Título] y no hace falta ni paréntesis ni salto explícitos. +\newtheoremstyle{asfdefinicion}% nombre + {\topsep}{\topsep}% espacio antes / después + {\normalfont}{}% cuerpo / sangrado + {\bfseries}{.}% cabecera / puntuación + {\newline}{}% salto tras la cabecera / formato por defecto + +\newtheoremstyle{asfplain} + {\topsep}{\topsep} + {\itshape}{} + {\bfseries}{.} + {\newline}{} + +\newtheoremstyle{asfobservacion} + {\topsep}{\topsep} + {\normalfont}{} + {\itshape}{.} + {\newline}{} + +\theoremstyle{asfdefinicion} \newtheorem{Definicion}{Definición}[chapter] -\theoremstyle{plain} +\theoremstyle{asfplain} \newtheorem{Teorema}{Teorema}[chapter] \newtheorem{Proposicion}{Proposición}[chapter] \newtheorem{Lema}[Teorema]{Lema} \newtheorem{Corolario}[Teorema]{Corolario} -\theoremstyle{remark} +\theoremstyle{asfobservacion} \newtheorem{Observacion}{Observación}[chapter] % Estilo: Cambia el simbolo de QED por un cuadrado negro diff --git a/secciones/cap_cauchy.tex b/secciones/cap_cauchy.tex index 54792f7..293d19e 100644 --- a/secciones/cap_cauchy.tex +++ b/secciones/cap_cauchy.tex @@ -71,17 +71,19 @@ \section{Introducción: Problema de Cauchy homogéneo} En primer lugar, recordemos que un problema de Cauchy es, en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, un problema de valor inicial. Así, pues, un problema de Cauchy abstracto (o, simplemente, problema de Cauchy) homogéneo en un espacio de Banach $E_0$ tiene la forma: -\begin{align} +\begin{equation} \label{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica} - \frac{\dd e}{\dd t} &= Ae, \quad 0 < t\\ - e(0) &= e_0 \in E_0, -\end{align} + \begin{aligned} + \frac{\dd e}{\dd t} &= Ae, \quad 0 < t,\\ + e(0) &= e_0 \in E_0, + \end{aligned} +\end{equation} -donde $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo $\{T(t) ; t \geq 0\} \subset L(E_0)$. +donde $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo $\{\mathrm{e}^{At} ; t \geq 0\} \subset L(E_0)$. Damos ahora la definición de una solución del problema \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica}. En realidad, podremos distinguir dos tipos de soluciones, una \textit{solución fuerte} y una \textit{solución débil}:\\ -\begin{Definicion}{(Soluciones al problema de Cauchy homogéneo)} +\begin{Definicion}[Soluciones al problema de Cauchy homogéneo] \label{ch:cauchy:section:Hom:def:soluciones} \begin{enumerate}[label=\alph*)] @@ -97,27 +99,27 @@ \section{Introducción: Problema de Cauchy homogéneo} Para ello, consideramos la aplicación -\[e(t) = T(t-t_0)e_0,\] +\[e(t) = \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0,\] -donde $e_0 \in E_0$ y $T(t)$ es el semigrupo del cual $A$ es generador. Comprobemos ahora que $e(t)$ es una solución débil. Para ello, tomamos $e^* \in E_0^*$ y desarrollamos $\displaystyle\frac{\dd}{\dd t}\langle e^*, e(t)\rangle$: +donde $e_0 \in E_0$ y $\mathrm{e}^{At}$ es el semigrupo del cual $A$ es generador. Comprobemos ahora que $e(t)$ es una solución débil. Para ello, tomamos $e^* \in E_0^*$ y desarrollamos $\displaystyle\frac{\dd}{\dd t}\langle e^*, e(t)\rangle$: \begin{align*} - \frac{\dd}{\dd t}\langle e^*, e(t)\rangle &= \frac{\dd}{\dd t}\langle e^*, T(t-t_0)e_0\rangle\\ - &= \frac{\dd}{\dd t}\Big\langle \big(T(t-t_0)\big)^*e^*, e_0\Big\rangle, + \frac{\dd}{\dd t}\langle e^*, e(t)\rangle &= \frac{\dd}{\dd t}\langle e^*, \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0\rangle\\ + &= \frac{\dd}{\dd t}\Big\langle \big(\mathrm{e}^{A(t-t_0)}\big)^*e^*, e_0\Big\rangle, \end{align*} donde \textcolor{red}{SEMIGRUPO DUAL...} y, como $e^* \in D(A^*)$, entonces \begin{align*} - \frac{\dd}{\dd t}\langle e^*, e(t)\rangle &= \frac{\dd}{\dd t}\Big\langle \big(T(t-t_0)\big)^*e^*, e_0\Big\rangle\\ - &= \left \langle\frac{\dd}{\dd t}\big(T(t-t_0)\big)^*e^*, e_0 \right\rangle\\ - &= \Big\langle A^*\big(T(t-t_0)\big)^*e^*, e_0\Big\rangle\\ - &= \Big\langle \big(T(t-t_0)\big)^*A^*e^*, e_0\Big\rangle\\ - &=\langle A^*e^*, T(t-t_0)e_0\rangle\\ + \frac{\dd}{\dd t}\langle e^*, e(t)\rangle &= \frac{\dd}{\dd t}\Big\langle \big(\mathrm{e}^{A(t-t_0)}\big)^*e^*, e_0\Big\rangle\\ + &= \left \langle\frac{\dd}{\dd t}\big(\mathrm{e}^{A(t-t_0)}\big)^*e^*, e_0 \right\rangle\\ + &= \Big\langle A^*\big(\mathrm{e}^{A(t-t_0)}\big)^*e^*, e_0\Big\rangle\\ + &= \Big\langle \big(\mathrm{e}^{A(t-t_0)}\big)^*A^*e^*, e_0\Big\rangle\\ + &=\langle A^*e^*, \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0\rangle\\ &=\langle A^*e^*, e(t) \rangle. \end{align*} -Por lo tanto, $e(t)$ es una solución débil. Veamos ahora que esta solución es única, probando así que todas las soluciones débiles (y, en consecuencia, las fuertes pues estas también son débiles) son de la forma $e(t) = T(t-t_0)e_0$. Para ello, sean $e_1(t)$ y $e_2(t)$ dos soluciones débiles al problema homogéneo, entonces +Por lo tanto, $e(t)$ es una solución débil. Veamos ahora que esta solución es única, probando así que todas las soluciones débiles (y, en consecuencia, las fuertes pues estas también son débiles) son de la forma $e(t) = \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0$. Para ello, sean $e_1(t)$ y $e_2(t)$ dos soluciones débiles al problema homogéneo, entonces \[u(t) = e_1(t) - e_2(t)\] @@ -157,66 +159,66 @@ \section{Introducción: Problema de Cauchy homogéneo} Construimos ahora la función auxiliar -\[t \mapsto \langle e^*, T(t^* - t)U(t) \rangle,\] +\[t \mapsto \langle e^*, \mathrm{e}^{A(t^* - t)}U(t) \rangle,\] donde $t_0 \leq t \leq t^*$ y $t^*$ es un instante arbitrario. Ahora derivamos la función anterior y obtenemos: \begin{align*} - \frac{\dd^+}{\dd t}\langle e^*, T(t^* - t)U(t) \rangle &= \frac{\dd^+}{\dd t}\Big \langle \big (T(t^* - t)\big)^*e^*, U(t) \Big\rangle\\ - &= \left \langle \frac{\dd^+}{\dd t} \big (T(t^* - t)\big)^*e^*, U(t) \right\rangle + \left\langle \big (T(t^* - t)\big)^*e^*, \frac{\dd^+}{\dd t}U(t) \right\rangle\\ - &= -\Big\langle A^*\big (T(t^* - t)\big)^*e^*, U(t) \Big\rangle + \left\langle \big (T(t^* - t)\big)^*e^*, \frac{\dd^+}{\dd t}U(t) \right\rangle. + \frac{\dd^+}{\dd t}\langle e^*, \mathrm{e}^{A(t^* - t)}U(t) \rangle &= \frac{\dd^+}{\dd t}\Big \langle \big (\mathrm{e}^{A(t^* - t)}\big)^*e^*, U(t) \Big\rangle\\ + &= \left \langle \frac{\dd^+}{\dd t} \big (\mathrm{e}^{A(t^* - t)}\big)^*e^*, U(t) \right\rangle + \left\langle \big (\mathrm{e}^{A(t^* - t)}\big)^*e^*, \frac{\dd^+}{\dd t}U(t) \right\rangle\\ + &= -\Big\langle A^*\big (\mathrm{e}^{A(t^* - t)}\big)^*e^*, U(t) \Big\rangle + \left\langle \big (\mathrm{e}^{A(t^* - t)}\big)^*e^*, \frac{\dd^+}{\dd t}U(t) \right\rangle. \end{align*} Para continuar, queremos usar sobre el término -\[\left\langle \big (T(t^* - t)\big)^*e^*, \frac{\dd^+}{\dd t}U(t) \right\rangle\] +\[\left\langle \big (\mathrm{e}^{A(t^* - t)}\big)^*e^*, \frac{\dd^+}{\dd t}U(t) \right\rangle\] la igualdad \[\left \langle e^*, \frac{\dd^+}{\dd t}U(t)\right \rangle = \langle A^*e^*, U(t) \rangle.\] -Para ello, hay que probar que $\big(T(t^*-t)\big)^*e^*\in D(A^*)$, donde $e^* \in D(A^*)$. Tomando $e \in D(A)$: +Para ello, hay que probar que $\big(\mathrm{e}^{A(t^*-t)}\big)^*e^*\in D(A^*)$, donde $e^* \in D(A^*)$. Tomando $e \in D(A)$: -\[\Big\langle \big(T(t^*-t)\big)^*e^*, Ae \Big\rangle = \langle e^*, T(t^* - t)Ae \rangle = \langle A^*e^*, T(t^*-t)e\rangle,\] +\[\Big\langle \big(\mathrm{e}^{A(t^*-t)}\big)^*e^*, Ae \Big\rangle = \langle e^*, \mathrm{e}^{A(t^* - t)}Ae \rangle = \langle A^*e^*, \mathrm{e}^{A(t^*-t)}e\rangle,\] -y así, por definición de $D(A^*)$, se tiene que $\big(T(t^*-t)\big)^*e^*\in D(A^*)$ para cualquier $e^* \in D(A^*)$. +y así, por definición de $D(A^*)$, se tiene que $\big(\mathrm{e}^{A(t^*-t)}\big)^*e^*\in D(A^*)$ para cualquier $e^* \in D(A^*)$. Dicho eso, aplicamos la igualdad mencionada y obtenemos: \begin{align*} - \frac{\dd^+}{\dd t}\langle e^*, T(t^* - t)U(t) \rangle &= -\Big\langle A^*\big (T(t^* - t)\big)^*e^*, U(t) \Big\rangle + \left\langle \big (T(t^* - t)\big)^*e^*, \frac{\dd^+}{\dd t}U(t) \right\rangle\\ - &= -\Big\langle A^*\big (T(t^* - t)\big)^*e^*, U(t) \Big\rangle + \Big\langle A^*\big (T(t^* - t)\big)^*e^*, U(t) \Big\rangle\\ + \frac{\dd^+}{\dd t}\langle e^*, \mathrm{e}^{A(t^* - t)}U(t) \rangle &= -\Big\langle A^*\big (\mathrm{e}^{A(t^* - t)}\big)^*e^*, U(t) \Big\rangle + \left\langle \big (\mathrm{e}^{A(t^* - t)}\big)^*e^*, \frac{\dd^+}{\dd t}U(t) \right\rangle\\ + &= -\Big\langle A^*\big (\mathrm{e}^{A(t^* - t)}\big)^*e^*, U(t) \Big\rangle + \Big\langle A^*\big (\mathrm{e}^{A(t^* - t)}\big)^*e^*, U(t) \Big\rangle\\ &= 0, \end{align*} -por lo que la función $t \mapsto \langle e^*, T(t^* - t)U(t) \rangle$ es constante y, como $U(t_0) = 0$, entonces es nula. Evaluándola en $t^* > t_0$ arbitrario: +por lo que la función $t \mapsto \langle e^*, \mathrm{e}^{A(t^* - t)}U(t) \rangle$ es constante y, como $U(t_0) = 0$, entonces es nula. Evaluándola en $t^* > t_0$ arbitrario: -\[\langle e^*, T(t^* - t^*)U(t^*)\rangle = \langle e^*, U(t^*) \rangle = 0 \ ; \ t^* \in (t_0, \infty).\] +\[\langle e^*, \mathrm{e}^{A(t^* - t^*)}U(t^*)\rangle = \langle e^*, U(t^*) \rangle = 0 \ ; \ t^* \in (t_0, \infty).\] -Por ser cierto para todo $e^* \in D(A^*)$, lo anterior implica que $U(t^*) = 0$ para todo $t^* \in [t_0, \infty)$ (hace falta una sutileza argumentativa en este punto que se puede encontrar en la prueba del Teorema \eqref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels}; sin embargo, dado que estamos en una introducción, nos permitimos seguir sin ella). Así, $u(s) = 0$ para todo $s \in [t_0, \infty)$, lo cual prueba la unicidad de soluciones. +Por ser cierto para todo $e^* \in D(A^*)$, lo anterior implica que $U(t^*) = 0$ para todo $t^* \in [t_0, \infty)$ (hace falta una sutileza argumentativa en este punto que se puede encontrar en la prueba del Teorema \ref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels}; sin embargo, dado que estamos en una introducción, nos permitimos seguir sin ella). Así, $u(s) = 0$ para todo $s \in [t_0, \infty)$, lo cual prueba la unicidad de soluciones. De todo lo anterior se obtiene entonces que, de existir, tanto las soluciones débiles como las fuertes del problema \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica} son de la forma \begin{align} \label{Hom:FormaSoluciones} - e(t) = T(t-t_0)e_0, + e(t) = \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0, \end{align} -donde $T(t)$ es el semigrupo fuertemente continuo generado por $A$ y $e_0$ el dato inicial del problema homogéneo. +donde $\mathrm{e}^{At}$ es el semigrupo fuertemente continuo generado por $A$ y $e_0$ el dato inicial del problema homogéneo. Nos hacemos ahora la siguiente pregunta sobre la regularidad de las soluciones débiles: ¿Bajo qué condiciones una solución débil pasa a ser una solución fuerte? Veamos que una solución débil es, en realidad, una solución fuerte cuando el dato inicial $e_0$ pertenece a $D(A)$. Para ello, debemos comprobar que si $e$ es una solución débil al problema, entonces $e(t) \in D(A)$ para todo instante $t$, $e$ satisface \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica} y $e$ es continuamente diferenciable. -Que $e(t) \in D(A)$ para todo instante $t$ es trivial, pues sabemos por \eqref{Hom:FormaSoluciones} que $e(t) = T(t-t_0)e_0$, y como $e_0 \in D(A)$ entonces se tiene el resultado. Por otro lado, $t \mapsto e(t)$ es continua por continuidad del semigrupo $T(t)$. Veamos ahora que $e$ satisface \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica}: +Que $e(t) \in D(A)$ para todo instante $t$ es trivial, pues sabemos por \eqref{Hom:FormaSoluciones} que $e(t) = \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0$, y como $e_0 \in D(A)$ entonces se tiene el resultado. Por otro lado, $t \mapsto e(t)$ es continua por continuidad del semigrupo $\mathrm{e}^{At}$. Veamos ahora que $e$ satisface \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica}: \begin{align*} - \frac{\dd^+}{\dd t}e(t) = \frac{\dd^+}{\dd t}T(t-t_0)e_0 = AT(t-t_0)e_0 = Ae(t), + \frac{\dd^+}{\dd t}e(t) = \frac{\dd^+}{\dd t}\mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0 = A\mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0 = Ae(t), \end{align*} por lo que $e$ satisface \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica}. Por último, debemos comprobar que la derivada de $e$ es continua. Para ello, usamos la conmutatividad del semigrupo con el generador y obtenemos: -\[\frac{\dd^+}{\dd t}e(t) = AT(t-t_0)e_0 = T(t-t_0)Ae_0,\] +\[\frac{\dd^+}{\dd t}e(t) = A\mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0 = \mathrm{e}^{A(t-t_0)}Ae_0,\] y como $Ae_0 \in E_0$ es un elemento del espacio cualquiera, entonces volvemos a invocar la continuidad del semigrupo y se tiene inexorablemente que la derivada es continua. En consecuencia, una solución débil con un dato inicial regular dan como resultado una solución fuerte. @@ -224,7 +226,7 @@ \section{Introducción: Problema de Cauchy homogéneo} Exigiendo menos propiedades del operador $A$, en \cite[Cap.~4, \S 1]{pazy-1983-sem-lin-ope} se comenta cómo podemos obtener soluciones incluso en ecuaciones de evolución de la forma \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica} donde $A$ no es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo; sin embargo, y continuando con la cita al texto referenciado, para obtener la existencia y unicidad de soluciones diferenciables en $[0, \infty)$ cuyo dato inicial $e_0$ pertenezca a $D(A)$, es necesario asumir que $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo. Esto, junto con todo el estudio anterior, da pie al siguiente teorema:\\ -\begin{Teorema}{(Existencia y unicidad de soluciones del problema de Cauchy homogéneo)} +\begin{Teorema}[Existencia y unicidad de soluciones del problema de Cauchy homogéneo] \label{cauchy:hom:ExistenciaYUnicidadFuerte} Sea $A$ un operador lineal densamente definido con conjunto resolvente $\rho(A)$ no vacío. El problema de valor inicial \eqref{ch:cauchy:section:Hom:eqBasica} tiene, para cada dato inicial $e_0 \in D(A)$, una única solución $e(t)$ que es continuamente diferenciable en $[0, \infty)$ si y sólo si $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo. @@ -239,19 +241,21 @@ \section{Introducción: Problema de Cauchy homogéneo} \section{Problema de Cauchy no homogéneo} \label{ch:cauchy:section:noHom} -En esta sección estudiaremos problemas de Cauchy (es decir, problemas de valor inicial) en un espacio de Banach $E_0$ para ecuaciones lineales no homogéneas de la forma:\textcolor{red}{ARREGLAR EL LABEL} +En esta sección estudiaremos problemas de Cauchy (es decir, problemas de valor inicial) en un espacio de Banach $E_0$ para ecuaciones lineales no homogéneas de la forma: -\begin{align} +\begin{equation} \label{ch:cauchy:section:noHom:eqBasica} - \frac{\dd e}{\dd t} &= Ae + f(t), \quad t_0 < t < t_1\\ - e(t_0) &= e_0 \in E_0, -\end{align} + \begin{aligned} + \frac{\dd e}{\dd t} &= Ae + f(t), \quad t_0 < t < t_1,\\ + e(t_0) &= e_0 \in E_0, + \end{aligned} +\end{equation} \footnotetext{Esto es exclusivamente notación salvo que se indique lo contrario.} donde $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo $\{\mathrm{e}^{At} ; t \geq 0\} \subset L(E_0)$\footnotemark y $f : [t_0, t_1) \rightarrow E_0$ es una función continua por partes y continua por la derecha. Empezamos entonces por definir los tipos de soluciones que puede tener el problema \eqref{ch:cauchy:section:noHom:eqBasica}\\ -\begin{Definicion}{(Soluciones al problema de Cauchy no homogéneo)} +\begin{Definicion}[Soluciones al problema de Cauchy no homogéneo] \label{ch:cauchy:section:noHom:def:soluciones} \begin{enumerate}[label=\alph*)] @@ -277,7 +281,7 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} Veamos ahora dos definiciones que nos serán útiles tanto en el estudio de la existencia y unicidad de soluciones del problema \eqref{ch:cauchy:section:noHom:eqBasica}, como en el estudio de la densidad de dominios.\\ -\begin{Definicion}{(Subconjunto total y anulador)} +\begin{Definicion}[Subconjunto total y anulador] \label{ch:cauchy:section:noHom:def:totalYAnulador} Un subconjunto $S^* \subset E^*_0$ se dice \textit{total} si @@ -288,7 +292,7 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} Continuamos ahora con un Lema que nos permitirá clasificar el dominio del adjunto de un operador como total.\\ -\begin{Lema}{(Condición suficiente para que el dominio del adjunto sea total)} +\begin{Lema}[Condición suficiente para que el dominio del adjunto sea total] \label{ch:cauchy:section:noHom:lema:dominioAdjTotal} Si $A : D(A) \subset E_0 \rightarrow E_0$ es cerrado y densamente definido, entonces $D(A^*)$ es total. @@ -300,7 +304,7 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} Adentrándonos más en el terreno de las soluciones al problema de Cauchy abstracto planteado \eqref{ch:cauchy:section:noHom:eqBasica}, se presenta ahora un teorema que nos permitirá manipular de manera más simple las soluciones débiles (literalmente otorgándonos la forma que deben tener), así como establecer algunas relaciones entre soluciones fuertes y débiles.\\ -\begin{Teorema}{(Manipulación de soluciones débiles y relaciones entre soluciones débiles y fuertes)} +\begin{Teorema}[Manipulación de soluciones débiles y relaciones entre soluciones débiles y fuertes] \label{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels} \begin{enumerate} @@ -343,7 +347,7 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} \[e(t) = \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0 + \int_{t_0}^{t} \mathrm{e}^{A(t-s)}f(s)\, \dd s\] - y usaremos los resultados anteriores para calcular $\displaystyle\frac{\dd^+}{\dd t}\langle e^*, e(t) \rangle$ y comprobar que $e : [t_0, t_1) \rightarrow E_0$ es una solución débil (de acuerdo a la definición \eqref{ch:cauchy:section:noHom:def:soluciones} de solución débil). En efecto: + y usaremos los resultados anteriores para calcular $\displaystyle\frac{\dd^+}{\dd t}\langle e^*, e(t) \rangle$ y comprobar que $e : [t_0, t_1) \rightarrow E_0$ es una solución débil (de acuerdo a la definición \ref{ch:cauchy:section:noHom:def:soluciones} de solución débil). En efecto: \begin{align*} \frac{\dd^+}{\dd t} \Big \langle e^*, e(t) \Big \rangle &= \frac{\dd^+}{\dd t} \left \langle e^*, \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0 \right \rangle + \frac{\dd^+}{\dd t}\left \langle e^*, \int_{t_0}^t \mathrm{e}^{A(t-s)}f(s) \, \dd s \right \rangle\\ @@ -362,7 +366,7 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} =& \langle e^*, h f(t) \rangle + \left \langle \Big(\mathrm{(e^{Ah})^*} - I\Big) e^*, \int_{t_0}^{t}\mathrm{e}^{A(t - s)}f(s) \, \dd s \right \rangle + o(h)\\ \end{align*} - Para continuar, debemos tener en cuenta ahora que $A^*$ es el generador infinitesimal del semigrupo fuertemente continuo $\{T^\odot (t) = \big(T(t)\big)^* |_Y : t \geq 0 \}$ en $L(Y)$, con $Y = \overline{D(A^*)}^{E_0^*}$ \textcolor{red}{(CITAR)}. Luego, como $e^* \in Y$ (pues $e^* \in D(A^*)$), entonces + Para continuar, debemos tener en cuenta ahora que $A^*$ es el generador infinitesimal del semigrupo fuertemente continuo $\{T^\odot (t) = \big(\mathrm{e}^{At}\big)^* |_Y : t \geq 0 \}$ en $L(Y)$, con $Y = \overline{D(A^*)}^{E_0^*}$ \textcolor{red}{(CITAR)}. Luego, como $e^* \in Y$ (pues $e^* \in D(A^*)$), entonces \[A^* e^* = \frac{\Big(\mathrm{(e^{Ah})^*} - I\Big) e^*}{h} + o(h) \implies hA^*e^* + o(h) = \Big(\mathrm{(e^{Ah})^*} - I\Big) e^*,\] @@ -446,7 +450,7 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} \[\langle e^*, \mathrm{e}^{A(t^* - t^*)}U(t^*) \rangle = \langle e^*, U(t^*) \rangle = 0 \ ; \ t^* \in (t_0, t_1).\] - Como lo anterior es cierto para todo $e^* \in D(A^*)$, entonces $U(t^*) =0$. Esto lo sabemos porque $A$ es cerrado (pues es el generador de un semigrupo fuertemente continuo e invocando el teorema de Hille-Yosida \eqref{ch:semigrupos:th:HilleYosida}) se sigue que esto implica que es cerrado) y densamente definido. Ambas cosas implican, por el Lema \eqref{ch:cauchy:section:noHom:lema:dominioAdjTotal}, que $D(A^*)$ es total, por lo que $U(t^*) = 0$. + Como lo anterior es cierto para todo $e^* \in D(A^*)$, entonces $U(t^*) =0$. Esto lo sabemos porque $A$ es cerrado (pues es el generador de un semigrupo fuertemente continuo e invocando el teorema de Hille-Yosida \ref{ch:semigrupos:th:HilleYosida}) se sigue que esto implica que es cerrado) y densamente definido. Ambas cosas implican, por el Lema \ref{ch:cauchy:section:noHom:lema:dominioAdjTotal}, que $D(A^*)$ es total, por lo que $U(t^*) = 0$. Así, $u(s) = 0$ para todo $s \in (t_0, t_1)$. Esto prueba entonces la unicidad de soluciones y, junto con el punto tercero, también prueba el segundo punto. @@ -470,7 +474,7 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} A continuación, damos condiciones simples que aseguran la diferenciabilidad de una solución débil.\\ -\begin{Teorema}{(Condiciones de diferenciabilidad para soluciones débiles)} +\begin{Teorema}[Condiciones de diferenciabilidad para soluciones débiles] \label{ch:cauchy:section:noHom:th:conDiffSolDebil} Asúmanse $A$ y $f$ como antes, y sea $e : [t_0, t_1) \rightarrow E_0$ una solución débil de \eqref{ch:cauchy:section:noHom:eqBasica}. Si $e_0 \in D(A)$ y bien @@ -519,7 +523,7 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} que, de nuevo, implica que $\displaystyle \frac{\dd^+}{\dd t}u(t)$ existe y que $\displaystyle t \mapsto \frac{\dd^+}{\dd t}u(t)$ es continua. - Finalmente, por lo dicho al comienzo (entiéndase: que $t \mapsto \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0$ es de clase $C^1$ por ser $e_0$ un elemento de $D(A)$), se tiene que $\displaystyle \frac{\dd^+}{\dd t}e(t)$ existe (pues $\displaystyle \frac{\dd^+}{\dd t}e(t) = \frac{\dd^+}{\dd t}\Big(\mathrm{e}^{A(t - t_0)}e_0 \Big) + \frac{\dd^+}{\dd t}u(t)$) y $\displaystyle t \mapsto \frac{\dd^+}{\dd t}e(t)$ es continua. Así, por el cuarto punto del Teorema \eqref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels} + Finalmente, por lo dicho al comienzo (entiéndase: que $t \mapsto \mathrm{e}^{A(t-t_0)}e_0$ es de clase $C^1$ por ser $e_0$ un elemento de $D(A)$), se tiene que $\displaystyle \frac{\dd^+}{\dd t}e(t)$ existe (pues $\displaystyle \frac{\dd^+}{\dd t}e(t) = \frac{\dd^+}{\dd t}\Big(\mathrm{e}^{A(t - t_0)}e_0 \Big) + \frac{\dd^+}{\dd t}u(t)$) y $\displaystyle t \mapsto \frac{\dd^+}{\dd t}e(t)$ es continua. Así, por el cuarto punto del Teorema \ref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels} \[\frac{\dd^+}{\dd t}e(t) = Ae(t) + f(t) \ ; \ e(t) \in D(A), \] @@ -531,19 +535,21 @@ \section{Problema de Cauchy no homogéneo} \section{Problema de Cauchy semilineal, caso hiperbólico} \label{ch:cauchy:section:semilineal} -Similar a la sección anterior, en esta sección consideraremos el problema de valor inicial \textcolor{red}{ARREGLAR EL LABEL} +Similar a la sección anterior, en esta sección consideraremos el problema de valor inicial -\begin{align} +\begin{equation} \label{ch:cauchy:section:semilineal:eqBasica} - \frac{\dd e}{\dd t} &= Ae + f(t,e)\\ - e(t_0) &= e_0 \in E_0, -\end{align} + \begin{aligned} + \frac{\dd e}{\dd t} &= Ae + f(t,e),\\ + e(t_0) &= e_0 \in E_0, + \end{aligned} +\end{equation} donde $A$ es el generador de un semigrupo fuertemente continuo, $f$ es una función continua que está definida en un subconjunto $U$ de $\mathbb{R} \times E_0$ y toma valores en $E_0$. Además, $(t_0, e_0) \in U$. Siguiendo la misma estructura de la sección anterior, empezamos por definir los tipos de soluciones que puede tener el problema \eqref{ch:cauchy:section:semilineal:eqBasica}\\ -\begin{Definicion}{(Soluciones al problema de Cauchy semilineal, caso hiperbólico)} +\begin{Definicion}[Soluciones al problema de Cauchy semilineal, caso hiperbólico] \label{ch:cauchy:section:semilineal:def:soluciones} \begin{enumerate}[label=\alph*)] @@ -555,9 +561,9 @@ \section{Problema de Cauchy semilineal, caso hiperbólico} \end{enumerate} \end{Definicion} -Dada la definición anterior, enunciamos un Teorema análogo al Teorema \eqref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels}. Es decir, un Teorema que nos dará información sobre la forma de las soluciones débiles, su relación con las soluciones fuertes y algunas formas de manipularlas.\\ +Dada la definición anterior, enunciamos un Teorema análogo al Teorema \ref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels}. Es decir, un Teorema que nos dará información sobre la forma de las soluciones débiles, su relación con las soluciones fuertes y algunas formas de manipularlas.\\ -\begin{Teorema}{(Manipulación de soluciones débiles y relaciones entre soluciones débiles y fuertes)} +\begin{Teorema}[Manipulación de soluciones débiles y relaciones entre soluciones débiles y fuertes] \label{ch:cauchy:section:semilineal:th:solDebilYFuerteRels} \begin{enumerate} @@ -577,7 +583,7 @@ \section{Problema de Cauchy semilineal, caso hiperbólico} \end{Teorema} \begin{proof} - El razonamiento detrás de esta demostración se basa en reducir el problema semilineal al marco de trabajo del problema lineal estudiado previamente. En la sección anterior, el Teorema \eqref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels} establece las propiedades fundamentales para el problema de Cauchy lineal no homogéneo, cuya estructura es de la forma: + El razonamiento detrás de esta demostración se basa en reducir el problema semilineal al marco de trabajo del problema lineal estudiado previamente. En la sección anterior, el Teorema \ref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels} establece las propiedades fundamentales para el problema de Cauchy lineal no homogéneo, cuya estructura es de la forma: \[\frac{\dd}{\dd t}e(t) = Ae(t) + f(t)\] @@ -589,7 +595,7 @@ \section{Problema de Cauchy semilineal, caso hiperbólico} \[\frac{\dd}{\dd t}e(t) = Ae(t) + g(t)\] - Al realizar esta identificación, el problema semilineal adquiere exactamente la misma estructura que el problema lineal. Puesto que $g(t)$ satisface la condición de continuidad exigida sobre el término independiente en la sección anterior, todas las afirmaciones del Teorema \eqref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels} se heredan de manera inmediata. Esto incluye la equivalencia entre soluciones débiles y fuertes (bajo las condiciones de regularidad adecuadas) y la representación integral de la solución expresada en la ecuación \eqref{ch:cauchy:section:semilineal:th:solDebilYFuerteRels:2}, obtenida simplemente al reemplazar el término lineal por $f(s, e(s))$ en la integral. + Al realizar esta identificación, el problema semilineal adquiere exactamente la misma estructura que el problema lineal. Puesto que $g(t)$ satisface la condición de continuidad exigida sobre el término independiente en la sección anterior, todas las afirmaciones del Teorema \ref{ch:cauchy:section:noHom:th:solDebilYFuerteRels} se heredan de manera inmediata. Esto incluye la equivalencia entre soluciones débiles y fuertes (bajo las condiciones de regularidad adecuadas) y la representación integral de la solución expresada en la ecuación \eqref{ch:cauchy:section:semilineal:th:solDebilYFuerteRels:2}, obtenida simplemente al reemplazar el término lineal por $f(s, e(s))$ en la integral. \end{proof} \textcolor{red}{CONTINUAR????...} \ No newline at end of file diff --git a/secciones/cap_preliminares.tex b/secciones/cap_preliminares.tex index a31596c..af6c987 100644 --- a/secciones/cap_preliminares.tex +++ b/secciones/cap_preliminares.tex @@ -29,7 +29,7 @@ \section{Espacios normados y de Banach} de Banach y de Hilbert, se obtienen al añadir a esta estructura una hipótesis de completitud y, en el caso de Hilbert, un producto interno.\\ -\begin{Definicion}{(Espacio normado)} +\begin{Definicion}[Espacio normado] \label{ch:preliminares:def:espacioNormado} Sea $E$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$. Una \textit{norma} en $E$ es una @@ -50,7 +50,7 @@ \section{Espacios normados y de Banach} noción identifica aquellas que inducen la misma topología y, por tanto, las mismas nociones de convergencia y continuidad.\\ -\begin{Definicion}{(Normas equivalentes)} +\begin{Definicion}[Normas equivalentes] \label{ch:preliminares:def:normasEquivalentes} Dos normas $\lVert \cdot \rVert_1$ y $\lVert \cdot \rVert_2$ sobre un mismo @@ -73,7 +73,7 @@ \section{Espacios normados y de Banach} Fijada una norma, disponemos ya de una noción de proximidad y, con ella, de convergencia.\\ -\begin{Definicion}{(Convergencia en un espacio normado)} +\begin{Definicion}[Convergencia en un espacio normado] \label{ch:preliminares:def:convergencia} Sea $(E, \lVert \cdot \rVert)$ un espacio normado. Se dice que una sucesión @@ -86,7 +86,7 @@ \section{Espacios normados y de Banach} límite $e$ es único y se escribe $e_n \rightarrow e$. \end{Definicion} -\begin{Definicion}{(Sucesión de Cauchy)} +\begin{Definicion}[Sucesión de Cauchy] \label{ch:preliminares:def:cauchy} Sea $(E, \lVert \cdot \rVert)$ un espacio normado. Una sucesión @@ -99,7 +99,7 @@ \section{Espacios normados y de Banach} espacios en los que sí se cumple, y que resultan ser el marco adecuado para la teoría, reciben un nombre propio.\\ -\begin{Definicion}{(Espacio de Banach)} +\begin{Definicion}[Espacio de Banach] \label{ch:preliminares:def:banach} Un espacio normado $(E, \lVert \cdot \rVert)$ se dice \textit{completo}, o bien un @@ -124,7 +124,7 @@ \section{Operadores lineales} lineales. En dimensión infinita, la linealidad ya no implica la continuidad, de modo que ambas propiedades deben tratarse por separado.\\ -\begin{Definicion}{(Operador lineal)} +\begin{Definicion}[Operador lineal] \label{ch:preliminares:def:operadorLineal} Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre $\mathbb{K}$. Una aplicación @@ -136,7 +136,7 @@ \section{Operadores lineales} Cuando $D(T) = E$, se dice que $T$ está \textit{definido en todo} $E$. \end{Definicion} -\begin{Definicion}{(Operador acotado, continuo y compacto)} +\begin{Definicion}[Operador acotado, continuo y compacto] \label{ch:preliminares:def:operadorAcotado} Sean $E$ y $F$ espacios normados y $T : E \rightarrow F$ un operador lineal. Se @@ -159,7 +159,7 @@ \section{Operadores lineales} vez una estructura de espacio normado; esta construcción es la que sostiene, en particular, la teoría de semigrupos del Capítulo \ref{ch:semigrupos}.\\ -\begin{Definicion}{(Espacio de operadores lineales acotados)} +\begin{Definicion}[Espacio de operadores lineales acotados] \label{ch:preliminares:def:espacioOperadores} Sean $E$ y $F$ dos espacios normados sobre $\mathbb{K}$. Se denota por $L(E, F)$ @@ -177,7 +177,7 @@ \section{Operadores lineales} las nociones de continuidad y de acotación coinciden, y que basta comprobar la continuidad en el origen.\\ -\begin{Teorema}{(Continuidad y acotación de operadores lineales)} +\begin{Teorema}[Continuidad y acotación de operadores lineales] \label{ch:preliminares:th:continuoAcotado} Sean $E$ y $F$ espacios normados y $T : E \rightarrow F$ un operador lineal. @@ -220,7 +220,7 @@ \section{Operadores lineales} la que se enuncien más adelante las inmersiones de Sobolev (Sección \ref{ch:preliminares:section:sobolev}).\\ -\begin{Definicion}{(Inmersión continua)} +\begin{Definicion}[Inmersión continua] \label{ch:preliminares:def:inmersion} Sean $(E, \lVert \cdot \rVert_E)$ y $(F, \lVert \cdot \rVert_F)$ dos espacios @@ -234,7 +234,7 @@ \section{Operadores lineales} Antes de finalizar la sección, refinamos ligeramente la definición anterior motivados, de nuevo, por las inmersiones de Sobolev que enunciaremos luego (Sección \ref{ch:preliminares:section:sobolev}); más específicamente, este refinamiento será útil para algunos casos concretos de las inmersiones. Así, pues, definimos la inmersión compacta:\\ -\begin{Definicion}{(Inmersión compacta)} +\begin{Definicion}[Inmersión compacta] \label{ch:preliminares:def:inmersionCompacta} Sean $(E, \lVert \cdot \rVert_E)$ y $(F, \lVert \cdot \rVert_F)$ dos espacios @@ -250,7 +250,7 @@ \section{Espacios duales y reflexividad} llegada el propio cuerpo de escalares, da lugar al espacio dual, cuya importancia en el estudio de los operadores es difícil de exagerar.\\ -\begin{Definicion}{(Espacio dual)} +\begin{Definicion}[Espacio dual] \label{ch:preliminares:def:dual} Sea $E$ un espacio normado sobre $\mathbb{K}$. Su \textit{dual topológico} es el @@ -268,7 +268,7 @@ \section{Espacios duales y reflexividad} La aplicación que envía cada elemento de un espacio a su evaluación sobre los funcionales del dual permite comparar un espacio con su bidual.\\ -\begin{Definicion}{(Espacio reflexivo)} +\begin{Definicion}[Espacio reflexivo] \label{ch:preliminares:def:reflexivo} Sea $E$ un espacio de Banach y sea $J : E \rightarrow E^{**}$ la @@ -284,7 +284,7 @@ \section{Espacios duales y reflexividad} esencial en la caracterización de los operadores disipativos (Definición \ref{ch:semigrupos:def:OpDisipativo}).\\ -\begin{Definicion}{(Aplicación de dualidad)} +\begin{Definicion}[Aplicación de dualidad] \label{ch:preliminares:def:dualidad} Sea $E$ un espacio de Banach sobre $\mathbb{K}$. La \textit{aplicación de @@ -305,7 +305,7 @@ \section{Espacios de Hilbert} norma inducida por dicho producto, constituyen el marco natural de gran parte del texto.\\ -\begin{Definicion}{(Producto interno)} +\begin{Definicion}[Producto interno] \label{ch:preliminares:def:productoInterno} Sea $H$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$. Un \textit{producto interno} en @@ -323,7 +323,7 @@ \section{Espacios de Hilbert} define una norma sobre $H$, la \textit{norma inducida} por el producto interno. \end{Definicion} -\begin{Proposicion}{(Propiedades del producto interno)} +\begin{Proposicion}[Propiedades del producto interno] \label{ch:preliminares:prop:propProductoInterno} Sea $(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ un espacio prehilbertiano con norma @@ -357,7 +357,7 @@ \section{Espacios de Hilbert} pues $(\lVert e_n \rVert)$ es acotada por ser convergente. \end{proof} -\begin{Definicion}{(Espacio de Hilbert)} +\begin{Definicion}[Espacio de Hilbert] \label{ch:preliminares:def:hilbert} Un espacio prehilbertiano $(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ que es completo @@ -370,7 +370,7 @@ \section{Espacios de Hilbert} empleará en el estudio de la energía de los sistemas de Timoshenko (Capítulo \ref{ch:teoriaVigas}).\\ -\begin{Proposicion}{(Suma directa de espacios de Hilbert)} +\begin{Proposicion}[Suma directa de espacios de Hilbert] \label{ch:preliminares:prop:sumaDirecta} Sean $H_1, H_2, \ldots$ espacios de Hilbert sobre $\mathbb{K}$. El espacio @@ -389,7 +389,7 @@ \section{Espacios de Hilbert} lugares, al justificar la notación del producto escalar mediante la dualidad (Capítulo \ref{ch:semigrupos}).\\ -\begin{Teorema}{(Representación de Riesz-Fréchet)} +\begin{Teorema}[Representación de Riesz-Fréchet] \label{ch:preliminares:th:rieszFrechet} Sea $H$ un espacio de Hilbert real y sea $\varphi \in H^*$. Entonces existe un @@ -411,7 +411,7 @@ \section{Espacios de Hilbert} disipatividad en espacios reflexivos (Teorema \ref{ch:semigrupos:th:DisipYReflex}).\\ -\begin{Teorema}{(Todo espacio de Hilbert es reflexivo)} +\begin{Teorema}[Todo espacio de Hilbert es reflexivo] \label{ch:preliminares:th:hilbertReflexivo} Todo espacio de Hilbert $H$ es reflexivo. @@ -451,7 +451,7 @@ \section{Espacios $L^p$ y de Sobolev} \subsection{Espacios $L^p$} \label{ch:preliminares:subsection:Lp} -\begin{Definicion}{(Exponentes conjugados)} +\begin{Definicion}[Exponentes conjugados] \label{ch:preliminares:def:conjugados} Sea $p \in [1, \infty]$. Se llama \textit{exponente conjugado} de $p$ al único @@ -462,7 +462,7 @@ \subsection{Espacios $L^p$} con los convenios $1' = \infty$ y $\infty' = 1$. \end{Definicion} -\begin{Definicion}{(Espacio $L^p$)} +\begin{Definicion}[Espacio $L^p$] \label{ch:preliminares:def:Lp} Sea $p \in [1, \infty)$. Se define $L^p(\Omega)$ como el espacio de (clases de @@ -486,7 +486,7 @@ \subsection{Espacios $L^p$} (\cite[Teorema~4.6]{brezis-2011-fun-ana-sob}), cuya demostración descansa a su vez en la siguiente desigualdad numérica.\\ -\begin{Proposicion}{(Desigualdad de Young)} +\begin{Proposicion}[Desigualdad de Young] \label{ch:preliminares:prop:young} Sean $a, b \geq 0$ y $p, p' \in (1, \infty)$ exponentes conjugados. Entonces @@ -503,7 +503,7 @@ \subsection{Espacios $L^p$} y basta aplicar la monotonía de la exponencial. \end{proof} -\begin{Proposicion}{(Desigualdad de Young generalizada)} +\begin{Proposicion}[Desigualdad de Young generalizada] \label{ch:preliminares:prop:youngGen} Sean $a, b \geq 0$, $p, p' \in (1, \infty)$ exponentes conjugados y @@ -525,7 +525,7 @@ \subsection{Espacios $L^p$} aproximación, es que las funciones regulares con soporte compacto son densas en $L^p$ para $p$ finito.\\ -\begin{Proposicion}{(Densidad de $C_c$ en $L^p$)} +\begin{Proposicion}[Densidad de $C_c$ en $L^p$] \label{ch:preliminares:prop:densidadCc} Sea $\Omega \subseteq \R^N$ un abierto y $p \in [1, \infty)$. Entonces el espacio @@ -537,7 +537,7 @@ \subsection{Espacios $L^p$} Véase \cite[Teorema~4.12]{brezis-2011-fun-ana-sob}. \end{proof} -\begin{Proposicion}{(Densidad de $C_c^\infty$ en $L^p$)} +\begin{Proposicion}[Densidad de $C_c^\infty$ en $L^p$] \label{ch:preliminares:prop:densidadCcInf} Sea $\Omega \subseteq \R^N$ un abierto y $p \in [1, \infty)$. Entonces el espacio @@ -556,7 +556,7 @@ \subsection{Espacios de Sobolev} sustituir la derivada clásica por una noción más débil, compatible con la integración por partes. Comenzamos, pues, recordando la derivada débil.\\ -\begin{Definicion}{(Derivada débil)} +\begin{Definicion}[Derivada débil] \label{ch:preliminares:def:derivadaDebil} Sea $\Omega \subseteq \R^N$ un abierto y $u \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$. Se @@ -569,7 +569,7 @@ \subsection{Espacios de Sobolev} $\partial_{x_i} u := g_i$. \end{Definicion} -\begin{Definicion}{(Espacio de Sobolev)} +\begin{Definicion}[Espacio de Sobolev] \label{ch:preliminares:def:sobolev} Sea $\Omega \subseteq \R^N$ un abierto y $p \in [1, \infty]$. El \textit{espacio @@ -584,7 +584,7 @@ \subsection{Espacios de Sobolev} $p = 2$ se escribe $H^1(\Omega) := W^{1,2}(\Omega)$. \end{Definicion} -\begin{Proposicion}{($H^1$ es un espacio de Hilbert)} +\begin{Proposicion}[$H^1$ es un espacio de Hilbert] \label{ch:preliminares:prop:H1Hilbert} Para todo $p \in [1, \infty]$, $W^{1,p}(\Omega)$ es un espacio de Banach. Además, @@ -600,7 +600,7 @@ \subsection{Espacios de Sobolev} Para imponer condiciones de contorno de tipo Dirichlet se recurre al subespacio de funciones que se anulan, en un sentido débil, sobre la frontera.\\ -\begin{Definicion}{($H_0^1$ y $W_0^{1,p}$)} +\begin{Definicion}[$H_0^1$ y $W_0^{1,p}$] \label{ch:preliminares:def:H01} Sea $\Omega \subseteq \R^N$ un abierto y $p \in [1, \infty)$. Se define @@ -609,7 +609,7 @@ \subsection{Espacios de Sobolev} $H_0^1(\Omega) := W_0^{1,2}(\Omega)$. \end{Definicion} -\begin{Lema}{(Densidad de $W_0^{1,p}$ en $L^p$)} +\begin{Lema}[Densidad de $W_0^{1,p}$ en $L^p$] \label{ch:preliminares:lema:W0denso} Sea $\Omega \subseteq \R^N$ un abierto y $p \in [1, \infty)$. Entonces @@ -627,7 +627,7 @@ \subsection{Espacios de Sobolev} funciones de mejor regularidad o mayor integrabilidad, es esencial en las estimaciones de energía del Capítulo \ref{ch:teoriaVigas}.\\ -\begin{Teorema}{(Inmersiones de Sobolev)} +\begin{Teorema}[Inmersiones de Sobolev] \label{ch:preliminares:th:inmersionesSobolev} Sea $\Omega \subseteq \R^N$ un abierto con frontera suficientemente regular @@ -661,7 +661,7 @@ \subsection{Espacios de Sobolev} intervienen al comprobar que el operador de Timoshenko tiene resolvente compacto (Capítulo \ref{ch:TimoshenkoFric}).\\ -\begin{Proposicion}{(Inmersiones compactas en un intervalo acotado)} +\begin{Proposicion}[Inmersiones compactas en un intervalo acotado] \label{ch:preliminares:prop:inmersionesCompactasIntervalo} Sea $I \subseteq \R$ un intervalo acotado. Entonces @@ -707,7 +707,7 @@ \subsection{Espacios de Sobolev} distribucional del teorema clásico de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.\\ -\begin{Teorema}{(Teorema de Schwarz distribucional)} +\begin{Teorema}[Teorema de Schwarz distribucional] \label{ch:preliminares:th:schwarz} Sea $\Omega \subseteq \R^N$ un abierto y $u \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ tal @@ -740,7 +740,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} funcionales lineales continuos con propiedades prescritas y es el que dota de contenido a la teoría de la dualidad.\\ -\begin{Teorema}{(Teorema de Hahn-Banach, forma analítica)} +\begin{Teorema}[Teorema de Hahn-Banach, forma analítica] \label{ch:preliminares:th:hahnBanach} Sea $E$ un espacio vectorial sobre $\R$ y $p : E \rightarrow \R$ una aplicación @@ -755,7 +755,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} Véase \cite[Teorema~1.1]{brezis-2011-fun-ana-sob}. \end{proof} -\begin{Corolario}{(Corolario del teorema de Hahn-Banach)} +\begin{Corolario}[Corolario del teorema de Hahn-Banach] \label{ch:preliminares:cor:hahnBanach} Sea $E$ un espacio de Banach y $F \subseteq E$ un subespacio lineal con @@ -783,7 +783,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} El teorema de Baire es la herramienta común a los tres resultados que siguen.\\ -\begin{Teorema}{(Teorema de Baire)} +\begin{Teorema}[Teorema de Baire] \label{ch:preliminares:th:baire} Sea $X$ un espacio métrico completo no vacío y $(X_n)_{n \geq 1}$ una sucesión de @@ -799,7 +799,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} El principio de acotación uniforme afirma que una familia de operadores acotada puntualmente lo está también uniformemente.\\ -\begin{Teorema}{(Teorema de Banach-Steinhaus)} +\begin{Teorema}[Teorema de Banach-Steinhaus] \label{ch:preliminares:th:banachSteinhaus} Sean $E$ y $F$ espacios de Banach y $(T_i)_{i \in I} \subseteq L(E, F)$ una @@ -820,7 +820,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} (Teorema \ref{ch:preliminares:th:baire}), relacionan las propiedades algebraicas de un operador con su continuidad.\\ -\begin{Teorema}{(Teorema de la aplicación abierta)} +\begin{Teorema}[Teorema de la aplicación abierta] \label{ch:preliminares:th:aplicacionAbierta} Sean $E$ y $F$ espacios de Banach y $T \in L(E, F)$ un operador suprayectivo. @@ -836,7 +836,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} cerrado, central en el tratamiento de los generadores infinitesimales, que en general no son continuos.\\ -\begin{Definicion}{(Operador cerrado y operador cerrable)} +\begin{Definicion}[Operador cerrado y operador cerrable] \label{ch:preliminares:def:cerrado} Sean $E$ y $F$ espacios de Banach y $T : D(T) \subseteq E \rightarrow F$ un @@ -849,7 +849,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} es su \textit{clausura} $\overline{T}$, cuyo gráfico es $\overline{G(T)}$. \end{Definicion} -\begin{Teorema}{(Teorema del gráfico cerrado)} +\begin{Teorema}[Teorema del gráfico cerrado] \label{ch:preliminares:th:graficoCerrado} Sean $E$ y $F$ espacios de Banach y $T : E \rightarrow F$ un operador lineal @@ -864,7 +864,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} operadores disipativos (Teorema \ref{ch:semigrupos:th:PropsOpDisipativos}), admite una prueba directa.\\ -\begin{Proposicion}{(Caracterización de operadores cerrables)} +\begin{Proposicion}[Caracterización de operadores cerrables] \label{ch:preliminares:prop:cerrable} Sean $E$ y $F$ espacios de Banach y $T : D(T) \subseteq E \rightarrow F$ un @@ -892,7 +892,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} El teorema de Banach-Alaoglu proporciona la compacidad que suple, en dimensión infinita, la ausencia de compacidad de la bola unidad en la topología fuerte.\\ -\begin{Teorema}{(Teorema de Banach-Alaoglu)} +\begin{Teorema}[Teorema de Banach-Alaoglu] \label{ch:preliminares:th:banachAlaoglu} Sea $E$ un espacio de Banach. La bola unidad cerrada @@ -913,7 +913,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} se emplea al probar que un operador disipativo con imagen densa está densamente definido (Teorema \ref{ch:semigrupos:th:DisipYReflex}).\\ -\begin{Teorema}{(Compacidad débil sucesional y operadores cerrados)} +\begin{Teorema}[Compacidad débil sucesional y operadores cerrados] \label{ch:preliminares:th:compacidadDebilCerrado} Sea $E$ un espacio de Banach reflexivo. @@ -952,7 +952,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} En el marco hilbertiano, el teorema de Lax-Milgram resuelve formas bilineales coercivas y es la herramienta habitual para las formulaciones variacionales.\\ -\begin{Teorema}{(Teorema de Lax-Milgram)} +\begin{Teorema}[Teorema de Lax-Milgram] \label{ch:preliminares:th:laxMilgram} Sea $H$ un espacio de Hilbert real y $a : H \times H \rightarrow \R$ una forma @@ -974,7 +974,7 @@ \section{Teoremas fundamentales del análisis funcional} su gradiente sobre dominios acotados, y es la que confiere coercividad a las formas asociadas al operador de Timoshenko.\\ -\begin{Teorema}{(Desigualdad de Poincaré)} +\begin{Teorema}[Desigualdad de Poincaré] \label{ch:preliminares:th:poincare} \begin{enumerate} @@ -1013,7 +1013,7 @@ \section{Resultados de teoría de la medida} imprescindible al derivar e integrar las órbitas $t \mapsto T(t)e$ de un semigrupo. -\begin{Teorema}{(Convergencia dominada de Lebesgue)} +\begin{Teorema}[Convergencia dominada de Lebesgue] \label{ch:preliminares:th:dominada} Sea $(\Omega, \Sigma, \mu)$ un espacio de medida y $(f_n)_{n \geq 1}$ una sucesión @@ -1039,7 +1039,7 @@ \section{Resultados de teoría de la medida} integral es la de Bochner. El primer resultado la reduce, en la práctica, a una condición de integrabilidad escalar.\\ -\begin{Teorema}{(Integrabilidad de Bochner)} +\begin{Teorema}[Integrabilidad de Bochner] \label{ch:preliminares:th:bochner} Sean $(\Omega, \Sigma, \mu)$ un espacio de medida finita, $X$ un espacio de @@ -1058,7 +1058,7 @@ \section{Resultados de teoría de la medida} enteramente análogo al escalar, que es el que legitima los intercambios de límite e integral en las órbitas de un semigrupo.\\ -\begin{Teorema}{(Convergencia dominada para la integral de Bochner)} +\begin{Teorema}[Convergencia dominada para la integral de Bochner] \label{ch:preliminares:th:bochnerDominada} Sean $X$ un espacio de Banach, $f : \Omega \rightarrow X$ fuertemente medible y diff --git a/secciones/cap_semigrupos.tex b/secciones/cap_semigrupos.tex index da53fa8..d406bbf 100644 --- a/secciones/cap_semigrupos.tex +++ b/secciones/cap_semigrupos.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} \footnotetext{Por el Teorema de representación de Riesz-Fréchet \ref{ch:preliminares:th:rieszFrechet}, todo espacio de Hilbert $H$ se identifica isométricamente con su dual $H^*$, de modo que emplearemos esta misma notación para el producto escalar de $H$.} Demos inicio a esta sección definiendo el objeto matemático central de este capítulo: los \textit{semigrupos de operadores lineales}.\\ -\begin{Definicion}{(Semigrupo de operadores lineales)} +\begin{Definicion}[Semigrupo de operadores lineales] \label{ch:semigrupos:def:semigrupo} Un \textit{semigrupo de operadores lineales} en $E_0$ es una familia de operadores de $L(E_0)$ indexados por un parámetro $t$, $\{T(t) : t \geq 0\} \subset L(E_0)$, tal que: @@ -39,7 +39,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} Veamos ahora que todo semigrupo fuertemente continuo posee una cota exponencial, la cual viene dada por el siguiente teorema.\\ -\begin{Teorema}{(Cota exponencial de semigrupos fuertemente continuos)} +\begin{Teorema}[Cota exponencial de semigrupos fuertemente continuos] \label{ch:semigrupos:th:cotaExp} Sea $\{T(t), t \geq 0 \} \subset L(E_0)$ un semigrupo fuertemente continuo. Entonces, existen $M \geq 1$ y $\beta$ tales que @@ -89,7 +89,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} Otro objeto clave en la teoría de semigrupos es el de \textit{generador infinitesimal}, que interpreta el papel de la ``derivada de un semigrupo''. Nos reservaremos esta clase de intuiciones para más adelante en el texto, y por el momento nos mantendremos en un marco abstracto y riguroso. Así, continuamos con la definición de generador infinitesimal:\\ -\begin{Definicion}{(Generador infinitesimal de semigrupos fuertemente continuos de operadores lineales)} +\begin{Definicion}[Generador infinitesimal de semigrupos fuertemente continuos de operadores lineales] \label{ch:semigrupos:def:generador} Sea $\{T(t), t \geq 0\} \subset L(E_0)$ un semigrupo fuertemente continuo de operadores lineales, entonces se denotará como su \textit{generador infinitesimal} al operador definido por @@ -103,7 +103,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} A continuación se recogen algunos hechos importantes sobre semigrupos fuertemente continuos.\\ -\begin{Teorema}{(Resultados sobre semigrupos fuertemente continuos)} +\begin{Teorema}[Resultados sobre semigrupos fuertemente continuos] \label{ch:semigrupos:th:resSemiFuerteCont} Sea $\{T(t), t \geq 0\}$ un semigrupo fuertemente continuo. Entonces: @@ -338,7 +338,7 @@ \section{Definiciones y resultados básicos} Terminamos esta sección con un resultado de unicidad:\\ -\begin{Teorema}{(Unicidad del semigrupo fuertemente continuo dado su generador)} +\begin{Teorema}[Unicidad del semigrupo fuertemente continuo dado su generador] \label{ch:semigrupos:th:unicidadSemigrupos} Sean $\{T(t), t\geq 0\}$ y $\{S(t), t\geq 0\}$ semigrupos fuertemente continuos con generadores infinitesimales $A$ y $B$ respectivamente. Si $A = B$, entonces $T(t) = S(t), \, t\geq 0$. @@ -367,7 +367,7 @@ \section{El teorema de Hille-Yosida} \textcolor{red}{PONER PARA QUÉ SIRVE ESTO} -\begin{Teorema}{(Teorema de Hille-Yosida)} +\begin{Teorema}[Teorema de Hille-Yosida] \label{ch:semigrupos:th:HilleYosida} Supongamos que $A : D(A) \subset E_0 \rightarrow E_0$ es un operador lineal. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: @@ -678,7 +678,7 @@ \section{El teorema de Hille-Yosida} \textcolor{red}{PONER AQUÍ QUE ESA NORMA ES EQUIVALENTE, ETC, Y QUE PERMITE PASAR A LA NORMA QUE HABILITA EL TEOREMA ANTERIOR}\\ -\begin{Teorema}{(Forma General del Teorema de Hille-Yosida)} +\begin{Teorema}[Forma General del Teorema de Hille-Yosida] \label{ch:semigrupos:th:HilleYosidaGeneral} Sea $A : D(A) \subset E_0 \rightarrow E_0$ un operador lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes @@ -775,7 +775,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \textcolor{red}{TEXTO TEXTO TEXTO}\\ -\begin{Teorema}{(Teorema de Lumer-Phillips)} +\begin{Teorema}[Teorema de Lumer-Phillips] \label{ch:semigrupos:th:LumerPhillips} Sea $A$ un operador lineal densamente definido en un espacio de Banach $E_0$. @@ -871,14 +871,12 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} Sea $H$ un espacio de Hilbert con producto escalar $\langle \cdot, \cdot \rangle_H$, entonces identificamos $H$ y $H^*$ y denotamos a ambos por $H$. \end{Definicion} -\textcolor{red}{METER AQUI UN SALTO DE LINEA}\\ \begin{Definicion}[Operador Auto-adjunto] \label{ch:semigrupos:def:OpAutoAdj} Sea $H$ un espacio de Hilbert con producto escalar $\langle \cdot, \cdot \rangle_H$. Un operador $A : D(A) \subset H \rightarrow H$ es simétrico si $\overline{D(A)} = H$ y $A \subset A^*$; esto es $\langle Ae, f \rangle_H = \langle e, Af \rangle_H$ para todo $e,f \in D(A)$. Se tiene que $A$ es auto-adjunto si $A = A^*$. \end{Definicion} -\textcolor{red}{METER AQUI UN SALTO DE LINEA}\\ \begin{Corolario} \label{ch:semigrupos:cor:CorolarioLumerPhillips} @@ -933,7 +931,7 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} En mucho ejemplos, la técnica utilizada para verificar que las estimativas espectrales necesarias para garantizar que un operador $A$ es el generador de un semigrupo fuertemente continuo de operadores se obtiene mediante el conocimiento de la llamada \textit{imagen numérica}, que se define a continuación. -\begin{Definicion}{(Imágen numérica de un operador)} +\begin{Definicion}[Imágen numérica de un operador] \label{ch:semigrupos:def:imgNumerica} Sea $A$ un operador lineal en un espacio de Banach complejo $E_0$. Se define la imágen numérica de $A$, $W(A)$, como el conjunto: @@ -945,9 +943,8 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \[W(A) = \Big \{\langle Ae, e\rangle : e \in D(A), \lVert e \rVert_{E_0} = 1 \Big \}.\] \end{Definicion} -\textcolor{red}{METER AQUI UN SALTO DE LINEA}\\ -\begin{Teorema}{(Relaciones entre $W(A)$ con $\lambda - A$)} +\begin{Teorema}[Relaciones entre $W(A)$ con $\lambda - A$] \label{ch:semigrupos:th:ImgNumerica} Sea $A : D(A) \subset E_0 \rightarrow E_0$ un operador cerrado densamente definido. Sea $W(A)$ la imágen numérica de $A$, y $\Sigma$ un subconjunto abierto y conexo en $\mathbb{C} \setminus W(A)$. Si $\lambda \not \in \overline{W(A)}$, entonces $\lambda - A$ es uno-a-uno (inyectiva) y su imagen $R(\lambda - A)$ es cerrada. Además satisface: @@ -1004,9 +1001,8 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} Finalmente, por un argumento idéntico al hecho en la prueba del punto $2$ del Teorema de Lumer-Phillips \ref{ch:semigrupos:th:LumerPhillips}, se tiene que $\lambda \in \rho(A)$ y, por lo tanto, $\rho(A) \cap \Sigma$ es cerrado en $\Sigma$. Se sigue entonces que $\rho(A) \cap \Sigma = \Sigma$; es decir, $\rho(A) \supset \Sigma$, como queríamos probar. \end{proof} -\textcolor{red}{METER AQUI UN SALTO DE LINEA}\\ -\begin{Proposicion}{(Un operador simétrico y sobreyectivo es auto-adjunto)} +\begin{Proposicion}[Un operador simétrico y sobreyectivo es auto-adjunto] \label{ch:semigrupos:prop:simetricoSobreyectivoAutoadjunto} Sea $H$ un espacio de Hilbert y $A : D(A) \subset H \rightarrow H$ un operador simétrico y sobreyectivo. Se tiene entonces que $A$ es auto-adjunto. \end{Proposicion} @@ -1049,9 +1045,8 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} Lo anterior se puede comprobar haciendo una representación gráfica de la situación geométrica y empleando trigonometría básica. Esto completa entonces la prueba. -\textcolor{red}{METER AQUI UN SALTO DE LINEA}\\ -\begin{Teorema}{Propiedades de los operadores disipativos} +\begin{Teorema}[Propiedades de los operadores disipativos] \label{ch:semigrupos:th:PropsOpDisipativos} Sea $A$ un operador disipativo en $E_0$, entonces: @@ -1113,9 +1108,8 @@ \section{El teorema de Lumer-Phillips} \end{proof} \footnotetext{Por el Teorema \ref{ch:preliminares:prop:cerrable}, se tiene que $A$ es cerrable sí y sólo si para cualquier sucesión $(e_n) \subset D(A)$ tal que $e_n \rightarrow 0$, y $Ae_n \rightarrow f \in E_0$, entonces $f = 0$.} -\textcolor{red}{METER AQUI UN SALTO DE LINEA}\\ -\begin{Teorema}{(Disipatividad y reflexividad)} +\begin{Teorema}[Disipatividad y reflexividad] \label{ch:semigrupos:th:DisipYReflex} Sea $A$ un operador disipativo con $R(I - A) = E_0$. Si $E_0$ es reflexivo\footnotemark, entonces $\overline{D(A)} = E_0$. @@ -1255,7 +1249,7 @@ \section{Semigrupo dual} \textcolor{red}{TEXTO}\\ -\begin{Definicion}{(Semigrupo dual)} +\begin{Definicion}[Semigrupo dual] \label{ch:semigrupos:section:dual:def:sgDual} Sea $\{T(t) : t \geq 0\}$ un $C_0$-semigrupo de operadores lineales. Se define el \textit{semigrupo dual} como $\{T(t)^* : t \geq 0\}$, donde $T(t)^*$ es el operador adjunto de $T(t)$. @@ -1295,7 +1289,7 @@ \section{Semigrupo dual} \textcolor{red}{TEXTO} -\begin{Definicion}{(Generador del semigrupo dual)} +\begin{Definicion}[Generador del semigrupo dual] \label{ch:semigrupos:section:dual:def:genSgDual} A pesar de que el semigrupo dual $\{T(t)^* : t \geq 0\}$ no es necesariamente fuertemente continuo en $E_0^*$, aún así se le puede asociar un generador. En efecto, definiendo: @@ -1319,7 +1313,7 @@ \section{Semigrupo dual} \textcolor{red}{TEXTO}\\ -\begin{Definicion}{(Parte de un operador en un subespacio)} +\begin{Definicion}[Parte de un operador en un subespacio] \label{ch:semigrupos:section:dual:def:parteDeSubesp} Sea $S$ un operador lineal en $E_0$, y sea $F_0$ un subespacio de $E_0$. El operador $\overline{S}$ definido por $D(\overline{S})$, donde @@ -1331,7 +1325,7 @@ \section{Semigrupo dual} \textcolor{red}{HABLAR DE CÓMO EL TEOREMA ARREGLA LOS PROBLEMAS CON EL SEMIGRUPO DUAL...}\\ -\begin{Teorema}{Semigrupo sun dual} +\begin{Teorema}[Semigrupo sun dual] \label{ch:semigrupos:section:dual:th:SunDual} Sea $\{T(t) : t \geq 0 \}$ un semigrupo fuertemente continuo en $E_0$ con generador infinitesimal $A$ y $\{T(t)^* : t \geq 0 \}$ el semigrupo dual. @@ -1375,7 +1369,7 @@ \section{Semigrupo dual} \textcolor{red}{TEXTO...}\\ -\begin{Corolario}{Semigrupo dual en espacio reflexivo} +\begin{Corolario}[Semigrupo dual en espacio reflexivo] \label{ch:semigrupos:section:dual:cor:dualReflex} Sea $E_0$ un espacio de Banach reflexivo y $\{T(t) : t \geq 0\}$ un $C_0$-semigrupo en $E_0$ con generador infinitesimal $A$. Entonces, el semigrupo dual $\{T(t)^* : t \geq 0\}$ de $\{T(t) : t \geq 0\}$ es un $C_0$-semigrupo cuyo generador infinitesimal es $A^*$. diff --git a/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex b/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex index da27879..c6918ef 100644 --- a/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex +++ b/secciones/cap_timoshenkoAmoritiguado.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \chapter{Sistema de Timoshenko con dos disipaciones friccionales} \label{ch:TimoshenkoFric} -En el capitulo anterior \eqref{ch:teoriaVigas} estudiamos dos modelos de vigas: en primer lugar, un modelo básico donde sólo se considera el desplazamiento vertical $\varphi$. Este es el modelo de Euler-Bernoulli, y es el punto de ataque inicial a la hora de enfrentarse a la teoría de vigas. En segundo lugar, estudiamos un modelo más complejo desarrollado por el ingeniero Stephen Timoshenko. Este modelo refina un poco más las hipótesis del modelo de Euler-Bernoulli e introduce otra variable: el ángulo de rotación de la sección trasversal $\psi$. +En el capitulo anterior \ref{ch:teoriaVigas} estudiamos dos modelos de vigas: en primer lugar, un modelo básico donde sólo se considera el desplazamiento vertical $\varphi$. Este es el modelo de Euler-Bernoulli, y es el punto de ataque inicial a la hora de enfrentarse a la teoría de vigas. En segundo lugar, estudiamos un modelo más complejo desarrollado por el ingeniero Stephen Timoshenko. Este modelo refina un poco más las hipótesis del modelo de Euler-Bernoulli e introduce otra variable: el ángulo de rotación de la sección trasversal $\psi$. Sin embargo, tal y como se pudo ver, el modelo básico de Timoshenko posee una peculiaridad que lo hace inviable cuando se trata de estudiar sistemas físicos de la realidad; y es que, según hemos demostrado (véase la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasico} y la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasicoRelajado}), el modelo es conservativo. En otras palabras, es incapaz de disipar la energía, lo cual se traduce físicamente en una viga que oscila infinitamente, intercambiando energía potencial por energía cinética eternamente. @@ -85,7 +85,7 @@ \section{Presentación del modelo} D(A) = \Big(H^2(0,L) \cap H_0^1(0,L) \Big) \times H_0^1(0,L) \times \Big(H^2(0,L) \cap H_0^1(0,L) \Big) \times H_0^1(0,L). \] -Adicionalmente, se tiene que el operador $A$ es densamente definido por lo demostrado en \eqref{ch:teoriaVigas:prop:AesDensamenteDef}; esto pues la prueba no depende del operador, sino de su dominio. +Adicionalmente, se tiene que el operador $A$ es densamente definido por lo demostrado en \ref{ch:teoriaVigas:prop:AesDensamenteDef}; esto pues la prueba no depende del operador, sino de su dominio. Con todo lo anterior, el sistema \eqref{pviTimoshenkoDosDispFracc} se plantea entonces como el siguiente problema abstracto de Cauchy homogéneo: @@ -204,11 +204,11 @@ \section{Energía del sistema} \section{Existencia y unicidad de soluciones} \label{ch:TimoshenkoFric:section:existUnicidad} -A estas alturas del texto, el mecanismo para probar la existencia y unicidad de soluciones al problema homogéneo \eqref{probCauchyHomTimoDosAmortigDesglosado} ya se puede inferir: probaremos, mediante el Teorema de Lumer-Phillips \eqref{ch:semigrupos:th:LumerPhillips}, que $A$ es el generador infinitesimal de un $C_0$-semigrupo de contracciones. Para ello, y al igual que en el capítulo anterior, debemos probar que $A$ es densamente definido (que, como ya hemos mencionado en la sección anterior, está demostrado en la Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:AesDensamenteDef} por no depender de $A$ sino de su dominio), que $A$ es un operador disipativo y que $I-A$ es un operador sobreyectivo. Sabiendo entonces que $A$ es un generador infinitesimal, la existencia y unicidad sigue inmediatamente. +A estas alturas del texto, el mecanismo para probar la existencia y unicidad de soluciones al problema homogéneo \eqref{probCauchyHomTimoDosAmortigDesglosado} ya se puede inferir: probaremos, mediante el Teorema de Lumer-Phillips \ref{ch:semigrupos:th:LumerPhillips}, que $A$ es el generador infinitesimal de un $C_0$-semigrupo de contracciones. Para ello, y al igual que en el capítulo anterior, debemos probar que $A$ es densamente definido (que, como ya hemos mencionado en la sección anterior, está demostrado en la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:AesDensamenteDef} por no depender de $A$ sino de su dominio), que $A$ es un operador disipativo y que $I-A$ es un operador sobreyectivo. Sabiendo entonces que $A$ es un generador infinitesimal, la existencia y unicidad sigue inmediatamente. Empezamos probando que $A$ es disipativo. -\begin{Proposicion}{(El operador $A$ es disipativo)} +\begin{Proposicion}[El operador $A$ es disipativo] \label{ch:TimoshenkoFric:prop:AesDisipativo} El operador $A : D(A) \rightarrow \mathcal{H}$ \eqref{operadorATimoDosAmortig} es disipativo. @@ -253,7 +253,7 @@ \section{Existencia y unicidad de soluciones} \textcolor{red}{TEXTO...} -\begin{Proposicion}{(El operador $(I - A)$ es sobreyectivo)} +\begin{Proposicion}[El operador $(I - A)$ es sobreyectivo] \label{ch:TimoshenkoFric:prop:ResolventeEsSobreyect} El operador $(I-A) : D(A) \rightarrow \mathcal{H}$ (véase en \eqref{operadorATimoDosAmortig} la definición del operador $A$) es sobreyectivo, o lo que es lo mismo, $R(I-A) = \mathcal{H}$. \end{Proposicion} @@ -325,7 +325,7 @@ \section{Existencia y unicidad de soluciones} \textcolor{red}{TEXTO} -\begin{Teorema}{(Existencia y unicidad de soluciones)} +\begin{Teorema}[Existencia y unicidad de soluciones] \label{ch:TimoshenkoFric:prop:existenciaYUnicidad} El problema de valor inicial \eqref{pviTimoshenkoDosDispFracc} (planteado también en \eqref{probCauchyHomTimoDosAmortigDesglosado} como un problema abstracto de Cauchy homogéneo) posee una única solución débil @@ -344,19 +344,19 @@ \section{Existencia y unicidad de soluciones} Por último, sin importar la regularidad de la solución se tiene que esta es de la forma - \[U(T) = T(t)U_0,\] + \[U(T) = \mathrm{e}^{At}U_0,\] - donde $T(t)$ es el semigrupo generado por $A$. + donde $\mathrm{e}^{At}$ es el semigrupo generado por $A$. \end{Teorema} \begin{proof} - Invocando el segundo punto del Teorema de Lumer-Phillips \eqref{ch:semigrupos:th:LumerPhillips} tenemos que, gracias a la Proposición \eqref{ch:TimoshenkoFric:prop:AesDisipativo} y a la Proposición \eqref{ch:TimoshenkoFric:prop:ResolventeEsSobreyect}, entonces $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones. + Invocando el segundo punto del Teorema de Lumer-Phillips \ref{ch:semigrupos:th:LumerPhillips} tenemos que, gracias a la Proposición \ref{ch:TimoshenkoFric:prop:AesDisipativo} y a la Proposición \ref{ch:TimoshenkoFric:prop:ResolventeEsSobreyect}, entonces $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones. Dado que $A$ es el generador de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones, y gracias a que el sistema de Timoshenko \eqref{pviTimoshenkoBasico} se puede plantear como un problema abstracto de Cauchy homogéneo tenemos que este siempre posee soluciones débiles (es decir, de clase $C\big([0,\infty);\mathcal{H}\big)$) únicas (por cada dato inicial del problema homogéneo $U_0$) de la forma - $U(t) = T(t)U_0,$ + $U(t) = \mathrm{e}^{At}U_0,$ - donde $T(t)$ es el semigrupo generado por $A$ (véase \ref{ch:cauchy:section:Hom}). Asimismo, si $U_0 \in D(A)$, entonces el Teorema \eqref{cauchy:hom:ExistenciaYUnicidadFuerte} garantiza que existe una única solución fuerte (entiéndase, de clase $C^1\big([0,\infty);\mathcal{H}\big) \cap C\big([0,\infty) ; D(A)\big)$) por cada dato inicial. + donde $\mathrm{e}^{At}$ es el semigrupo generado por $A$ (véase \ref{ch:cauchy:section:Hom}). Asimismo, si $U_0 \in D(A)$, entonces el Teorema \ref{cauchy:hom:ExistenciaYUnicidadFuerte} garantiza que existe una única solución fuerte (entiéndase, de clase $C^1\big([0,\infty);\mathcal{H}\big) \cap C\big([0,\infty) ; D(A)\big)$) por cada dato inicial. \end{proof} \textcolor{red}{TEXTO} @@ -366,7 +366,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución} \textcolor{red}{TEXTO...} -\begin{Teorema}{(Estabilidad exponencial del sistema)} +\begin{Teorema}[Estabilidad exponencial del sistema] \label{ch:TimoshenkoFric:th:compExponencial} Supongamos $\rho_1, \rho_2, b, k > 0$ y $\alpha, \beta > 0$. Considerando el funcional de energía $E(t)$ definido en \eqref{timoshenkoDosAmortig:funcionalEnergia}, entonces se tiene que existe una constante $\gamma_0 > 0$, independiente de los datos iniciales, tal que: @@ -377,7 +377,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución} \end{Teorema} \begin{proof} - Para esta prueba estaremos considerando una solución fuerte del problema homogéneo \eqref{probCauchyHomTimoDosAmortigDesglosado}, la cual sabemos que existe por el Teorema \eqref{ch:TimoshenkoFric:prop:existenciaYUnicidad} de la sección anterior. Extenderemos luego el resultado a cualquier tipo de solución mediante un argumento de densidad; sin embargo, por el momento nos limitamos a soluciones fuertes para poder derivar con propiedad los funcionales que estaremos estudiando. Así, pues, empezamos por definir el funcional: + Para esta prueba estaremos considerando una solución fuerte del problema homogéneo \eqref{probCauchyHomTimoDosAmortigDesglosado}, la cual sabemos que existe por el Teorema \ref{ch:TimoshenkoFric:prop:existenciaYUnicidad} de la sección anterior. Extenderemos luego el resultado a cualquier tipo de solución mediante un argumento de densidad; sin embargo, por el momento nos limitamos a soluciones fuertes para poder derivar con propiedad los funcionales que estaremos estudiando. Así, pues, empezamos por definir el funcional: \begin{align} \label{funcionalAuxiliarXi} @@ -620,7 +620,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución} E_\varepsilon^\prime(t) \leq -\gamma E(t), \ t > 0. \end{align} - Para probar este resultado, empecemos por recordar la Proposición \eqref{ch:timoshenkoFric:prop:DisipacionEnergia}. Esta dicta que: + Para probar este resultado, empecemos por recordar la Proposición \ref{ch:timoshenkoFric:prop:DisipacionEnergia}. Esta dicta que: \[\frac{\dd}{\dd t}E(t) = -\alpha\int_0^L \big(\varphi_t(x, t)\big)^2 \, \dd x -\beta\int_0^L \big(\psi_t(x, t)\big)^2 \, \dd x \leq 0.\] @@ -628,7 +628,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución} \[E^\prime_\varepsilon(t) = \frac{\dd}{\dd t}E(t) + \varepsilon\xi^\prime(t),\] - y, utilizando la Proposición \eqref{ch:timoshenkoFric:prop:DisipacionEnergia} y la cota dada en la afirmación anterior \eqref{afirmacion2}, se deduce: + y, utilizando la Proposición \ref{ch:timoshenkoFric:prop:DisipacionEnergia} y la cota dada en la afirmación anterior \eqref{afirmacion2}, se deduce: \begin{align*} E'_\varepsilon(t) &\leq -\alpha \lVert \varphi_t \rVert^2_{L^2} -\beta \lVert \psi_t \rVert^2_{L^2} \\ @@ -698,26 +698,26 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución} Consideremos ahora una sucesión de datos iniciales $\Big(U_0^{(n)}\Big) \subset D(A)$ del problema homogéneo \eqref{probCauchyHomTimoDosAmortigDesglosado} tal que $U_0^{(n)} \rightarrow U_0 \in \mathcal{H}$. Sabemos, por el Teorema de existencia y unicidad de soluciones \ref{ch:TimoshenkoFric:prop:existenciaYUnicidad}, que para cada $U_0^{(n)}$ existe una solución fuerte $U^{(n)} \in C^1\big([0, \infty); \mathcal{H}\big) \cap C\big([0,\infty);D(A)\big)$ tal que $U^{(n)}(0) = U_0^{(n)}$. Asimismo, también por el Teorema de existencia y unicidad, sabemos que existe una solución débil $U \in C\big([0,\infty); \mathcal{H}\big)$ para el dato inicial menos regular $U_0 \in \mathcal{H}$. - Invocando una vez más el Teorema de existencia y unicidad \ref{ch:TimoshenkoFric:prop:existenciaYUnicidad}, tenemos que si $T(t)$ es el $C_0$-semigrupo generado por $A$, entonces + Invocando una vez más el Teorema de existencia y unicidad \ref{ch:TimoshenkoFric:prop:existenciaYUnicidad}, tenemos que si $\mathrm{e}^{At}$ es el $C_0$-semigrupo generado por $A$, entonces - \[U^{(n)}(t) = T(t)U_0^{(n)} \ \text{y} \ U(t) = T(t)U_0,\] + \[U^{(n)}(t) = \mathrm{e}^{At}U_0^{(n)} \ \text{y} \ U(t) = \mathrm{e}^{At}U_0,\] y en consecuencia: \begin{alignat*}{2} \left\| U^{(n)}(t) - U(t) \right\|_{\mathcal H} - =& \left\| T(t)U_0^{(n)} - T(t)U_0 \right\|_{\mathcal H} \\[2mm] - =& \left\| T(t)\bigl(U_0^{(n)} - U_0\bigr) \right\|_{\mathcal H} - &\qquad& \text{por linealidad de } T(t), \\[2mm] + =& \left\| \mathrm{e}^{At}U_0^{(n)} - \mathrm{e}^{At}U_0 \right\|_{\mathcal H} \\[2mm] + =& \left\| \mathrm{e}^{At}\bigl(U_0^{(n)} - U_0\bigr) \right\|_{\mathcal H} + &\qquad& \text{por linealidad de } \mathrm{e}^{At}, \\[2mm] \leq& \left\| U_0^{(n)} - U_0 \right\|_{\mathcal H} \\ \longrightarrow & 0 && \text{porque } U^{(n)}_0 \rightarrow U_0, \end{alignat*} - para todo $t \geq 0$, y en consecuencia la sucesión $\Big(U^{(n)}(t)\Big)$ converge a $U(t)$ en $\mathcal{H}$. Nótese que la penúltima desigualdad del desarrollo anterior se deduce del hecho de que $T(t)$ es un $C_0$-semigrupo de contracciones (una vez más, por el Teorema de existencia y unicidad). En efecto, + para todo $t \geq 0$, y en consecuencia la sucesión $\Big(U^{(n)}(t)\Big)$ converge a $U(t)$ en $\mathcal{H}$. Nótese que la penúltima desigualdad del desarrollo anterior se deduce del hecho de que $\mathrm{e}^{At}$ es un $C_0$-semigrupo de contracciones (una vez más, por el Teorema de existencia y unicidad). En efecto, \begin{align*} - 1 \geq \lVert T \rVert_{L(\mathcal{H})} = \sup_{\substack{e \in \mathcal{H} \\ e \neq 0}} \frac{\lVert Te \rVert_{\mathcal{H}}}{\lVert e \rVert_{\mathcal{H}}} \geq \frac{\lVert Te \rVert_{\mathcal{H}}}{\lVert e \rVert_{\mathcal{H}}} \implies \lVert Te\rVert_{\mathcal{H}} \leq \lVert e\rVert_{\mathcal{H}}. + 1 \geq \lVert \mathrm{e}^{At} \rVert_{L(\mathcal{H})} = \sup_{\substack{e \in \mathcal{H} \\ e \neq 0}} \frac{\lVert \mathrm{e}^{At}e \rVert_{\mathcal{H}}}{\lVert e \rVert_{\mathcal{H}}} \geq \frac{\lVert \mathrm{e}^{At}e \rVert_{\mathcal{H}}}{\lVert e \rVert_{\mathcal{H}}} \implies \lVert \mathrm{e}^{At}e\rVert_{\mathcal{H}} \leq \lVert e\rVert_{\mathcal{H}}. \end{align*} Finalmente, utilizando el resultado sobre el decaimiento exponencial de la energía de las soluciones fuertes demostrado anteriormente: @@ -745,7 +745,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore \begin{proof} La Proposición \ref{ch:preliminares:prop:inmersionesCompactasIntervalo} da las inmersiones compactas $H^2(0,L) \overset{c}{\hookrightarrow} H^1(0,L)$ y $H^1(0,L) \overset{c}{\hookrightarrow} L^2(0,L)$. De ellas se obtienen las que necesitamos sobre los subespacios que aparecen en $D(A)$ y en $\mathcal{H}$. En efecto, la restricción de una inmersión compacta a un subespacio sigue siendo compacta, luego $H_0^1(0,L) \overset{c}{\hookrightarrow} L^2(0,L)$; y si $(u_n)$ es una sucesión acotada en $H^2(0,L) \cap H_0^1(0,L)$, entonces está acotada en $H^2(0,L)$ y admite una subsucesión convergente en $H^1(0,L)$, cuyo límite pertenece a $H_0^1(0,L)$ por ser este un subespacio cerrado de $H^1(0,L)$; esto es, $\big(H^2(0,L) \cap H^1_0(0,L)\big) \overset{c}{\hookrightarrow} H_0^1(0,L)$. Así, cada espacio del producto cartesiano en $D(A)$ está inmerso de manera compacta en su respectivo espacio de $\mathcal{H}$ y, en consecuencia, $D(A) \overset{c}{\hookrightarrow} \mathcal{H}$ con las normas usuales. - Queremos ahora aplicar la Proposición \eqref{ch:semigrupos:section:estExp:prop:compRes}, y para ello debemos probar que $D(A) \overset{c}{\hookrightarrow} \mathcal{H}$, donde $A$ está equipado con la norma de su gráfico, $G(A)$. Obtendremos esto probando que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big)$, y así se podrá concluir que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big) \overset{c}{\hookrightarrow} \big(\mathcal{H}, \lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}} \big)$; es decir, componiendo la inmersión continua con la compacta podremos concluir que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) \overset{c}{\hookrightarrow} \big(\mathcal{H}, \lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}}\big)$, que es lo que deseamos. + Queremos ahora aplicar la Proposición \ref{ch:semigrupos:section:estExp:prop:compRes}, y para ello debemos probar que $D(A) \overset{c}{\hookrightarrow} \mathcal{H}$, donde $A$ está equipado con la norma de su gráfico, $G(A)$. Obtendremos esto probando que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big)$, y así se podrá concluir que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big) \overset{c}{\hookrightarrow} \big(\mathcal{H}, \lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}} \big)$; es decir, componiendo la inmersión continua con la compacta podremos concluir que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) \overset{c}{\hookrightarrow} \big(\mathcal{H}, \lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}}\big)$, que es lo que deseamos. Para probar que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big)$ debemos demostrar que existe una constante $C$ tal que @@ -811,7 +811,7 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore lo cual prueba que $\big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{G(A)}\big) {\hookrightarrow} \big(D(A), \lVert \, \cdot \, \rVert_{D(A)}\big)$. - Lo anterior nos permite entonces utilizar la Proposición \eqref{ch:semigrupos:section:estExp:prop:compRes} (sabemos que $\rho(A) \neq \varnothing$ por la Proposición \ref{ch:TimoshenkoFric:prop:ResolventeEsSobreyect}, la cual nos asegura que $1 \in \rho(A)$) y, así, $A$ tiene resolvente compacto. Esto a su vez nos permite invocar el Corolario \ref{ch:semigrupos:section:estExp:cor:espectroResComp}, que nos asegura que el espectro de $A$, $\sigma(A)$, está formado exclusivamente por autovalores de $A$. + Lo anterior nos permite entonces utilizar la Proposición \ref{ch:semigrupos:section:estExp:prop:compRes} (sabemos que $\rho(A) \neq \varnothing$ por la Proposición \ref{ch:TimoshenkoFric:prop:ResolventeEsSobreyect}, la cual nos asegura que $1 \in \rho(A)$) y, así, $A$ tiene resolvente compacto. Esto a su vez nos permite invocar el Corolario \ref{ch:semigrupos:section:estExp:cor:espectroResComp}, que nos asegura que el espectro de $A$, $\sigma(A)$, está formado exclusivamente por autovalores de $A$. Proseguimos por contradicción. Supongamos que $i\mathbb{R} \not \subseteq \rho(A)$. En ese caso existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que $i\lambda \notin \rho(A)$, lo cual implica (por definición del conjunto resolvente) que $i\lambda \in \sigma(A)$; esto es, existe $U = (\varphi, \varphi_t, \psi, \psi_t) \in D(A)$ no nulo tal que @@ -1162,9 +1162,9 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore \end{Teorema} \begin{proof} - La prueba sigue inmediatamente de los Lemas \ref{ch:TimoshenkoFric:lemma:resolventeA} y \ref{ch:TimoshenkoFric:lemma:acotacionResolvente}, pues son las hipótesis del Teorema \ref{ch:semigrupos:section:estExp:th:estExpHilbert}. Así, como consecuencia directa de dicho Teorema (y dado que $\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert, como ya se ha recalcado en ocasiones anteriores), el semigrupo \textcolor{red}{$T(t)$} asociado al problema \eqref{probCauchyHomTimoDosAmortigDesglosado} es exponencialmente estable. Por lo tanto, + La prueba sigue inmediatamente de los Lemas \ref{ch:TimoshenkoFric:lemma:resolventeA} y \ref{ch:TimoshenkoFric:lemma:acotacionResolvente}, pues son las hipótesis del Teorema \ref{ch:semigrupos:section:estExp:th:estExpHilbert}. Así, como consecuencia directa de dicho Teorema (y dado que $\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert, como ya se ha recalcado en ocasiones anteriores), el semigrupo \textcolor{red}{$\mathrm{e}^{At}$} asociado al problema \eqref{probCauchyHomTimoDosAmortigDesglosado} es exponencialmente estable. Por lo tanto, - \[\textcolor{red}{U(t) = T(t)U_0}\] + \[U(t) = \mathrm{e}^{At}U_0\] es exponencialmente estable en $\mathcal{H}$ para cualquier dato inicial $U_0$. \end{proof} @@ -1178,9 +1178,9 @@ \section{Comportamiento asintótico de la solución vía semigrupos de operadore \[\frac{1}{2}\lVert U(t) \rVert_{\mathcal{H}}^2 = E(t) \leq 3E(0) \mathrm{e}^{-\gamma_0 t}, \ t > 0,\] - y como $\textcolor{red}{U(t) = T(t)U_0}$, entonces + y como $U(t) = \mathrm{e}^{At}U_0$, entonces - \[\lVert U(t) \rVert_{\mathcal{H}}^2 = \lVert \textcolor{red}{T(t) U_0} \rVert_{\mathcal{H}}^2 \leq 6\lVert U_0 \rVert_{\mathcal{H}}^2 \mathrm{e}^{-\gamma_0 t}, \ t > 0.\] + \[\lVert U(t) \rVert_{\mathcal{H}}^2 = \lVert \mathrm{e}^{At} U_0 \rVert_{\mathcal{H}}^2 \leq 6\lVert U_0 \rVert_{\mathcal{H}}^2 \mathrm{e}^{-\gamma_0 t}, \ t > 0.\] Es decir, la solución $U$ (bien sea débil o fuerte) del problema homogéneo \eqref{probCauchyHomTimoDosAmortigDesglosado} decae exponencialmente en $\mathcal{H}$. El recíproco es inmediato. \end{Observacion} \ No newline at end of file diff --git a/secciones/cap_vigas.tex b/secciones/cap_vigas.tex index 3ddee40..dae4788 100644 --- a/secciones/cap_vigas.tex +++ b/secciones/cap_vigas.tex @@ -345,7 +345,7 @@ \subsection{La energía en el sistema de Timoshenko} Dicho todo lo anterior, veamos ahora una de las propiedades más relevantes del modelo de vigas de Timoshenko. Propiedad que influenciará casi por completo lo que resta de este texto.\\ -\begin{Proposicion}{(Conservación de la energía en la viga de Timoshenko)} +\begin{Proposicion}[Conservación de la energía en la viga de Timoshenko] \label{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasico} El funcional de energía definido en \eqref{timoshenkoBasico:funcionalEnergia} verifica: @@ -547,7 +547,7 @@ \subsection{Problema abstracto de Cauchy homogéneo} caracterización de la norma y del producto interno en términos de la energía facilitará los desarrollos posteriores de esta sección.\\ -\begin{Proposicion}{(Producto interno asociado al funcional de energía)} +\begin{Proposicion}[Producto interno asociado al funcional de energía] \label{ch:teoriaVigas:prop:ProdInternoEnergia} La aplicación $(\cdot, \cdot)_{E} : \mathcal{H} \times \mathcal{H} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como @@ -580,7 +580,7 @@ \subsection{Problema abstracto de Cauchy homogéneo} Veamos ahora una norma asociada al funcional de energía equivalente a la norma del espacio.\\ -\begin{Proposicion}{(Norma asociada al funcional de energía)} +\begin{Proposicion}[Norma asociada al funcional de energía] \label{ch:teoriaVigas:prop:NormaEnergia} La aplicación $\lVert \, \cdot \, \rVert_{E} : \mathcal{H} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como @@ -633,17 +633,17 @@ \subsection{Problema abstracto de Cauchy homogéneo} Por último, acabamos esta sub-sección con una observación.\\ -\begin{Observacion}{(Producto interno y norma en $\mathcal{H}$)} +\begin{Observacion}[Producto interno y norma en $\mathcal{H}$] \label{ch:teoriaVigas:obs:nuevaNorma} - El producto interno discutido en la Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:ProdInternoEnergia} induce la norma asociada al funcional de energía definida en la Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:NormaEnergia}. En consecuencia, el producto interno usual de $\mathcal{H}$ y el de la Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:ProdInternoEnergia} son equivalentes. + El producto interno discutido en la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ProdInternoEnergia} induce la norma asociada al funcional de energía definida en la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:NormaEnergia}. En consecuencia, el producto interno usual de $\mathcal{H}$ y el de la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ProdInternoEnergia} son equivalentes. \end{Observacion} -A partir de este momento utilizaremos el producto interno y la norma de las Proposiciones \eqref{ch:teoriaVigas:prop:ProdInternoEnergia} y \eqref{ch:teoriaVigas:prop:NormaEnergia} respectivamente. Además, la notación que usaremos para referirnos a ellos será $\lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}}$ y $(\cdot , \cdot)_{\mathcal{H}}$. +A partir de este momento utilizaremos el producto interno y la norma de las Proposiciones \ref{ch:teoriaVigas:prop:ProdInternoEnergia} y \ref{ch:teoriaVigas:prop:NormaEnergia} respectivamente. Además, la notación que usaremos para referirnos a ellos será $\lVert \, \cdot \, \rVert_{\mathcal{H}}$ y $(\cdot , \cdot)_{\mathcal{H}}$. \subsection{Revisitando el funcional de energía} \label{ch:teoriaVigas:section:timoshenkoFunc:subsection:energia} -Cuando se planteó la Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasico}, la demostración asumió que el funcional de energía es derivable respecto al tiempo, y esto no es necesariamente cierto. Por ejemplo, si quisiéramos derivar +Cuando se planteó la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasico}, la demostración asumió que el funcional de energía es derivable respecto al tiempo, y esto no es necesariamente cierto. Por ejemplo, si quisiéramos derivar \[\int_0^L \big(\varphi_t(x,t)\big)^2 \, \dd x,\] @@ -674,15 +674,15 @@ \subsection{Revisitando el funcional de energía} En consecuencia, la derivada de la integral \eqref{integralFuncionalEnergia} existe cuando consideramos $U \in D(A)$. Repitiendo un análisis similar con cada uno de los sumandos del funcional de energía, llegamos a la siguiente observación.\\ -\begin{Observacion}{(Condición para derivar el funcional de energía)} +\begin{Observacion}[Condición para derivar el funcional de energía] \label{ch:teoriaVigas:obs:CondicionDerivadaFuncEnergia} - La Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasico} sólo tiene sentido cuando se considera $U \in D(A)$. + La Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasico} sólo tiene sentido cuando se considera $U \in D(A)$. \end{Observacion} -La observación anterior es importante, pues si nos valemos únicamente de la Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasico} para demostrar que la energía del sistema permanece constante, entonces estamos restringiéndonos a soluciones fuertes (en el mismo sentido que la Definición \eqref{ch:cauchy:section:noHom:def:soluciones}) del problema \ref{probCauchyHomTimoBasicoDesglosado}. Aunque es cierto que todavía ni siquiera hemos discutido las soluciones del problema (reservamos esto para la siguiente sub-sección \ref{ch:teoriaVigas:section:timoshenkoFunc:subsection:existenciaYUnicidad}), debemos relajar las hipótesis de la Proposición y demostrar que, si consideramos un vector solución débil $U(t)$ cualquiera (de nuevo, en el sentido de la Definición \eqref{ch:cauchy:section:noHom:def:soluciones}), entonces la energía del sistema no cambia con el tiempo.\\ +La observación anterior es importante, pues si nos valemos únicamente de la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasico} para demostrar que la energía del sistema permanece constante, entonces estamos restringiéndonos a soluciones fuertes (en el mismo sentido que la Definición \ref{ch:cauchy:section:noHom:def:soluciones}) del problema \ref{probCauchyHomTimoBasicoDesglosado}. Aunque es cierto que todavía ni siquiera hemos discutido las soluciones del problema (reservamos esto para la siguiente sub-sección \ref{ch:teoriaVigas:section:timoshenkoFunc:subsection:existenciaYUnicidad}), debemos relajar las hipótesis de la Proposición y demostrar que, si consideramos un vector solución débil $U(t)$ cualquiera (de nuevo, en el sentido de la Definición \ref{ch:cauchy:section:noHom:def:soluciones}), entonces la energía del sistema no cambia con el tiempo.\\ -\begin{Proposicion}{(Conservación de la energía en la viga de Timoshenko)} +\begin{Proposicion}[Conservación de la energía en la viga de Timoshenko] \label{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasicoRelajado} Dado un vector solución débil de \eqref{probCauchyHomTimoBasicoDesglosado} $U(t) \in \mathcal{H}$ cualquiera (es decir, un vector $U \in C\big([0, \infty); \mathcal{H} \big)$ tal que $U(0) = U_0$ y que satisface la ecuación \eqref{probCauchyHomTimoBasicoDesglosado}), se tiene que el funcional de energía $E(t)$ \eqref{timoshenkoBasico:funcionalEnergia} verifica que @@ -692,7 +692,7 @@ \subsection{Revisitando el funcional de energía} Antes de probar la Proposición anterior, necesitamos demostrar que $A$ es densamente definido en $\mathcal{H}$.\\ -\begin{Proposicion}{(El operador $A$ es densamente definido en $\mathcal{H}$)} +\begin{Proposicion}[El operador $A$ es densamente definido en $\mathcal{H}$] \label{ch:teoriaVigas:prop:AesDensamenteDef} El operador $A$ \eqref{operadorATimoBasico} es densamente definido en $\mathcal{H}$ \eqref{espacioDeFaseTimoshenko}. Es decir, @@ -790,14 +790,14 @@ \subsection{Revisitando el funcional de energía} que es lo que deseábamos. \end{proof} -Demostrado entonces que $A$ es un operador densamente definido en $\mathcal{H}$, procedemos a probar la Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasicoRelajado}. +Demostrado entonces que $A$ es un operador densamente definido en $\mathcal{H}$, procedemos a probar la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasicoRelajado}. -Para ello, nos tomaremos la libertad de asumir que $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo $T(t)$ y que, para cada dato inicial $U_0 \in D(A)$, existe una única solución del problema \eqref{probCauchyHomTimoBasicoDesglosado} $U \in C^1\big([0,\infty); \mathcal{H}\big) \cap C\big([0,\infty); D(A)\big)$, donde $U(t) = T(t)U_0 \in D(A) \ \forall t \geq 0$. Podemos tomarnos esta licencia dado que en la siguiente sub-sección probaremos dicho resultado (véase \eqref{ch:teoriaVigas:prop:existenciaYUnicidad}). Así, pues, damos pie a la demostración. +Para ello, nos tomaremos la libertad de asumir que $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo $\mathrm{e}^{At}$ y que, para cada dato inicial $U_0 \in D(A)$, existe una única solución del problema \eqref{probCauchyHomTimoBasicoDesglosado} $U \in C^1\big([0,\infty); \mathcal{H}\big) \cap C\big([0,\infty); D(A)\big)$, donde $U(t) = \mathrm{e}^{At}U_0 \in D(A) \ \forall t \geq 0$. Podemos tomarnos esta licencia dado que en la siguiente sub-sección probaremos dicho resultado (véase \ref{ch:teoriaVigas:prop:existenciaYUnicidad}). Así, pues, damos pie a la demostración. \begin{proof} - De acuerdo a la Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:AesDensamenteDef}, se tiene que $A$ es densamente definido. En consecuencia, $D(A)$ es denso en $\mathcal{H}$ y eso significa que existe una sucesión $\Big(U_0^{(n)}\Big) \subset D(A)$ tal que $U^{(n)} \rightarrow U_0 \in \mathcal{H}$. Asimismo, para cada $U_0^{(n)}$ existe una solución al problema \eqref{probCauchyHomTimoBasicoDesglosado} $U^{(n)} \in C^1\big([0,\infty); \mathcal{H}\big) \cap C\big([0,\infty); D(A) \big)$. + De acuerdo a la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:AesDensamenteDef}, se tiene que $A$ es densamente definido. En consecuencia, $D(A)$ es denso en $\mathcal{H}$ y eso significa que existe una sucesión $\Big(U_0^{(n)}\Big) \subset D(A)$ tal que $U^{(n)} \rightarrow U_0 \in \mathcal{H}$. Asimismo, para cada $U_0^{(n)}$ existe una solución al problema \eqref{probCauchyHomTimoBasicoDesglosado} $U^{(n)} \in C^1\big([0,\infty); \mathcal{H}\big) \cap C\big([0,\infty); D(A) \big)$. - Por la Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasico}, tenemos que + Por la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ConservacionEnergiaTimoshenkoBasico}, tenemos que \[\frac{\dd}{\dd t}E\big(U^{(n)}(t)\big) = 0 \ \forall t \geq 0,\] @@ -805,7 +805,7 @@ \subsection{Revisitando el funcional de energía} \[E\big(U^{(n)}(t)\big) = E\big(U^{(n)}_0\big) \ \forall t \geq 0.\] - Utilizando la norma asociada al funcional de energía \eqref{ch:teoriaVigas:prop:NormaEnergia}, se desprende entonces de la igualdad anterior que + Utilizando la norma asociada al funcional de energía \ref{ch:teoriaVigas:prop:NormaEnergia}, se desprende entonces de la igualdad anterior que \[\big\lVert U^{(n)}(t)\big)\rVert_{\mathcal{H}} = \big\lVert U^{(n)}_0\big\rVert_{\mathcal{H}} \ \forall t \geq 0.\] @@ -829,11 +829,11 @@ \subsection{Revisitando el funcional de energía} \[\big \lVert U^{(n)}(t) - U^{(m)}(t) \big \rVert_{\mathcal{H}} < \varepsilon, \ \forall t \geq 0.\] - En consecuencia, $\big( U^{(n)}\big)$ es Cauchy. Luego, teniendo en cuenta que $U^{(n)}(t) = T(t)U_0^{(n)}$, se tiene que: + En consecuencia, $\big( U^{(n)}\big)$ es Cauchy. Luego, teniendo en cuenta que $U^{(n)}(t) = \mathrm{e}^{At}U_0^{(n)}$, se tiene que: - \[\big\lVert U^{(n)}(t) - U(t)\big\rVert_{\mathcal{H}} = \big\lVert T(t)U_0^{(n)} - U(t)\big\rVert_{\mathcal{H}} \rightarrow 0\] + \[\big\lVert U^{(n)}(t) - U(t)\big\rVert_{\mathcal{H}} = \big\lVert \mathrm{e}^{At}U_0^{(n)} - U(t)\big\rVert_{\mathcal{H}} \rightarrow 0\] - cuando $n \rightarrow \infty$, pues $U_0^{(n)} \rightarrow U_0$ y, por unicidad de las soluciones, $T(t)U_0^{(n)} \rightarrow T(t)U_0 = U(t)$. Luego, por unicidad del límite y por ser Cauchy la sucesión, hemos logrado probar que + cuando $n \rightarrow \infty$, pues $U_0^{(n)} \rightarrow U_0$ y, por unicidad de las soluciones, $\mathrm{e}^{At}U_0^{(n)} \rightarrow \mathrm{e}^{At}U_0 = U(t)$. Luego, por unicidad del límite y por ser Cauchy la sucesión, hemos logrado probar que \[U^{(n)}(t) \rightarrow U(t)\] @@ -853,9 +853,9 @@ \subsection{Existencia y unicidad de soluciones} Una vez formalizado el marco funcional en el que estaremos trabajando, y habiendo aportado el debido rigor a los asuntos que rodean al funcional de energía, podemos pasar ahora, finalmente, a discutir la existencia y unicidad de soluciones del problema \eqref{probCauchyHomTimoBasicoDesglosado}. -En primer lugar, dado que estamos ante un problema de Cauchy abstracto homogéneo, las soluciones al mismo son, simplemente, las de la Definición \eqref{ch:cauchy:section:Hom:def:soluciones}. Ahora, para probar la existencia y unicidad de dichas soluciones, debemos probar que el operador $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo (que resultará ser de contracciones). Para ello, usamos las siguientes Proposiciones: +En primer lugar, dado que estamos ante un problema de Cauchy abstracto homogéneo, las soluciones al mismo son, simplemente, las de la Definición \ref{ch:cauchy:section:Hom:def:soluciones}. Ahora, para probar la existencia y unicidad de dichas soluciones, debemos probar que el operador $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo (que resultará ser de contracciones). Para ello, usamos las siguientes Proposiciones: -\begin{Proposicion}{(El operador $A$ es disipativo)} +\begin{Proposicion}[El operador $A$ es disipativo] \label{ch:teoriaVigas:prop:AesDisipativo} El operador $A : D(A) \rightarrow \mathcal{H}$ \eqref{operadorATimoBasico} es disipativo. @@ -939,7 +939,7 @@ \subsection{Existencia y unicidad de soluciones} y así $A$ es disipativo, que es lo que queríamos probar. \end{proof} -\begin{Proposicion}{(El operador $(I - A)$ es sobreyectivo)} +\begin{Proposicion}[El operador $(I - A)$ es sobreyectivo] \label{ch:teoriaVigas:prop:ResolventeEsSobreyect} El operador $(I-A) : D(A) \rightarrow \mathcal{H}$ es sobreyectivo, o lo que es lo mismo, $R(I-A) = \mathcal{H}$. \end{Proposicion} @@ -1149,7 +1149,7 @@ \subsection{Existencia y unicidad de soluciones} Así, para cualquier $F \in \mathcal{H}$, existe $U \in D(A)$ tal que resuelve el sistema $(I-A)U = F$. Además, la unicidad de $U$ se deduce de la unicidad de las soluciones al problema variacional (débil). Por lo tanto el operador $(I-A)$ es sobreyectivo, tal y como queríamos probar. \end{proof} -\begin{Teorema}{(Existencia y unicidad de soluciones)} +\begin{Teorema}[Existencia y unicidad de soluciones] \label{ch:teoriaVigas:prop:existenciaYUnicidad} El problema de valor inicial \eqref{pviTimoshenkoBasico} (planteado también en \eqref{probCauchyHomTimoBasico} como un problema abstracto de Cauchy homogéneo) posee una única solución débil @@ -1166,17 +1166,17 @@ \subsection{Existencia y unicidad de soluciones} Por último, sin importar la regularidad de la solución se tiene que esta es de la forma - \[U(T) = T(t)U_0,\] + \[U(T) = \mathrm{e}^{At}U_0,\] - donde $T(t)$ es el semigrupo generado por $A$. + donde $\mathrm{e}^{At}$ es el semigrupo generado por $A$. \end{Teorema} \begin{proof} - Utilizando el segundo punto del Teorema de Lumer-Phillips \eqref{ch:semigrupos:th:LumerPhillips} tenemos que, gracias a la Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:AesDisipativo} ($A$ es disipativo) y a la Proposición \eqref{ch:teoriaVigas:prop:ResolventeEsSobreyect} ($(I-A)$ es sobreyectivo), entonces $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones. + Utilizando el segundo punto del Teorema de Lumer-Phillips \ref{ch:semigrupos:th:LumerPhillips} tenemos que, gracias a la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:AesDisipativo} ($A$ es disipativo) y a la Proposición \ref{ch:teoriaVigas:prop:ResolventeEsSobreyect} ($(I-A)$ es sobreyectivo), entonces $A$ es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones. Dado que $A$ es el generador de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones, y gracias a que el sistema de Timoshenko \eqref{pviTimoshenkoBasico} se puede plantear como un problema abstracto de Cauchy homogéneo tenemos, por lo discutido en la introducción del capítulo sobre problemas abstractos de Cauchy (véase \ref{ch:cauchy:section:Hom}), que este siempre posee soluciones débiles (es decir, de clase $C\big([0,\infty);\mathcal{H}\big)$) únicas (por cada dato inicial del problema homogéneo $U_0$) de la forma - $U(t) = T(t)U_0,$ + $U(t) = \mathrm{e}^{At}U_0,$ - donde $T(t)$ es el semigrupo generado por $A$. Asimismo, si $U_0 \in D(A)$, entonces el Teorema \eqref{cauchy:hom:ExistenciaYUnicidadFuerte} garantiza que existe una única solución fuerte (entiéndase, de clase $C^1\big([0,\infty);\mathcal{H}\big) \cap C\big([0,\infty) ; D(A)\big)$) por cada dato inicial. + donde $\mathrm{e}^{At}$ es el semigrupo generado por $A$. Asimismo, si $U_0 \in D(A)$, entonces el Teorema \ref{cauchy:hom:ExistenciaYUnicidadFuerte} garantiza que existe una única solución fuerte (entiéndase, de clase $C^1\big([0,\infty);\mathcal{H}\big) \cap C\big([0,\infty) ; D(A)\big)$) por cada dato inicial. \end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/secciones/introduccion.tex b/secciones/introduccion.tex index 844ad57..bc79a91 100644 --- a/secciones/introduccion.tex +++ b/secciones/introduccion.tex @@ -2,9 +2,23 @@ \chapter*{Introducción} \addcontentsline{toc}{chapter}{Introducción} \label{ch:introduccion} -\textcolor{red}{COSAS QUE HACER:} +% Decisiones ya tomadas y aplicadas a todo el documento: +% +% - Títulos de los enunciados: se escriben como argumento opcional, +% \begin{Teorema}[Título]. Los estilos asfplain / asfdefinicion / +% asfobservacion definidos en main.tex los componen entre paréntesis y +% abren línea nueva automáticamente, de modo que no hay que poner ni los +% paréntesis ni el salto a mano. +% +% - Referencias cruzadas: \ref para teoremas, proposiciones, definiciones, +% lemas y secciones; \eqref queda reservado para ecuaciones, que es lo +% único que debe salir entre paréntesis. +% +% - Notación del semigrupo: T(t) sólo en el capítulo de semigrupos, donde es +% un semigrupo genérico. A partir del capítulo del problema de Cauchy se +% escribe e^{At}, por ser la solución de un problema de evolución concreto. -\textcolor{red}{- CAMBIAR LOS AMBIENTES PARA QUE TENGAN EL NOMBRE ENTRE PARENTESIS (DE MANERA AUTOMATICA???) Y LUEGO UN SALTO DE LINEA} +\textcolor{red}{COSAS QUE HACER:} \textcolor{red}{- FORMATO!!!} @@ -12,8 +26,6 @@ \chapter*{Introducción} \textcolor{red}{- PONER := EN LAS DEFINICIONES CUANDO TOQUE.} -\textcolor{red}{- CAMBIAR $||$ POR lVert.} - \textcolor{red}{- PONER EN MAYUSCULA CADA LETRA DEL TITULO DE LOS TEOREMAS, PROPOSICIONES, ETC (O NO, PERO CASARSE CON UNA DECISION). TAMBIEN PENSAR SI PONER Teorema O teorema CUANDO LO REFERENCIO... PENSAR ESTO TAMBIEN PARA LOS TITULOS DE LAS COSAS...} \textcolor{red}{- PONER TODAS LAS SUCESIONES COMO $( \cdot )$ EN VEZ DE COMO $\{ \cdot \}$.} @@ -22,10 +34,7 @@ \chapter*{Introducción} \textcolor{red}{- ASEGURARME QUE EN LAS DEFINICIONES SOLO HAYA UNA DEFINICION, NO VARIAS.} -\textcolor{red}{- DECIDIR SI CUANDO CITO UN TEOREMA/PROP/COROLARIO/DEF/etc LO HAGO CON EQREF O REF...} - -\todo[inline]{MUY IMPORTANTE} -\textcolor{red}{UTILIZAR $T(t)$ PARA UN SEMIGRUPO GENÉRICO Y USAR $\mathrm{e}^{At}$ PARA UNA SOLUCIÓN A UN PROBLEMA DE CAUCHY ABSTRACTO (O SEA, SÓLO USAR $T(t)$ EN EL CAPÍTULO DE SEMIGRUPOS...)} +\textcolor{red}{- CAMBIAR $||$ POR lVert EN EL CAPÍTULO DE SEMIGRUPOS (EL RESTO YA ESTÁ).} \section*{Motivación} \addcontentsline{toc}{section}{Motivación}