第五版，同济大学数学系
2019,0227~0302
线性代数实际上是利用矩阵语言来定义和描述运算规则，是一遍简单运算批量化/规模化的数据工具。
行列式实际上是解方程组的一个数学工具。本章从特殊（二阶、三阶行列式）到一般（$n$阶行列式）介绍了这样的数学定义和解题思想。
二阶行列式 是与二元线性方程组相对应的定义。 假设我们要解以下二元线性方程组：
$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2} \end{matrix}\right.$
我们可以通过消元法解决这个问题，这里借用行列式的定义可以归纳出以下解的结构。首先根据方程组我们得到以下 3 个二阶行列式：
$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$$D_{1}=\begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}$$D_{2}=\begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix}$
由此得到方程组的解为：
$x_{1} = D_{1}/D, x_{2}=D_{2}/D$
类似的定义我们可以推广到三元线性方程组的情形，对应的可以用 3 阶行列式来表示方程组的解。此时解方程组的问题就变成了如何求解行列式的问题。我们可以采用对角线法则（注意这样的方法也仅限于此）：
一般化到 $n$ 阶方程组，我们就需要求解 $n$ 阶行列式：
$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & \\ a_{n1} &a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} = (-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}...a_{np_{n}}$，行列式简记为$det(a_{ij})$，其中任一一项$a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}...a_{np_{n}}$来自不同行不同列，$p_{1}p_{2}...p_{n}$为自然数$1,2,...,n$的一个排列，$t$是这个排列的逆序数；将这样的$n!$个排列求和即为行列式的解。
这里需要注意几个特殊行列式的求解：对角行列式、上（下）三角形行列式。
全排列、逆序数的概念：
- 把
$n$个不同的元素排成一列，叫做这$n$个元素的全排列。- 在这
$n$元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个逆序，一个排列中所有逆序的总说叫做这个排列的逆序数。- 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
为了讨论 $n$ 阶行列式的性质，需要引入对换的概念：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。相关的定理和推论有：
- 定理 1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶行。
- 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。
- 定理 2:
$n$阶行列式也可定义为：$D=(-1)^{t}a_{p_{1}1}a_{p_{2}2}...a_{p_{n}n}$，其中$t$为行标排列$p_{1}p_{2}...p_{n}$的逆序数.
行列式的性质：
- 行列式
$D^{T}$称为行列式$D$的转置行列式。- 性质 1: 行列式与它的转置行列式相等
- 性质 2: 互换行列式的两行（列），行列式变号。
- 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。
- 性质 3: 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数
$k$，等于用数$k$乘以此行列式。- 推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
- 性质 4: 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
- 性质 5: 若行列式的某一列（行）的元素都是两数只和，则可以分成两个行列式只和，它们分别对应该行（列）的其中一个元素。
- 性质 6: 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
在求解过程中，我们通常利用以上性质来将行列式化简到易于求解的形式，比如对角行列式、上（下）三角形行列式。
行列式按行（列）展开
这一操作通常用于将高阶行列式转化为易于求解的低阶行列式。这里需要引入余子式和代数余子式的概念。
在
$n$阶行列式中，把$(i,j)$元$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列划去后，留下来的$n-1$阶行列式叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，$A_{ij}$叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的代数余子式。
相关的性质有：
- 引理：一个
$n$阶行列式，如果其中第$i$行所有元素除$(i,j)$元$a_{ij}$外都为零，那么这行列式等于$a_{ij}$与它的代数余子式的乘积，即：$D=a_{ij}A_{ij}$。- 定理 3: 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}, (i=i,2,...,n)$或$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}, (j=1,2,...,n)$。- 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn}=0, i \neq j$或$a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+...+a_{ni}A_{nj}, i \neq j $
克拉默法则
求解非齐次线性方程组
$(11)=\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ ... ... ... ...\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{matrix}\right.$
克拉默法则：如果线性方程组（11）的系数行列式不等于零，即
$D=\begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1n} \\ ...& ... & ...\\ a_{n1}&... &a_{nn} \end{vmatrix} \neq 0$，
那么方程组（11）有唯一解 $x_{1}=D_{1}/D, x_{x}=D_{2}/D, ..., x_{n}=D_{n}/D$，其中 $D_{j} (j=1,2,...,n)$是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列的元素用方程右端的常数项代替后所得到的 $n$ 阶行列式。
克拉默法则又可以虚数为以下定理：
- 定理 4: 如果线性方程组（11）的系数行列式
$D \neq 0$，则（11）一定有解，且解是惟一的。- 定理 4‘：如果线性方程组（11）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
对于齐次方程组：
$(13)=\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0\\ ... ... ... ...\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=0 \end{matrix}\right.$
- 定理5: 如果齐次线性方程组 （13）的系数行列式
$D \neq 0$，则齐次线性方程组（13）没有非零解。- 定理5‘：如果齐次线性方程组 （13）有非零解，则它的系数行列式必为零。
$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{bmatrix}$，这是一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，简称 $m \times n$ 矩阵，可有简记为 $(a_{ij})$ 或 $(a_{ij})_{m \times n}$。以下是几种特殊矩阵的定义：
- 只有一行的矩阵，
$A=(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$称为 行矩阵，又称为 行向量。 - 只有一列的矩阵，称为列矩阵或列向量。
- 同型矩阵是指两个矩阵的行数相等、列数也想等。
- 矩阵相等是指两个同型矩阵对应元素也相等。
- 当矩阵所有元素都为零时，称其为零矩阵，
$O$ - 单位矩阵：从左上角到右下角的直线（称为主对角线）上的元素都是 1，其他元素都是 0，记为
$E$。 - 对角矩阵：不在对角线上的元素都是 0，简记为：
$\Lambda = diag(\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n})$
由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。
矩阵的加法
运算规则：矩阵对应位置相加。
注意：只有同型矩阵可以进行加法运算。
运算规律：(i) 交换律：$ A+B = B+A $; (ii) 结合律：$ (A+B)+C = A+(B+C) $
数与矩阵相乘
运算规则：数乘以矩阵的每个元素。
运算规律：(i)$(\lambda \mu)A = \lambda(\mu A)$; (ii)$ (\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A $；(iii)$\lambda (A+B) = \lambda A + \lambda B$
矩阵加法和数与矩阵相乘合起来称为矩阵的线性运算。
矩阵与矩阵相乘
假设有，矩阵
$A = (a_{ij})_{m \times s}$和矩阵$B = (b_{ij})_{s \times n}$，那么有矩阵$C = AB = (c_{ij})_{m \times n}$，其中$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j}+...+a_{is}b_{sj} = \sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}, (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)$
注意：只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。
运算规律（注意，矩阵乘法不满足交换律）：(i)$(AB)C = A(BC)$; (ii)$\lambda (AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)$，其中$\lambda$为常数；(iii)$A(B+C) = AB+AC, (B+C)A=BA+CA.$
特殊运算：(i) 单位矩阵类似于数 1，即$EA=AE=A$；（ii）幂运算（只有方阵才有）：$A^{k}A^{l}=A^{k+l}, (A^{k})^{l}=A^{kl}$，一般来说$(AB)^{k} \neq A^{k}B^{k}$，只有当$A, B$可交换时，等式才成立。
矩阵的专置
定义 5：把矩阵
$A$的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做$A$的转置矩阵，记作$A^{T}$。
运算规律：(i)$(A^{T})^{T}=A$; (ii)$(A+B)^{T} = A^{T} + B^{T}$; (iii)$(\lambda A)^{T} = \lambda A^{T}$, (iv)$(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$
当$A$为方阵，且$A=A^{T}$，$A$被称为 对称矩阵，其特点是元素以对角线为轴对应相等。
方阵的行列式
方阵
$A$的行列式记为$|A|$或$detA$
运算规律：(i)$|A^{T}|=|A|$; (ii)$|\lambda A| = \lambda^{n}|A|$; (iii)$|AB| = |A||B|$
注意：方阵与行列式是两个不同的概念，$n$阶方阵是$n^{n}$个数按一定方式排成的数表，而$n$阶行列式则是这些数（也就是数表$A$）按一定运算法则所确定的一个数。
其他特殊
- 由运算规律(iii)可知，对于
$n$阶矩阵$A,B$，一般来说$AB \neq BA$，但总有$|AB| = |BA|$- 行列式
$|A|$的各个元素的代数余子式$A_{ij}$所构成的矩阵$A^{*}$称为矩阵$A$的伴随矩阵，简称伴随阵，并且有$AA^{*}=A^{*}A=|A|E$
共轭矩阵
当
$A=(a_{ij})$为复数矩阵时，用$\bar{a_{ij}}$表示$a_{ij}$的共轭复数，记$\bar{A}=(\bar{a_{ij}})$为$A$的共轭矩阵。
运算规律（假设运算都是可行的）：(i)$\overline{A+B} = \bar{A} + \bar{B}$; (ii)$\overline{\lambda A} = \bar{\lambda}\bar{A}$; (iii)$\overline{AB} = \bar{A}\bar{B}$。
逆矩阵
定义 7：对于
$n$阶矩阵$A$，如果一个$n$阶矩阵$B$，使$AB=BA=E$，则说矩阵$A$是可逆的，并把矩阵$B$称为$A$的逆矩阵，记为$B=A^{-1}$。
注意：逆矩阵是唯一的。
相关定理：
- 定理 1: 若矩阵
$A$可逆，则$|A| \neq 0$- 定理 2: 若矩阵
$|A| \neq 0$，则矩阵$A$可逆，且$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}$，其中$A^{*}$为矩阵$A$的伴随矩阵。- 当
$|A| = 0$时$A$称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。由以上定理可知：$A$是可逆矩阵的充分必要条件是$|A| \neq 0$，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。- 推论：若
$AB = E$（或$BA=E$），则$B=A^{-1}$运算规律：(i) 若
$A$可逆，则$A^{-1}$亦可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$；（ii）若$A$可逆，数$\lambda \neq 0$，则$\lambda A$可逆，且$(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda}A^{-1}$；（iii）若$A,B$为同阶矩阵且均可逆，则$AB$亦可逆，且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$；（iv）若$A$可逆，则$A^{T}$亦可逆，且$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$
常用简化计算：（i）如果$A=P\Lambda P^{-1}$，则$A^{k} = P\Lambda^{k} P^{-1}$;(ii) 如果$\Lambda = diag(\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n})$为对角阵，则$\Lambda = diag(\lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k}, ..., \lambda_{n}^{k})$
矩阵分块法
对于行数和列数较高的矩阵，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。我们将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为原矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
对矩阵的相关运算再分块矩阵上同样适用，只需要将子块类比成原来的元素即可。通常利用对角阵、上（下）三角阵等特殊矩阵来简化运算。
消元法解线性方程组的过程中，始终把方程组看作一个整体，着眼于将一个方程组变成另一个等价的更容易求解的方程组。其中涉及到 3 种可逆的变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于 0 的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的$k$倍。
实际上以上运算过程只对方程组的系数和常数进行，未知数并未参与。因此我们可以通过方程组对应的增广矩阵来求解，增广矩阵$B=(A,b)$，其中$A$是系数矩阵，$b$是方程组右边的常数向量。对应的有 3 种可逆的 初等行变换将增广矩阵化简并求解，（1）对调两行（记为$r_{i} \leftrightarrow r_{j}$）；（2）以数$k \neq 0$乘某一行中所有元素（记为$r_{i} \times k$）；（3）把某一行所有元素的 $k$ 倍加到另一行对应的元素上去（记为$r_{i} + kr_{j}$）。
把以上定义中的行（$r$）换成列（$c$），可得到对应的初等列变换。
矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。
如果矩阵 $A$ 经过有限次初等行变换变成矩阵 $B$，就称矩阵$A$与矩阵$B$等价，记为$A \sim^{r} B$；类似的有$A \sim^{c} B$，$A \sim B$。矩阵之间的等价关系有下列性质（1）；反身性 $A \sim A$（2）对称性 $A \sim B$ 则 $B \sim A$；（3）传递性 $A \sim B, B \sim C$ 则 $A \sim C$。
运算过程中，通常将矩阵化简为行阶梯形矩阵、行最简型矩阵和标准型， 然后求解。
矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，为了探讨它的应用，需要研究它的性质，以下是最基本的性质：
定理 1 设
$A$与$B$为$m \times n$矩阵，那么：(1)
$A \sim^{r} B$的充分必要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$；使$PA=B$；
(2)$A \sim^{c} B$的充分必要条件是存在$n$阶可逆矩阵$Q$；使$AQ=B$；
(3)$A \sim B$的充分必要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$及$n$阶可逆矩阵$Q$，使$PAQ=B$推论：方阵
$A$可逆的充分必要条件是$A \sim^{r} E$
定义 3: 在 $m \times n$ 矩阵 $A$中，任取 $k$ 行与 $k$ 列 ($k \leqslant m, k \leqslant n$)，位于这些行列交叉处的 $k^{2}$ 个元素，不改变它们在 $A$ 中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为矩阵$A$的$k$阶子式。
定义 4： 设矩阵 $A$ 中有一个不等于 0 的 $r$ 阶子式 $D$，且所有 $r+1$阶子式（如果存在的话）全等于 0，那么 $D$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$称为矩阵 $A$ 的秩，记作$R(A)$。并规定零矩阵的秩等于 0.
可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵。
定理 2: 若 $ A \sim B$，则 $R(A) = R(B)$。
通过定义来求矩阵的秩是非常麻烦的，因此通常通过以上定理将矩阵化简为行阶梯形矩阵，则它的秩就等于非零行的行数。
矩阵秩的一些最基本的性质：
$0 \leqslant R(A_{m \times n}) \leqslant min\{m, n\}$$R(A^{T}) = R(A)$- 若
$A \sim B $，则$R(A) = R(B)$- 若
$P, Q$可逆，则$R(PAQ) = R(A)$$max\{R(A), R(B)\} \leqslant R(A,B) \leqslant R(A) + R(B)$，特别地，当$B=b$为非零向量时，有$R(A) \leqslant R(A,b) \leqslant R(A) + 1$$R(A+B) \leqslant R(A) + R(B)$$R(AB) \leqslant min\{R(A), R(B)\}$- 若
$A_{m \times n}B_{n \times l} = O$，则$R(A) + R(B) \leqslant n$
定理 3: $n$ 元线性方程组 $Ax = b$
(i) 无解的充分必要条件是
$R(A) < R(A, b)$
(ii) 有唯一解的充分必要条件是$R(A) = R(A,b) = n$
(ii) 有无限多解的充分必要条件是$R(A) = R(A,b) < n$
线性方程组如果有解，则称它是相容的，如果无解，则称它不相容。
定义 1: $n$ 个有次序的数 $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ 所组成的数组称为 $n$ 维向量，这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，第 $i$ 个数 $a_{i}$ 称为第 $i$ 个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。
$n$维列向量表示为：$\mathbf{a}=\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ ...\\ a_{n} \end{bmatrix}$；$n$ 维行向量为：$\mathbf{a}^{T}=(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$。
$n$ 维向量的全体所组成的集合 $\mathbb{R}^{n} = \{\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})^{T} | x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \in \mathbb{R}\}$ 叫做 $n$ 维向量空间。$n$ 维向量的集合 $\{\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})^{T} | a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n} = b\}$ 叫做 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中的 $n-1$ 维超平面；特殊的当 $n=3$时，是三维空间的平面。
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。
定义 2: 给定向量组 $A: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m} $，对于任何一组实数 $k_{1}, k_{2}, ..., k_{m}$，表达式 $k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + ... + k_{m}\mathbf{a}_{m}$ 称为向量组 $A$ 的一个线性组合，$k_{1}, k_{2}, ..., k_{m}$ 称为线性组合的系数。
给定向量组$A: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m} $和向量$\mathbf{b}$，如果存在一组数$\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n}$，使 $\mathbf{b} = \lambda_{1}\mathbf{a}_{1} + \lambda_{2}\mathbf{a}_{2} + ... + \lambda_{m}\mathbf{a}_{m} $，则向量$\mathbf{b}$是向量组$A$的线性组合，这时称向量$\mathbf{b}$能由向量组$A$线性表示，也就是方程组$x_{1}\mathbf{a}_{1} + x_{2}\mathbf{a}_{2} + ... + x_{m}\mathbf{a}_{m} = \mathbf{b}$ 有解。
定理 1: 向量 $\mathbf{b}$ 能由向量组 $A: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m} $ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $A=( \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m})$ 的秩等于矩阵 $B=(\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m}, \mathbf{b})$的秩。
定义 3: 设有两个向量组 $A: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m} $ 及 $B: \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}, ..., \mathbf{b}_{l} $，若 $B$ 组中的每个向量都能由向量组 $A$ 线性表示，则称向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示。若向量组 $A$ 与向量组 $B$ 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。
由此可知，若 $C_{m \times n} = A_{m \times l}B_{l \times n}$，则矩阵 $C$的列向量组能由矩阵$A$的列向量组线性表示，$B$为这一表示的系数矩阵。
向量组的线性组合、线性表示及等价等概念，也可以迁移用于线性方程组。
定理 2：向量组 $B: \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}, ..., \mathbf{b}_{l} $ 能由向量组 $A: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m} $ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $A$ 的秩等于矩阵 $(A,B)$ 的秩，即 $R(A) = R(A, B)$。
推论： 向量组 $A: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m} $ 与向量组 $B: \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}, ..., \mathbf{b}_{l} $ 等价的充分必要条件是 $R(A) = R(B) = R(A, B)$。
定理 3：设向量组 $B: \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}, ..., \mathbf{b}_{l} $ 能由向量组 $A: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m} $ 线性表示，则 $R(B) \leqslant R(A)$。
上述定理的对应，其基础是向量组与矩阵的对应，从而有下述对应：
设向量组 $B: \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}, ..., \mathbf{b}_{l} $ 能由向量组 $A: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m} $线性表示：
<=> 有矩阵 $K$，使 $B = AK$
<=> 方程 $AX=B$有解
第一种是几何语言，后面两种是矩阵语言，而线性代数就是使用矩阵语言来解决问题的学科。
定义 4：给定向量组 $A: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m} $，如果存在不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, ..., k_{m}$，使 $k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + ... + k_{m}\mathbf{a}_{m} = \mathbf{0}$，则称向量组 $A$ 是线性相关的，否则称它是线性无关的。
特别的，当 $m=1$时，向量组只有一个向量 $\mathbf{a}$，当 $\mathbf{a}=\mathbf{0}$ 时是线性相关的，当 $\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$时是线性无关的。
定理 4：向量组 $\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m}$ 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵$A=(\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m})$ 的秩小于向量个数 $m$；向量组线性无关的充分必要条件是 $R(A) = m$。
定理 5：（1）向量组 $A: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m} $ 线性相关，则向量组 $B: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m},\mathbf{a}_{m+1} $ 也线性相关。反言之，若向量组$B$线性无关，则向量组$A$也线性无关。（2）$m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，当维数 $n$ 小于向量个数 $m$ 时一定线性相关。特别地，$n+1$ 个 $n$维向量一定线性相关。（3）设向量组 $A: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m} $ 线性无关，而向量组$B: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{m}, \mathbf{b}$ 线性相关，则向量 $\mathbf{b}$ 必能由向量组 $A$ 线性表示，且表示式式惟一的。
定义 5：设有向量组 $A$，如果在 $A$ 中能选出 $r$ 个向量 $\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{r}$，满足（i）向量组$A_{0}: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{r}$ 线性无关；（ii）向量组 $A$ 中任意 $r+1$个向量（如果存在的话）都线性相关。那么称向量组 $A_{0}$ 是向量组 $A$ 的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数$r$称为向量组的秩，记作 $R(A)$。
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为 0.
定理 6：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。
推论（最大无关组的等价定义）：设向量组 $A_{0}: \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{r}$ 是向量组 $A$ 的一个部分组，且满足（i）向量组$A_{0}$线性无关；（ii）向量组$A$的任一向量都能由向量组$A_{0}$线性表示。那么向量组 $A_{0}$ 便是向量组 $A$ 的一个最大无关组。
解齐次方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ （2）
性质 1：若 $\mathbf{x} = \mathbf{\xi_{1}}, \mathbf{x} = \mathbf{\xi_{2}}$ 为（2）的解，则 $\mathbf{x} = \mathbf{\xi_{1} + \mathbf{\xi_{2}}}$ 也是（2）的解。
性质 2：若 $\mathbf{x} = \mathbf{\xi_{1}}$ 为（2）的解，$k$ 为实数，则 $\mathbf{x} = k\mathbf{\xi_{1}}$ 也是（2）的解。
（2）的通解（基础解系）结构为：$\mathbf{x} = k_{1}\mathbf{\xi_{1}} + k_{2}\mathbf{\xi_{2}} + ... + k_{t}\mathbf{\xi_{t}}$，其中 $S_{0}: \mathbf{\xi_{1}},\mathbf{\xi_{2}},... , \mathbf{\xi_{t}}$ 是（2）全体解组成集合 $S$ 的一个最大无关组。
定理 7：设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R(A) = r$，则 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解集 $S$ 的秩 $R(S) = n-r$。
解非齐次方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ （5）
性质 3：设 $\mathbf{x} = \mathbf{\eta_{1}}$ 及 $\mathbf{x} = \mathbf{\eta_{2}}$ 都是（5）的解，则 $\mathbf{x} = \mathbf{\eta_{1}} - \mathbf{\eta_{2}} $ 是对应齐次线性方程（2）的解。
性质 4：设 $\mathbf{x} = \mathbf{\eta}$ 是方程（5）的解，$\mathbf{x} = \mathbf{\xi}$ 是方程（2）的结，则 $\mathbf{x} = \mathbf{\eta} + \mathbf{\xi}$ 仍是方程（5）的解。
（5）的通解（基础解系）结构为：$\mathbf{x} = k_{1}\mathbf{\xi_{1}} + k_{2}\mathbf{\xi_{2}} + ... + k_{n-r}\mathbf{\xi_{n-r}} + \mathbf{\eta^{*}}$，其中 $\mathbf{\xi_{1}},\mathbf{\xi_{2}},... , \mathbf{\xi_{t}}$ 是（2）的基础解系，$\mathbf{\eta^{*}}$是（5）的一个特解。
定义 6：设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 对于向量的加法及乘法两种运算封闭，那么就称集合 $V$ 为向量空间。
定义 7：设 $V$ 为向量空间，如果 $r$ 个向量 $\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{r} \in V$，且满足（i）$\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{r}$ 线性无关；（ii）$V$ 中任一向量都可由 $\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{r}$ 线性表示。那么，向量组 $\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{r}$ 就称为向量空间 $V$ 的一个基，$r$ 称为向量空间 $V$ 的维数，并称 $V$ 为 $r$维向量空间。
如果向量空间 $V$ 没有基，那么 $V$ 的维数为 0。 0 维向量空间只含一个零向量。
若把向量空间 $V$ 看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知，$V$ 的基就是向量组的最大无关组，$V$ 的维数就是向量组的秩。
定义 8：如果向量空间 $V$ 中取定一个基 $\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{r}$，那么 $V$ 中任一向量 $\mathbf{x}$ 可惟一地表示为 $\mathbf{x} = \lambda_{1}\mathbf{a}_{1} + \lambda_{2}\mathbf{a}_{2} + ... + \lambda_{r}\mathbf{a}_{r}$，数组 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{r}$ 称为向量 $\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}, ..., \mathbf{a}_{r}$ 中的坐标。
特别地，在 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中取单位坐标向量组 $\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2}, ..., \mathbf{e}_{n}$ 为基，则以 $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ 为分量的向量 $\mathbf{x}$，可表示为 $\mathbf{x} = x_{1}\mathbf{e}_{1} + x_{2}\mathbf{e}_{2} + ... + x_{n}\mathbf{e}_{n}$，可见向量在基 $\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2}, ..., \mathbf{e}_{n}$ 中的坐标就是该向量的分量。因此 $\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2}, ..., \mathbf{e}_{n}$ 叫做 $\mathbb{R}^{n}$ 中的自然基。
定义 1：设有 $n$ 维向量 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{bmatrix}$，$\mathbf{y}=\begin{bmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ ...\\ y_{n} \end{bmatrix}$，令 $[\mathbf{x}, \mathbf{y}] = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + ... + x_{n}y_{n}$，称为向量 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 的内积。内积是向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示有 $[\mathbf{x}, \mathbf{y}] = \mathbf{x}^{T}\mathbf{y}$。
内积具有下列性质：（i）$[\mathbf{x}, \mathbf{y}] = [\mathbf{y}, \mathbf{x}]$；（ii）$[\lambda\mathbf{x}, \mathbf{y}] = \lambda[\mathbf{x}, \mathbf{y}]$；（iii）$[\mathbf{x}+\mathbf{y}, \mathbf{z}] = [\mathbf{x}, \mathbf{z}] + [\mathbf{y}, \mathbf{z}]$；（iv）当 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 时，$[\mathbf{x},\mathbf{x}]=0$，当 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 时 $[\mathbf{x}, \mathbf{x}] > 0$。
施瓦茨（Schwarz）不等式：$[\mathbf{x}, \mathbf{y}]^{2} \leq [\mathbf{x}, \mathbf{x}][\mathbf{y}, \mathbf{y}]$。
在解析几何中有数量积：$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = |\mathbf{x}||\mathbf{y}|cos(\theta)$，n 维向量的内积是数量积的一种推广。
定义 2: 令 $ \left \| \mathbf{x} \right \| = \sqrt{[\mathbf{x}, \mathbf{x}]} = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2}} $，$ \left \| \mathbf{x} \right \| $ 称为 $n$ 维向量 $ \mathbf{x} $ 的长度（或范数）。当 $ \left \| \mathbf{x} \right \| = 1$ 时称 $\mathbf{x}$ 为 单位向量。向量的长度具有下述性质：（i）非负性：当 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 时，$ \left \| \mathbf{x} \right \| > 0$，当 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 时，$ \left \| \mathbf{x} \right \| = 0$；（ii）齐次性：$ \left \| \lambda \mathbf{x} \right \| = |\lambda| \left \| \mathbf{x} \right \| $；（iii）三角不等式：$\left \| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right \| \leq \left \| \mathbf{x} \right \| + \left \| \mathbf{y} \right \|$。
当 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}, \mathbf{y} \neq \mathbf{0}$ 时，$\theta = arccos\frac{[\mathbf{x}, \mathbf{y}]}{||\mathbf{x}|| ||\mathbf{y}||}$ 称为 $n$ 维向量 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 的夹角。当 $[\mathbf{x}, \mathbf{y}] = 0$ 时，称向量 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{x}$ 正交。显然零向量和任何向量都正交。
以下是正交向量组的性质。所谓正交向量组是指一组两两正交的非零向量。
定理 1：若 $n$ 维向量 $\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, ..., \mathbf{a_{r}}$ 是一组两两正交的非零向量，则$\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, ..., \mathbf{a_{r}}$ 线性无关。
定义 3：设 $n$ 维向量 $\mathbf{e_{1}}, \mathbf{e_{2}}, ..., \mathbf{e_{r}}$ 是向量空间 $V (V \in \mathbb{R}^{n})$的一个基，如果 $\mathbf{e_{1}}, \mathbf{e_{2}}, ..., \mathbf{e_{r}}$ 两两正交，且都是单位向量，则称 $\mathbf{e_{1}}, \mathbf{e_{2}}, ..., \mathbf{e_{r}}$ 是 $V$ 的一个规范正交基。
定义 4：如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{T}A = E$（即 $A^{-1} = A^{T}$）， 那么称 $A$ 为正交矩阵，简称正交阵。
定义 5：若 $P$ 为正交矩阵，则线性变换 $\mathbf{y}=P\mathbf{x}$称为正交变换。
设 $\mathbf{y} = P\mathbf{x}$ 为正交变换，则有 $||\mathbf{y}|| = \sqrt{\mathbf{y}^{T}\mathbf{y}} = \sqrt{\mathbf{x}^{T}P^{T}P\mathbf{x}} = \sqrt{\mathbf{x}^{T}\mathbf{x}}=||\mathbf{x}||$。由于 $||\mathbf{x}||$表示向量的长度，相当于线段的长度，因此$||\mathbf{y}|| = ||\mathbf{x}||$说明经过正交变换线段长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这是正交变换的优良特性。
定义 6：设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $\mathbf{x}$ 使关系式 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$（1）成立，那么 $\lambda$ 称为矩阵 $A$ 的特征值，非零向量 $x$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。
（1）式也可以写成 $(A-\lambda E)\mathbf{x} = \mathbf{0}$，这是 $n$ 个未知数 $n$ 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即 $|A-\lambda E| = 0$，这是以 $\lambda$为未知数的一元$n$次方程，称为矩阵 $A$ 的特征方程。其左端$|A-\lambda E|$是$\lambda$的$n$次多项式，记作 $f(\lambda)$，称为矩阵 $A$ 的特征多项式。显然，$A$ 的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此 $n$阶矩阵 $A$ 在复数范围内有 $n$ 个特征值。
设 $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n}$，不难证明：（i）$\lambda_{1} + \lambda_{2} + ... + \lambda_{n} = a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn}$；（ii）$\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}=|A|$。
设 $\lambda = \lambda_{i}$ 为矩阵 $A$ 的一个特征值，则由方程 $(A-\lambda_{i}E)\mathbf{x} = \mathbf{0}$，可求得非零解 $\mathbf{x} = \mathbf{p_{i}}$，那么 $\mathbf{p_{i}}$ 便是 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_{i}$ 的特征向量。
定理 2: 设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{m}$ 是方阵 $A$ 的 $m$ 个特征值，$\mathbf{p_{1}}, \mathbf{p_{2}}, ..., \mathbf{p_{m}}$ 依次是与之对应的特征向量，如果$\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{m}$各不相等，则 $\mathbf{p_{1}}, \mathbf{p_{2}}, ..., \mathbf{p_{m}}$ 线性无关。
定义 7：设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP=B$，则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，或说矩阵$A$与矩阵$B$相似。对 $A$ 进行运算 $P^{-1}AP$ 称为对 $A$ 进行相似变换，可逆矩阵 $P$ 称为把 $A$ 变成 $B$的相似变换矩阵。
定理 3：若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A, B$ 的特征多项式相同，从而 $A$ 与 $B$ 的特征值亦相同。
推论： 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵 $\Lambda = diag(\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n})$ 相似，则 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n}$ 即是 $A$ 的 $n$ 个特征值。
定理 4：$n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似（即 $A$ 能对角化）的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。
推论：如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等，则 $A$ 与对角阵相似。
一个 $n$ 阶矩阵具备什么条件才能对角化？这是一个较复杂的问题，这里仅讨论对称阵的情形。
定理 5：对称阵的特征值为实数。
定理 6：设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是对称阵 $A$ 的两个特征值，$\mathbf{p_{1}}, \mathbf{p_{2}}$ 是对应的特征向量。若 $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$，则 $\mathbf{p_{1}}, \mathbf{p_{2}}$ 正交。
定理 7：设 $A$ 为 $n$ 阶对称阵，则必有正交矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP=P^{T}AP=\Lambda$，其中 $\Lambda$是以$A$的 $n$ 个特征值为对角元的对角阵。
推论：设 $A$ 为 $n$ 阶对称阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征方程的 $k$ 重根，则$R(A-\lambda E)=n-k$，从而对应特征值 $\lambda$ 恰有 $k$ 个线性无关的特征向量。
对角化的步骤：（i）求出全部不相等的特征值以及其对应的重数；（ii）对每个重根求解基础解系；（iii）将以上得到的 $n$ 个向量组合起来构成正交阵。
定义 8：含有 $n$ 个变量的二次齐次函数为 $f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}, (a_{ij}=a_{ji})$（6）。
对于二次型，主要讨论的问题是：寻求可逆的线性变换 $\left\{\begin{matrix} x_{1} = c_{11}y_{1} + c_{12}y_{2} + ... + c_{1n}y_{n}\\ x_{2} = c_{21}y_{1} + c_{22}y_{2} + ... + c_{2n}y_{n}\\ ... ... \\ x_{n} = c_{n1}y_{1} + c_{n2}y_{2}+...+c_{nn}y_{n} \end{matrix}\right.$（7） ，使二次型只含平方项，也就是将（7）带入（6）能使 $f=k_{1}y_{1}^{2}+k_{2}y_{2}^{2}+...+k_{n}y_{n}^{2}$，这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）。如果标准形的系数 $k_{1}, k_{2}, ..., k_{n}$ 只在 $1, -1, 0$ 三个数中取值，则称其为规范形。
任给一个二次型，就惟一地确定一个对称阵；反之，任给一个对称阵，也可惟一地确定一个二次型。这样，二次型于对称阵之间存在一一对应的关系。因此，我们把对称阵$A$叫做二次型$f$的矩阵，也把$f$叫做对称阵$A$的二次型。对称阵$A$的秩就叫做二次型$f$的秩。
定义 9：设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $C$，使 $B = C^{T}AC$，则称矩阵 $A, B$ 合同。
定理 8：任给二次型 $f = \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} (a_{ij} = a_{ji})$，总有正交变换 $\mathbf{x} = P\mathbf{y}$，使 $f$ 化为标准型 $f=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+...+\lambda_{n}y_{n}^{2}$，其中 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n}$ 是 $f$ 的矩阵 $A=(a_{ij})$的特征值。
用正交变换化二次型成标准型，具有保持几何形状不变的优点。如果不限于此，那么还可以有其他多种方法，书本介绍了拉格兰日配方法。
二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即二次型的秩）。不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变）。
定义 10：设有二次型 $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$，如果对任何 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，都有 $f(\mathbf{x})>0$（显然$f(\mathbf{0})=0$），则称 $f$ 为正定二次型，并称对称阵 $A$是正定的；如果对于任何 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，都有 $f(\mathbf{x})<0$，则称 $f$ 为负定二次型，并称对称阵 A 是负定的。
向量空间又称线性空间，是线性代数中一个最基本的概念。本章内容实际上是第 4 章中「向量空间」的推广。
本章内容设计定义和性质内容较多，这里只记一些当时觉得重要的结论。
定义 1：设 $V$ 是一个非空集合， $\mathbb{R}$ 为实数域。如果对于任一两个元素 $\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta} \in V$，总有惟一的一个元素 $\mathbf{\gamma} \in V$ 与之对应，称为 $\mathbf{\alpha}$ 和 $\mathbf{\beta}$ 的和，记为 $\mathbf{\gamma} = \mathbf{\alpha} + \mathbf{\beta}$；又对于任一数 $\lambda \in V$ 与任一元素 $\mathbf{\alpha} \in V$，总有惟一的一个元素 $\mathbf{\delta} \in V$ 与之对应，称为 $\lambda$ 与 $\mathbf{\alpha}$的积，记作 $\mathbf{\delta} = \lambda\mathbf{\alpha}$；并且这两种运算满足以下八条运算规律：
(i)
$\mathbf{\alpha} + \mathbf{\beta} = \mathbf{\beta} + \mathbf{\alpha}$
(ii)$(\mathbf{\alpha} + \mathbf{\beta} ) + \mathbf{\gamma} = \mathbf{\alpha} + (\mathbf{\beta} + \mathbf{\gamma})$
(iii) 在$V$中存在零元素$\mathbf{0}$；对任何$\mathbf{\alpha} \in V$，都有$\mathbf{\alpha} + \mathbf{0} = \mathbf{\alpha}$
(iv) 对任何$\mathbf{\alpha} \in V$，都有$\mathbf{\alpha}$的负元素$\mathbf{\beta} \in V$，使$\mathbf{\alpha} + \mathbf{\beta} = \mathbf{0}$
(v)$1\mathbf{\alpha} = \mathbf{\alpha}$
(vi)$\lambda (\mu \mathbf{\alpha}) = (\lambda \mu)\mathbf{\alpha}$
(vii)$(\lambda + \mu)\mathbf{\alpha} = \lambda \mathbf{\alpha} + \mu \mathbf{\alpha}$
(viii)$\lambda(\mathbf{\alpha} + \mathbf{\beta}) = \lambda \mathbf{\alpha} + \lambda \mathbf{\beta}$
那么，$V$就称为（实数域 $\mathbb{R}$ 上的）向量空间（或线性空间），$V$ 中的元素不论其本来的性质如何，统称为 (实)向量。
简言之，凡满足上述八条规律的加法及乘法运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间。
第四章定义是现在定义的特殊情形，比较起来现在的定义有了很大的推广：（1）向量不一定是有序数组；（2）向量空间中的运算只要求满足上述八种运算规律，当然也就不一定是有序数组的加法及乘法运算。
定义的线性运算是向量空间的本质，而其中的元素是什么倒并不重要。由此说来，把向量空间叫做线性空间更为合适。
重要概念：维数，$n$ 维线性空间，同构。
维数相等的线性空间都同构，显然任何 $n$ 维线性空间与$\mathbb{R}^{n}$同构。从而可知线性空间的结构完全被它的维数所决定。
$\mathbb{R}^{n}$ 中凡是只涉及线性运算的性质就都适用于 $V_{n}$。但 $\mathbb{R}^{n}$ 中超出线性运算的性质，在 $V_{n}$ 中就不一定具备。
重要概念：基变换公式，过渡矩阵，坐标变换公式。
借用函数中的概念加以推广。
$T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}, x \in \mathbb{R}^{n}$