Pastas

Algoritmo

Arquivos necessários para execução do Telescoping Sampler.

• Funcao Telescoping File.R: Algoritmo TS, utilizar para replicar execuções.
• Relabel File Parallel.R: Soluciona label-switching das replicas.
• Relabeling File.R: Soluciona label-switching.
• Replicando Telescopiong File.R: Controla as replicações do TS.
• Telescoping File.R: Algoritmo TS.
• Verificando Convergencia TS.R: Verificação de convergência através de traceplots e graficos acf.

Funcoes Auxiliares

Funções necessárias para execução do algoritmo.

Geracao de dados

Conjunto de dados sintéticos e funções utilizadas para os gerar.

Outputs

Saídas do algoritmo.

Outras opcoes para o Telescoping

Iplementações antigas do TS.

Teoria

Distribuição t de Student assimétrica

Dizemos que uma variável aleatória $Y$ tem distribuição t de Student assimétrica quando $$Y = \mu + X/\sqrt{U}.$$ Em que $X \sim \mathrm{SN}(0,\sigma^2,\lambda)$ e $U\sim\mathrm{Gama}(\nu/2,\nu/2)$. Escrevemos $Y \sim \mathrm{ST}(\mu,\sigma^2,\lambda,\nu).$ A v.a. $Y$ tem densidade dada por $$\mathrm{St}(y|\mu,\sigma^2,\lambda,\nu) = 2\mathrm{t}(y|\mu,\sigma^2,\nu)\mathrm{T}_{\nu+1}\left(z\lambda \sqrt{\frac{\nu+1}{z^2 + \nu}}\right),$$ com $z = (y-\mu)/\sigma.$

A distribuição t de Student assimétrica admite a seguinte representação hierárquica: $$Y|T=t,U=u \sim \mathrm{N}(\mu + \Delta t,u^{-1}\tau^2);$$ $$T|U=u \sim \mathrm{N}_{(0,\infty)}(0,u^{-1});$$ $$U \sim \mathrm{Gama}(\nu/2,\nu/2).$$ Com $\Delta = \sigma\delta$, $\tau^2 = \sigma^2(1-\delta^2)$ e $\delta = \lambda/\sqrt{1+\lambda^2}$.

Modelo

Seja $Y_i$ a resposta do $i$-ésimo indivíduo, a este indivíduo considere uma variável latente discreta $Z_i$ tal que, dado $Z_i = j$, $Y_i$ dependa do vetor de covariáveis $x_i$ conforme $$Y_{i} = x_i^\top\beta_j + \varepsilon_{i},; j=1,\dots,G.$$ Onde $G$ é o número de componentes na mistura, $\varepsilon_i|Z_i=j \sim \mathrm{ST}(b\Delta_j,\sigma_j^2,\lambda_j,\nu)$. Supomos graus de liberdade idênticos a todas as componentes por conta da dificuldade de sua estimação. O parâmetro de localização de $\varepsilon_i|Z_i=j$ foi escolhido de forma que o valor esperado dos resíduos fosse zero dada a componente. A constante $b$ é dada por $$b = -\sqrt{\frac{\nu}{\pi}}\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)}.$$ As especificações a priori são as seguintes: $$G-1 \sim \mathrm{BNB}(1,4,3);$$ $$\pmb{p}|G \sim \mathrm{Dirichlet}(\gamma/G), \gamma \sim \mathrm{F}(6,3);$$ $$\beta_j|G \sim \mathrm{N}_{k}(0, 100I_k);$$ $$\Delta_j|G \sim \mathrm{N}(0,100);$$ $$\tau_j^2|G \sim \mathrm{InvGama}(0.1,0.1);$$ $$\nu|\alpha \sim \mathrm{exp}(\alpha), \alpha \sim \mathrm{Unif}(0.02,0.5),$$

O passo 3(a) do algoritmo encontrado em https://doi.org/10.1214/21-BA1294 foi realizado utilizando um algoritmo Gibbs sampler considerando $G$ fixo, construido a partir das prioris mostradas anteriormente juntamente com a verossimilhança do modelo. A condicional completa de $\nu$ necessitou de um passo de MH com proposta lognormal com logmédia no log do passo anterior.

Por ser um modelo de misturas temos problemas de label-switching, podemos permutar os rótulos dos componentes e temos a mesma verossimilhanca, seguimos a sugestão encontrada em https://doi.org/10.1214/21-BA1294.