Restaurar las correcciones perdidas y cerrar los pendientes de los capítulos 2 a 5

[alejandro-soto-franco]

Aviso previo: la sincronización con Overleaf está revirtiendo trabajo fusionado

Las nueve correcciones del PR #1 (d4b7ca5) no están en main. Se perdieron, y
el mecanismo va a repetirse.

Trazando una de ellas por el historial: el exponente t en la cota de
||R(lambda)|| está presente en d4b7ca5 y en el merge 5e08769; falta en
b5153ca; vuelve en el merge 32b3c4b; y desaparece de nuevo en e82228a. Ese
commit, con mensaje commit y fecha 04/07, cambia 9 líneas y borra 9, y sube
además tfm_Sebastián_25_26 (3).zip. Es una instantánea completa del proyecto de
Overleaf escrita encima del merge.

Overleaf guarda una copia entera del proyecto. Cada push sobrescribe los ficheros
enteros, de modo que todo lo fusionado en GitHub entre dos sincronizaciones
desaparece sin conflicto y sin aviso. El capítulo de preliminares se salvó
únicamente porque no se estaba editando en Overleaf.

Correcciones revertidas por e82228a, todas reaplicadas en el primer commit de
esta rama:

Fichero	Corrección	Estado en ddac35a
cap_cauchy	el rango es t_0 <= t < t+h <= t_1	<= t
cap_semigrupos	llaves en `
cap_semigrupos	exponente t en la cota de `
cap_semigrupos	lambda, mu tienden a infinito	a cero
cap_semigrupos	y := (lambda_0 - A)e	falta e
cap_semigrupos	e* = A*e* por densidad de D(A)	por definición de auto-adjunto
cap_semigrupos	<Au,u> <= a<u,u>	=
cap_vigas	phi(0,t) = phi(L,t) = 0	falta = 0
cap_vigas	la integral de Cauchy-Schwarz da L	L/2

Antes de fusionar esta rama conviene fijar el sentido de la sincronización, o
acabará igual: o se hace pull en Overleaf antes de cada push, o Overleaf deja de
ser la fuente de verdad y se edita en git.

Resumen

Once correcciones sobre ddac35a. Restauran lo perdido, corrigen los errores de
enunciado y de prueba que quedaban, cierran las seis demostraciones pendientes,
sustituyen los dieciséis marcadores de fuente por citas con localizador
comprobado y fijan las tres convenciones que la introducción daba por decidir.

El documento compila desde cero en 150 páginas, sin referencias ni citas sin
resolver, y sin marcas ACABAR, TEXTO de fuente ni [CITA].

Errores que invalidaban el enunciado

• cap_semigrupos: la forma general de Hille-Yosida acota por
  M/(lambda - beta)^n. Faltaba el exponente, y sin él el enunciado es falso y
  contradice el lema inmediatamente anterior, que sí lo lleva.
• cap_semigrupos: el ejemplo de la imagen numérica concluye
  C \ (-infty, a], complementario de la semirrecta que contiene a W(A).
  Estaba escrito C \ [a, infty).
• cap_semigrupos: A acotado superiormente es <Au,u> <= a<u,u>, que es como
  se usa doce líneas después.
• cap_semigrupos: resolvente compacto es (lambda - A)^{-1} compacto, no
  rho(A), que es el conjunto resolvente. El error se repetía en cap_timoshenko.
• cap_semigrupos: la caracterización de la estabilidad exponencial pide el
  supremo del resolvente sobre iR, no un límite en el infinito.
• cap_vigas: la cadena auxiliar de la coercividad concluía
  (a+b)^2 <= a^2 + b^2, que es falso para a = b = 1. La cota correcta,
  (a+b)^2 <= 2(a^2 + b^2), es la que el paso siguiente ya usaba.
• cap_vigas: A no es acotado y no pertenece a L(H); se escribe
  A : D(A) subset H -> H.
• cap_timoshenko: C_2 lleva beta^2, como da la cota de I_2.

Huecos en las pruebas

• cap_semigrupos: la implicación 2 => 1 de Hille-Yosida empezaba suponiendo
  dado el semigrupo T(t), que es lo que hay que construir, y cerraba
  identificándolo por el teorema de unicidad antes de haber construido ninguno.
  Se invierte la reducción: se define A_1 = A - omega, se comprueba que
  satisface 2 con omega = 0 mediante (lambda - A)^{-1} = (mu - A_1)^{-1}, y
  una vez probado ese caso se toma T(t) = e^{omega t}T_1(t), cuyo generador es
  A. El álgebra es la misma, en sentido contrario.
• cap_semigrupos: la primera afirmación del teorema de propiedades de los
  operadores disipativos se probaba invocando Lumer-Phillips, que exige dominio
  denso. Esa hipótesis no figura en el enunciado y es la que se deduce de dicha
  afirmación en el teorema de disipatividad y reflexividad, de modo que la
  densidad se usaba para probar la densidad. Se sustituye por un argumento
  directo sobre Lambda = {lambda > 0 : R(lambda - A) = E_0}: la condición de
  disipatividad acota (lambda - A)^{-1} por 1/lambda, la serie de Neumann da
  (0, 2 lambda) contenido en Lambda para cada lambda de Lambda, y la
  sucesión (3/2)^n lambda_0 agota (0, infinito). No interviene la densidad.
• cap_vigas: la sobreyectividad de I - A necesita phi_t, psi_t en H_0^1,
  que es lo que exige D(A); la prueba se detenía en L^2. Se sigue de
  phi en H^2 cap H_0^1 y f_1 en H_0^1.
• cap_vigas: la coercividad se escribe con >=. Con desigualdad estricta falla
  en el origen y no da la constante que pide Lax-Milgram.
• cap_timoshenko: la cota del resolvente se obtiene para |lambda| > 1. Se
  cierra el rango restante por continuidad del resolvente sobre [-1,1].
• cap_semigrupos: el cociente incremental de e_epsilon es T(h), no T(t),
  y la igualdad estaba duplicada. En Lumer-Phillips las llaves acotaban mal:
  ||T(t)e|| <= ||e|| y ||e*|| = ||e||, cuyo producto da ||e||^2. El adjunto
  da z = A*y en H, no en D(A*). La cota unitaria es la de
  (I - A/n)^{-1}, que es la que se usa después.

Demostraciones pendientes, ahora cerradas

• Caracterización de la estabilidad exponencial en un espacio de Hilbert:
  Teorema 1.3.2 de Liu y Zheng, que la da para semigrupos de contracciones, con
  los originales de Gearhart y Prüss. Se añade una observación sobre la
  equivalencia entre el supremo sobre iR y el límite superior en el infinito,
  que es la forma que usa el capítulo amortiguado.
• Resolvente compacto: Proposición 5.8 de Engel y Nagel, con la misma hipótesis
  rho(A) no vacío y el mismo espacio D(A) con la norma del gráfico. La nota
  al pie explica que ese espacio es de Banach si y sólo si A es cerrado.
• Espectro de un operador con resolvente compacto: para lambda distinto de
  lambda_0 se comprueba que (mu - R) actúa sobre (lambda_0 - A)e como
  mu(lambda - A)e, con mu = 1/(lambda_0 - lambda), de modo que mu pertenece
  al espectro de R; siendo R compacto y mu no nulo, mu es autovalor de R
  por el Teorema 6.8 de Brezis, y el autovector resuelve Ay = lambda y.
• Producto interno de la energía: bilinealidad y simetría salen de que cada
  sumando es un producto de L^2 compuesto con una aplicación lineal. Para la
  definición positiva, anular los sumandos da psi_x = 0 y luego phi_x = 0, y
  Poincaré cierra ambos casos. La condición de contorno es la que hace funcionar
  ese paso: sobre H^1(0,L) sólo se obtendría que son constantes.
• Norma de la energía: la inducida por ese producto interno. La equivalencia con
  la usual sale de acotar el término cruzado en los dos sentidos, con constantes
  explícitas.

Preliminares

Dos resultados que el texto usaba sin tenerlos enunciados:

• Inmersiones compactas en un intervalo acotado, H^1 en L^2 y H^2 en H^1.
  El capítulo amortiguado las daba por el teorema de inmersiones de Sobolev, que
  no cubre ese caso, y llevaba un todo pidiendo la prueba de la segunda.
• Compacidad débil sucesional y operadores cerrados. El paso que deducía
  f = Ae de la convergencia débil quedaba sin justificar, con una nota
  preguntando por el lema de Mazur.

Citas

Los dieciséis marcadores de fuente pasan a referencias internas o a citas con
localizador leído en el ejemplar:

• Brezis: Lema 8.2, Corolario 1.4, Teorema 1.7 y Proposición 1.9, esta última
  para (S^perp)^perp, que el texto pedía demostrar.
• Yosida, Cap. VIII, Sec. 2, Teorema 1, para que el conjunto resolvente sea
  abierto. Se añade que el resultado exige A cerrado, cosa que la prueba
  establece unas líneas antes.
• Pazy, Cap. 4, Sec. 1, Teorema 1.3, que es literalmente el enunciado del
  teorema de existencia y unicidad cuya implicación el texto omite.
• Reed y Simon, Cap. VIII, Sec. 1, para la clausura de un operador cerrable.
• Engel y Nagel, Par. I.1.13 y II.2.5. Los envíos anteriores iban a
  One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations con localizadores
  5.14 y 2.5. No dispongo de ese ejemplar; sí de A Short Course on Operator
  Semigroups, de los mismos autores, donde ambos enunciados aparecen
  literalmente, incluida la definición del generador débil-* con la misma
  notación A^sigma. El 2.5 coincide.
• Timoshenko (1921) y (1922) en los tres puntos que remitían a "los trabajos de
  Timoshenko", y Gurtin para la mecánica de medios continuos que el capítulo da
  por conocida.

Entran además en la bibliografía Gearhart, Prüss, Liu y Zheng, Soufyane y
Muñoz Rivera y Racke. Los tres últimos quedan sin citar por ahora: son para el
capítulo de comportamiento asintótico y para la introducción y las conclusiones.
Con \nocite{*} se imprimen igualmente.

Convenciones

La introducción daba tres por decidir. Quedan fijadas y aplicadas al documento
entero, y anotadas en cabecera de introduccion.tex:

• Títulos de los enunciados como argumento opcional,
  \begin{Teorema}[Título]. Los estilos asfplain, asfdefinicion y
  asfobservacion definidos en main.tex los componen entre paréntesis y abren
  línea nueva, que es lo que pedía la nota: no hay que escribir ni los paréntesis
  ni el salto. Noventa entornos convertidos, y las seis marcas de salto manual
  sobran.
• \ref para teoremas, proposiciones, definiciones, lemas y secciones; 41
  envíos salían como Teorema (3.4). \eqref se queda para ecuaciones,
  incluidas las etiquetas internas a un enunciado.
• T(t) sólo en el capítulo de semigrupos; a partir del problema de Cauchy se
  escribe e^{At}. El capítulo de Cauchy usaba las dos: e^{At} en las
  secciones no homogénea y semilineal, T(t) en la homogénea. Sesenta y seis
  sitios unificados, incluida la norma del semigrupo en la prueba de
  contractividad, que además se escribía sin argumento. Las cuatro fórmulas que
  quedaban en rojo por esta decisión pierden el color.

Los tres problemas de Cauchy pasan de align a equation con aligned: la
etiqueta numeraba sólo el primer renglón y el texto se refiere al problema
entero. Era lo que pedían las dos marcas ARREGLAR EL LABEL.

Comprobación

$ latexmk -C && rm -f main.aux main.bbl main.toc
$ latexmk -pdf -interaction=nonstopmode main.tex
Output written on main.pdf (150 pages, 775892 bytes)

$ grep -c "LaTeX Warning: Reference .* undefined" main.log
0
$ grep -c "Citation .* undefined" main.log
0
$ grep -oh "\\\\label{[^}]*}" secciones/*.tex main.tex | sort | uniq -d
(sin etiquetas duplicadas)

Marcas restantes en el texto:

$ grep -c "ACABAR"          secciones/*.tex   0
$ grep -c "textcolor{green}" secciones/*.tex  0
$ grep -c "CITA]"            secciones/*.tex  0

Quedan sin tocar, por ser trabajo de redacción y no decisiones: los TEXTO y
TEXTO... donde falta prosa de enlace, los diez DIBUJO del capítulo de vigas,
las introducciones de capítulo, la introducción y las conclusiones, y el paso de
|| a \lVert en el capítulo de semigrupos, que es el único que queda por
convertir y que no he hecho a máquina porque emparejar || por expresión
regular puede romper las fórmulas anidadas.

Dos fuentes citadas siguen sin ejemplar local: las notas de Carvalho, que
sostienen el teorema del semigrupo sun dual y no tienen DOI, y Folland, cuya
única cita es alternativa a Brezis, Teorema 4.2, ya comprobado.