Conversation
Complétion du laboratoire 9 sur le contrôle optimal.
dpo
reviewed
Aug 18, 2025
dpo
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Aug 18, 2025
|
Status: |
dpo
reviewed
Aug 19, 2025
| - plotadjoints : Affiche les variables adjointes (co-états) | ||
| =# | ||
| #plot(sol) | ||
| plot(sol, plotstates=true, plotcontrol=true, plotadjoints=true) |
Contributor
There was a problem hiding this comment.
???? Ce n'est pas du tout ça qu'on demande de faire.
| # Objectif à minimiser | ||
| ∫(ρ * g * x[1](t) * √(1 + u(t)^2)) → min | ||
| end | ||
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Contributor
There was a problem hiding this comment.
On se demande bien comment tu as trouvé cette formulation ...
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| ### Analyse des résultats | ||
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| Les résultats obtenus pour la question 2 montrent la résolution d'un problème de contrôle optimal visant à minimiser l'énergie potentielle d'une trajectoire sous contraintes dynamiques. Le solveur IPOPT a été utilisé pour résoudre ce problème, avec les observations suivantes : |
| Les graphes générés montrent l'évolution des variables d'état, des co-états et du contrôle au cours du temps : | ||
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| 1. **État (x)** : | ||
| - La variable d'état évolue de manière régulière, passant de 1.0 à 2.5, conformément aux conditions aux limites imposées (\(x(t_0) = 1\), \(x(t_f) = 2.5\)). |
| - La variable d'état évolue de manière régulière, passant de 1.0 à 2.5, conformément aux conditions aux limites imposées (\(x(t_0) = 1\), \(x(t_f) = 2.5\)). | ||
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| 2. **Co-état** : | ||
| - Le co-état montre une décroissance vers zéro, reflétant l'optimisation de la trajectoire pour minimiser l'énergie potentielle. |
| - Le contrôle varie entre 0 et 6, avec des ajustements dynamiques pour respecter les contraintes et minimiser l'objectif. | ||
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| 4. **Convergence** : | ||
| - Le solveur a convergé vers une solution optimale après 914 itérations, avec un temps total de calcul de 8.879 secondes environ. |
| Formulation mathématique : | ||
| Maximiser x₂(tf) sous les contraintes : | ||
| - Dynamique : dx₁/dt = -x₁ + u | ||
| dx₂/dt = √x₁ |
| Les variables adjointes (coétats) illustrent les multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintes dynamiques. Le coétat lié à $x_1$ montre une décroissance rapide vers des valeurs négatives, indiquant un coût élevé pour respecter la dynamique en début de trajectoire. Celui associé à $x_2$ reste constant (proche de -1), conformément à l'objectif de maximisation de $x_2(t_f)$, car la dynamique de $x_2$ ne dépend pas directement de $x_2$ lui-même. | ||
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| ### Analyse du contrôle (control) | ||
| La commande optimale $u(t)$ évolue entre les bornes $[0, 1]$. Elle démarre à une valeur élevée (proche de 0.4) pour satisfaire rapidement la condition finale sur $x_1$, puis décroît progressivement. Cette décroissance reflète un compromis entre la maximisation de $x_2$ et la contrainte sur $x_1(t_f)$. |
| L'évolution des états montre que la composante $x_1(t)$ part de 0 et atteint la condition finale $x_1(t_f) = 0.5$ à $t = 1$. La trajectoire est croissante et présente une non-linéarité, reflétant l'influence de la dynamique $\dot{x}_1 = -x_1 + u$. La composante $x_2(t)$, qui représente l'objectif à maximiser, augmente de manière monotone avec une pente décroissante, en cohérence avec la dynamique $\dot{x}_2 = \sqrt{x_1}$. La valeur finale de $x_2(t_f)$ est d'environ 0.48, ce qui correspond à l'objectif optimisé. | ||
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| ### Analyse du coétat (costate) | ||
| Les variables adjointes (coétats) illustrent les multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintes dynamiques. Le coétat lié à $x_1$ montre une décroissance rapide vers des valeurs négatives, indiquant un coût élevé pour respecter la dynamique en début de trajectoire. Celui associé à $x_2$ reste constant (proche de -1), conformément à l'objectif de maximisation de $x_2(t_f)$, car la dynamique de $x_2$ ne dépend pas directement de $x_2$ lui-même. |
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