Yamazaki Model Visualizer

Interactive Wheel/Rail & Tire Contact Force Simulator — Brush & Hertz Model

Author: Dr. Hiroo Yamazaki

• First release: May 9, 2026
• Current version: v2.0 (June 20, 2026)

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The Yamazaki Model aims to bridge automotive tire dynamics and railway adhesion theory through a common rolling-contact formulation.

The Yamazaki Model Visualizer is an open-source Executable Engineering Model (EEM) for tire-road and wheel-rail contact mechanics. It ships as two standalone HTML tools that share the same physics engine: Rail (steel wheel / rail) and Tire (rubber tire / road).

Yamazaki Model Visualizer は、タイヤ・路面および車輪・レール間接触力学を対象としたオープンソース実行可能工学モデル（EEM）です。同一の物理エンジンを共有する2つのスタンドアロンHTMLツール、Rail版（鉄輪／レール）とTire版（タイヤ／路面）として提供されます。

ブラウザ上で接触力モデルをリアルタイム可視化するスタンドアロンツールです。インストールやサーバー構築は不要です。

A self-contained, zero-dependency browser tool for real-time visualization of wheel/rail and tire contact mechanics.

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概要 / Overview

本ツールは 山崎モデル（Yamazaki Model） を実装したインタラクティブビジュアライザです。

Brush Model（ブラシモデル）、Hertz 楕円接触圧力、および速度依存動摩擦モデルを統合し、接触楕円内の粘着／すべり領域、接線力分布、およびトラクション特性をリアルタイムに計算・可視化します。

This tool implements the Yamazaki friction model by integrating the Brush Model, Hertzian elliptical contact pressure, and velocity-dependent dynamic friction.

It renders adhesion/slip zone maps, tangential force distributions, and traction characteristic curves in real time.

物理法則（接触圧力分布・ブラシせん断応力・粘着すべり判定・速度依存摩擦則）は Rail / Tire 共通です。異なるのは入力パラメータ（接触楕円寸法、荷重、剛性、摩擦係数、速度）のみであり、Python 参照モデルの cond 番号に対応しています。

• Rail 版（Yamazaki_Model_Visualizer_Rail.html）：鉄輪／レール接触、cond = 1（Polach比較条件）に対応
• Tire 版（Yamazaki_Model_Visualizer_Tire.html）：タイヤ／路面接触、cond = 3（直進・横すべりなし）に対応

The same physical laws (Hertzian pressure, brush shear stress, adhesion/slip criterion, velocity-dependent friction law) govern both tools. Only the input parameters differ, corresponding to cond in the Python reference model:

• Rail: steel wheel / rail contact, cond = 1 (Polach comparison case)
• Tire: tire / road contact, cond = 3 (straight running, no lateral slip)

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特徴 / Features

• リアルタイム計算・可視化
• 粘着／すべり領域の表示
• 接線力分布のヒートマップ表示
• Hertz 接触圧分布の可視化
• 縦・横スリップ連成解析
• 接触剛性 $K_x, K_y$ の対数スライダーによる独立調整
• 速度依存摩擦（Stribeck 効果）
• スタンドアロン動作（依存ライブラリ不要）

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使い方 / Usage

ステップ 0 — ブラウザで直接開く（インストール不要）

👉 Rail版: https://hiroo718.github.io/yamazaki-model/Yamazaki_Model_Visualizer_Rail.html

👉 Tire版: https://hiroo718.github.io/yamazaki-model/Yamazaki_Model_Visualizer_Tire.html

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ステップ 1 — リポジトリをクローン

Repository:

https://github.com/hiroo718/yamazaki-model

git clone https://github.com/hiroo718/yamazaki-model.git
cd yamazaki-model

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ステップ 2 — HTMLファイルをブラウザで開く

Rail版・Tire版いずれも同じ手順で開けます。以下は Tire版の例です（Rail版の場合はファイル名を Yamazaki_Model_Visualizer_Rail.html に置き換えてください）。

macOS

open Yamazaki_Model_Visualizer_Tire.html

Windows

start Yamazaki_Model_Visualizer_Tire.html

Linux

xdg-open Yamazaki_Model_Visualizer_Tire.html

Note

サーバーや依存ライブラリのインストールは不要です。

Chrome / Firefox / Safari / Edge の最新版で動作します。

No server or library installation is required.

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操作パネル / Control Panel

左側のコントロールスライダーで以下のパラメータをリアルタイムに変更できます。デフォルト値はそれぞれのツールが対応する cond の初期値です。

パラメータ	説明	範囲	Rail版デフォルト（cond=1）	Tire版デフォルト（cond=3）
$s_x$	縦スリップ率	$0 \sim 1.0$	$0.10$	$0.10$
$s_y$	横スリップ率	$0 \sim 1.0$	$0.00$	$0.00$
$\mu_s$	静摩擦係数	$0.10 \sim 1.20$	$0.48$	$1.15$
$\alpha$	動摩擦比 $\mu_\infty / \mu_0$	$0 \sim 1.0$	$0.44$	$0.10$
$\beta$	Stribeck 減衰率 $[\mathrm{s/m}]$	$0.01 \sim 1.00$	$0.25$	$0.005$

$K_x, K_y$（縦・横方向ブラシ剛性）は対数スケールのスライダーで、独立に調整できます。調整範囲はツールごとに異なります。

パラメータ	説明	Rail版 範囲	Rail版デフォルト	Tire版 範囲	Tire版デフォルト
$K_x$	縦方向ブラシ剛性（対数）	$1 \sim 90$ GPa	$8.08$ GPa	$0.1 \sim 100$ MPa	$7.00$ MPa
$K_y$	横方向ブラシ剛性（対数）	$1 \sim 90$ GPa	$8.08$ GPa	$0.1 \sim 100$ MPa	$7.00$ MPa

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表示パネル / Visualization Panels

┌──────────────────┬────────────────┬────────────────┐
│  粘着/すべり域   │ 接線力 |f| 分布 │ 圧力分布 p(x,y)│
│ Adhesion / Slip  │ Tangential |f| │ Hertz Pressure │
├──────────────────┴────────────────┴────────────────┤
│         トラクション特性 Fx/Fz, Fy/Fz             │
│          (sx sweep / sy sweep 切替)               │
└────────────────────────────────────────────────────┘

粘着／すべり域

• 青：粘着域（弾性変形支配）
• 赤：すべり域（摩擦飽和）

接線力分布

接線力の大きさ

$$ |f|=\sqrt{f_x^2+f_y^2} $$

をヒートマップ表示します。

圧力分布

Hertz 楕円接触理論に基づく法線圧力分布を表示します。

トラクション特性

縦スリップ率または横スリップ率を掃引した際の

$$ F_x/F_z $$

および

$$ F_y/F_z $$

を表示します。

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モデルの理論 / Model Theory

1. Hertz 楕円接触圧力

タイヤと路面の接触形状を楕円形と仮定します。

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1 $$

法線圧力分布は次式で与えられます。

$$ p(x,y)= \frac{3F_z}{2\pi ab} \sqrt{ 1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} } $$

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2. Brush Model — 弾性せん断応力

接触境界までの距離を

$$ x_e(y)=a\sqrt{1-\left(\frac{y}{b}\right)^2} $$

$$ y_e(x)=b\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2} $$

と定義します。

弾性せん断応力は、

$$ f_{x,e}(x,y) = K_x s_x\frac{x_e(y)-x}{2x_e(y)} $$

$$ f_{y,e}(x,y) = K_y s_y\frac{y_e(x)-y}{2y_e(x)} $$

で与えられます。

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3. 粘着・すべり判定

接線応力の大きさを

$$ |f_e| = \sqrt{f_{x,e}^2+f_{y,e}^2} $$

とすると、

$$ |f_e|>\mu_s p(x,y) $$

の場合に滑り状態へ遷移します。

滑り状態では、

$$ \mathbf{f} = \mu_d(w)p(x,y)\frac{\mathbf{f}_e}{|f_e|} $$

とします。

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4. 速度依存動摩擦係数

動摩擦係数は Stribeck 型モデルを用いて、

$$ \mu_d(w) = \mu_s\left[(1-\alpha)e^{-\beta w}+\alpha\right] $$

と表現します。

相対すべり速度は

$$ w=v_0\sqrt{s_x^2+s_y^2} $$

です。

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5. 合力の計算

接触領域全体で積分して、

$$ F_x = \iint_{\Omega}f_x(x,y),dA $$

$$ F_y = \iint_{\Omega}f_y(x,y),dA $$

を求めます。

表示値は無次元化された

$$ F_x/F_z $$

および

$$ F_y/F_z $$

です。

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固定パラメータ / Fixed Parameters

Python 参照モデルの cond に対応する値です。物理法則は共通で、以下の値のみがツール間で異なります。$K_x, K_y$（ブラシ剛性）は固定値ではなく操作パネルのスライダーで調整するため、この表には含まれていません（デフォルト値は前項「操作パネル」を参照）。

記号	説明	Rail版（cond=1）	Tire版（cond=3）
$a$	接触楕円半長軸	12.90 mm	100 mm
$b$	接触楕円半短軸	8.01 mm	120 mm
$F_z$	垂直荷重	14.76 kN	3923 N
$v_0$	速度	24 km/h	20 km/h
$\mu_s$	静摩擦係数	0.48	1.15
$\alpha$	動摩擦比 $\mu_\infty/\mu_0$	0.44	0.10
$\beta$	Stribeck 減衰率	0.25 s/m	0.005 s/m
$N, M$	計算メッシュ数	60 × 60	60 × 60

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ファイル構成 / Repository Structure

yamazaki-model/
├── README.md
├── Yamazaki_Model_Visualizer_Rail.html
├── Yamazaki_Model_Visualizer_Tire.html
├── archive/
│   └── Yamazaki_Model_Visualizer_Tire_v1.html
└── CITATION.cff

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Version History

v2.0 (June 20, 2026)

• Replaced the shear modulus formulation with brush stiffness parameters $K_x$ and $K_y$
• Aligned both browser implementations with the Python reference model: Rail (cond = 1) and Tire (cond = 3)
• Updated default parameters for each tool accordingly
• Made $K_x$ and $K_y$ independently adjustable via logarithmic sliders (Rail: 1–90 GPa, Tire: 0.1–100 MPa), moved out of the Fixed Parameters table
• Removed experimental comparison figures
• Revised the README documentation to cover both Rail and Tire tools

v1.0 (May 9, 2026)

• Initial browser implementation
• Simplified brush model using shear modulus $G$

Older versions are available in the archive/ directory.

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AI Assistance

The visualization interface and software implementation were developed with the assistance of AI systems.

AI assistance was used for code generation, documentation support, and interface design.

The theoretical formulation and validation of the model remain the responsibility of the author.

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引用 / Citation

本ツールを研究、論文、または学会発表等に使用する場合は、CITATION.cff を参照して引用してください。

If you use this tool in your research, please cite it using the metadata in CITATION.cff.

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Contact

For questions or feedback:

• Email: yamazaki.hiroo@gmail.com
• GitHub Discussions: https://github.com/hiroo718/yamazaki-model/discussions

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参考文献 / References

1. Yamazaki, H., Nagai, M., and Kamada, T., A Study of Adhesion Force Model for Wheel Slip Prevention Control, JSME International Journal, Series C, Vol. 47, No. 2, 2004, pp. 496–501.

2. Yamazaki, H., Adhesion Model Based on Hertz Contact Theory Using Coefficient of Dynamic Friction, Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series C, Vol. 76, No. 770, 2010, pp. 82–87.

3. Abe, M., Vehicle Handling Dynamics, Butterworth-Heinemann, 2015.

4. Polach, O., Creep Forces in Simulations of Traction Vehicles Running on Adhesion Limit, Wear, Vol. 258, 2005, pp. 992–1000.

5. Shabana, A. A., Zaazaa, K. E., and Sugiyama, H., Railroad Vehicle Dynamics, CRC Press, 2008.

6. Ohyama, T., RTRI Report, Vol. 1, No. 2, 1987.

7. Kalker, J. J., Survey of Wheel-Rail Rolling Contact Theory, Vehicle System Dynamics, 1979.