Remoção de linhas em excesso

Semana03/semana03.tex

@@ -592,14 +592,14 @@ \section{Matriz de uma transformação linear}
 \left[
   \begin{array}{r}
     1 \\
-    0 \\
+    0
   \end{array}
 \right]\quad \text{e}\quad
 \vec{e}_2 =
 \left[
   \begin{array}{c}
     0\\
-    1\\
+    1
   \end{array}
 \right].
 \end{equation} De fato,
@@ -608,19 +608,19 @@ \section{Matriz de uma transformação linear}
 \left[
   \begin{array}{r}
     x_1 \\
-    x_2 \\
+    x_2
   \end{array}
 \right] =
 x_1 \left[
   \begin{array}{r}
     1 \\
-    0 \\
+    0
   \end{array}
 \right] +
 x_2 \left[
   \begin{array}{c}
     0\\
-    1\\
+    1
   \end{array}
 \right] = x_1 \vec{e}_1 + x_2 \vec{e}_2.
 \end{equation} Logo, utilizando a propriedade de a transformação ser linear, temos que
@@ -633,15 +633,15 @@ \section{Matriz de uma transformação linear}
   \begin{array}{r}
     1 \\
     3 \\
-    -1 \\
+    -1
   \end{array}
 \right] \quad \text{e}\quad
 T(\vec{e}_2) =
 \left[
   \begin{array}{r}
     -3 \\
      5 \\
-     1 \\
+     1
   \end{array}
 \right].
 \end{equation} Concluímos que
@@ -651,27 +651,27 @@ \section{Matriz de uma transformação linear}
   \begin{array}{r}
     1 \\
     3 \\
-    -1 \\
+    -1
   \end{array}
 \right] + x_2
 \left[
   \begin{array}{r}
     -3 \\
      5 \\
-     1 \\
+     1
   \end{array}
 \right] =
 \left[
   \begin{array}{rr}
     1  & -3 \\
     3  & 5  \\
-    -1 & 1 \\
+    -1 & 1
   \end{array}
 \right]
 \left[
   \begin{array}{r}
     x_1 \\
-    x_2 \\
+    x_2
   \end{array}
 \right].
 \end{equation} Desta forma, associamos uma matriz de ordem $3 \times 2$ à transformação linear $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$.
@@ -687,23 +687,23 @@ \section{Matriz de uma transformação linear}
   \begin{array}{r}
     5 \\
     0 \\
-    0 \\
+    0
   \end{array}
 \right], \quad
 T(\vec{e}_2) =
 \left[
   \begin{array}{r}
      0 \\
      5 \\
-     0 \\
+     0
   \end{array}
 \right]  \quad \text{e} \quad
 T(\vec{e}_3) =
 \left[
   \begin{array}{r}
      0 \\
      0 \\
-     5 \\
+     5
   \end{array}
 \right].
 \end{equation} Assim, podemos escrever
@@ -712,14 +712,14 @@ \section{Matriz de uma transformação linear}
   \begin{array}{rrr}
     5  & 0 & 0 \\
     0  & 5 & 0 \\
-    0  & 0 & 5 \\
+    0  & 0 & 5
   \end{array}
 \right]
 \left[
   \begin{array}{r}
     x_1 \\
     x_2 \\
-    x_3 \\
+    x_3
   \end{array}
 \right]. \lhd
 \end{equation}
@@ -741,27 +741,27 @@ \section{Matriz de uma transformação linear}
 \left[
   \begin{array}{r}
     \cos \theta \\
-    \sen \theta \\
+    \sen \theta
   \end{array}
 \right], \quad T(\vec{e}_2) =
 \left[
   \begin{array}{r}
     - \sen \theta \\
-    \cos \theta \\
+    \cos \theta
   \end{array}
 \right].
 \end{equation} Logo, concluímos que
 \begin{equation}
 T(\vec{x}) = \left[
   \begin{array}{rr}
     \cos \theta  & - \sen \theta \\
-    \sen \theta  & \cos \theta \\
+    \sen \theta  & \cos \theta
   \end{array}
 \right]
 \left[
   \begin{array}{r}
     x_1 \\
-    x_2 \\
+    x_2
   \end{array}
 \right].
 \end{equation}
@@ -856,7 +856,7 @@ \subsection{Transformações lineares sobrejetoras}
   \begin{array}{rrrr}
     5  & 3 & 1 & 1 \\
     0  & -1 & 1 & -1 \\
-    0  & 0 & 0 & 3 \\
+    0  & 0 & 0 & 3
   \end{array}
 \right].
 \end{equation} Como são quatro colunas de $\mathbb{R}^3$, vemos que as colunas são LD e, portanto, $T$ não é injetora.
@@ -868,7 +868,7 @@ \subsection{Transformações lineares sobrejetoras}
   \begin{array}{rrrr|r}
     5  & 3 & 1 & 1 & b_1\\
     0  & -1 & 1 & -1& b_2\\
-    0  & 0 & 0 & 3& b_3\\
+    0  & 0 & 0 & 3& b_3
   \end{array}
 \right]
 \end{equation} possui solução para todo $\vec{b} \in \mathbb{R}^3$. De fato, o sistema possui solução (já que nenhuma linha da sua forma escalonada é inconsistente). Em verdade, o sistema possui uma variável livre. Logo, $T$ é sobrejetora.
@@ -882,7 +882,7 @@ \subsection{Transformações lineares sobrejetoras}
   \begin{array}{rrrr}
     3  & 1 \\
     5  & 7 \\
-    0  & -4 \\
+    0  & -4
   \end{array}
 \right].
 \end{equation} Como são somente duas colunas, é fácil ver que uma não é múltipla da outra: por causa das primeiras componentes, podemos pensar que a primeira coluna é três vezes a primeira, mas verificando a segunda linha já não dá certo $3\cdot 7 \neq 5$. Logo, as colunas são LI e a transformação $T$ é injetora.