Курс математической логики, КТ, весна 2023

Материалы

• Конспект 2018 года

• Конспект 2011 года

• Теоретические домашние задания

• Список вопросов к зачёту/экзамену

• Краткая инструкция по утилите make

Лекция 1

Исчисление высказываний

• Немного об истории вопроса
• Язык исчисления высказываний
• Теория моделей, оценка высказываний
• Теория доказательств, доказательства, выводимость
• Теорема о корректности классического исчисления высказываний

Где почитать

• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf
• Конспекты 2011 и 2018 года по логике.
• О противоречиях в математическом анализе: Джордж Беркли, «Аналитик. Беседа, адресованная неверному математику: где исследуется, являются ли объект, принципы и выводы современного анализа более отчетливо задуманы или более явно выведены, чем религиозные мистерии и точки веры» --- М.: Мысль, 1978
• О разных вариантах исчисления высказываний (включая варианты с одной схемой аксиом): https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Hilbert_systems

Лекция 2

Теоремы об исчислении высказываний

• Теорема о дедукции
• Теорема о полноте классическое И.В.
• Введение в интуиционистское исчисление высказываний: история
• BHK-интерпретация связок
• Топологическая интерпретация интуиционистского исчисления высказываний

Где почитать

• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf
• Конспекты 2011 и 2018 года по логике.
• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf
• В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 http://logic.math.msu.ru/wp-content/uploads/plisko/intlog.pdf

Лекция 3

Модели интуиционистского исчисления высказываний

• Общая топология, базовые определения
• Решётки, алгебра Гейтинга и булева алгебра
• Алгебра Линденбаума

Где почитать

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология. --- М.: Издательство МЦНМО, 2010
• В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 http://logic.math.msu.ru/wp-content/uploads/plisko/intlog.pdf
• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf

Лекция 4

Теоремы об интуиционистском исчислении высказываний

• Модели Крипке, их соответствие алгебрам Гейтинга
• Нетабличность ИИВ
• Дизъюнктивность ИИВ
• Естественный вывод для ИИВ

Где почитать

• В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 http://logic.math.msu.ru/wp-content/uploads/plisko/intlog.pdf
• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf

Лекция 5

Исчисление предикатов

• Язык исчисления предикатов
• Теория моделей, теория доказательств
• Теорема о дедукции
• Теорема о корректности

Где почитать

• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf

Лекция 6

Теорема о полноте исчисления предикатов

• Непротиворечивые множества формул
• Модели для непротиворечивых множеств формул
• Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов
• Следствие о полноте исчисления предикатов
• Непротиворечивость исчисления предикатов

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf

Лекция 7

Аксиоматика Пеано и формальная арифметика

• Неразрешимость исчисления предикатов
• Аксиоматика Пеано
• Теории первого порядка
• Формальная арифметика

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.

Лекция 8

Рекурсивные функции и представимость функций в формальной арифметике

• О разрешимости интуиционистского исчисления высказываний
• Рекурсивные функции
• Функция Аккермана, доказательство того, что она не является примитивно-рекурсивной
• Выразимость отношений, представимость функций в формальной арифметике
• Все рекурсивные функции представимы
• Гёделева нумерация, все представимые функции рекурсивны

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf
• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf
• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Э. Мендельсон, Введение в математическую логику --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1971.

Лекция 9

Теоремы Гёделя о неполноте арифметики

• Омега-непротиворечивость, семантическая и синтаксическая полнота.
• Первая теорема Гёделя о неполноте арифметики.
• Теорема Гёделя о неполноте арифметики в форме Россера.
• Consis
• Условия выводимости Гильберта-Бернайса-Лёфа.
• Лемма об автоссылках, другая формулировка теоремы Гёделя о неполноте арифметики.
• Вторая теорема Гёделя о неполноте арифметики.

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Гилберт Д., Бернайс П., Основания математики --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1982.

Лекция 10

Теория множеств

• История возникновения теории
• Аксиомы теории множеств
• Ординалы

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Конспекты 2011 и 2018 года по логике.
• Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010

Лекция 11

Мощность множеств

• Равномощные множества
• Кардинальные числа
• Теорема Кантора-Бернштейна
• Теорема Кантора
• Счётная аксиоматизация теории
• Теорема Лёвенгейма-Сколема
• Парадокс Сколема

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Конспекты 2011 и 2018 года по логике.
• Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010
• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1.pdf

Лекция 12

Аксиома выбора

• Альтернативные формулировки (Лемма Цорна, Теорема Цермело, существование частичной обратной)
• Пример применения аксиомы выбора в математике: эквивалентность определений по Коши или по Гейне
• Теорема Диаконеску
• Ослабленные варианты аксиомы
• Универсум фон-Неймана и аксиома конструктивности.

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Конспекты 2011 и 2018 года по логике.
• Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010

Лекция 13

Трансфинитная индукция. Доказательство непротиворечивости формальной арифметики

• Математическая и трансфинитная индукция, различные формулировки.
• Система S-бесконечность
• Сечения. Теорема об устранении сечений
• Теорема о непротиворечивости формальной арифметики

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010
• Э. Мендельсон, Введение в математическую логику --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1971.

Лекция 14

Лямбда-исчисление

• Бестиповое лямбда-исчисление
• Просто-типизированное лямбда исчисление, изоморфизм Карри-Ховарда
• Обзор различных теорий, основанных на лямбда-исчислении и их приложений в математике и программировании.

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf

Лекция 15

Метод резолюций

• Теорема Гёделя о компактности исчисления предикатов
• Сколемизация
• Эрбранов универсум
• Метод резолюций

Где почитать

• Ч. Чень, Р. Ли, Математическая логика и автоматическое доказательство теорем --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1983.