外力驅動的非線性阻尼振盪

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系統示意圖

物理模型設定

一個磁針（以 $\mu$ 表示）受到兩個分量組成的合成磁場驅動：

• $x$ 軸磁場：一個固定不變的靜磁場，記為 $B_1$（常數）。
• $y$ 軸磁場：一個隨時間週期變化的振盪磁場 $B_2 \cos(\omega t)$，角頻率為 $\omega$。

動力學與運動

當磁偶極矩 $\mu$ 與這些磁場交互作用時，會與 $x$ 軸形成夾角 $\theta$。

由於 $y$ 軸分量會隨 $\cos(\omega t)$ 振盪，合成磁場的方向也會隨時間週期性改變。

這種時變的驅動力會對磁針施加週期性力矩，使其繞平衡位置產生轉動振盪，如圖中彎曲的雙向箭頭所示。

無因次化後的運動方程式

$\frac{d^2\theta}{dT^2}=-\gamma\frac{d\theta}{dT}-b_1\sin\theta+b_2\cos\theta\cos (2\pi T)$

本專案採用 $\gamma = 6.0, b_1 = 36.0$。

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特定初始條件下的分岔圖

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$b_2=95.0$ （2種 週期-1）

$\theta-t$ 圖

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兩種振盪態的動畫

黑色箭頭為總磁場。 紅色箭頭為動畫中的週期- $1^+$ 振盪。 藍色箭頭為動畫中的週期- $1^-$ 振盪。

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相空間的二維投影

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吸引域（Basins of attraction）

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$b_2=103.2$ （週期-3, 5共存）

$\theta-t$ 圖

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兩種振盪態的動畫

黑色箭頭為總磁場。 紅色箭頭為週期-3 振盪。 藍色箭頭為週期-5 振盪。

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相空間的二維投影

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吸引域（Basins of attraction）

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