2 Keys Keyboard

0650.2-Keys-Keyboard/memo.md

@@ -0,0 +1,94 @@
+# 650. 2 Keys Keyboard
+
+ナップザックDPの問題から選んだ。
+
+まず基本的なナップザック問題の復習から：
+
+> 容量 $W$ のナップサックがあります。 $n$ 個のアイテムがあり、各アイテム $i$ には重さ $weight[i]$ と価値 $value[i]$ が設定されています。 ナップサックの総重量が $W$ を超えないようにアイテムを選んだとき、得られる価値の最大値を求めてください。
+
+dp[i][w] = 「最初の $i$ 個のアイテムだけを使い、制限重量が $w$ であるときの価値の最大値」
+
+として解く。
+
+```python
+def knapsack_01_2d(W: int, weights: list[int], values: list[int]) -> int:
+    n = len(weights)
+    # dp[i][w] のテーブルを初期化 (行: アイテム数+1, 列: 容量+1)
+    dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]
+
+    for i in range(1, n + 1):
+        w_item = weights[i - 1]
+        v_item = values[i - 1]
+        for w in range(W + 1):
+            if w >= w_item:
+                # 「選ばない」と「選ぶ」の大きい方を取る
+                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - w_item] + v_item)
+            else:
+                # 重すぎて入れられない場合は、前の状態を引き継ぐ
+                dp[i][w] = dp[i - 1][w]
+
+    return dp[n][W]
+
+```
+
+空間計算量の削減
+
+```python
+def knapsack_01_1d(W: int, weights: list[int], values: list[int]) -> int:
+    n = len(weights)
+    dp = [0] * (W + 1)
+
+    for i in range(n):
+        w_item = weights[i]
+        v_item = values[i]
+        # 逆順に回すことで、同じアイテムを2回選ぶのを防ぐ
+        for w in range(W, w_item - 1, -1):
+            dp[w] = max(dp[w], dp[w - w_item] + v_item)
+
+    return dp[W]
+```
+
+考え方
+
+1. 「アイテム（選択の対象）」は何か？
+- 問題文に登場する「要素のリスト」を見つけます。
+- 例：硬貨（Coin Change）、文字列（Word Break）、仕事のタスク、配列の数字。
+
+2. 「ナップサックの容量（制限リソース）」は何か？
+- 「これを超えてはいけない」「ぴったりこの値にしなければならない」という足かせを見つけます。これがDP配列の長さ（列数）になります。
+- 例：目標金額、合計重量、文字列の長さ、予算。
+
+3. 「価値（最適化したい目標）」は何か？
+- 「最大化」または「最小化」したい数値を特定します。これがDPの各マスに保存される値です。
+- 例：総価値の最大化、使う枚数の最小化、組み合わせの総数。
+
+応用
+
+完全ナップサック問題 (Unbounded Knapsack)
+- 特徴: 同じアイテムを何回でも選んでよい。
+
+部分和問題 (Subset Sum / Partition Equal Subset Sum)
+- 特徴: 「価値」という概念がなく、「特定の合計値を作れるか？」というYES/NOを判定する。
+
+## step1
+
+この問題もCopyかPasteかを選択する点がナップザックDPと似ている
+
+ナップザックDPの考え方で解いてみる。が、かなり遅い。O(n^2)なので改善できそう。
+
+コピーしている個数が多いほどpasteの回数は少なくなるに決まっているのでこれを利用できる。
+
+またコピーするのは得たい文字数の約数に限られる。
+
+
+## step2
+
+https://leetcode.com/problems/2-keys-keyboard/solutions/8290642/2-keys-keyboard-prime-factorization-by-s-6zj7/?envType=problem-list-v2&envId=50vif4uc
+
+O(\sqrt{n})まで落とせるのか。思いつかなかった。
+
+文字数をX倍しようとするとき、X回の操作（copy1回 + pasetX-1回）が必要となる。
+
+すると、最小回数は素因数の和に等しくなる、ということか。
+
+この素因数分解の方法自体も覚えておこう。

0650.2-Keys-Keyboard/step1_dp.py

@@ -0,0 +1,16 @@
+import math
+
+
+class Solution:
+    def minSteps(self, n: int) -> int:
+        dp = [[math.inf] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
+        dp[1][0] = 0
+        for i in range(1, n + 1):
+            min_i = math.inf if i != 1 else 0
+            for j in range(1, i + 1):
+                if 2 * j <= i:
+                    dp[i][j] = dp[i - j][j] + 1
+                    min_i = min(min_i, dp[i][j])
+            dp[i][i] = min_i + 1
+
+        return min(dp[n])

0650.2-Keys-Keyboard/step1_linear.py

@@ -0,0 +1,14 @@
+class Solution:
+    def minSteps(self, n: int) -> int:
+        dp = [-1] * (n + 1)
+        dp[1] = 0
+
+        for num_to_make in range(2, n + 1):
+            dp[num_to_make] = num_to_make
+
+            for num_to_paste in range(num_to_make // 2, 1, -1):
+                if num_to_make % num_to_paste == 0:
+                    dp[num_to_make] = dp[num_to_paste] + (num_to_make // num_to_paste)
+                    break
+
+        return dp[n]

0650.2-Keys-Keyboard/step2.py

@@ -0,0 +1,18 @@
+class Solution:
+    def minSteps(self, n: int) -> int:
+        if n == 1:
+            return 0
+
+        steps = 0
+        divisor = 2
+
+        while divisor * divisor <= n:
+            while n % divisor == 0:
+                steps += divisor
+                n //= divisor
+            divisor += 1
+
+        if n != 1:
+            steps += n
+
+        return steps

0650.2-Keys-Keyboard/step3.py

@@ -0,0 +1,17 @@
+class Solution:
+    def minSteps(self, n: int) -> int:
+        if n == 1:
+            return 0
+
+        steps = 0
+        divisor = 2
+        while divisor * divisor <= n:
+            while n % divisor == 0:
+                steps += divisor
+                n //= divisor
+            divisor += 1
+
+        if n != 1:
+            steps += n
+
+        return steps