Soit p un nombre premier impair. Pour tout entier n de 0 à p − 1, on considère la somme :
Montrer que pour au moins (p + 1)/2 valeurs de n dans {0, 1, 2,..., p-1}, la somme S(n) n'est pas divisible par p.
Ce problème est l'un des plus difficiles jamais posés au concours Putnam. En 2011, aucun des 3 407 candidats n'a obtenu le moindre point : score collectif de 0/10 pour 100 % des participants.
La difficulté tient à une construction non naturelle — le polynôme auxiliaire G(x) = F(x) − x + x^p — qui exploite simultanément le petit théorème de Fermat, le théorème de Wilson et la théorie des racines multiples sur les corps finis.
| Fichier | Description |
|---|---|
| putnam-b6-2011-solution.md | Solution complète en Markdown (LaTeX, étapes détaillées, remarques) |
| putnam-b6-2011-solution.html | Version HTML autonome (rendu LaTeX via KaTeX, lisible dans un navigateur) |
- Reformulation — Traiter le cas n = 0, puis montrer que S(n) a au plus (p − 1)/2 racines dans {1, …, p − 1}
- Point de vue polynomial — Interpréter S(n) comme un polynôme P(x) sur F_p
- Réduction à l'exponentielle tronquée — Via Wilson, Fermat et un changement de variable, ramener l'étude à F(x) = ∑ x^k / k!
- Construction auxiliaire — Définir G(x) = F(x) − x + x^p et montrer que G(n) ≡ F(n) et G'(x) ≡ F(x) (mod p)
- Racines doubles — En déduire que toute racine de F est racine double de G, donc F a au plus (p − 1)/2 racines distinctes
- Conclusion — Au moins (p + 1)/2 valeurs de n donnent p ∤ S(n). CQFD.
- Théorème de Wilson : (p − 1)! ≡ −1 (mod p)
- Petit théorème de Fermat : n^(p−1) ≡ 1 (mod p) pour n ≢ 0
- Théorie des polynômes sur les corps finis (multiplicité des racines)
- Isomorphismes du groupe multiplicatif F_p*
La borne (p − 1)/2 est grossière. En 2012, Sergey Stepanov a montré que le nombre de racines est majoré par 2 · p^(2/3), une borne beaucoup plus forte pour p grand. La borne optimale reste un problème ouvert.
Ce repo est basé sur la solution présentée par Axel Arno dans sa vidéo :
MIT