ball_in_box

This program is used to solve a algorithm problem.

The detailed description is that in a given box by [-1,1], given m balloons(they cannot overlap) with variable radio r and position mu, some tiny blocks are in the box at given posiion {d}, which balloons cannot overlap with, we should find the optimal value of r nd mu which maxmizes sum r^2.

题目翻译：给定一个矩形区域，x 的范围为 (-1, 1), y 的范围为 (-1, 1)，同时在这个矩形区域中有 m 个 blocker点，现需要求得 n 个圆，使这 n 个圆的面积和最大，n 个圆满足如下约束：

• 圆必须在矩形区域内
• 圆内不得包含任意一个 blocker点, 可以在圆上
• n 个圆之间不能互相相交, 可以相切

本题选取算法：算法三

算法一

时间复杂度：O(percision) # percision 精度

算法思想：暴力贪婪算法

算法概述：

• 将给出的矩形区域按照精度(percision) 划分为均匀区域，记 dots 为这些区域的交点

• 遍历 dots 取出最大圆

  最大的圆的获取方法：dot 到边界，到blockers 的距离中最小的一个即为最大的圆的半径

• 循环 n 次

缺点：不言而喻

算法二

算法思想：模拟退火算法

爬山算法：

​ 思想：每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。

​ 缺点：可能陷入局部最优解，不一定能搜索到全局最优解

​ 如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

模拟退火算法：

​ 思想：模拟退火算法以爬山算法为基础，但是以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，从而达到全局的最优解。

​ 如上图示例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后可能会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。

​ 模拟退火算法描述：

​ 若移动后得到更优解，则总是接受该移动

​ 若移动后的解比当前解要差，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低(逐渐降低才能趋向稳定)

　　这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。

　　根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：

　　　　P(dE) = exp( dE/(kT) )

　　其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。

　　随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。

　　我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。

本题中只需要首先随机选取一个出发点，之后在一定范围(设定预定参数)内进行模拟退火算法即可获取最大圆

缺点：不如暴力求解精度高

优点：由于引入随机因子，时间复杂度大大减少

算法三

时间复杂度：O(1)

算法概述：

圆是如何确定的？

• 三点确定一个圆
• 两点一条切线确定一个圆
• 一点两条切线确定一个圆
• 三条切线确定一个圆

综合：

其实以上四种情况可以归结为一种情况：

若要确定圆A，只需给出与A相切的三个圆B, C, D即可

公式如下：

( x - x1)^2^ + ( y - y1)^2^ = ( r + r1)^2^ ( x - x2)^2^ + ( y - y2)^2^ = ( r + r2)^2^ ( x - x3)^2^ + ( y - y3)^2^ = ( r + r3)^2^

三个方程三个未知数即可求解出 唯一的 (x, y, r)

注：一个点可看做一个半径为 0 的圆，一条切线可看做半径无穷大的圆

条件分析：

题目中给出了一个矩形区域，以及 m 个 blocker点

于是初始条件如下：

• 四个半径无穷大的圆

  # config.py
  # BORDER 假定为无穷大
  BORDER = 1e20 
  # 格式：(x, y, r)
  CONDITIONS = [
      (-BORDER, 0.0, BORDER),
      (BORDER, 0.0, BORDER),
      (0.0, -BORDER, BORDER),
      (0.0, BORDER, BORDER),
  ]

• m 个半径为 0 的圆

  CONDITIONS = [
     (blocker[0], blocker[1], 0) for blocker in blockers
  ]

解题过程：

• n 次循环 (n 为要求求出的圆的个数)
• 在给出的条件中每次抽取 三个，一共有 Cm+4 ^3^ = (m+4) * (m+3) * (m+2) 种组合
• 利用三个条件圆确定一个圆
• 每次比较，保存最大的圆
• 一次循环之后 确定的圆也就成为条件之一，故需要将确定的圆也加入到条件中
• 如此循环 n 次即可

注：对于半径为无穷大的圆在方程中需要特殊处理