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[action-translation] resync: ak2.md #102

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[action-translation] resync: ak2.md #102

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mmcky Jul 18, 2026
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6 changes: 6 additions & 0 deletions .translate/state/ak2.md.yml
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@@ -0,0 +1,6 @@
source-sha: a1cd90c5ef6d6f05277318f47fe21eda60fa5e6b
synced-at: "2026-07-18"
model: claude-sonnet-5
mode: RESYNC
section-count: 11
tool-version: 0.17.0
112 changes: 69 additions & 43 deletions lectures/ak2.md
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Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -9,6 +9,29 @@ kernelspec:
display_name: Python 3 (ipykernel)
language: python
name: python3
translation:
title: 代际交叠模型中的转型
headings:
Introduction: 引言
Setting: 设定
Production: 生产
Government: 政府
Activities in Factor Markets: 要素市场中的活动
Representative firm's problem: 代表性企业的问题
Individuals' problems: 个体问题
Individuals' problems::Initial old person: 初始老年人
Individuals' problems::Young person: 年轻人
Equilbrium: 均衡
Next steps: 后续步骤
Closed form solution: 封闭形式解
Closed form solution::Steady states: 稳态
Closed form solution::Implementation: 实现
Closed form solution::Transitions: 转型
'Closed form solution::Experiment 1: Tax cut': 实验1：减税
'Closed form solution::Experiment 2: Government asset accumulation': 实验2：政府资产积累
'Closed form solution::Experiment 3: Temporary expenditure cut': 实验3：暂时性支出削减
A computational strategy: 计算策略
'A computational strategy::Experiment 4: Unfunded Social Security System': 实验4：无基金的社会保障制度
---

# 代际交叠模型中的转型
Expand Down Expand Up @@ -64,7 +87,7 @@ Auerbach 和 Kotlikoff 使用计算机代码来计算他们的长寿人群模型

每个时期 $t \geq 0$，政府进行征税、支出、转移支付和借贷。

在 $t=0$ 时刻，模型之外给定的初始条件为
在模型之外、于时点 $t=0$ 设定的初始条件为

* $K_0$：由一个代表性的初始老年人在时点 $t=0$ 时带入的初始资本存量
* $D_0$：由一个代表性的老年人在时点 $t=0$ 持有并在 $t=0$ 到期的政府债务
Expand Down Expand Up @@ -145,7 +168,7 @@ $$
或等价地

$$
D_{t+1} = (1 + r_t) D_t + G_t - T_t
D_{t+1} = (1 + r_t) D_t + G_t - T_t .
$$ (eq:govbudgetsequence)

其中，总税收净额（扣除转移支付）为 $T_t$，满足
Expand Down Expand Up @@ -262,7 +285,7 @@ $$ (eq:lagC)

其中 $\lambda$ 是跨期预算约束 {eq}`eq:onebudgetc` 的拉格朗日乘子。

经过代数运算，由 {eq}`eq:onebudgetc` 和最大化 ${\mathcal L}$ 的一阶条件可得最优消费计划满足
经过若干代数运算，跨期预算约束 {eq}`eq:onebudgetc` 以及关于 $C_{yt}, C_{o,t+1}$ 最大化 ${\mathcal L}$ 的一阶条件表明，最优消费计划满足

$$
\begin{aligned}
Expand All @@ -271,7 +294,7 @@ C_{yt} & = \beta \Bigl[ W_t (1 - \tau_t) - \delta_{yt} - \frac{\delta_{ot}}{1 +
\end{aligned}
$$ (eq:optconsplan)

最小化拉格朗日函数 {eq}`eq:lagC` 关于 $\lambda$ 的一阶条件可恢复预算约束 {eq}`eq:onebudgetc`，进而利用 {eq}`eq:optconsplan` 得到最优储蓄计划
最小化拉格朗日函数 {eq}`eq:lagC` 关于拉格朗日乘子 $\lambda$ 的一阶条件可恢复预算约束 {eq}`eq:onebudgetc`，进而利用 {eq}`eq:optconsplan` 得到最优储蓄计划

$$
A_{t+1} = (1-\beta) [ (1- \tau_t) W_t - \delta_{yt}] + \beta \frac{\delta_{ot}}{1 + r_{t+1}(1 - \tau_{t+1})}
Expand All @@ -290,9 +313,11 @@ $$ (eq:optsavingsplan)
## 后续步骤


为分析均衡结果，我们将研究 Auerbach 和 Kotlikoff (1987) {cite}`auerbach1987dynamic` 第2章的一个特例。
为开启对均衡结果的分析，我们将研究 Auerbach 和 Kotlikoff (1987) {cite}`auerbach1987dynamic` 在第2章开篇所采用的特例模型。

它可以手工求解，我们将在下一步展示这一点。
它可以手工求解。

我们接下来就将这样做。

在我们推导出封闭形式解之后，我们将假定自己事先并不知道解，并据此计算均衡路径。

Expand Down Expand Up @@ -336,9 +361,10 @@ $$ (eq:steadystates)
这意味着

$$
\hat{K} = \left[\left(1-\hat{\tau}\right)\left(1-\alpha\right)\left(1-\beta\right)\right]^{\frac{1}{1-\alpha}},
\qquad
\hat{\tau} = \frac{\hat{G} + \hat{r} \hat{D}}{\hat{Y} + \hat{r} \hat{D}}.
\begin{aligned}
\hat{K} &= \left[\left(1-\hat{\tau}\right)\left(1-\alpha\right)\left(1-\beta\right)\right]^{\frac{1}{1-\alpha}} \\
\hat{\tau} &= \frac{\hat{G} + \hat{r} \hat{D}}{\hat{Y} + \hat{r} \hat{D}}
\end{aligned}
$$

示例：考虑以下情况：
Expand All @@ -349,11 +375,11 @@ $$
由稳态公式可得

$$
\hat{D} = 0,
\qquad
\hat{G} = 0.15 \hat{Y},
\qquad
\hat{\tau} = 0.15.
\begin{aligned}
\hat{D} &= 0 \\
\hat{G} &= 0.15 \hat{Y} \\
\hat{\tau} &= 0.15 \\
\end{aligned}
$$


Expand Down Expand Up @@ -386,7 +412,7 @@ D_hat = 0.
K_hat = ((1 - τ_hat) * (1 - α) * (1 - β)) ** (1 / (1 - α))
K_hat
```
知道 $\hat K$ 后,我们可以计算其他变量的稳态值。
知道 $\hat K$ 后,我们可以计算其他均衡量。

首先，定义一些 Python 辅助函数。

Expand Down Expand Up @@ -419,7 +445,7 @@ def K_to_C(K, D, τ, r, α, β):

return Cy, Co
```
我们可以使用这些辅助函数来获得 $\hat{K}$ 和 $\hat{r}$ 对应的稳态值 $\hat{Y}$、$\hat{r}$ 和 $\hat{W}$。
我们可以使用这些辅助函数来获得与稳态值 $\hat{K}$ 和 $\hat{r}$ 相对应的稳态值 $\hat{Y}$、$\hat{r}$ 和 $\hat{W}$。

```{code-cell} ipython3
Y_hat, r_hat, W_hat = K_to_Y(K_hat, α), K_to_r(K_hat, α), K_to_W(K_hat, α)
Expand Down Expand Up @@ -476,7 +502,7 @@ init_ss = np.array([K_hat, Y_hat, Cy_hat, Co_hat, # 数量

接着，我们利用政府预算约束，计算唯一剩余的内生变量。

在模拟转型路径时，有必要区分**状态变量**（如 $K_t,Y_t,D_t,W_t,r_t$）和**控制变量**（如 $C_{yt},C_{ot},\tau_{t},G_t$）。
在模拟转型路径时，有必要区分**状态变量**（如时点 $t$ 的 $K_t,Y_t,D_t,W_t,r_t$）和**控制变量**（如 $C_{yt},C_{ot},\tau_{t},G_t$）。

```{code-cell} ipython3
class ClosedFormTrans:
Expand Down Expand Up @@ -637,14 +663,14 @@ closed = ClosedFormTrans(α, β)

$$
\begin{aligned}
K_{t+1} &= K_{t}^{\alpha}\left(1-\tau_{t}\right)\left(1-\alpha\right)\left(1-\beta\right) - \bar{D}， \\
\tau_{0} &= (1-\frac{1}{3}) \hat{\tau}， \\
\bar{D} &= \hat{G} - \tau_0\hat{Y}， \\
\quad\tau_{t} & =\frac{\hat{G}+r_{t} \bar{D}}{\hat{Y}+r_{t} \bar{D}}。
K_{t+1} &= K_{t}^{\alpha}\left(1-\tau_{t}\right)\left(1-\alpha\right)\left(1-\beta\right) - \bar{D} \\
\tau_{0} &= (1-\frac{1}{3}) \hat{\tau} \\
\bar{D} &= \hat{G} - \tau_0\hat{Y} \\
\quad\tau_{t} & =\frac{\hat{G}+r_{t} \bar{D}}{\hat{Y}+r_{t} \bar{D}}
\end{aligned}
$$

我我们可以模拟 20 期的转型过程，之后经济将非常接近新的稳态。
我们可以模拟 20 期的转型过程，之后经济将非常接近新的稳态。

第一步是准备一组刻画财政政策的政策变量序列。

Expand Down Expand Up @@ -695,26 +721,26 @@ fig, axs = plt.subplots(3, 3, figsize=(14, 10))
# 数量
for i, name in enumerate(['K', 'Y', 'Cy', 'Co']):
ax = axs[i//3, i%3]
ax.plot(range(T+1), quant_seq1[:T+1, i], label=name+', 1/3')
ax.plot(range(T+1), quant_seq2[:T+1, i], label=name+', 0.2')
ax.plot(range(T+1), quant_seq1[:T+1, i], label=f'{name}, 1/3')
ax.plot(range(T+1), quant_seq2[:T+1, i], label=f'{name}, 0.2')
ax.hlines(init_ss[i], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')

# 价格
for i, name in enumerate(['W', 'r']):
ax = axs[(i+4)//3, (i+4)%3]
ax.plot(range(T+1), price_seq1[:T+1, i], label=name+', 1/3')
ax.plot(range(T+1), price_seq2[:T+1, i], label=name+', 0.2')
ax.plot(range(T+1), price_seq1[:T+1, i], label=f'{name}, 1/3')
ax.plot(range(T+1), price_seq2[:T+1, i], label=f'{name}, 0.2')
ax.hlines(init_ss[i+4], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')

# 政策
for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']):
ax = axs[(i+6)//3, (i+6)%3]
ax.plot(range(T+1), policy_seq1[:T+1, i], label=name+', 1/3')
ax.plot(range(T+1), policy_seq2[:T+1, i], label=name+', 0.2')
ax.plot(range(T+1), policy_seq1[:T+1, i], label=f'{name}, 1/3')
ax.plot(range(T+1), policy_seq2[:T+1, i], label=f'{name}, 0.2')
ax.hlines(init_ss[i+6], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
Expand All @@ -727,7 +753,7 @@ for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']):

假设经济最初处于相同的稳态。

现在政府承诺将其在公共服务与商品上的支出削减一半，并从 $t \geq 0$ 开始执行。
现在政府承诺将其在公共服务与商品上的支出削减一半，并对所有 $t \geq 0$ 都保持这一削减。

政府设定的目标是保持相同的税率 $\tau_t=\hat{\tau}$，并通过时间推移逐步积累资产 $-D_t$。

Expand Down Expand Up @@ -767,7 +793,7 @@ plt.title('-D/K');

### 实验3：暂时性支出削减

我们接下来考察一种情形，即政府将支出削减一半并积累资产。
我们接下来考察一种情形，即政府同样将支出削减一半并积累资产。

但在此实验中，政府只在 $t=0$ 时削减支出。

Expand All @@ -788,7 +814,7 @@ closed.plot()
```
经济体很快收敛到一个新的稳态，在该稳态下，物质资本存量更高、利率更低、工资更高，且年轻人与老年人的消费水平均有所提高。

尽管从 $t \geq 1$ 起，政府支出 $G_t$ 恢复到其较高的初始水平，但由于政府在临时削减支出期间积累了资产，从而获得了额外收入 $-r_t D_t$​，因此可以在更低的税率下维持预算平衡。
尽管从 $t \geq 1$ 起，政府支出 $G_t$ 恢复到其较高的初始水平，但由于政府在临时削减支出期间积累了资产，从而获得了额外收入 $-r_t D_t$，因此可以在更低的税率下维持预算平衡。

与 {ref}`exp-expen-cut` 相似，转型期初期的老年人会因该政策冲击而受到损失。

Expand All @@ -809,15 +835,15 @@ closed.plot()

* 该不动点确定了一个均衡。

为引入这一映射，我们回到 {ref}`sec-equilibrium` 一节的概念。
为引入这一寻求其不动点的映射，我们回到 {ref}`sec-equilibrium` 一节中引入的概念。


**定义:** 给定参数 $\{\alpha$, $\beta\}$，一个竞争性均衡由以下内容组成：

* 最优消费序列 $\{C_{yt}, C_{ot}\}$
* 价格序列 $\{W_t, r_t\}$
* 资本存量和产出序列 $\{K_t, Y_t\}$
* 税率、政府资产(债务)、政府购买与一次性税收/转移支付的序列 $\{\tau_t, D_t, G_t\, \delta_{yt}, \delta_{ot}\}$
* 税率、政府资产(债务)、政府购买序列 $\{\tau_t, D_t, G_t\, \delta_{yt}, \delta_{ot}\}$

并满足以下性质：

Expand All @@ -828,7 +854,7 @@ closed.plot()

例如，在{ref}`exp-tax-cut`中，序列 $\{D_t\}_{t=0}^{T}$ 和 $\{G_t\}_{t=0}^{T}$ 是外生的。

此外，我们假设一次性税收与转移支付序列 $\{\delta_{yt}, \delta_{ot}\}_{t=0}^{T}$ 也是外生的，且每个个体都知晓。
此外，我们假设一次性税收 $\{\delta_{yt}, \delta_{ot}\}_{t=0}^{T}$ 是给定的，且模型中的每个个体都知晓。

我们可以按照以下步骤求解其他均衡序列

Expand Down Expand Up @@ -1077,7 +1103,7 @@ ak2.plot()
```
接下来,我们引入一次性税收。

让我们修改 {ref}`exp-tax-cut` 中的财政政策设定，假定政府同时对年轻人和老年人征收一次性税收 $\delta_{yt}=\delta_{ot}=0.005, t\geq0$。
让我们修改 {ref}`exp-tax-cut` 中的财政政策设定，假定政府同时对年轻人和老年人提高一次性税收 $\delta_{yt}=\delta_{ot}=0.005, t\geq0$。

```{code-cell} ipython3
δy_seq = np.ones(T+2) * 0.005
Expand Down Expand Up @@ -1143,7 +1169,7 @@ for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']):

我们可以使用代码来计算启动这个制度所引发的转型路径。

最后，我们将其结果与 {ref}`exp-tax-cut` 进行比较。
让我们将其结果与 {ref}`exp-tax-cut` 进行比较。

```{code-cell} ipython3
δy_seq = np.ones(T+2) * Cy_hat * 0.1
Expand All @@ -1161,31 +1187,31 @@ fig, axs = plt.subplots(3, 3, figsize=(14, 10))
# 数量
for i, name in enumerate(['K', 'Y', 'Cy', 'Co']):
ax = axs[i//3, i%3]
ax.plot(range(T+1), quant_seq3[:T+1, i], label=name+', 减税')
ax.plot(range(T+1), quant_seq5[:T+1, i], label=name+', 转移支付')
ax.plot(range(T+1), quant_seq3[:T+1, i], label=f'{name}, 减税')
ax.plot(range(T+1), quant_seq5[:T+1, i], label=f'{name}, 转移支付')
ax.hlines(init_ss[i], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')

# 价格
for i, name in enumerate(['W', 'r']):
ax = axs[(i+4)//3, (i+4)%3]
ax.plot(range(T+1), price_seq3[:T+1, i], label=name+', 减税')
ax.plot(range(T+1), price_seq5[:T+1, i], label=name+', 转移支付')
ax.plot(range(T+1), price_seq3[:T+1, i], label=f'{name}, 减税')
ax.plot(range(T+1), price_seq5[:T+1, i], label=f'{name}, 转移支付')
ax.hlines(init_ss[i+4], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')

# 政策
for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']):
ax = axs[(i+6)//3, (i+6)%3]
ax.plot(range(T+1), policy_seq3[:T+1, i], label=name+', 减税')
ax.plot(range(T+1), policy_seq5[:T+1, i], label=name+', 转移支付')
ax.plot(range(T+1), policy_seq3[:T+1, i], label=f'{name}, 减税')
ax.plot(range(T+1), policy_seq5[:T+1, i], label=f'{name}, 转移支付')
ax.hlines(init_ss[i+6], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
```
在社会保障制度启动时，初始老年人尤其受益，因为他无需付出任何代价即可获得转移支付。
在社会保障制度启动时，初始老年人尤其受益，因为他获得了转移支付却无需为此支付任何代价。

然而，从长期来看，年轻人与老年人的消费率都会下降，因为社会保障制度削弱了储蓄动机。

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