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lectures/os.md

@@ -7,6 +7,22 @@ kernelspec:
   display_name: Python 3
   language: python
   name: python3
+translation:
+  title: 吃蛋糕问题 I：最优储蓄导论
+  headings:
+    Overview: 概述
+    The model: 模型
+    The model::Trade-off: 权衡
+    The model::Intuition: 直观理解
+    The value function: 价值函数
+    The value function::The Bellman equation: 贝尔曼方程
+    The value function::An analytical solution: 一个解析解
+    The optimal policy: 最优策略
+    The Euler equation: 欧拉方程
+    The Euler equation::Statement and implications: 陈述和含义
+    'The Euler equation::Derivation I: a perturbation approach': 推导 I：扰动法
+    'The Euler equation::Derivation II: using the Bellman equation': 推导 II：使用贝尔曼方程
+    Exercises: 练习
 ---
 
 # 吃蛋糕问题 I：最优储蓄导论
@@ -17,17 +33,17 @@ kernelspec:
 
 ## 概述
 
-在本讲中，我们介绍一个简单的“吃蛋糕”问题。
+在本讲中，我们介绍一个简单的"吃蛋糕"问题。
 
 这里的跨期问题是：今天要享受多少，为未来留下多少？
 
-尽管这个主题听起来很平凡，但这种“当前效用与未来效用的权衡”正是许多储蓄与消费问题的核心。
+这种"当前效用与未来效用的权衡"正是许多储蓄与消费问题的核心。
 
-一旦我们在这个简单环境中掌握了相关思想，我们就会逐步把它们应用到更具挑战性——也更有用——的问题中。
+一旦我们在这个简单环境中掌握了相关思想，我们就会逐步把它们应用到更具挑战性的问题中。
 
 我们用来解决吃蛋糕问题的主要工具是动态规划。
 
-在阅读本讲之前，读者可能会发现复习以下讲座会有帮助：
+以下讲座包含动态规划的背景知识，值得回顾：
 
 * {doc}`最短路径讲座 <intro:short_path>`
 * {doc}`基础McCall模型 <mccall_model>`
@@ -47,7 +63,7 @@ import numpy as np
 ```
 ## 模型
 
-我们考虑一个无限期的时间区间 $t=0, 1, 2, 3...$
+我们考虑一个具有无限时间区间的离散时间模型。
 
 在 $t=0$ 时，决策者获得一个大小为 $\bar x$ 的完整蛋糕。
 
@@ -58,7 +74,7 @@ import numpy as np
 如果在第 $t$ 期选择消费 $c_t$ 单位的蛋糕，那么在第 $t+1$ 期剩余的蛋糕量为
 
 $$
-x_{t+1} = x_t - c_t
+    x_{t+1} = x_t - c_t
 $$
 
 消费数量为 $c$ 的蛋糕会带来当期效用 $u(c)$。
@@ -73,11 +89,12 @@ u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} \qquad (\gamma \gt 0, \, \gamma \neq 1)
 
 在 Python 中表示为：
 
-```{code-cell} ipython3
+```{code-cell} python3
 def u(c, γ):
 
     return c**(1 - γ) / (1 - γ)
 ```
+
 未来的蛋糕消费效用按照折现因子 $\beta \in (0,1)$ 进行折现。
 
 具体来说，$t$ 期后的 $c$ 单位消费的现值是 $\beta^t u(c)$。
@@ -90,17 +107,19 @@ def u(c, γ):
 \max_{\{c_t\}} \sum_{t=0}^\infty \beta^t u(c_t)
 ```
 
-约束条件为，对所有 $t$, 
+约束条件为
 
 ```{math}
 :label: cake_feasible
 
-x_{t+1} = x_t - c_t
-\quad \text{和} \quad
-0\leq c_t\leq x_t
+    x_{t+1} = x_t - c_t
+    \quad \text{and} \quad
+    0\leq c_t\leq x_t
 ```
 
-一个满足{eq}`cake_feasible`的消费路径 ${c_t}$（其中 $x_0 = \bar{x}$）被称为**可行的**。
+对所有 $t$ 成立。
+
+一个满足 {eq}`cake_feasible` 且 $x_0 = \bar x$ 的消费路径 $\{c_t\}$ 被称为**可行的**。
 
 在这个问题中，以下术语是标准的：
 
@@ -115,21 +134,28 @@ x_{t+1} = x_t - c_t
 * 推迟消费是有代价的，因为存在折现因子。
 * 但推迟部分消费也具有吸引力，因为效用函数 $u$ 是凹的。
 
-$u$ 的凹性意味着*消费平滑*，即将消费分散在不同时期，给消费者带来价值。
+$u$ 的凹性意味着消费者能够从**消费平滑**中获得价值，即将消费分散在不同时期。
 
 这是因为凹性意味着边际效用递减——在同一时期内，每多消费一勺蛋糕所带来的效用增加会逐渐减少。
 
 ### 直观理解
 
 上述推理表明，贴现因子 $\beta$ 和曲率参数 $\gamma$ 在决定消费率时将起到关键作用。
 
-我们可以合理猜测这些参数的影响：
+下面是关于这些参数将产生何种影响的一个合理猜测。
 
-首先，较高的 $\beta$ 意味着较少的折现，因此个体更有耐心，这应该会降低消费率。
+1. 较高的 $\beta$ 意味着较少的折现，因此个体更有耐心，这应该会降低消费率。
+2. 较高的 $\gamma$ 意味着 $u$ 的曲率更大，意味着对消费平滑有更强的偏好，因此消费率会更低。
 
-其次，较高的 $\gamma$ 意味着边际效用 $u'(c) = c^{-\gamma}$ 随着 $c$ 的增加下降得更快。这意味着会有更多的消费平滑，因此消费率会更低。
+```{note}
+更正式地说，较高的 $\gamma$ 意味着更低的跨期替代弹性，因为 IES = $1/\gamma$。
 
-总之，我们预期消费率会*随着这两个参数的增加而减少*。
+这意味着消费者更不愿意在不同时期之间替代消费。
+
+这种对消费平滑更强的偏好会导致更低的消费率。
+```
+
+总之，我们预期消费率会随着这两个参数的增加而减少。
 
 让我们看看这是否正确。
 
@@ -187,32 +213,34 @@ v(x) = \max_{0\leq c \leq x} \{u(c) + \beta v(x-c)\}
 ```{math}
 :label: crra_vstar
 
-v^*(x_t) = \left( 1-\beta^{1/\gamma} \right)^{-\gamma}u(x_t)
+    v^*(x) = \left( 1-\beta^{1/\gamma} \right)^{-\gamma}u(x)
 ```
 
 是贝尔曼方程的解，因此等于价值函数。
 
 在下面的练习中，你需要验证这一点。
 
+```{note}
 解 {eq}`crra_vstar` 严重依赖于 CRRA 效用函数。
 
 事实上，如果我们不使用CRRA效用函数，通常就完全没有解析解。
 
 换句话说，在CRRA效用函数之外，我们知道价值函数仍然满足贝尔曼方程，但我们无法显式地写出它，作为状态变量和参数的函数。
 
-在那种情况下，我们会在需要时通过数值方法来处理。
+在后续讲座中，我们会用数值方法来处理这种情况。
+```
 
 下面是价值函数的一个 Python 表示：
 
-```{code-cell} ipython3
+```{code-cell} python3
 def v_star(x, β, γ):
 
     return (1 - β**(1 / γ))**(-γ) * u(x, γ)
 ```
 
 下面的图，展示了在固定参数下该函数的形状：
 
-```{code-cell} ipython3
+```{code-cell} python3
 β, γ = 0.95, 1.2
 x_grid = np.linspace(0.1, 5, 100)
 
@@ -228,46 +256,48 @@ plt.show()
 
 ## 最优策略
 
-既然我们已经得到了价值函数，那么在每个状态下计算最优行动就很直接了。
+既然我们已经得到了价值函数 $v^*$，那么在每个状态下计算最优行动就很直接了。
 
-我们应该选择一个消费水平，使得贝尔曼方程{eq}`bellman-cep`的右侧最大化：
+我们应该选择消费以最大化贝尔曼方程{eq}`bellman-cep`的右侧：
 
 $$
-c^* = \arg \max_{c} \{u(c) + \beta v(x - c)\}
+    c^* = \arg \max_{0 \leq c \leq x} \{u(c) + \beta v^*(x - c)\}
 $$
 
-我们可以将这个最优选择视为状态 $x$ 的函数，此时称之为**最优策略** (optimal policy)。
+我们可以将这个最优选择视为状态 $x$ 的**函数**，此时称之为**最优策略**。
 
 我们用 $\sigma^*$ 表示最优策略，因此
 
 $$
-\sigma^*(x) := \arg \max_{c} \{u(c) + \beta v(x - c)\}
-\quad \text{对所有 } x
+    \sigma^*(x) := \arg \max_{c} \{u(c) + \beta v^*(x - c)\}
+    \quad \text{对所有 } \; x \geq 0
 $$
 
 如果我们将价值函数的解析表达式{eq}`crra_vstar`代入右侧并计算最优值，可以得到
 
 ```{math}
 :label: crra_opt_pol
 
-\sigma^*(x) = \left( 1-\beta^{1/\gamma} \right) x
+    \sigma^*(x) = \left( 1-\beta^{1/\gamma} \right) x
 ```
 
 现在让我们回顾一下关于参数影响的直觉。
 
 我们之前猜测，消费率会随着这两个参数的增加而减少。
 
 从{eq}`crra_opt_pol`可以看出，事实确实如此。
+
 这里有一些图表来说明。
 
-```{code-cell} ipython3
+```{code-cell} python3
 def c_star(x, β, γ):
 
     return (1 - β ** (1/γ)) * x
 ```
+
 继续使用前面给定的参数 $\beta$ 和 $\gamma$，绘制出的图形如下：
 
-```{code-cell} ipython3
+```{code-cell} python3
 fig, ax = plt.subplots()
 ax.plot(x_grid, c_star(x_grid, β, γ), label='默认参数')
 ax.plot(x_grid, c_star(x_grid, β + 0.02, γ), label=r'更高的$\beta$')
@@ -283,7 +313,7 @@ plt.show()
 
 在上面的讨论中，我们已经在 CRRA 效用的情形下给出了吃蛋糕问题的完整解。
 
-事实上，还有另一种方法可以求解最优策略，即基于所谓的**欧拉方程**(Euler equation)。
+事实上，还有另一种方法可以求解最优策略，即基于所谓的**欧拉方程**。
 
 尽管我们已经得到了完整解，但现在正是研究欧拉方程的好时机。
 
@@ -299,16 +329,17 @@ plt.show()
 u^{\prime} (c^*_{t})=\beta u^{\prime}(c^*_{t+1})
 ```
 
-这是最优路径的必要条件。
+这是最优消费路径 $\{c^*_t\}_{t \geq 0}$ 的必要条件。
 
 它表明，在最优路径上，经过适当折现之后，跨期边际收益是相等的。
 
 这很合理：最优性是通过平滑消费直到没有额外的边际收益为止得到的。
 
 我们也可以用策略函数来表述欧拉方程。
+
 **可行消费策略**是一个满足 $0 \leq \sigma(x) \leq x$ 的映射 $x \mapsto \sigma(x)$。
 
-这里的约束条件表明，我们不能消费超过剩余蛋糕的数量。
+（这个约束条件表明，我们不能消费超过剩余蛋糕的数量。）
 
 如果一个可行消费策略 $\sigma$ 对于所有 $x > 0$ 满足以下条件，则称其**满足欧拉方程**：
 
@@ -329,19 +360,19 @@ u^{\prime}( \sigma(x) )
 **泛函方程**是一个未知对象为函数的方程。
 ```
 
-关于欧拉方程在更一般情况下充分性的证明，请参见{cite}`ma2020income`中的命题2.2。
+关于欧拉方程在非常一般情况下充分性的证明，请参见{cite}`ma2020income`中的命题2.2。
 
-下面的论证将聚焦于必要性，解释为什么任何最优路径或最优策略都必须满足欧拉方程。S
+下面的论证将聚焦于必要性，解释为什么最优路径或最优策略应当满足欧拉方程。
 
 ### 推导 I：扰动法
 
-我们把 $c$ 作为消费路径 $\left\{{c_t}\right\}_{t=0}^\infty$ 的简写。
+我们把 $c$ 作为消费路径 $\{c_t\}_{t=0}^\infty$ 的简写。
 
 整个吃蛋糕的最大化问题可以写作
 
 $$
 \max_{c \in F} U(c)
-\quad \text{ 其中 } U(c) := \sum_{t=0}^\infty \beta^t u(c_t)
+\quad \text{其中 } U(c) := \sum_{t=0}^\infty \beta^t u(c_t)
 $$
 
 其中 $F$ 是所有可行消费路径的集合。
@@ -352,7 +383,7 @@ $$
 $U'(c^*) = 0$。
 
 ```{note}
-如果你想确切了解导数 $U'(c^*)$ 是如何定义的，考虑到参自变量 $c^*$ 是一个无限长的向量，你可以从学习[加托导数](https://baike.baidu.com/item/%E5%8A%A0%E6%89%98%E5%AF%BC%E6%95%B0)开始。不过，下文并不假定需要这些知识。
+如果你想确切了解导数 $U'(c^*)$ 是如何定义的，考虑到自变量 $c^*$ 是一个无限长的向量，你可以从学习[加托导数](https://baike.baidu.com/item/%E5%8A%A0%E6%89%98%E5%AF%BC%E6%95%B0)开始。不过，下文并不假定需要这些知识。
 ```
 
 换句话说，对于任何无穷小的（且可行的）偏离最优路径的扰动，$U$ 的变化率必须为零。
@@ -398,6 +429,11 @@ $$
 
 另一种推导欧拉方程的方法是使用贝尔曼方程{eq}`bellman-cep`。
 
+```{note}
+以下论证假定价值函数是可微的。
+关于价值函数可微性的证明，可参见[EDTC](https://johnstachurski.net/edtc.html)的定理10.1.13。
+```
+
 对贝尔曼方程右侧关于 $c$ 求导并令其等于零，我们得到
 
 ```{math}
@@ -437,7 +473,7 @@ v' (x) =
 ```
 (这个推导是[包络定理](https://blog.csdn.net/qq_25018077/article/details/123295394)的一个例子。)
 
-结合{eq}`bellman_FOC`得到
+但现在应用{eq}`bellman_FOC`得到
 
 ```{math}
 :label: bellman_v_prime
@@ -460,7 +496,7 @@ u^{\prime}(c) = v^{\prime}(x)
 
 假设我们不知道解，并从一个假设出发：最优策略是线性的。
 
-换句话说，我们猜测存在一个正的 $\theta$，使得令使得对所有 $t$，设定$c_t^*=\theta x_t$会产生一个最优路径。
+换句话说，我们猜测存在一个正的 $\theta$，使得对所有 $t$，设定 $c_t^*=\theta x_t$ 会产生一个最优路径。
 
 从这个猜想出发，尝试获得解 {eq}`crra_vstar` 和 {eq}`crra_opt_pol`。
 
@@ -553,3 +589,66 @@ $$
 
 我们的论述现已得到验证。
 ```
+
+```{exercise}
+:label: cep_ex2
+
+验证最优策略{eq}`crra_opt_pol`满足欧拉方程{eq}`euler_pol`。
+```
+
+```{solution} cep_ex2
+:class: dropdown
+
+回顾一下，最优策略为
+
+$$
+    \sigma^*(x) = (1 - \beta^{1/\gamma})x
+$$
+
+而策略形式下的欧拉方程为
+
+$$
+    u'(\sigma(x)) = \beta u'(\sigma(x - \sigma(x)))
+$$
+
+对于CRRA效用函数 $u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma}$，边际效用为
+
+$$
+    u'(c) = c^{-\gamma}
+$$
+
+现在让我们来验证欧拉方程。左边为
+
+$$
+    u'(\sigma^*(x)) 
+    = [\sigma^*(x)]^{-\gamma} 
+    = [(1 - \beta^{1/\gamma})x]^{-\gamma} 
+    = (1 - \beta^{1/\gamma})^{-\gamma} x^{-\gamma}
+$$
+
+对于右边，我们首先计算下一期的状态：
+
+$$
+    x - \sigma^*(x) = x - (1 - \beta^{1/\gamma})x = x\beta^{1/\gamma}
+$$
+
+在最优策略下，下一期的消费为
+
+$$
+    \sigma^*(x - \sigma^*(x)) = \sigma^*(x\beta^{1/\gamma}) = (1 - \beta^{1/\gamma}) \cdot x\beta^{1/\gamma}
+$$
+
+因此，欧拉方程的右边为
+
+$$
+\begin{aligned}
+\beta u'(\sigma^*(x - \sigma^*(x)))
+  &= \beta [(1 - \beta^{1/\gamma}) \cdot x\beta^{1/\gamma}]^{-\gamma} \\
+  &= \beta (1 - \beta^{1/\gamma})^{-\gamma} x^{-\gamma} (\beta^{1/\gamma})^{-\gamma} \\
+  &= \beta (1 - \beta^{1/\gamma})^{-\gamma} x^{-\gamma} \beta^{-1} \\
+  &= (1 - \beta^{1/\gamma})^{-\gamma} x^{-\gamma}
+\end{aligned}
+$$
+
+由于左边等于右边，最优策略 $\sigma^*$ 满足欧拉方程。
+```